第七单元 线与角（知识清单）数学沪教版四年级上册（新教材）

沪教版·新教材四年级数学上册 第七单元：线与角（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：线段、直线、射线 1、认识线段、直线、射线 （1）线段 线段是直的，有两个端点。线段可以量出长度。线段的端点用两个大写字母表示，如线段AB或线段BA。 （2） 直线 一条线段向它的两端无限延长，所得到的图形叫作直线。直线没有端点，不能量出长度，若是点A和点B是直线上的点，我们就称这条直线为直线AB或直线BA，或是也可以用小写字母来表示，如直线。 （3） 射线 一条线段向它的一端无限延长，所得到的图形叫作射线。射线只有一个端点，若射线的端点用大写字母A表示，再在射线上任取另外一点，用字母B表示，这样，我们称这条射线为射线AB，表示端点的字母写在前。 2、线段、直线、射线的相同点与不同点 【易错点】理解射线的长度有误 射线向一端无限延长，无法测量长度，不能比较长短。 知识点02：圆的初步认识 1、 圆的初步认识及其画法 （1） 圆心：画圆时，固定的一点是圆心，通常用字母O表示； （2） 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； （3） 直径：过圆心，两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示； 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，半径越长，圆越大。 2、 圆的对称性及直径与半径的关系 （1）圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，它的对称轴是直径所在的直线； （2）同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。同一个圆里，直径是半径的2倍，即d=2×r； （3）在一个圆中，连接圆上任意两点，经过圆心的线段最长，即直径是圆中最长的线段。 3、用圆规画圆 用圆规画圆时，先定圆心，再定半径，然后把有针尖的一只脚固定在圆心上，把另一只装有铅笔芯的脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 【易错点】对直径的定义理解有误 判断一条线段是圆的直径必须同时满足两个条件：（1）线段的两个端点都在圆上；（2）此线段经过圆心。 【易错点】误将圆的对称轴画成直径 圆的对称轴是经过圆心的一条直线，而直径只是对称轴落在圆内的部分，是一条线段。 知识点03：角的认识与测量 1、 角的定义及角的计量单位 （1）角的定义 如图点O与两条射线OA、OB所组成的图形叫作角。点O叫作角的顶点，射线OA、OB叫作角的边。 角的旋转定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成。例如，射线OA绕端点O从原来位置旋转到OB，就得到了一个角。 （2） 角的计量单位 角的大小只与“两边的张口”有关，张口越大，角越大。角的大小与两边画的长短无关。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。1度可记作1°。用半径把一个圆分成360等份，相邻的两条半径与圆心组成的角是1°。 2、 角的分类 （1） 几个特殊的角 a. 周角：一条射线绕着它的端点旋转一周，所成的角叫作周角。1周角=360° b. 平角：一条射线绕着它的端点旋转半周，所成的角叫作平角。1平角=180° c. 直角：一条射线绕着它的端点旋转周，所成的角叫作直角。1直角=90° 周角 平角 直角 d. 锐角：大于0°而小于90°的角叫作锐角。 e. 钝角：大于90°而小于180°的角叫作钝角。 3、 认识量角器及用量角器测量角的度数 （1）认识量角器 量角器是一个半圆，被分成180等份，每一份所对应的角是1°，量角器能测量0°到180°之间的角。量角器有一个中心点，两条零刻度线。左边这条对应外圈刻度，右边这条对应内圈刻度。 （2）用量角器测量角的度数 第一步：把量角器的中心点与角的顶点重合； 第二步：使一条零刻度线与角的一条边重合； 第三步：读出角的另一条边在量角器上的刻度。 角的开口可能朝左或朝右，量角器的两圈刻度（内圈和外圈）分别对应逆时针方向和顺时针防线，适配不同位置的角。如测量开口朝右的时用内圈刻度，测量开口朝左时用外圈刻度。 【易错点】用量角器测量角的度数时，内外圈度数误用 量角器测角度，两点重合0开始，始边向左顺时读，始边向右逆时读。 4、 用量角器画角 步骤：（如画一个75°的角） 第一步：画一条射线OA； 第二步：把量角器的中心点与点O重合，一条零刻度线与射线OA重合。在量角器75°刻度的地方点上一个点，并记为B； 第三步：以O为端点，经过点B画一条射线OB。∠AOB就是所要画的一个75°的角。 使用量角器画指定度数的角时，要注意量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合。 5、 三角形的三个角的和 三角形的三个角的和等于180°。 知识点04：尺规作图 1、 用尺规作一条线段等于已知线段 先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段的长度，在射线上截取相同的长度。 2、 用尺规作多条线段的和 多次运用“用尺规作一条线段等于已知线段”。 解决三角形周长与线段长度比较问题，就是将三角形三边首尾相接依次画到线段上，使起始点与线段的一个端点重合，然后看第三边的末端与线段另一端点的位置即可。 3、 用尺规作图说明三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边。 4、 两点之间线段最短 两点之间的所有连线中，线段最短。连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 【易错点】误用三角形任意两边之和大于第三边 判断三条线段能否围成三角形，可以判断“较短的两条线段之和是否大于最长线段”，如果满足，那么这三条线段就一定能围成三角形。 考点1：线段、直线、射线 【典型例题1】一根绷紧的风筝线可以看作( )；激光灯发出的一束光线可以看作( )，它与( )一样，都可以无限延伸。（填“直线”、“射线”或“线段”） 【答案】 线段 射线 直线 【分析】线段有两个端点，不能无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸；直线没有端点，可以向两端无限延伸。绷紧的风筝线有明确的两端，应按“有两个端点”的特征判断。激光灯发出的光线从灯口出发，向一个方向延伸，应按“有一个端点”的特征判断。最后一空要找出另一种也能无限延伸的线，并注意它与光线所表示的线在延伸方向上的不同。 【详解】绷紧的风筝线有两端，可以看作线段；激光灯发出的一束光线从灯口出发，可以看作射线。射线可以向一端无限延伸，直线可以向两端无限延伸，因此它与直线一样，都可以无限延伸。 【练习1】“有头有尾”常形容做事有恒心，能坚持到底，也可以类比线段有( )个端点；而“有始无终”常形容只有开端，没有结尾，可以类比( )的特征，只有( )个端点；向两端无限延伸的是( )，它没有端点，正如古人所述的“无始无终”。 【答案】 射线 直线 【分析】线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，向一端无限延伸；直线没有端点，向两端无限延伸。结合成语“有头有尾”、“有始无终”、“无始无终”的含义，分别对应线段、射线和直线的端点个数及延伸性质。 【详解】线段是直线上两点间的部分，有两个端点，长度有限，对应成语“有头有尾”，故线段有2个端点；射线是把线段的一端无限延长得到的，有一个端点，向一端无限延伸，对应成语“有始无终”，故可以类比射线的特征，只有1个端点；直线是把线段的两端无限延长得到的，没有端点，向两端无限延伸，对应成语“无始无终”，故向两端无限延伸的是直线。 【典型例题2】判断：3cm的线段比3cm的射线长。( ) 【答案】 × 【分析】射线只有一个端点，可向一端无限延伸，没有固定长度，无法和有限长度的线段比较长短。 【详解】线段有2个端点，长度有限，3cm的线段长度是确定的3cm； 射线有1个端点，可向一端无限延伸，不存在确定的长度，无法比较二者长短。 故答案为：× 【练习2】判断：把4厘米长的线段的一端延长5厘米，就变成一条射线。( ) 【答案】× 【分析】线段有两个端点，长度可度量；射线只有一个端点，另一端可无限延长，长度不可度量。 【详解】把4厘米长的线段一端延长5厘米后，总长度为厘米，仍然有两个端点，属于线段，不是射线，原说法错误。 故答案为：× 【典型例题3】判断：射线比线段短，直线比射线长。( ) 【答案】× 【分析】线段有两个端点，长度有限。射线有一个端点，可以向一端无限延伸。直线无端点，可以向两端无限延伸。射线和直线均无法测量长度，据此判断。 【详解】射线和直线都无限长，不能比较大小。原题说法错误。 故答案为：× 【练习3】判断：在直线、射线、线段中，最长的是直线，最短的是线段。( ) 【答案】× 【分析】直线没有端点，长度无限；射线有1个端点，长度也无限，二者都无法测量长度，不能比较长短，只有线段的长度是有限的。 【详解】直线和射线的长度都是无限的，无法比较出谁更长，原题说法错误。 故答案为：× 【典型例题4】画出直线AD，线段BC，射线BD。 【答案】 【分析】直线没有端点，两边可无限延长；线段有两个端点，两个端点间的距离就是这条线段的长度；射线有一端有端点，另一端可无限延长；据此画图。 【详解】直线AD：用尺子对齐A点、D点，画一条线，A左边、D右边都延长出去； 线段BC：尺子对齐B点、C点，只画B到C之间，两端停在B、C上； 射线BD：尺子对齐B、D，从B开始画，经过D，D的外面继续延长，B不延长。 【练习4】按要求画一画。 过下面三点中的两点分别画一条直线、一条射线和一条线段。 【答案】 【分析】线段有两个端点，不可延长；直线无端点，可向两端无限延伸；射线有一个端点，向一端无限延伸，据此作图。 【详解】 【典型例题5】过如图的点A，画一条直线，并在直线上截取一条长4cm的线段，标出线段的长，并用字母B表示另一个端点。 【答案】 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸；线段有两个端点，长度可以测量。先过点A画出直线，再以A为一个端点，在直线上量出4cm，标出另一个端点B。 【详解】图略 【练习5】画一画，量一量。 过点A画一条射线，然后在这条射线上截取一段3厘米长的线段。 【答案】 【分析】射线只有一个端点，因此以点A为端点向一边画一条直的线即可得到一条射线；依此画图，线段有两个端点，因此可以以A点为线段的端点，并且使A点对准直尺的0刻度线，直尺紧靠所画的射线，3厘米处就是这条线段的另一个端点B，依此画图即可。 【详解】作图略 【典型例题6】如图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 3 12 3 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸。射线有1个端点，向一端无限延伸。线段有2个端点，不能延伸。据此数一数。 【详解】图中有3条直线；因为每个端点都向四个方向发出了射线，4×3＝12，一共有12条射线；有3条线段。 【练习6】数一数，下面图形中各有几条线段？几条射线？ ( )条线段   ( )条线段 ( )条线段 ( )条射线    ( )条射线 ( )条射线 【答案】 3 2 1 6 8 8 【分析】线段有两个端点，不能向两端无限延伸，可以测量长度；数线段时，先以其中一个端点为起点，按顺序数出到其他端点的线段条数，再以其他端点为起点，数出线段的条数；重复的线段只数一次； 射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，不能测量长度；数射线时，先确定一个端点，数出向不同方向的射线条数，再数出其他端点射线的条数，即可解答。 【详解】的线段有3条；射线有6条； 的线段有2条；射线有8条； 的线段有1条；射线有8条。 【典型例题7】下图中，一共有（   ）条线段。 A．5 B．10 C．4 【答案】B 【分析】有规律地把单条的、二合一的、三合一的、四合一的线段数出来并相加，据此解答即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（条） 【练习7】在一条线段上添加9个小圆点，将其分成了若干条线段，现在一共有( )条线段。 【答案】55 【分析】根据题意，画出此线段（如下图） 由图可知，现在这条线段上有11个点，那么共有（10＋9＋8＋7……＋1）条线段。 【详解】根据分析，解答如下： 10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（条） 即在一条线段上添加9个小圆点，将其分成了若干条线段，现在一共有（ 55）条线段。 【典型例题8】在每两点之间画一条线段，分别能画多少条？先画一画，再填一填。 ［规律应用］当点数是5时，可以画（    ）条线段。 【答案】 1；3；6；10 【分析】线段有两个端点，每两点之间可以画出一条线段。画出所有的线段并确定线段的条数。 【详解】①图中有2个点，两点之间画线段，只能画出1条。 ②图中有3个点。