6.2 反比例函数的图象与性质（第1课时）（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第6章 反比例函数 6.2反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象与性质 学 习 目 标 1 2 3 掌握用描点法画反比例函数图象的步骤，能初步运用性质解决简单问题. 理解并掌握反比例函数的图象特征（双曲线）及 、时的象限分布和增减性； 经历动手画图→观察归纳→推理论证的探究过程，体会类比、数形结合和从特殊到一般的数学思想. 1.什么是反比例函数?有哪些形式？ 自变量取值由什么要求? 一般地，形如y= (k是常数,k≠0)的函数, 叫作反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数。 xy=k或y=kx-1(k为常数,k≠0)。 自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 2.还记的研究一次函数、二次函数的图象与性质的一般过程吗? 画出函数图象 总结函数的性质 观察图象的形状、位置与变化趋势 我们知道一次函数的图象是直线,二次函数的图象是抛物线。 那么反比例函数的图象呢? 由图象可以得到反比例函数的哪些性质呢? 我们从画反比例函数图象开始，一起探究反比例函数的图像和基本性质 。 用描点法画出反比例函数 y= 的图象。 解:①列表. x ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ... y ... ... -1 - - -2 -3 -6 6 3 2 1 写出x与y的几组对应值。 ②描点:在平面直角坐标系中描出相应的点。 ③ 连线:将描出的点用平滑的曲线顺次连接,得到函数y=的图象. 你发现反比例函数y=图象是什么形状？ (1)用描点法或数学软件画出反比例函数y=和y=的图象. (2)函数y=,y=和y=的图象有哪些共同特点? 这些函数有哪些共同性质? ①这三个函数的图象都由两支曲线组成; ②分别位于第一、三象限,与两坐标轴都不相交; ③在每一个象限内,y都随x的增大而减小。 图象形状 图象位置 图象变化趋势 你还有什么发现？ 一般地,函数y=(k＞0)的图象具有哪些性质? 一般地，当k＞0时，对于反比例函数y= ，由函数图象， 并结合解析式，我们可以发现： ①反比例函数y=的图象都由两支曲线组成; ②分别位于第一、三象限,与两坐标轴都不相交; ③在每一个象限内,y都随x的增大而减小。 你能由函数解析式说明这些结论吗？ (3)用描点法或数学软件,在同一平面直角坐标系中画出 反比例函数y=-,y=-和y=-的图象,你有什么发现? 解:①列表. x ... -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ... y=- ... ... y=- ... ... y=- ... ... 1 2 3 6 -6 -3 -2 - - -1 1 2 -2 -1 - - - - 1 -1 - - - - - ②描点:在平面直角坐标系中描出相应的点。 ③ 连线:将描出的点用平滑的曲线顺次连接,得到函数y=-的y=-,y=-图象. y=- y=- y=- ①这三个函数的图象都由两支曲线组成; ②分别位于第二、四象限,与两坐标轴都不相交; ③在每一个象限内,y都随x的增大而增大。 反比例函数y=-的y=-,y=-图象有哪些 共同特点? 这些函数有哪些共同性质? 你还有什么发现？ 一般地,函数y=(k＜0)的图象具有哪些性质? 一般地，当k＜0时，对于反比例函数y=，由函数图象， 我们可以发现： ①反比例函数y=的图象都由两支曲线组成; ③在每一个象限内,y都随x的增大而增大。 ②分别位于第二、四象限,与两坐标轴都不相交; 你能由函数解析式说明这些结论吗？ (4)一般地,函数y=(k≠0)的图象具有哪些性质? 反比例函数的图象是由两条曲线组成， 所以反比例函数y=的图象称作双曲线. 反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线,它具有以下性质: 反比例函数的图象与性质： 双曲线不过原点，无限接近 坐标轴但永不与坐标轴相交. 当k>0时，双曲线在一、三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线在二、四象限， 在每个象限内，y随x的增大而增大； 反比例函数的图象是中心对称图形吗? 如果是,请找出对称中心。 反比例函数的图象是轴对称图形吗? 