1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学选择性人教A版必修第一册

 1.3.2　空间向量运算的坐标表示

 选择性必修第一册　第一章 空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解空间向量坐标的概念，会根据点的坐标写出向量的坐标，会进行向量加减与数乘的坐标运算。

2．掌握空间向量数量积的坐标表示，会用坐标判断两个向量的平行与垂直，会求向量的模与夹角。

3．掌握空间两点间距离的坐标公式，会用坐标运算解决简单的空间向量综合问题。

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 1．空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系 中，取与 轴、 轴、 轴正方向相同的单位向量 、、，它们两两垂直，构成单位正交基底。由空间向量基本定理，任一空间向量 都能唯一地写成 。图 1 中以原点为起点、点 为终点的向量 ，沿三条坐标轴分别取 3、2、2 个单位，于是 ，把系数依次写成一列，就得到 。

图 1: 在单位正交基底 下，，故

(1) 在单位正交基底 下，若 ，

则称有序实数组 为向量 的坐标，记作 ，

其中 、、 依次叫做 的横坐标、纵坐标、竖坐标。

(2) 若 、，则 ，即向量 的坐标等于终点 的坐标减去起点 的坐标。

 提醒： 向量坐标由基底唯一确定，与向量的起点位置无关；只有当向量的起点是原点时，它的坐标才与终点的坐标相同。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 把空间向量 平移后，它的坐标不变。（　　）

(2) 若向量 的起点为 、终点为 ，则 。（　　）

 2．空间向量线性运算的坐标表示

向量的坐标把几何运算变成了数的运算。设 、，即 、 分别等于 与 。利用加法的交换律、结合律与数乘对加法的分配律合并同类项，得 ，由坐标的唯一性， 的坐标就是对应坐标之和。减法与数乘同理。

(1) ；。

(2) （）。

即向量的和、差、数乘，都是把对应坐标分别相加减、相乘，结果仍是一个向量。

判断

(1) 若 、，则 。（　　）

(2) 若 ，则 。（　　）

 提醒： 数乘时实数要乘到每一个坐标上；减法按对应坐标作差，减数与被减数的顺序不能颠倒。

 3．空间向量数量积的坐标表示

由数量积的定义 ，在单位正交基底下，，而不同基底向量的数量积为 0，即 。把 、 按基底展开后相乘，九个乘积中只有同名的三项保留，得到 。图 2 中两个向量的夹角为 ，它的余弦可用这个结果与模长计算。

图 2: 两个非零空间向量 、 的夹角 满足

(1) ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

(2) 特别地，，。

判断

(1) 若 、，则 。（　　）

(2) 两个非零空间向量的数量积是一个向量。（　　）

 提醒： 数量积的坐标公式是「对应坐标相乘再相加」，结果是一个实数，不是向量。

 4．空间向量平行与垂直的坐标条件

由共线向量定理，（）等价于存在实数 使 ；由数量积的性质， 等价于 。把这两个条件写成坐标，就得到用坐标判断平行与垂直的方法。例如 、 满足 ，所以 ；、 满足 ，所以 。

(1) 设 、，且 ，则 ，即存在实数 使 、、。

(2) ，即 。

判断

(1) 若 、，则 。（　　）

(2) 若 、，则 。（　　）

 提醒： 判断平行时，若 的某个坐标为 0，要检查 的对应坐标也为 0 且其余坐标同比例，不能只看两个坐标成比例；讨论垂直时 、 都必须是非零向量。

 5．空间向量的模、夹角与两点间距离

由 得模长；由数量积的定义变形得夹角的余弦。把点 、 的坐标代入 的坐标公式，再用模长公式，就得到空间两点间距离的坐标公式。图 3 中，从 出发依次沿三个互相垂直的方向移动，三段位移的长分别是两个点对应坐标之差，于是 可由三次使用勾股定理得到。

图 3: 若 、，三段位移的长分别为 、、

(1) 。

(2) 设 、 为非零向量，则 ，其中 。

(3) 空间两点 、 间的距离 。

判断

(1) 若 ，则 。（　　）

(2) 若 、，则 。（　　）

 提醒： 两个向量夹角的范围是 ，由余弦值求角时要注意符号，余弦为负说明夹角是钝角；两点间距离公式中被减数与减数的顺序不影响结果，因为差的平方与顺序无关。