从第一个点出发可以连另外2个点，第二个点再连剩下1个点，2＋1＝3，一共可以画3条线段。 ③图中有4个点。从第一个点出发可以连3条，第二个点连2条，第三个点连1条，3＋2＋1＝6，一共可以画6条线段。 当点数是5时，4＋3＋2＋1＝10，可以画10条线段。 【练习8】经过2个点可以画一条直线，经过3个点中的每两个点画直线，最多可以画3条，经过4个点中的每两个点呢？5个点，6个点呢？画一画，数一数，并填写表格。（任意三个点不在一条直线上） 点数 2 3 4 5 6 直线条数 【答案】 点数 2 3 4 5 6 直线条数 1 3 6 10 15 【分析】两点确定一条直线，任意三点不共线时，每两个点的连线都不重复。可以按顺序逐个点与后面的点连线，累加条数，避免重复计数。 【详解】2个点时，两点确定1条直线，共1条； 3个点时，第1个点和后2个点各连1条，第2个点和第3个点连1条，总条数：（条）； 4个点时，第1个点和后3个点各连1条，第2个点和后2个点各连1条，第3个点和第4个点连1条，总条数：（条）； 5个点时，总条数：（条）； 6个点时，总条数：（条）。 考点2：圆的初步认识 【典型例题9】下图图中，线段（    ）是它的直径。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。 【详解】根据分析，线段AC是这个圆的直径。 故答案为：D 【点睛】关键是熟悉圆的特征，直径通常用字母d表示。 【练习9】如下图，下面说法正确的是(   )。 A．线段AC是这个圆的直径 B．线段AB是这个圆的半径 C．线段OD是这个圆的直径 D．OA＝OD 【答案】D 【解析】略 【典型例题10】如图，用这种方法测量圆的直径，依据是（    ）。 A．直径是圆内最长的线段 B．直径是半径的2倍 C．圆心确定圆的位置 D．圆的直径有无数条 【答案】A 【分析】图中是用直尺测量圆的直径，通过移动直尺，找到圆内最长的线段，以此确定直径。 【详解】A．直径是圆内最长的线段，所以通过找圆内最长的线段就能确定直径，符合测量方法的依据。 B．直径是半径的2倍，这一性质与这种测量直径的方法原理无关。 C．圆心确定圆的位置，和测量直径的方法没有直接联系。 D．圆的直径有无数条，这一特点不是该测量方法的依据。 这种方法测量圆的直径，依据是直径是圆内最长的线段。 故答案为：A 【练习10】“井盖是圆的”“自行车车轮是圆形”，能用来解释这些现象的说法是（    ）。 A．圆上各点到圆心的距离都相等 B．圆心决定圆的位置 C．半径决定圆的大小 D．每个圆只有一个圆心 【答案】A 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；半径决定圆的大小，在同一个圆内有无数条半径，同一个圆内所有的半径都相等。据此解答。 【详解】井盖平面轮廓采用圆形是运用了圆的特征中同一个圆内所有半径都相等。这一特性保证了圆形井盖的中心到边缘的距离处处相等，使得井盖在任何方向上的宽度一致，从而无法掉入井中。为了保持车辆的平稳行驶，自行车车轮的平面轮廓都做成圆形，车轴装在圆心上，这是应用了圆特征中的圆心到圆上任意一点的距离都相等。 因此，能用来解释这些现象的说法是：圆上各点到圆心的距离都相等。 【典型例题11】判断：一条线段在圆内，且其两端都在圆上，这条线段是直径。( ) 【答案】× 【分析】直径的定义为：两端都在圆上，且经过圆心的线段。据此判断。 【详解】题目中的线段仅满足两端在圆上，未说明经过圆心，不一定是直径。 故答案为：× 【练习11】下面关于圆的说法中，正确的是（    ）。 A．两端都在圆上的线段叫做直径 B．直径是圆内最长的线段 C．在同一个圆中，所有直径的长度都不相等 D．圆的位置由半径决定 【答案】B 【分析】在一个平面内，围绕一个固定点（即圆心），以定长（即半径）为距离旋转一周所形成的封闭曲线就叫做圆，过圆心且两端在圆上的线段是圆的直径。 【详解】A．直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，仅两端在圆上的线段不一定是直径，该说法错误。 B．直径是圆内最长的线段，该说法正确。 C．同一个圆中，所有直径的长度都相等，直径不相等的说法错误。 D．圆的位置由圆心决定，半径决定圆的大小，位置由半径决定的说法错误。 【典型例题12】根据同一圆内半径和直径的关系填表。 r 1.4cm 5m 3.2cm d 17dm 24dm 36m 【答案】 r 1.4cm 8.5dm 5m 12dm 3.2cm 18m d 2.8cm 17dm 10m 24dm 6.4cm 36m 【分析】已知圆的半径r，根据d＝2r，求出圆的直径d；已知圆的直径d，根据r＝d÷2，求出圆的半径r，据此填空。 【详解】第一行半径： 17÷2＝8.5（dm） 24÷2＝12（dm） 36÷2＝18（m） 第二行直径： 1.4×2＝2.8（cm） 5×2＝10（m） 3.2×2＝6.4（cm） 【练习12】一张圆形卡纸，沿任意一条直径对折后两边完全重合。现在在圆内画一条最长的线段长22厘米，在这个圆内任意画一条半径，长度是多少？如果在这个圆里画无数条这样的最长线段，它们的长度都相等吗？请说明理由。 【答案】11厘米；无数条最长线段（直径）长度全部相等，理由：在同一个圆内，所有直径长度都相等，直径是圆内两端在圆上的最长线段。 【分析】直径是圆内两端在圆上的最长线段，同一个圆内，所有直径长度都相等。据此确定圆的直径是22厘米，再根据半径＝直径÷2，并说明理由。 【详解】直径是圆内两端在圆上的最长线段，在同一个圆内，所有直径长度都相等。 因此直径为22厘米，则半径为：22÷2＝11（厘米） 答：半径的长度是11厘米；无数条最长线段（直径）长度全部相等，理由：在同一个圆内，所有直径长度都相等，直径是圆内两端在圆上的最长线段。 【典型例题13】填一填。 圆的直径是( )厘米，        大圆的直径是( )厘米， 正方形的边长是( )厘米。    小圆的直径是( )厘米。 【答案】 16 3 16 2 【分析】观察可知，第一个图形中圆的半径是厘米，根据直径等于半径，得出圆的直径（厘米），并且圆的直径等于正方形的边长； 第二个图形长方形的宽等于大圆的直径，即厘米，长方形的长等于大圆的直径加小圆的直径，小圆的直径为（厘米） 【详解】圆的直径是厘米， 大圆的直径是厘米， 正方形的边长是厘米。 小圆的直径是厘米。 【练习13】看图，在（    ）里填合适的数。 圆的半径是( )m。          大圆的半径是( )cm。 长方形的宽是( )m。        小圆的直径是( )cm。 【答案】 5 3 10 3 【分析】长方形长20m，里面并排放了2个完全一样的圆，长刚好等于2条圆的直径之和，所以1个圆的半径＝长方形的长÷4；长方形的宽＝一个圆的直径＝长方形的长÷2； 由图可知，大圆的直径等于长方形的宽，所以大圆半径＝长方形的宽÷2；长方形的长－大圆直径＝小圆直径。 【详解】左图： 半径：20÷4＝5（m） 长方形宽：20÷2＝10（m） 右图： 大圆半径：6÷2＝3（cm） 小圆直径：9－6＝3（cm） 【典型例题14】一张圆形贴纸直径16分米，若把半径扩大到原来的2倍，新圆的直径是多少分米？ 【答案】32分米 【分析】先根据半径＝直径÷2，求出原半径，再根据求一个数的几倍是多少用乘法，求出新的半径，最后根据直径＝半径×2求出新的直径。 【详解】原半径：（分米） 新半径：（分米） 新直径：（分米） 答：新圆的直径是32分米。 【练习14】有两个圆形垫片，小圆半径3厘米，大圆半径是小圆的3倍，大圆的直径比小圆直径长多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】先根据求一个数的几倍用乘法，求出大圆的半径，再根据直径＝半径×2，分别求出小圆和大圆的直径，再用大圆的直径减去小圆的直径即可求出两者的长度差。 【详解】小圆直径：（厘米） 大圆半径：（厘米） 大圆直径：（厘米） 长度差：（厘米） 答：大圆的直径比小圆直径长12厘米。 【典型例题15】在一个长3厘米、宽2厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径长（    ）厘米。 A．1 B．2 C．3 D．1.5 【答案】D 【分析】在长方形中画最大的半圆，优先以长边为半圆的直径，再利用求出半圆的半径，并比较半径与长方形宽的大小，当半径小于或等于长方形的宽时，就可以确定以长为直径的半圆是长方形中最大的半圆。当半径大于长方形的宽时，则不能以长边为半圆的直径，此时半圆的直径为长方形的宽。 【详解】以长方形的长3厘米作为半圆的直径，此时半径为： （厘米） ，即半径小于长方形的宽。 所以，半圆的半径长是1.5厘米。 【练习15】在一个长8cm，宽6cm的长方形里，画一个最大的圆，圆的直径是( )cm。 【答案】 【分析】在长方形里画最大的圆时，圆的直径不能超过长方形的长和宽，不然圆就会超出长方形的边界。这个长方形的长是8cm、宽是6cm，较短的边是6cm，所以这个最大圆的直径只能等于长方形的宽。 【详解】在一个长8cm，宽6cm的长方形里，画一个最大的圆，圆的直径是6cm。 【典型例题16】用一张长16厘米、宽9厘米的长方形纸板剪一些半径为2厘米的圆（不能拼接），最多能剪出（    ）个。 A．11 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】剪半径2厘米的圆时，每个圆至少要占用边长等于圆直径的正方形，分别算出长方形长、宽方向最多能放的正方形数量，相乘就是最多能剪出的圆的数量。 【详解】圆的直径：（厘米） 沿长的方向可剪数量：（个） 沿宽的方向可剪数量：（个）（厘米），剩余长度不足剪1个圆，取整数2 总数量：（个） 【练习16】在一张长6分米、宽4分米的长方形纸片上剪若干个半径为1分米的圆，最多可以剪( )个这种圆。 【答案】6 【分析】首先根据圆的半径计算圆的直径，因为圆不能重叠且要在长方形内，所以每个圆所占的最小区域可等效为边长等于直径的正方形。 分别计算长方形的长和宽方向上最多能容纳的上述正方形的个数，用长除以直径取整数部分得到长方向的数量，用宽除以直径取整数部分得到宽方向的数量。 将长和宽方向的容纳数量相乘，得到可剪的圆的总数量。 【详解】直径：1×2＝2（分米） 长方向上：6÷2＝3（个） 宽方向上：4÷2＝2（个） 3×2＝6（个） 【典型例题17】圆有（    ）条对称轴。 A．1条 B．4条 C．无数条 【答案】C 【分析】轴对称图形沿对称轴对折后两侧可完全重合，圆沿任意一条过圆心的直线对折都能完全重合，过圆心的直线有无数条。 【详解】圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条直径，因此圆有无数条对称轴。 【练习17】要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆有无数条对称轴，所有对称轴都经过圆心。想要大小两个圆组成的图形拥有无数条对称轴，必须让两个圆圆心重合（同心圆）。 【详解】A．圆心不重合，只有1条对称轴； B．圆心不重合，只有1条对称轴； C．圆心不重合，只有1条对称轴； D．大小圆共用同一个圆心（同心圆），有无数条对称轴。 【典型例题18】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】 【分析】如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分能够完全重合，则这样的图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；根据圆的特征可知：圆的直径所在的直线是圆的对称轴，据此作图。 【详解】略 【练习18】画出下面图形的对称轴。（各画出一条即可） 【答案】 【分析】解答这道题需明确：一个图形沿着一条直线对折后两侧的图形能完全重合，这样的图形叫轴对称图形，折痕所在的直线就是它的对称轴。第一个图形：该图形是正方形与圆的组合图形，所以这个图有4条对称轴。可以选择正方形的竖直中线（过圆心）作为对称轴，沿此直线对折，图形左右两部分会完全重合。第二个图形：该图形由1个大圆和2个等大的小圆组成，所以这个图只有1条对称轴。因此选择过大圆的圆心且经过两个小圆交点连线的直线作为对称轴。第三个图形：该图形是正方形内有两个上下相对的半圆，所以这个图有2条对称轴。可以选择正方形的竖直中线作为对称轴。 【详解】图略（第一幅图和第三幅图答案不唯一） 【典型例题19】判断：圆是轴对称图形，它的对称轴是直径。( ) 【答案】× 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握轴对称图形的意义及特征，注意对称轴是一条直线，直径是一条线段。 【练习19】判断：圆的所有对称轴都是经过它的圆心的一条直线。( ) 【答案】√ 【分析】对称轴的定义是，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆的对称轴是直径所在的直线，而所有直径都经过圆心，因此每条对称轴都必然经过圆心。 【详解】圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线。由于直径的两个端点都在圆上，且直径必定经过圆心，因此每条对称轴都经过圆心。题目中的描述正确。 故答案为√。 【典型例题20】用圆规画直径10cm的圆，圆规两脚之间的距离要调整为( )cm；若圆规两脚间距4.5m，画出圆的直径是( )m。 