如果是,请找出对称轴。 用数学软件画几个反比例函数的图象,验证你的猜想,并说明理由。 反比例函数的图象是中心对称图形, 对称中心是原点。 反比例函数的图象是轴对称图形， 对称轴如图所示。 例1 已知反比例函数的图象经过点A(-2,3) . (1) 这个函数的图象位于哪些象限?y随x的增大如何变化? (2) 点B(6,-1),C(2 ,-2),D(3,2)是否在这个函数的图象上? 解:(1)设反比例函数表达式为y=(k≠0)。 把A(-2,3)代入得 3=， 解得k=-6。 所以函数表达式为y=-。 典例讲解 ∵k=-6＜0。 ∴函数的图象位于二、四象限，在各个象限 内y随x的增大而增大 （2）∵函数表达式为y=-，点B(1,-8),C(2 ,-3) 的坐标都满足y=- ，点D(2,4) 的坐标不满足y=-。 ∴点B，C 在函数 y=- 的图象上, 点D 不在这个函数的图象上. 典例讲解 1.分别指出下列函数的图象所在的象限,并说出在每一 象限内,y随x的变化情况。 (1)y=; (2)y=-。 解：(1)∵k=＞0， ∴y=在第一、三象限，在每一象限内,y随x的增大而减小。 (2)∵k=-＜0， ∴y=-在第二、四象限，在每一象限内,y随x的增大而增大。 跟踪练习 例2.已知反比例函数y= ,根据下列条件求k的取值范围： (1)图象分布在第一、三象限； (2)在每个象限内，y随x的增大而增大. 解：(1)∵图象在第一、三象限 ∴比例系数大于0,k-3>0 ∴k>3. 典例讲解 ∴比例系数小于0,k-3<0， (2)∵在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴k<3. 典例讲解 2.反比例函数y= 的图象如图所示,则k 0； 在图象所在的每个象限内,y随x的增大而 。 ＜ 增大 跟踪练习 例3、在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3),若x1＜x2＜0＜x3，则下列结论正确的是（　　） A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C. y2<y1<y3 D.y3 <y1<y2 解析：反比例函数y=的图象如图所示： 当x＜0时，y随x的增大而减小且小于0； 当x＞0时，图象在第一象限，函数值大于0. 所以答案是C. C 典例讲解 3.在函数y=-的图象上有三个点的坐标分别为(1,y1),(,y2), (-3,y3)，函数值y1、y2、y3的大小关系是( ). A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 C 跟踪练习 例4、如图所示，一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A(2,1),B(-1,-2),则使y1>y2的x的取值范围是( )。 A.x>2 B.x>2或-1<x<0 C.-1<x<2 D.x>2或x<-1 B 典例讲解 1.若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y=的图象上,且a<0, 则b与c的大小关系为( ) A.b>c B.b<c C.b=c D.无法判断 B 解析:对于反比例函数y=，当x<0,或x>0时，y随x的增大而减小;由于a>a-2,所以b反而小于c，故应选B. 当堂检测 2.已知ab<0, 一次函数y=ax-b与反比例函数y= 在 同一直角坐标系中的图象可能是( ) A 当堂检测 3、如图所示是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题: (1)图象的另一支在哪个象限?常数n的取值范围是什么？ (2)若函数图象经过点(3,1)，求n的值。 (3)在这个函数图象的某一支上任取点A(a1,b1)和 点B(a2,b2)，如果a1<a2，试比较b1和b2的大小。 解：(1)图象的另一支在第三象限；n＞2； (2)∵函数图象经过点(3,1)， ∴1= ∴n= 当堂检测 (3)∵函数y=的图象在一、三象限，y随着x的增大而减小；点A(a1,b1)和点B(a2,b2)在某一支上，且a1<a2， ∴b1＞b2 当堂检测 y=(k≠0) k＞0 k＜0 图象 性质 反比例函数y=(k≠0)的图象与性质： 函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小. 函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $