5.5 三元一次方程组 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.5 三元一次方程组 作者编号：32100 1. 知道三元一次方程组的定义，会解简单的三元一次方程组. 2. 会用三元一次方程组解决简单的实际问题. 3. 通过探索发现解三元一次方程组的基本思想仍是“消元” 进一步体会数学的化归思想. 学习目标 作者编号：32100 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉各几何 ? ( 选自《九章算术》) 题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得 米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34 斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？ 新课导入 作者编号：32100 问题1：下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？ 问题2：题中有未知量？你能找出哪些等量关系? 未知量：上禾产量，中禾产量，下禾产量. 等量关系：三种情况下得到大米的量. 新知探究 作者编号：32100 未知量 上禾产量 中禾产量 下禾产量 每一个未知量都用一个字母表示 x y z 等量关系 (1) 3上禾＋2中禾＋1下禾＝39 用方程表示等量关系. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② (2) 2上禾＋3中禾＋1下禾＝34 (3) 1上禾＋2中禾＋3下禾＝26 作者编号：32100 问题3：观察列出的三个方程，对比原来学过的二元一次方程你有什么发现 ? x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 二元一次方程 含三个未知数 未知数的次数都是 1 含两个未知数 未知数的次数都是 1 三元一次方程 作者编号：32100 因这三个数必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 作者编号：32100 1.含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程； 2.共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组； 3.关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 归 纳 作者编号：32100 1.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) C x－z＝26 x＝1， x＋y＝2， A. 3x＋2y－z＝3 x＋3y－2z＝1， 2x＋y＋4z＝0， B. xyz＝12 x＋y＋z＝1， x＋3y－4z＝7， C. 巩固训练 作者编号：32100 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 归 纳 作者编号：32100 如何解这个方程组呢 ? 思考：如何在三元一次方程组中进行消元 ? 可以借助二元一次方程组中消元的思想. x＋2y＋3z＝26 ③ 3x＋2y＋z＝39 ① 2x＋3y＋z＝34 ② 典型例题 作者编号：32100 1.代入消元法 x＋2y＋3z＝26. ③ 3x＋2y＋z＝39， ① 2x＋3y＋z＝34， ② 解：由 ①，得 z = 39 - 3x - 2y. ④ 把④分别代入②③并化简，得 x - y = 5， ⑤ 8x + 4y = 91. ⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 x = ， y = . 将 x = ，y = 的值代入④，得 z = . 所以原方程组的解是 x = ， y = ， z = . 作者编号：32100 思考：(1) 解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数 y (或 z)，从而得到方程组的解吗? 可以用代入消元法先消去未知数 y (或 z)，从而得到方程组的解. (2) 你还有其他方法吗? 与同伴进行交流. 可以用加减消元法先消去未知数 x，得到关于 y，z 的二元一次方程组，再进行求解. 作者编号：32100 2.加减消元法 x＋2y＋3z＝26. ③ 3x＋2y＋z＝39， ① 2x＋3y＋z＝34， ② 解：由 ① - ②得 x - y = 5 ④， 由 3×② - ③得 5x + 7y = 76 ⑤ 联立得 5x + 7y =76，⑤ x - y = 5， ④ ⑤ - ④×5 得 12y = 51. x = ， y = . 解得 将 x，y 的值代入①中得 z = . 所以原方程组的解是 x = ， y = ， z = . 作者编号：32100 1.解三元一次方程组的基本思路。 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 核心思路：消元思想，选择代入消元法还是加减消元法需要根据具体题目进行选择. 归 纳 作者编号：32100 2．解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数； (2)消元，得到一个二元一次方程组； (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值； (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解． 作者编号：32100 例1.在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1 时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 ②－①并化简得 a＋b = 1. ④ ③－①并化简得 4a＋b = 10. ⑤ a－b＋c = 0， ① 4a＋2b＋c = 3， ② 25a＋5b＋c = 60. ③ ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b = 1， ④ 4a＋b = 10. ⑤ 解这个方程组，得 a = 3， b = -2. 把 代入①，得c = -5. a = 3， b = -2 因此 a = 3， b = -2， c = -5. 典型例题 作者编号：32100 今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的 5 倍.问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁? 等量关系: (1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80； (2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3； (3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5. 巩固训练 作者编号：32100 解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新年龄 z 岁. 将③代入②，得 x = 5z + 3. ④ 将③④代入①，得 z = 7. x＝y＋3， ② x＋y＋z＝80， ① y＝5z. ③ z＝7. x＝38， y＝35， 由题意得 将 z = 7 代入③④得 作者编号：32100 解法 三元一次方程组 概念 含有___个未知数 每个方程中含未知数的项的次数______ 一共含有____个方程 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组 3 都是 1 三 消元 消元 本课小结 作者编号：32100 1. 下列方程组中是三元一次方程组的是(　B　) B 作者编号：32100 2. 解方程组 若要使运算简便，消元的方法应选取(　B　) A. 先消去x B. 先消去y C. 先消去z D. 以上说法都不对 B 作者编号：32100 3.三元一次方程组的解是____________ 　 4. 有甲、乙、丙三种商品，如果购甲 3 件，乙 2 件，丙 1 件共需 420 元钱；购甲 1 件，乙 2 件，丙 3 件共需 380 元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需_________. 200元　 作者编号：32100 5. 解下列方程组： 2x – y + 2z = 8， x + y + z = 10， （1） y + 2z = -2， （2） 2x + 3y + z = 17， 3x + y - 4z = 1； 3x + 2y - z = 8. x = 2 ， y = -3 ， z = . x = 3 ， y = 2 ， z = 5 . 作者编号：32100 6.一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的 2倍，如果把百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来 的三位数小495. 求原来的三位数. 解：设原来的三位数的个位、十位和百位数字分别为x ，y，z， 依题意可列方程组，得 所以，原来的三位数是631. 解得 整理方程组，得 作者编号：32100 7.林芳、向民、艳君三名同学去商店买文具用品，林芳说：“我买 了4支笔，2本笔记本，10本作文本，共用了19元。”向民说：“我 买了2支笔，3本笔记本，10本练习本，共用了20元。”艳君说：“我 买了12本练习本，8本作文本，共用了10元；作文本与练习本的价 格是一样的。”请根据以上内容，求出笔记本、笔、练习本的价格. 解：设笔记本每本元，笔每支元，练习本或作文本每本 元。 由题意得 解得 答：笔记本每本4元，笔每支1.5元，练习本每本0.5元。 作者编号：32100 $