【答案】 5 9 【分析】圆规两脚之间的距离等于所画圆的半径。圆的半径＝直径÷2，圆的直径＝半径×2。 【详解】半径：10÷2＝5（cm） 直径：4.5×2＝9（m） 【练习20】如图所示，用圆规在一张正方形纸上画两个同样大小的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【答案】2 【分析】圆规两脚间的距离就是所画圆的半径。观察图形，半圆的直径等于正方形的边长，用直径÷2求出半径。 【详解】正方形边长是4cm，也就是半圆的直径为4cm。 半径：4÷2＝2（cm） 所以圆规两脚间的距离是2cm。 【典型例题21】按要求画圆，并标出圆心、半径和直径。（每个方格的边长表示0.5cm） (1)画一个半径是1.5cm的圆。 (2)画一个直径是2cm的圆。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方格边长0.5cm，1.5÷0.5＝3格。在网格任选一点作为圆心，圆规两脚张开3格，绕圆心画圆，最后标出圆心、半径与直径。 （2）由直径求半径，2÷2＝1cm，再换算方格数1÷0.5＝2格。在网格任选一点作为圆心，圆规两脚张开2格，绕圆心画圆，最后标出圆心、半径与直径。 【详解】（1）1.5÷0.5＝3（格） 图略 （2）2÷2÷0.5 ＝1÷0.5 ＝2（格） 图略 【练习21】在下面正方形里画一个最大的圆，保留找圆心的痕迹，并标出圆心O和半径r。 【答案】 【分析】根据题意，要在正方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先连接正方形的两条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心，然后以正方形边长的一半作为圆的半径，据此画出这个正方形内最大的圆，并标出圆心O和半径r。 【详解】作图略 【典型例题22】将下面的图案画出来。 【答案】 【分析】（1）先画外圆：先找到方格中心点，以这个点为圆心，画一个大圆（圆刚好占4格直径，横向、纵向左右各2格）； （2）画4个半圆（花瓣）； 以大圆水平直径的左端点为圆心，大圆半径为半径，在大圆内部画向右的半圆； 以大圆水平直径的右端点为圆心，大圆半径为半径，在大圆内部画向左的半圆； 以大圆竖直直径的上端点为圆心，大圆半径为半径，在大圆内画向下的半圆； 以大圆竖直直径的下端点为圆心，大圆半径为半径，在大圆内画向上的半圆； （3）描出花瓣轮廓；4个半圆相交，重叠部分就是4片花瓣，把花瓣线条描粗，多余辅助线可以擦掉。 【详解】图略 【练习22】先观察左边的图案，再在右边的方格里把它画出来。 【答案】 【分析】先确定左侧图案所在方格的边长，以及网格的行列数，确认左右两侧方格网格规格一致，明确绘图的范围基准。 分析左侧图案的构成：判断每条弧的圆心位置、半径长度，识别出图案是由四个半圆交叉组合而成，明确每个半圆的起止端点和所在位置。 先在右侧方格中标记出对应左侧图案的关键节点，包括大正方形的四个顶点、网格中心，再以对应节点为圆心，按相同半径依次画出四个半圆，组合成目标图案。 【详解】略 考点3：角的认识与测量 【典型例题23】从一点引出两条( )所组成的图形叫做角；角的大小与两条边张开的( )有关。 【答案】 射线 大小 【分析】根据角的定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，以及角的特点，据此解答即可。 【详解】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角；角的大小与两条边张开的大小有关。 【练习23】角的大小与角两边的_____无关，与角的_____有关． 【答案】 长短 两边叉开的大小 【详解】根据角的含义“由一点引出的两条射线所围成的图形，叫做角”可知：角的大小跟边的长短无关，跟两边叉开的大小有关。 【典型例题24】用符号表示下面的角，再标出角各部分的名称。 上面的角表示为（    ）。从一点引出两条射线所组成的图形叫做（    ）。 【答案】边；顶点；边；∠1；角 【详解】略 【练习24】读、写下面各角。 记作：_____       记作：_____            记作：_____ 读作：_____       读作：_____            读作：_____ 【答案】 ∠1 ∠ABC ∠D 角1 角ABC 角D 【分析】根据角的概念：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”来表示，读作：角。角的表示方式有三种：1、以角内的数字表示角；2、将线上点的按照顺序表示角；3、以角的顶点表示角。 【详解】 【典型例题25】判断：用3倍的放大镜看30°的角时，这个角的度数是( )°。 【答案】 【分析】角的大小只与两条边张开的大小有关，与边的长短无关。放大镜只能把物体的图形放大，不能改变角的度数，据此解答。 【详解】根据分析可得：放大镜只会放大角的边的视觉长度，不会改变两条边的张开幅度，角的度数不变，所以这个角的度数是30°。 【练习25】判断：一个12°的角放在10倍的放大镜下看，角的度数就是120°。( ) 【答案】× 【分析】角的大小只和两边张开的大小有关，和边的长短无关，放大镜看角只会放大边的长度，不会改变角两边张开的大小，角的度数不变。 【详解】用10倍放大镜观察的角时，角两边的张开程度没有变化，所以角的度数仍是，题目说法错误。 故答案为×。 【典型例题26】一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。1周角＝（    ）个直角。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】1周角＝360°，1直角＝90°。90°乘几等于360°，即是1周角等于几个直角。 【详解】90°×4＝360° 所以1周角＝4个直角。 【练习26】把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个一定是( )角；周角是( )度，等于( )个直角。 【答案】 钝 360 4 【分析】先明确平角的度数，以及锐角的度数范围，因为平角度数减去锐角度数得到另一个角的度数，所以可根据该度数对应角的分类判断角的类型。 回忆周角的定义，直接对应周角的固定度数即可。 先明确直角的度数，因为求周角等于多少个直角，就是求周角度数里包含多少个直角度数。 【详解】平角是180°，锐角是小于90°的角。把180°减去一个小于90°的角，得到的结果一定大于90°、同时小于180°，符合钝角的定义，所以另一个角一定是钝角。 周角的规定度数就是360°，直角是90°，计算90°×4＝360°，所以1个周角等于4个直角。 【典型例题27】若∠1比直角大40°，则∠1＝____________°；若∠2比平角小63°，则∠2＝____________°。 【答案】 130 117 【分析】直角是90°，用90°加40°求出∠1；平角是180°，用180°减63°求出∠2。 【详解】∠1：40°＋90°＝130° ∠2：180°－63°＝117° 【练习27】计算下面角的度数。 (1)一个直角与一个30°的锐角组成的角是多少度？是什么角？ (2)一个平角减去一个75°的角，剩下的角是多少度？是什么角？ 【答案】(1)120°；钝角 (2)105°；钝角 【分析】（1）直角是90°，把90°和30°相加，求出角度，再根据角的分类判断是什么角。 （2）平角是180°，用180°减去75°，求出剩下角的度数，再判断角的类型。 【详解】（1）90°＋30°＝120° 大于90°小于180°的角是钝角。 （2）180°－75°＝105° 大于90°小于180°的角是钝角。 【典型例题28】下午3时整，钟面上时针和分针所组成的较小角是( )角，度数是( )°；再过3小时，钟面上时针和分针所组成的角是( )角，度数是( )°。 【答案】 直 平 【分析】钟面为周角共360°，被平均分为12个大格，每个大格对应的角度为360°÷12，计算3时整时针和分针的间隔大格数，用间隔数乘每个大格的度数得到夹角度数，再根据角的分类判断角的类型。先计算再过3小时后的时刻，再确定该时刻时针和分针的间隔大格数，同样用间隔数乘每个大格的度数得到夹角度数，再判断对应角的类型。 【详解】钟面一圈是360°，平均分成12个大格，每个大格的度数是360°÷12＝30°。 下午3时整，时针指向3，分针指向12，两者之间隔了3个大格，3×30°＝90°，90°的角是直角。 再过3小时是下午6时整，时针指向6，分针指向12，两者之间隔了6个大格，6×30°＝180°，180°的角是平角。 【练习28】( )时整时，钟面上的时针和分针所形成的较小夹角是直角；( )时整时，钟面上的时针和分针所形成的夹角是平角。 【答案】 / 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3时或9时整，分针指向12，时针指向3或9，较小角占3大格，利用乘法即可计算出角的度数，再根据角的分类判断是什么角；等于180°的角叫平角，时针和分针成平角时，时针和分针在一条线上，分针指向12，当时针指向6时，夹角是180°；据此解答即可。 【详解】360°÷12＝30° 30°×3＝90° 30°×6＝180° 或时整时，钟面上的时针和分针所形成的较小夹角是直角；6时整时，钟面上的时针和分针所形成的夹角是平角。 【典型例题29】下午2：30开始考试，60分钟结束，这段时间钟面上的分针转动多少度？时针转动了多少度？ 【答案】分针转动360度；时针转动了30度 【分析】分针走一圈是60分钟，时针走1小时是一大格，一圈是一个圆周，周角是360度，钟面上有12个大格，每个大格是30度，据此解答。 【详解】根据分析可得：60分钟正好是分针走一圈即360度，时针走一大格，一大格是30度； 答：这段时间钟面上的分针转动360度，时针转动了30度。 【练习29】从中午12：00到下午3：00，时针绕中心点顺时针方向旋转多少度？从下午3：00到下午3：25，分针绕中心点顺时针方向旋转多少度？ 【答案】90°；150° 【分析】钟表的周角为360°，钟表共分为12个大格，用360°除以12求出每大格的度数；从12：00到3：00，时针从12指向3，走过3大格，用每大格的度数乘3即可得到旋转角度；从3：00到3：25，分针从12指向5，走过5大格，用每大格的度数乘5即可得到旋转角度。 【详解】360°÷12＝30° 30°×3＝90° 30°×5＝150° 答：从中午12：00到下午3：00，时针绕中心点顺时针方向旋转90°；从下午3：00到下午3：25，分针绕中心点顺时针方向旋转150°。 【典型例题30】给下面的角分类，把序号填在方框里。 锐角   直角   钝角   平角    周角 【答案】 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°且小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，周角是360°，据此分类。 【详解】根据分析可知，锐角有②⑤，直角有③⑧，钝角有①⑥，平角有④，周角有⑦。 【练习30】下面的角分别是什么角？分一分，填一填。 15°、101°、130°、99°、89°、180°、90°、360°、60° 直角( ) 锐角( ) 钝角( ) 平角( ) 周角( ) 【答案】 、、 、、 【分析】根据锐角、钝角、直角、平角的含义：大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°小于180°的角叫做钝角；等于180°的角是平角，等于360°的角是周角；据此解答即可． 【详解】直角：90°； 0°＜15°＜90°，0°＜60°＜90°，0°＜89°＜90°，所以锐角有：15°、60°、89°； 90°＜99°＜180°，90°＜101°＜180°，90°＜130°＜180°，所以钝角有：99°、101°、130°； 平角：180°； 周角：360°。 【典型例题31】下图中，锐角、钝角、平角、直角的个数分别为（    ）。 A．6，3，1，4 B．4，2，1，3 C．4，2，1，2 【答案】B 【分析】 小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，等于90度的角是直角。有4个锐角，有2个钝角，有1个平角，有3个直角；据此解答。 【详解】下图中，锐角、钝角、平角、直角的个数分别为4，2，1，3。 故答案为：B 【练习31】数一数，填一填。 ( )个锐角    ( )个直角    ( )个钝角    ( )个平角 【答案】 13 2 5 1 【分析】锐角：两边张开程度最小，小于90°。直角：两边垂直，张开程度固定为90°。钝角：两边张开程度最大，大于90°小于180°。平角等于180°，也就是成平角时，平角的顶点及两条边在一条直线上。 【详解】锐角：单独的1个角是锐角的有6个，如图；2个相邻小角组合出锐角的有5个，如图；3个相邻小角组合出锐角的有2个，如图；所以锐角一共有6＋5＋2＝13（个）； 直角：中间的竖线垂直于底部的水平线，左右各组合出1个90°的直角，如图，一共2个。 钝角：4个相邻角组合出钝角的有3个，如图；5个相邻角组合出钝角的有2个，如图；所以钝角一共有3＋2＝5（个）； 平角：底部整条水平线上以公共顶点为端点的左右两条射线，刚好组成1个180°的平角，所以是1个。 【典型例题32】把圆平均分成360份，其中1份所对的角是( )度，记作( )；半圆被平均分成( )份做成量角器。 【答案】 1 1° 180 【分析】整圆对应的周角是360度，把周角平均分成360份，每1份角对应1度，记录度数时可以在数字右上角标注小圆圈，1度可以记作1°；半圆对应的度数为180度，量角器上面相邻的两个刻度之间是1度，因此是由半圆平均分成180份得到的。 【详解】由分析可得：把圆平均分成360份，其中1份所对的角是1度，记作1°；半圆被平均分成180份做成量角器。 【练习32】量角时，量角器的中心要与角的____重合，0°刻度线要与角的一条边重合。 【答案】顶点 【分析】用量角器量角时，量角器的中心要和角的顶点重合，0刻度线要和角的一边重合，另一边所指的刻度就是角的大小。 【详解】根据用量角器量角的方法可知：量角时，量角器的中心要与角的顶点重合，0°刻度线要与角的一条边重合。 【典型例题33】量出下面各角的度数，并标明它们各是什么角。                ( )度 ( )度 ( )度 ( )角 ( )角 ( )角 【答案】 90 60 130 直 锐 钝 【分析】度量方法：量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0°刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线是几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。 根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。锐角是指大于0°小于90°的角，等于90°的角是直角，大于90°小于180度的角是钝角，180°的角是平角，360°的角是周角。据此判断。 【详解】 （90）度  （60）度   （130）度 （直）角  （锐）角   （钝）角 （以实际测量为准） 【练习33】量一量下面的角各是多少度。 ∠1＝_____________；∠2＝____________；∠3＝_____________；∠4＝____________。 【答案】 135°/135度 45°/45度 120°/120度 35°/35度 【分析】量角器的中心和角的顶点对齐；量角器的0刻度线和角的一条边对齐；看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度；看刻度要分清内外圈。 【详解】 通过测量可知：∠1＝135°；∠2＝45°。 通过测量可知：∠3＝120°；∠4＝35° 【典型例题34】科学的看书角度是：视线与书本要大约保持的倾斜。 请你量出下图中奇奇的看书角度。 奇奇( ) 【答案】80° 【分析】量角的步骤是：先找到奇奇的视线方向、书本平面这两条边的交点，把量角器的中心和这个交点对齐；让量角器的0刻度线和书本的平面边重合，视线对应的量角器刻度就是这个看书的倾斜角度，这个角的度数，据此量出奇奇的看书角度即可。 【详解】 奇奇80° 【练习34】实践园地。 月月在荡秋千，下面是她荡秋千时，秋千绳与水平线的夹角情况。 (1)量一量图中秋千绳与水平线夹角的度数，填一填。 ∠1＝( )° ∠2＝( )° ∠3＝( )° (2)为保证安全，一般限制秋千绳摆动时与水平线的夹角在45°与135°之间，在图中分别画出秋千绳与水平线夹角最小和最大时的位置。 【答案】(1) 60 80 110 (2) 【分析】（1）测量角的度数：将量角器中心与角的顶点重合，量角器0刻度线与水平线重合，读取秋千绳对应的刻度得到∠1、∠2、∠3的度数。 （2）首先确定最小夹角是45°，最大夹角是135°，因为要以水平线的端点为顶点，水平线为角的一条边，所以分别画出45°和135°的角，另一条边长度和已有秋千绳长度相等，即为对应秋千绳位置。 【详解】（1）∠1＝60°，∠2＝80°，∠3＝110°（以实际测量为准） （2）最小夹角是45°，最大夹角是135°。 图略 【典型例题35】如图，这个角的度数是（ ）。 A．140° B．150° C．170° D．30° 【答案】A 【分析】先确定量角器的零刻度线位置，判断角的其中一条边对齐的是内圈刻度还是外圈刻度的0°线。 再找到角的另一条边对应的同圈刻度数值。 因为角的度数为两条边对应同圈刻度的差值，所以用大的刻度减去小的刻度得到角度。 【详解】从图中可知，这个角的一条边对齐外圈的刻度10，另一条边对齐外圈的刻度150，这个角的度数是：150°－10°＝140°。 【练习35】如图，小何利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】这个破损量角器没有对齐0刻度线，不需要找0刻度，只需要读出角的两条边对应的同一圈刻度的数值，用大刻度减去小刻度，得到的差值就是这个角的度数。 【详解】观察量角器的刻度：角的左侧边对准的刻度，外圈对应数值为65°，角的右侧边对准的同圈刻度数值为110°。 计算角度差：。 对各选项，应选D。 【典型例题36】红红用量角器量一个角的度数、误把外圈刻度认为是内圈刻度，读出一个135°的角，那么这个角的正确度数是( )°。 【答案】 【分析】量角器同一刻度线，内圈度数和外圈度数相加是180°。看错内外圈，就用180°减去读错的度数，得到真实角度。 【详解】正确度数：180°−135°＝45° 【练习36】亮亮用量角器量角时犯了两个错误，你能读出正确的度数吗？ (1)第一个角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样读出的度数是80°，实际这个角的度数应该为( )。 (2)第二个角的一条边和内圈的0°刻度线重合了，读数时亮亮又读成了外圈的刻度，读出的是65°，实际这个角的度数应该为( )。 【答案】(1)70° (2)115° 【分析】（1）用量角器量角时，如果角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与某一刻度线对齐，那么角的度数等于另一条边所指的刻度减去起始边所指的刻度。 （2）量角器上同一位置的内圈刻度与外圈刻度之和是180°，如果起始边与内圈0°刻度线重合，应读内圈刻度，若误读外圈刻度，实际度数等于180°减去读出的外圈刻度。 【详解】（1）80°－10°＝70° （2）180°－65°＝115° 【典型例题37】用一副三角尺可以拼成的角是（    ）°。 A．100 B．105 C．110 D．55 【答案】B 【分析】一副三角尺上的角的度数有30°、45°、60°、90°，这些角都是15°的整数倍，所以这些角的和、差也是15°的整数倍，所以用一副三角尺拼出的角的度数一定是15°的整数倍，据此即可解答。 【详解】100°、110°、55°不是15°的倍数，不能用一副三角尺拼成，105°是15°的整倍数，可以用一副三角板拼成。 故答案选：B 【点睛】熟练掌握三角尺上角的特点是解答本题的关键。 【练习37】用一副三角尺不能拼出的角是（ ）。 A． 180° B． 135° C． 100° D． 75° 【答案】C 【分析】一副三角尺的角分别为、、和、、，将角相加拼组即可判断能否得到对应角度。 【详解】A．，能拼出。 B．，能拼出。 C．任意两个角相加都无法得到，不能拼出。 D．，能拼出。 【典型例题38】下面用一副三角尺拼成的角中，度数是105°的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一副三角尺的所有角度：分别是30°、60°、90°，和45°、45°、90°。逐个计算每个选项拼成的角即可。 【详解】A．90°＋45°＝135°，不符合题意； B．60°＋45°＝105°，符合题意； C．30°＋45°＝75°，不符合题意； D．30°＋90°＝120°，不符合题意。 【练习38】下图是用三角尺拼出的一些图形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 (2)1周角＝( )平角＝( )直角。 【答案】(1) 180 75 150 (2) 2 4 【分析】三角尺角度分别是：等腰直角三角尺的角度为90°、45°、45°，细长三角尺的角度为90°、60°、30°。 （1）∠1是由两个三角尺的90°角拼成；∠2是由30°角和45°角拼成的；∠3是由60°角和90°角拼成的。 （2）根据角的定义：1周角是360°，1平角是180°，1直角是90°，计算可得360°里有2个180°，有4个90°，所以1周角＝2平角＝4直角。 【详解】（1）90°＋90°＝180° 30°＋45°＝75° 90°＋60°＝150° ∠1＝180°，∠2＝75°，∠3＝150°。 （2）1周角＝2平角＝4直角。 【典型例题39】如何用量角器画一个75°的角？ ①画一条射线，使量角器的( )和射线的( )重 合，0°刻度线和射线重合。 ②在量角器上与①中0°刻度线相对应的圈上75°的地方点一个点。 ③以画出的射线的端点为( )，通过刚画的点，再画一条( )，就得到了一个75°的角。 【答案】 中心 端点 端点 射线 【分析】画角的步骤： 1.画一条射线：作为角的一条边，确定角的顶点（射线的端点）。 2.对准量角器：将量角器的中心点与射线的端点（顶点）重合，量角器的零刻度线与射线重合。 3.找到对应刻度点：在量角器上找到要画的角的度数对应的刻度线，在该刻度线的位置点一个点。 4.连接顶点与点：以射线的端点为起点，通过刚才点的点，再画一条射线，这条射线就是角的另一条边。 5.标注角的符号和度数：在画出的角内标上角的符号 “∠”，并写上对应的度数。 【详解】由分析可知， ①画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重 合，0°刻度线和射线重合。 ②在量角器上与①中0°刻度线相对应的圈上75°的地方点一个点。 ③以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了一个75°的角。 【练习39】用量角器画一个60°的角，下面画法正确的是（    ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。找准内外圈，在量角器60°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出60°的角。 【详解】①角的一条边没有和0刻度线对齐。画法不正确。 ②量角器的中心点和角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合。在60°地方点一个点画另一条边，画法正确。 ③量角器的中心点和角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合。在60°地方点一个点画另一条边，画法正确。 ④量角器的中心点和角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合。0刻度线在内圈，却读了外圈的60°刻度，实际画出的是120°的角，画法不正确。 所以画法正确的是②③。 【典型例题40】分别以下面的射线为角的一条边、用量角器画出一个40°和一个100°的角。 【答案】 【分析】先把量角器的中心点，和题目给出射线的端点完全对齐，再把量角器的零刻度线，和这条已知的射线重合，画40°角时，顺着和射线重合的零刻度对应的刻度圈，找到标着40°的刻度位置，在这个点上轻轻点一个小点，最后从原来射线的端点出发，经过刚点的小点画出一条新射线，这两条射线组成的就是40°的角，最后在角上标上40°； 画100°角时，重复第一步的对齐操作，找到对应刻度圈上100°的位置点上小点，同样从射线端点出发经过小点画新射线，就得到100°的角，标上100°，据此画图。 【详解】图形略 【练习40】用你喜欢的方式画出各角，并标出角度。 (1)画一个比直角小55°的角。 (2)画一个比平角小30°的角。 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）直角是90°，比直角小55°，90°－55°＝35°； （2）平角是180°，比平角小30°，180°－30°＝150°； 画图步骤：画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；在量角器35°或150°刻度线的地方点一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；标上角的符号和度数。 【详解】（1）略 （2）略 【典型例题41】下面是4位同学画的75°角，画法正确的是（ ）。 A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；如果角的一边没有与量角器的0°刻度线重合，但角的顶点与量角器的中心点重合，用量角器外（内）圈与角重合的大的刻度减去量角器外（内）圈与角重合的小的刻度即可求出角的度数；一副三角尺上的角有45°、45°、90°、60°、30°、90°，用这些角相加减所能得到的相应度数的角，就能用一副三角尺画出来。 【详解】①45°＋30°＝75°，画的是75°的角，画法正确。 ②0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度是75°，画的是75°的角，画法正确； ③画的是105°的角，画法不正确； ④90°－15°＝75°，画的是75°的角，画法正确； 综上所述，画法正确的是①②④。 【练习41】 (1)在这个破损的量角器上画一个比直角小的角。并标上度数。 (2)这个破损的量角器能量出的最大的角是( )。 (3)用这个破损的量角器能画出的角吗？画一画，并标出相应角的度数。 【答案】(1)（画法不唯一） (2)80 (3)（画法不唯一） 【分析】（1）直角为90°，比直角小35°的角的度数为90°－35°＝55°。选择外圈50°刻度线作为基准，先画一条射线，将射线与量角器50°刻度线重合，量角器中心点与射线端点重合，找到外圈105°（50°＋55°）对应的刻度线标记，连接射线端点与标记点即可得到55°角。 （2）破损量角器上最大刻度为120°，最小刻度为40°，最大角等于最大刻度减去最小刻度； （3）55°＋50°＝105°，能画出105°的角，按照（1）画出55°的角，将55°角的一边与50°角的一边重合并与量角器外圈55°刻度线对齐，50°角的另一边在（55＋50）°刻度对应的线上。 【详解】（1）90°－35°＝55° 画图如下： （画法不唯一） （2）120°－40°＝80° 所以这个破损的量角器能量出的最大的角是80。 （3）用这个破损的量角器能画出的角，画图如下： （画法不唯一） 【典型例题42】求如图各角的度数。 (1)已知∠1＝30°，则∠2＝____° (2)已知∠1＝50°，则∠2＝____°，∠3＝____°，∠4＝____°。 【答案】(1)60 (2) 130 50 130 【分析】（1）直角是90°，观察图中信息可知，∠1和∠2组成一个直角，用90°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数； （2）平角是180°，观察图中信息可知，∠1和∠2组成一个平角，用180°减去∠1的度数，即可求出∠2的度数；∠3和∠2组成一个平角，用180°减去∠2的度数，即可求出∠3的度数；∠1和∠4组成一个平角，用180°减去∠1的度数，即可求出∠4的度数。 【详解】（1）∠2＝90°－∠1 ＝60° 则：∠2＝60° （2）∠2＝180°－∠1 ＝180°－50° ＝130° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－130° ＝50° ∠4＝180°－∠1 ＝180°－50° ＝130° 所以，∠2＝130°，∠3＝50°，∠4＝130°。 【练习42】如图所示，打台球时，球撞向桌边会向另一个方向弹走。 (1)已知∠1＝35°，∠2＝110°，则∠3＝___________ °。 (2)王叔叔通过多次测量发现，球撞向桌边形成角的度数和球弹走时与桌边形成角的度数相等，这一发现与（1）题的计算结果___________ （填“相符”或“不相符”）。 (3)根据（1）（2）题的结论，画出下面球从桌边弹走的角度和路线。 【答案】(1)35 (2)相符 (3) 【分析】（1）∠1、∠2、∠3拼成一个平角，平角是180°。 （2）题目说撞向桌边的角和弹走的角大小相等，我们用第（1）题算出的角对比验证。 （3）在同一条桌边直线上，撞向桌边的角和弹走时与桌边形成的角度数相等，以桌边这条直线为边，入射一侧是70°，反弹另一侧也画出70°的角。 【详解】（1）∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＝ 180°－35°－110°＝35°。 （2）算出∠1＝35°，∠3＝35°，∠1＝∠3，和这个发现相符。 所以球撞向桌边形成角的度数和球弹走时与桌边形成角的度数相等，这一发现与（1）题的计算结果相符。 （3）略 【典型例题43】如图，已知，求，和的度数。 【答案】145°；35°；55° 【分析】（1）∠1、∠4和直角组成平角，直角等于90°，用平角180°减去直角90°，再减去∠1的度数即可求出∠4的度数； （2）∠3、∠4和直角组成平角，直角等于90°，用平角180°减去直角90°，再减去∠4的度数即可求出∠3的度数； （3）∠2和∠3组成平角，用平角180°减去∠3的度数即可求∠2的度数。 【详解】（1）∠4＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° （2）∠3＝180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° （3）∠2＝180°－35°＝145° 故∠2是145°，∠3是35°，∠4是55°。 【练习43】计算图中∠1和∠2的度数。 【答案】∠1＝146°；∠2＝56° 【分析】看图可知，∠1和图中的角形成平角，平角是，用减去即为∠1；∠2和的角形成直角，直角是，用减去即为∠2。 【详解】∠1：； ∠2：。 【典型例题44】手工课上，小飞将一张长方形纸按如图方式折叠，已知∠2＝66°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 48 66 【分析】看图可知，∠2是∠3的折叠角，由折叠的性质可知，折叠前后对应的角相等；∠1、∠2和∠3构成了平角，平角是180°，利用减法可以计算出∠1。 【详解】∠3：∠2是∠3的折叠角，由折叠的性质可知，折叠前后对应的角相等，所以∠3＝∠2＝66°； ∠1： 【练习44】下图是一张长方形纸折起来后得到的图形，其中∠1＝120°，∠2＝( )°。 【答案】30 【分析】平角是180°，一张长方形的纸折叠之后，∠1加上2个∠2刚好凑成这个180°的平角，因为折叠过来的部分和∠2是完全相等的重叠角。已知∠1是120°，先算180°－120°＝60°，这是2个∠2的总度数，再除以2，就能得到∠2的度数。 【详解】（180°－120°）÷2 ＝60°÷2 ＝30° ∠2＝30°。 【典型例题45】如图，把一副三角尺的直角顶点重合放在一起，则∠1与∠2的大小关系是（    ）。 A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【答案】B 【分析】三角尺的直角顶点重合，因此两个三角尺的直角均为90°。 找到∠1和中间公共角的和等于90°，∠2和该公共角的和也等于90°。 依据同角的余角相等的性质，即可判断∠1和∠2的大小关系。 【详解】把两个直角中间重叠的公共角记作∠3，可以得到： ∠1＋∠3 ＝ 90°，∠2＋∠3 ＝ 90°， 这说明∠1和∠2都等于90°减去同一个公共角∠3，所以∠1＝∠2。 【练习45】如图，一张长方形纸和一张正方形纸交叠在一起。已知∠1＝30°，求∠2的度数。 【答案】 ∠2的度数是 【分析】长方形和正方形的内角都是直角，度数为。两个直角有公共的重叠角，∠1和∠2都是直角减去公共重叠角得到的，因此二者度数相等。 【详解】设∠1和∠2之间的公共角为∠3。 长方形的内角是直角： 正方形的内角是直角： 因此 因为，所以 【典型例题46】把一个三角形的各个角撕下来拼在一起，拼成了一个( )角，是( )°。 【答案】 平 【分析】根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和都等于180°。将三角形的三个角撕下来拼在一起，形成的角的大小就是180°，而180°的角是平角。以此答题即可。 【详解】把一个三角形的各个角撕下来拼在一起，拼成了一个平角，是180°。 【练习46】判断：把三角形的三个角撕下来拼在一起，可以拼成一个周角。( ) 【答案】× 【分析】三角形内角和是180°，平角是180°，周角是360°，三角形三个角拼起来是180°，据此判断对错。 【详解】三角形内角和是180°，平角为180°，周角为360°，三个内角拼在一起拼成平角，不是周角，所以这句话错误。 故答案为：× 【典型例题47】计算下面各未知角的度数。 【答案】（1）101°；（2）51°；（3）85° 【分析】三角形的内角和是180°，用180°减去已知两个角的度数，就是未知角的度数。直角三角形里面有一个角是90°，用180°减去90°，再减去已知一个角的度数，就是未知角的度数。 【详解】（1）180°－43°－36° ＝137°－36° ＝101° （2）180°－90°－39° ＝90°－39° ＝51° （3）180°－70°－25° ＝110°－25° ＝85° 【练习47】皮影展柜的三块三角形玻璃破损了，都缺了一个角，请你分别算出缺的角的度数。 ( )°               ( )°               ( )° 【答案】 97 90 120 【分析】三角形内角和等于180°。据此用180°分别减去已知的两个内角度数，即可求出缺失角的度数；也可以用180°减去两个已知度数的和。 【详解】（1）180°－35°－48° ＝145°－48° ＝97° （2）180°－（65°＋25°） ＝180°－90° ＝90° （3）180°－（24°＋36°） ＝180°－60° ＝120° 【典型例题48】如图，已知∠3＝136°，∠4＝24°。计算∠1、∠2和∠5的度数。 【答案】；； 【分析】（）和组成平角，因为平角为，所以用减去的度数即可得到的度数。 （）因为、、所在的三角形内角和为，所以用减去和的度数和，即可得到的度数。 （）、和一个直角所在的三角形内角和为，所以用减去减去的度数，即可得到的度数。 【详解】： ： ： 【练习48】如图，在三角形中，∠1＝60°，∠2＝65°，求∠4的度数。 【答案】∠3＝180°－60°－65°＝55° ∠4＝180°－90°－55°＝35° 【分析】先根据平角为180°，结合已知的∠1和∠2的度数，求出∠3的度数。 因为图中存在直角，根据直角三角形两个锐角和为90°，用90°减去∠3的度数，得到∠4的度数。 【详解】略 【典型例题49】一个等腰三角形的一个角是52°，如果这个角是顶角，则这个三角形的底角是( )°，如果这个角是底角，则这个三角形的顶角是( )°。 【答案】 64 76 【分析】等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是180°；据此解答。 【详解】根据分析可得： 如果52°是顶角，那么底角的度数为： （180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 如果52°底角，那么顶角的度数为： 180°－52°－52° ＝128°－52° ＝76° 【练习49】一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个等腰三角形的底角是( )，顶角是( )。 【答案】 36° 108° 【分析】根据三角形三个内角的度数和是180°，等腰三角形两个底角度数相等，把一个底角看作1份，则顶角是1×3＝3（份），所以三个角的度数和就是1＋1＋3＝5（份），用180°除以总份数5，即得到每份数一个底角的度数，再乘3即得到顶角的度数。据此解答。 【详解】1×3＝3 1＋1＋3 ＝2＋3 ＝5 底角：180°÷5＝36° 顶角：36°×3＝108° 所以，这个等腰三角形的底角是36°，顶角是108°。 【典型例题50】枫枫家装修房子完工时剩下一块三角形木板，这块三角形木板的最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍。求这块木板每个角的度数。 【答案】30°；90°；60° 【分析】把最小角的度数看作1份，另外两个角分别是2份和3份，结合三角形内角和为，先求出1份的度数，再计算各角的度数。 【详解】 最小角： 答：这块木板三个角的度数依次是30°，90°，60°。 【练习50】安康是全国最大的天然富硒区，该地产出的富硒茶香高味浓、外形条索紧细，汤色嫩绿明亮。该地的张伯伯家有一块三角形的茶园，这个茶园中最大的角是96度，它是最小的角的3倍，这个三角形茶园另外两个角的度数是多少度？ 【答案】 32度和52度 【分析】已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法；先根据最大角与最小角的倍数关系求出最小角的度数，再利用三角形内角和为180度的性质求出第三个角的度数。 【详解】（度） （度） 答：这个三角形茶园另外两个角的度数是32度和52度。 【典型例题51】下面是四名同学研究四边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4－360°＝360° 一个周角＝360° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】三角形内角和是180°，四边形内角和等于360°，四边形转化成三角形后，要从所有三角形内角和中减去不是四边形内角和的部分。据此分析每个思考过程。 【详解】①把四边形分成2个三角形，2个三角形的内角组成四边形的4个内角，一个三角形的内角和是180°，所以四边形的内角和是360°思考过程正确。 ②把四边形分成3个三角形，3个三角形中有3个内角（虚线三角形中最上面的角及相邻的两个角）不是四边形的内角，计算四边形内角和时需要从3个三角形的内角和中减去180°（这三个角组成一个平角）图中没有减，思考过程不正确。 ③两条对角线把四边形分成4个三角形，从图中可知，4个三角形的内角和比四边形内角和多了一个周角，所以四边形内角和是360°。思考过程正确。 ④利用剪拼法，把四边形的四个角剪下来，拼成一个周角，一个周角是360°四个角都是四边形的内角，所以四边形的内角和是360°。思考过程正确。 综上所述：研究四边形内角和的思考过程，正确的是①③④。 【练习51】下面是四位同学探究四边形内角和的方法。 淘气： 笑笑： 奇思： 妙想： (1)上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说他或她的探究思路。 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 【答案】(1) 我最喜欢笑笑的方法。探究思路：连接四边形的一条对角线，把四边形分成2个三角形，每个三角形的内角和是，四边形的内角和就是2个，即。（答案不唯一） (2) 用笑笑的方法：如图： 从五边形的一个顶点出发，向与它不相邻的2个顶点画线段，将五边形分成3个三角形。五边形的内角和是。（答案不唯一） 【分析】（1） 淘气的方法是将四角剪下后拼成一个周角，周角是360°，所以四边形内角和是360°。 笑笑、奇思和妙想的方法是利用转化思想，将多边形分割成若干个三角形，利用已学的三角形内角和知识计算多边形的内角和。 （2）笑笑的方法探究五边形内角和： 从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的2个顶点，五边形被分成3个三角形。求3个三角形的内角和即可。 【详解】（1）我最喜欢笑笑的方法。探究思路：连接四边形的一条对角线，把四边形分成2个三角形，每个三角形的内角和是180°，四边形的内角和就是2个180°，即360°。 （2）用笑笑的方法探究五边形内角和： 如图：从五边形的一个顶点出发，连接不相邻的2个顶点，五边形被分成3个三角形。 即五边形的内角和是。 【典型例题52】如图为一个三角形零件，加工过程中不小心切掉了一个小角，切掉的小角∠C＝( )°，剩下零件的内角和是( )°。 【答案】 30 360 【分析】三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A和∠B即可得到∠C；三角形切去一个角后会变为四边形，根据多边形内角和公式（为边数），代入即可计算剩下零件的内角和。 【详解】 切掉的小角∠C＝30°，剩下零件的内角和是360°。 【练习52】如图，正五边形的5个内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5的度数。 【答案】36° 【分析】根据图示，可以把五边形分成3个三角形，用180°乘3算出五边形的内角和，再除以5算出一个内角的度数。用180°减去一个内角的度数的差除以2可以算出∠1或∠3的度数。再用一个内角的度数减去∠1与∠3的度数之和即可算出∠5的度数。 【详解】 ＝180°×3÷5 ＝108° ∠1或∠3：（180°－108°）÷2 ＝72°÷2 ＝36° ∠5＝108°－（36°＋36°） ＝108°－72° ＝36° 答：∠5是36°。 【典型例题53】五边形外角（每一个顶点取一个外角）的和是多少度？ 【答案】360度 【分析】五边形从一个顶点出发画对角线，可以分成3个三角形，一个三角形的内角和是180度，3个三角形的内角和是：180×3＝540（度），再计算出5个顶点处的总度数和，用“外角和＝5个顶点总角度－内角和”即可得到五边形外角（每一个顶点取一个外角）的和度数。 【详解】根据分析，五边形内角和为540度， 每个顶点：内角＋外角＝180（度） 5个顶点总角度和：5×180＝900（度） 五边形外角（每一个顶点取一个外角）的和：900－540＝360（度） 答：五边形外角（每一个顶点取一个外角）的和是360度。 【练习53】本学期，我们探究了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？我们一起来研究一下。 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360° 【应用解答】探究四边形的外角和 (1)四边形的内角和＋外角和＝_________，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝_________。 五边形的内角和＋外角和＝5×180°＝900°，因为五边形的内角和是540°，所以五边形的外角和为360° (2)通过以上阅读与思考，我猜想八边形的外角和＝_________。 【答案】(1) 720°/720度 360°/360度 (2)360°/360度 【分析】（1）由三角形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；四边形的内角和为；所以四边形的外角和就是2个180°。 （2）由三角形和四边形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；五边形的内角和＋外角和 ，五边形的内角和为；所以五边形的外角和就是2个180°。根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程，可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。 【详解】（1）因为，，，，所以四边形的内角和＋外角和 ，又因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和 答：四边形的内角和＋外角和＝720°，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝360°。 （2）八边形的内角和＋外角和 ，八边形的内角和 ，所以八边形的外角和 。 答：八边形的外角和＝360° 考点4：尺规作图 【典型例题54】用圆规和无刻度的直尺作一条与线段a长度相等的线段BC。（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】已知线段a，用圆规的针尖固定在线段a的一个端点上，将圆规的另一只脚张开，使它的笔尖刚好落在另一个端点上，这样圆规两脚间的距离就等于线段a的长度。 在需要作出等长线段的地方，先画一个点B作为新线段的一个端点。保持圆规两脚间的距离不变，将圆规的针尖固定在这点上，以这点为圆心画弧，在弧上任意取一点C。用直尺连接两点，这时画出的线段BC就是与线段a长度相等的线段。 【详解】略 【练习54】用无刻度的直尺和圆规作线段AB的等长线段。（保留作图痕迹） 【答案】 【分析】先作射线OM，再以点O为圆心，线段AB的长为半径画弧，交射线OM于点N。线段ON即为所求作的线段。 【详解】略 【典型例题55】在下面直线上，借助尺规画线段CD，使线段CD的长度等于线段a，b长度的和。 ____________________________________ 【答案】 【分析】先在直线上截取等于线段a的长度，再从该端点继续截取等于线段b的长度，最终得到的线段就是a＋b。 【详解】在直线上取一点标记为C，用圆规量取线段a的长度，以C为圆心画弧，与直线交于O，则OC＝a。再用圆规量取线段b的长度，以O为圆心画弧，与直线交于在O点远离C点的一侧D，则OD＝b。线段CD即为线段a和线段b的和。 作图略。 【练习55】用尺规作等长的线段。 (1)在下面直线上，借助尺规画线段，使。 (2)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的和。 (3)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的差。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先用圆规量取已知线段的长度，再以直线上的端点为圆心，以该长度为半径作弧，与直线的交点即为线段的另一个端点； 作两线段长度和的线段时，先在直线上作出长度等于第一条线段的线段，再以该线段的一个端点为端点，沿相同方向作出长度等于第二条线段的线段，总长度即为两线段之和； 作两线段长度差的线段时，先在直线上作出长度等于较长线段的线段，再以该线段的一个端点为端点，作出长度等于较短线段的线段，剩余部分的长度即为两线段之差。 【详解】（1）把圆规的两个脚尖分别对准线段AB的两个端点，量出AB的长度；接着把圆规挪到下方的直线上，让圆规的一个脚尖对准已有的点C，另一个脚尖在直线上画出印记点D，线段CD就和AB长度相等了。图略 （2）先在下方直线上任选一点当作C，用刚才量AB的方法，先用圆规量出线段的长度，从点C出发在直线上向右画出一个印记点，得到长度等于的线段；接着用圆规量好线段的长度，从刚画好的印记点继续向右，在直线上画出第二个印记点D，最终整条CD的长度就是和的长度之和。图略 （3）观察发现线段比长，先在下方直线上任选一点当作C，用圆规量出长线段的长度，从点C出发向右在直线上画出一个印记点，得到长度等于的线段；接着用圆规量出短线段的长度，从刚画好的印记点往点C的方向往回倒着量，在直线上画出第二个印记点D，剩下的CD段长度就是减去的差。图略 【典型例题56】用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（填“＞”“＜”或“＝”） (1) AB____________________CD (2) AB____________________CD 【答案】(1)＜ (2)＝ 【分析】把圆规的两个针尖先对准线段AB的两个端点，固定圆规的张开幅度，再去比对线段CD的长度，会发现CD比AB长，所以AB＜CD。 同样用圆规先量出AB的长度，再和CD比对，能发现CD与AB一样长，所以AB＝CD。 【详解】（1） AB＜CD （2） AB＝CD 【练习56】星期日，文文和方方约好去图书馆看书，她们分别从家出发。你能想办法用圆规比较一下谁家到图书馆的路线短吗？ 答：（    ）家到图书馆的路线短。 【答案】； 方方 【分析】用圆规截取方方家路线的每一小段，把几段长度顺次拼接在文文家到图书馆的路线上；若所画终点正好在图书馆处，那么两人走的路线同样长；若所画终点超过图书馆，则文文家到图书馆的路线短；若所画终点未超过图书馆，则方方家到图书馆的路线短。 【详解】根据圆规作图比较，图略。 答：方方家到图书馆的路线短。 【典型例题57】用圆规和尺子比较下面两个图形的周长。 (1)聪聪作了一部分，请你补作完整（保留尺规作图痕迹）。 (2)通过比较，我发现长方形的周长_______平行四边形的周长。（填“大于”、“小于”或“等于”。） 【答案】(1) (2)等于 【分析】用圆规截取长方形的长度，圆心放在射线上第二个标记点，向右画出小圆弧表示长方形的长，再用圆规截取长方形的宽度，圆心放在第三个标记点，向右画出小圆弧表示长方形的宽；同样的方法用圆规依次截取平行四边形的四条边的长度，首尾顺次截取铺在射线上； （2）通过用圆规截取两个图形的长度，发现长方形的长和平行四边形的底长度相等，长方形的宽和平行四边形的斜边长度相等，所以两个图形的周长是相等的。 【详解】（1）略 （2）通过比较，我发现长方形的周长等于平行四边形的周长。 【练习57】使用圆规和直尺画出线段来表示图形①和②的周长。（保留作图痕迹） 比较：图形______（填“①”或“②”）的周长长。 【答案】如下： ① 【分析】圆规和直尺画出线段方法：先在空白处点一个点，然后过这个点画一条射线。接着用圆规的针尖对准已知线段的一个端点，圆规的笔尖对准已知线段的另一个端点，保持圆规开口大小不变，移动圆规针尖到前面画好的点，笔尖在射线上画出另一个点，这两个点之间的线段就是与已知线段等长的线段。据此解答。 【详解】图略 将得到的表示两个图形周长的线段左端对齐，通过对比上面两个线段长度，可知，图形①的周长长。 【典型例题58】图中哪三条线段能围成一个三角形，用尺规画一画，保留作图痕迹（一组即可）。 【答案】 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。观察可知，线段a与线段b左端点对齐，因此，用圆规两脚分别固定在线段d的两端，保持长度不变，圆规左端与线段b的右端点重合，观察圆规右脚与线段a的右端点的位置，即可得到线段b与线段d的和大于线段a（用同样的方法可得线段b与线段c的和小于线段a），a为a、b、d三条线段中的最长边，则a＋b＞d、a＋d＞b，因此线段a、b、d可以围成一个三角形。 用直尺画一条射线，用圆规量出线段a的长度，在射线上截取长度等于a的边，记两个端点为点A、点B。 把圆规的针尖固定在点A，调整圆规张开的长度等于线段b的长度，在AB上方画一段圆弧。 再把圆规的针尖固定在点B，调整圆规张开的长度等于线段d的长度，在AB上方画另一段圆弧，让两段圆弧相交于点C。 最后连接AC和BC，得到的三角形ABC就是用a、b、d三条线段围成的三角形，保留圆规画弧的痕迹即可。 【详解】图中线段a、b、d能围成一个三角形。 作图略 【练习58】用尺规作图的方法，判断以3厘米、5厘米、7厘米为边长的三角形能不能围成，请画出作图过程。并写出结论。 【答案】 以3厘米、5厘米、7厘米为边长的三角形可以围成。 【分析】先验证三角形三边关系：任意两边之和大于第三边 3＋5＞7，3＋7＞5，5＋7＞3，满足条件。根据两个圆弧能够相交，说明这三条线段可以围成三角形；如果两条弧没有交点，就围不成的原理尺规作图即可。 【详解】画一条线段AB，长度是7厘米。把圆规两脚张开，量取3厘米，以点A为圆心画弧。再把圆规两脚张开，量取5厘米，以点B为圆心画弧。两条圆弧会交于一点，记作 C。连接AC、BC。 所以以3厘米、5厘米、7厘米为边长的三角形可以围成。 【典型例题59】下面三组小棒，不能围成三角形的是（ ）。 A．5cm，5cm，5cm B．3cm，5cm，7cm C．2cm，3cm，5cm 【答案】C 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根小棒的长度和是否大于最长的小棒长度，若大于则可以围成，否则不能。 【详解】A．较短两边长度和为（cm），，可以围成三角形； B．较短两边长度和为（cm），，可以围成三角形； C．较短两边长度和为（cm），，不满足两边之和大于第三边，不能围成三角形。 【练习59】下面各组小棒中，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、8cm B．5cm、5cm、10cm C．6cm、7cm、8cm 【答案】C 【分析】判断三根小棒能否围成三角形，只需验证较短两根的长度之和是否大于最长的那根长度，满足该条件即可围成三角形。 【详解】A．3＋4＝7，7＜8，不能围成三角形。 B．5＋5＝10，10＝10，不能围成三角形。 C．6＋7＝13，13＞8，能围成三角形。 能围成三角形的是6cm、7cm、8cm。 【典型例题60】一根用来制作徽派木窗三角支架的木料，截成三段围成三角形，已知两条边长4分米、6分米，第三条边最长是( )分米，最短是( )分米，（边长取整分米） 【答案】 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两条边的长度，可以确定第三条边的取值范围，再根据边长取整分米的条件，找出范围内的最大整数和最小整数。 【详解】两边之和：（分米） 第三条边要小于10分米，小于10的整数中最大的是9，所以第三条边最长是9分米。 两边之差：（分米） 第三条边要大于2分米，大于2的整数中最小的是3，所以第三条边最短是3分米。 【练习60】一个三角形的两条边分别长8分米、13分米，则第三条边的长度最长是( )分米，最短是( )分米。（取整分米数） 【答案】 20 6 【分析】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答。 【详解】8＋13－1＝20（分米） 13－8＋1＝6（分米） 第三条边的长度最长是20分米，最短是6分米。 【典型例题61】数学活动课上乐乐准备将一根13cm长的吸管（如图）剪成三段，并首尾相连围成一个三角形，他第一次在3cm处剪了一刀，要想围成三角形，第二次可能会在（ ）cm处剪。 A．8 B．6 C．10 D．4 【答案】A 【分析】以三角形“任意两边之和大于第三边”为判断标准，逐个验证四个选项对应的三段长度是否满足该条件。筛选出符合三边关系的选项即可。 【详解】选项A（处剪）：三段为3cm、5cm、5cm，满足、，符合三边关系； 选项B（处剪）：三段为3cm、3cm、7cm，，不满足； 选项C（处剪）：三段为3cm、7cm、3cm，，不满足； 选项D（处剪）：三段为3cm、1cm、9cm，，不满足。 【练习61】张老师拿来一根长10cm的铁丝，他先从点A处剪开，小文建议再从8cm处剪开，这样分成的三段铁丝( )围成三角形；辰辰建议再从6cm处剪开，这样分成的三段铁丝( )围成三角形。（填“能”或“不能”） 【答案】 不能 能 【分析】判断三段线段能否围成三角形，依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。先在数轴上读出三段铁丝的长度，再计算两条短边相加的和，与最长边对比进行判断。 【详解】张老师拿来一根长10cm的铁丝，他先从点A处剪开，即3cm处，第一条边的长度是（cm）， 小文建议再从8cm处剪开，第二条边的长度是（cm），第三条边的长度是（cm），，不符合三角形的三边关系，所以不能围成三角形； 辰辰建议再从6cm处剪开，第二条边的长度是（cm），第三条边的长度是（cm），，符合三角形的三边关系，所以能围成三角形。 【典型例题62】如图，从甲地到乙地之间的路线中，路线（ ）最短。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】两点之间所有连线里，线段的长度最短。 【详解】①是曲线，②是折线，③是线段，因此路线③最短。 【练习62】大熊猫是中国的“国宝”。下面的大熊猫要去吃竹子，它选择( )号路线走最近。（填序号） 【答案】③ 【分析】两点间所有连线中，线段最短。这条线段叫做两点间的距离。据此解答。 【详解】③号路线是线段，所以它选择③号路线走最近。 【典型例题63】将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【答案】 【分析】两点之间线段距离最短，把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，从A点出发到点P喝水，然后到位于B点的军营的距离最短。据此画图。 【详解】把靠近马的一侧河岸看作对称轴，通过画垂线的方法找到点B的对称点B'，连接AB'与河岸相交于点P，因为B'是B关于河岸的对称点，所以PB＝PB'，路线“A→P →B”的长度等于AP＋PB＝AP＋PB'，也就是A和B'之间的线段长度。根据两点之间线段距离最短，此时路线是最短的。 图略。 【练习63】路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 【答案】 【分析】根据“两点之间，线段最短”，可知从乐乐家到爷爷家最短的路线即为连接乐乐家和爷爷家的线段。根据“垂线段最短”，可知从爷爷家向小河作垂线，即为爷爷家到小河的最短路线。 【详解】图略。 一、填空题 1．把一条( )向两端无限延伸就得到一条( )，直线( )端点，射线有( )个端点，线段有( )个端点。 【答案】 线段 直线 没有 1 2 【分析】线段是直的，有2个端点，可以测量长度。射线指由线段的一端无限延长所形成的射线，射线有且仅有1个端点，无法测量长度。把线段向两端无限延长，就得到一条直线，直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度。 【详解】 如图： 把一条线段向两端无限延伸就得到一条直线，直线没有端点，射线有1个端点，线段有2个端点。 2．一个圆内可以画出( )条半径、( )条直径，同一个圆中所有半径长度都( )，所有直径长度都( )。 【答案】 无数 无数 相等 相等 【分析】在同一个圆中，可以画出无数条直径和半径，所有的直径都相等，所有的半径都相等，直径是半径的2倍。 【详解】一个圆内可以画出无数条半径、无数条直径，同一个圆中所有半径长度都相等，所有直径长度都相等。 3．填出每个角的度数。 【答案】80，125，120 【分析】量角器量角：将量角器的中心点与角的顶点重合，内圈零刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度就是这个角的度数。 一副三角尺中，其中一把三角尺的三个角分别是30°、60°、90°，另一把三角尺的三个角分别是45°、45°、90°，据此解答。 【详解】图1：角的一边与量角器的40°线重合，另一边与量角器的120°线重合，即这个角是120°－40°＝80°； 图2：角的一边与量角器的零刻度线重合，另一条边对准量角器的125°刻度线，即这个角是125°； 图3：这个角是一把三角尺的30°角和另一把三角尺的90°角拼起来，即30°＋90°＝120°； 4．一张三角形纸片，撕去一个角，剩下的两个角分别是32°和67°，撕去的角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形。 【答案】 81 锐角 【分析】因为三角形的内角和是，用减去另外两个角的度数得到第三个角，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 【详解】 撕去的角是°。按角分，这个三角形是锐角三角形。 5．如图，有五条线段，分别长2cm、4cm、6cm、8cm和10cm，要求从中选出三条首尾相接围成一个三角形。小芸围成的三角形周长最长，她选择的三条线段是( )（填序号）；小磊围成的三角形周长最短，周长是( )cm。 【答案】 ③④⑤ 18 【分析】根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边；小芸：周长最长，三条线段最长，求出最长三角形的三条边，进而求出小芸围成三角形周长最长；小磊：周长最短，三条线段最短，求出最短三角形的三条边，进而求出小磊围成三角形周长最短。 【详解】小芸：最长的三条线段是6cm、8cm、10cm； 6＋8＝14（cm），14＞10，用三条线段是6cm、8cm、10cm围成三角形，且周长最长，所以小芸选择三条线段是③④⑤。 小磊：最短三条线段是2cm、4cm、6cm； 2＋4＝6（cm），6＝6，所以三条线段2cm、4cm、6cm不能围成三角形。 三条线段是4cm、6cm、8cm； 4＋6＝10（cm），10＞8，用三条线段4cm、6cm、8cm围成的三角形，且周长最短。 周长最短是：4＋6＋8＝18（cm） 6．将一个圆形纸片对折一次，得到的角是( )角，度数是( )；对折2次，得到的角是( )角，度数是( )；对折3次得到的角是( )角，度数是( )。 【答案】 平 /180度 直 /90度 锐 /45度 【分析】圆形纸片看作一个周角，度数是，对折一次是将周角平均分成份，对折次是平均分成份，对折次是平均分成份。据此进行计算，再根据角的度数判断角的种类。 【详解】圆形纸片对应的角是周角，度数是。 对折次：，的角是平角； 对折次：，的角是直角； 对折次：，小于，是锐角。 7．∠1与∠3的度数和是一个直角，∠3＝45°，∠1＝( )。∠2与∠4的度数和是一个平角，∠2＝60°，∠4＝( )。 【答案】 45° 120° 【分析】已知直角＝90°，平角＝180°，用90°减去∠3的度数，即可求出∠1的度数，用180°减去∠2的度数，即可求出∠4的度数。 【详解】∠1＝90°－45°＝45° ∠4＝180°－60°＝120° 8．如下图，已知圆的半径是3厘米，则长方形的长是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 12 36 【分析】由图可知：长方形的长等于圆直径的2倍，宽等于圆的直径，代入数据求出长和宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2计算求出周长。 【详解】长：2×3×2＝12（厘米） 宽：2×3＝6（厘米） 周长：（12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 9．将一把三角尺和一把破碎的量角器按如图所示的方式摆放，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 30 45 45 【分析】首先读取破碎量角器上与∠1相邻的角的度数，同时明确三角尺已知的锐角度数，作为计算的基础条件。 因为破碎量角器上的角与∠1形成直角，所以用90°减去量角器读取的角的度数，可得到∠1的度数。 因为平角为180°，破碎量角器上的角与∠1形成直角，所以三角板的角与∠2形成的角为直角；且通过观察三角板的角为45°，90°减去三角板的角，可得到∠2的度数。 因为∠3、破碎量角器上的角、∠1与三角板的角形成平角，所以用180°分别减去量角器读取的角、∠1与三角板的角的度数，可得到∠3的度数。 【详解】量角器上的角为：180°－120°＝60°，三角板的角为45° ∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝90°－45°＝45° ∠3＝180°－60°－30°－45° ＝120°－30°－45° ＝90°－45° ＝45° 10．21时，时针和分针所成的角是( )角，度数是( )°；从2时整到3时整，分针所走的角的度数是( )°，是( )角；此时，时针所走的角的度数是( )°，是( )角。 【答案】 直 90 360 周 30 锐 【分析】钟面一周是360度，平均分成12个大格，每个大格是30度。21时即晚上9时，时针指向9，分针指向12。从2时整到3时整经过1小时，分针走一圈，时针走1个大格。根据大格数计算出角的度数，再判断角的类型。 【详解】21 时即9时整，时针指向9，分针指向12，中间间隔3个大格。 时针和分针所成的角：30×3＝90°，是直角。 从2时整到3时整经过1小时，分针走了一圈。 分针所走的角是360°，是周角。 此时时针从2走到3，走了1个大格。 时针所走的角是30°，小于90°，是锐角。 11．下图中，有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【答案】 1 8 6 【分析】根据直线、射线和线段的特点：线段有两个端点，有限长，可以测量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长，据此进行解答即可。 【详解】图中有1条直线。 直线上有4个点，每个点都可以向左向右各引出一条射线， 射线的条数为：4×2＝8（条） 以A为左端点有线段AB、AC、AD，以B为左端点有线段BC、BD，以C为左端点有线段CD。 线段的条数为：3＋2＋1＝6（条） 即下图中有1条直线，8条射线，6条线段。 二、选择题 12．下面说法正确的是（    ）。 ①有一条射线长100千米。 ②过两点，只能画一条直线。 ③长度从大到小排列：直线＞射线＞线段。 ④手电筒射出来的光线可以看作射线。 A．①② B．②④ C．③④ 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的特征逐一判断各说法的正误即可。 【详解】①射线只有1个端点，可向一端无限延伸，无法测量长度，说法错误； ②过两点只能画1条直线，说法正确； ③直线可向两端无限延伸，射线可向一端无限延伸，二者都无法度量长度，不能比较大小，说法错误； ④手电筒射出的光线有1个端点，向一端无限延伸，可以看作射线，说法正确。 综上，②④正确。 13．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作（ ）。 A．半径 B．直径 C．距离 D．曲线 【答案】B 【分析】通过圆心，并且两个端点都在圆上的线段就叫做圆的直径。 【详解】A．半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，仅一端在圆上，不符合题干描述； B．直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，与题干描述一致，正确； C．距离是表示长度的量，不是线段，不符合题干描述； D．曲线是弯曲的线，不属于线段，不符合题干描述。 14．下面说法中错误的是（    ）。 A．一个圆内有无数条直径 B．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度 C．直径是圆内最长的线段 D．直径是半径的2倍，半径是直径的 【答案】D 【分析】直径和半径的倍、的数量关系成立的前提是在同圆或等圆中， 一个圆内有无数条直径，直径是圆内最长的线段，圆的半径就是圆规两脚间的距离，据此解答。 【详解】A．一个圆内有无数条直径，说法正确。 B．画圆时，圆规两脚间的距离是圆心到圆上任意一点的长度，就是圆的半径的长度，说法正确。 C．直径经过圆心且两端都在圆上，是圆内最长的线段，说法正确。 D．没有说明同圆或等圆的前提，直径是半径的倍、半径是直径的的说法不成立，说法错误。 15．一个三角形的两边长分别是6cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（ ）。 A．3cm B．13cm C．6cm D．15cm 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系，第三边长度大于已知两边的差，小于已知两边的和，求出取值范围后对比选项即可。 【详解】（cm） （cm） 第三条边的长度需满足：2cm＜第三边长度＜14cm 3cm、13cm和6cm均在该范围内，只有15cm不在该范围内，故第三条边不可能是15cm。 16．用一副三角尺可以画出的角是（　）。 A．105° B．100° C．130° D．160° 【答案】A 【分析】一副三角尺的角度分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，可画出的角是这些角度的和或差。 【详解】，其余选项的角度均无法通过三角尺上的角度相加或相减得到。 三、判断题 17．用一副三角尺无法画出15°的角。( ) 【答案】× 【分析】一副三角尺的角的度数分别是30°、45°、60°、90°，将45°和30°的角相减可得到15°的角，因此可以画出15°的角。 【详解】45°－30°＝15°，可知15°的角能用一副三角尺画出，原题说法错误。 故答案为：× 18．因为直线可以向两端无限延伸，而射线只能向一无限端延伸，所以直线比射线长。( ) 【答案】× 【分析】直线和射线的长度都是无限的，都无法进行度量，所以不能比较直线和射线的长短，据此判断。 【详解】直线没有端点，可向两端无限延伸，长度无限，不可度量；射线有1个端点，可向一端无限延伸，长度同样无限，不可度量，所以无法比较直线和射线的长短。 故答案为：× 19．因为d＝2r，所以圆的直径是半径的2倍。( ) 【答案】 【分析】在等圆或同圆中，直径的长度是半径的2倍，据此解答。 【详解】在等圆或同圆中，圆的直径是半径的2倍，原说法缺少前提条件。 故答案为：× 20．平角就是直线，直线就是平角。( ) 【答案】× 【详解】角由一个顶点和两条边组成。平角是角，仅两条边在同一直线上，不是直线。 直线没有顶点，不符合角的定义，也不是平角。 故答案为：× 21．两个锐角的度数和一定小于平角的度数。( ) 【答案】√ 【分析】小于90°的角叫做锐角，平角是180°，据此即可做出判断。 【详解】因为锐角是小于90°的角，所以两个锐角的和一定小于180°，也就是说两个锐角的和一定小于平角； 故答案为：√ 四、作图题 22．按要求画一画。 (1)画出直线BC。 (2)画出射线AB，再以射线AB为一边、A为顶点画出的角。 (3)以C为端点画出一条长3厘米的线段。 【答案】(1) (2)（画法不唯一） (3)（画法不唯一） 【分析】先明确三类线的核心特征：直线无端点可双向无限延伸、射线仅一个端点单向无限延伸、线段有两个端点长度固定，对应完成前1、3小问的画线要求。画指定角度的角时，依托已画出的射线AB，按照量角器画角的标准步骤定位105°的刻度，画出符合要求的角即可。 【详解】（1）将直尺边缘对齐点B和点C，沿直尺画出一条同时经过两点，并且向B点左侧、C点右侧双向无限延伸的直线路径，即为直线BC。 （2）以点A为唯一端点，向点B的方向画出一条经过B点、且越过B点继续向B侧无限延伸的直线路径，得到射线AB。 把量角器的中心与顶点A完全重合，将量角器的0°刻度线与射线AB对齐；在量角器105°的刻度位置标记一个点，最后从A点出发，经过这个标记点画出一条射线，这条射线和射线AB就组成了要求的105°角。（画出符合要求的角即可） （3）将直尺的0刻度线与点C对齐，在直尺3厘米刻度的位置标记另一个点，连接点C和这个3厘米刻度处的点，这条有两个端点、长度为3厘米的直线路径就是要求的线段。（符合要求即可） 23．画一个直径2厘米的圆，并用字母O表示圆心，用字母r表示半径，用字母d表示直径。 【答案】 【分析】直径是2厘米，根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；圆规画圆步骤：①把圆规的两脚分开，定好两脚间距离（即半径）；②把有针尖的一只脚固定在一点上；③带有铅笔的那只脚绕点旋转一周，并在圆上的相应位置标上字母即可。 【详解】半径：2÷2＝1（厘米） 图略 24．仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 【答案】 【分析】利用三角尺，分别找出正方形四条边的中点。以四条边的中点为圆心，以正方形边长的一半为半径，向正方形内部画半圆（每条边的中点画一个半圆，共四个半圆）。四个半圆相交，即可画成题目中的美丽图案。 【详解】略 五、解答题 25．在一张边长是20厘米的正方形硬纸板上剪半径是2厘米的圆，最多可以剪多少个？ 【答案】25个 【分析】要剪出圆，不能直接用面积相除，因为边角的碎片不能拼成完整的圆。要先算出圆的直径，看正方形的边长能放下多少个圆。 圆半径2厘米，直径：2×2＝4（厘米），剪一个圆需要占一个边长4厘米的小正方形的位置。 【详解】求圆的直径 d＝2r＝2×2＝4（厘米） 计算正方形一条边上可以剪几个圆 20÷4＝5（个） 说明横向可以放5个，纵向也可以放5个。 计算总个数 5×5＝25（个） 答：最多可以剪25个。 26．说理题下图是由两把相同的三角尺拼成的图形，其中∠1＝65°。 ∠2等于多少度？请在下面的方框中写出思考的过程和结果。 【答案】 ；∠3＝90°－∠1＝90°－65°＝25°，∠2＝90°－∠3＝90°－25°＝65° 【分析】观察可知，图形是由两把直角的三角尺组成的，∠1和∠3组成的角为90°，∠2和∠3组成的角也为90°，用90°减去∠1的度数求出∠3的度数，再用90°减去∠3的度数即可求出∠2的度数。 【详解】如图： ∠3＝90°－∠1＝90°－65°＝25° ∠2＝90°－∠3＝90°－25°＝65° 答：∠2等于65度。 （解答不唯一） 27．6月11日至12日，“融五育·树新人——五育融合赋能学生全面发展现场会”在铜陵隆重举行。某小学参加了现场会的美育·劳育工作坊活动。该校展区形状如下图，已知在四边形ABCD中，∠2＋∠4＝90°，∠1＝110°，∠2＝50°，你能求出∠3的度数吗？ 【答案】 【分析】先根据的度数和与的和，求出的度数；再利用三角形内角和为，用内角和减去和的度数，即可得到的度数。 【详解】∠2＋∠4＝90° ∠2是50°，所以∠4＝90°－50°＝40° ∠1＝110° ∠4＝40° ∠3＝180°－∠1－∠4＝180°－110°－40°＝70°－40°＝30° 答：的度数是。 28．奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 【答案】32°；52° 【分析】先用最大角的度数除以3，求出最小角的度数；再根据三角形内角和为180°，减去已知的两个角的度数，求出第三个角的度数。 【详解】96°÷3＝32° 180°－96°－32°＝52° 答：船帆另外两个角分别是32°和52°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版·新教材四年级数学上册 第七单元：线与角（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：线段、直线、射线 1、认识线段、直线、射线 （1）线段 线段是直的，有两个端点。线段可以量出长度。线段的端点用两个大写字母表示，如线段AB或线段BA。 （2） 直线 一条线段向它的两端无限延长，所得到的图形叫作直线。直线没有端点，不能量出长度，若是点A和点B是直线上的点，我们就称这条直线为直线AB或直线BA，或是也可以用小写字母来表示，如直线。 （3） 射线 一条线段向它的一端无限延长，所得到的图形叫作射线。射线只有一个端点，若射线的端点用大写字母A表示，再在射线上任取另外一点，用字母B表示，这样，我们称这条射线为射线AB，表示端点的字母写在前。 2、线段、直线、射线的相同点与不同点 【易错点】理解射线的长度有误 射线向一端无限延长，无法测量长度，不能比较长短。 知识点02：圆的初步认识 1、 圆的初步认识及其画法 （1） 圆心：画圆时，固定的一点是圆心，通常用字母O表示； （2） 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示； （3） 直径：过圆心，两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d表示； 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，半径越长，圆越大。 2、 圆的对称性及直径与半径的关系 （1）圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，它的对称轴是直径所在的直线； （2）同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。同一个圆里，直径是半径的2倍，即d=2×r； （3）在一个圆中，连接圆上任意两点，经过圆心的线段最长，即直径是圆中最长的线段。 3、用圆规画圆 用圆规画圆时，先定圆心，再定半径，然后把有针尖的一只脚固定在圆心上，把另一只装有铅笔芯的脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 【易错点】对直径的定义理解有误 判断一条线段是圆的直径必须同时满足两个条件：（1）线段的两个端点都在圆上；（2）此线段经过圆心。 【易错点】误将圆的对称轴画成直径 圆的对称轴是经过圆心的一条直线，而直径只是对称轴落在圆内的部分，是一条线段。 知识点03：角的认识与测量 1、 角的定义及角的计量单位 （1）角的定义 如图点O与两条射线OA、OB所组成的图形叫作角。点O叫作角的顶点，射线OA、OB叫作角的边。 角的旋转定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成。例如，射线OA绕端点O从原来位置旋转到OB，就得到了一个角。 （2） 角的计量单位 角的大小只与“两边的张口”有关，张口越大，角越大。角的大小与两边画的长短无关。 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。1度可记作1°。用半径把一个圆分成360等份，相邻的两条半径与圆心组成的角是1°。 2、 角的分类 （1） 几个特殊的角 a. 周角：一条射线绕着它的端点旋转一周，所成的角叫作周角。1周角=360° b. 平角：一条射线绕着它的端点旋转半周，所成的角叫作平角。1平角=180° c. 直角：一条射线绕着它的端点旋转周，所成的角叫作直角。1直角=90° 周角 平角 直角 d. 锐角：大于0°而小于90°的角叫作锐角。 e. 钝角：大于90°而小于180°的角叫作钝角。 3、 认识量角器及用量角器测量角的度数 （1）认识量角器 量角器是一个半圆，被分成180等份，每一份所对应的角是1°，量角器能测量0°到180°之间的角。量角器有一个中心点，两条零刻度线。左边这条对应外圈刻度，右边这条对应内圈刻度。 （2）用量角器测量角的度数 第一步：把量角器的中心点与角的顶点重合； 第二步：使一条零刻度线与角的一条边重合； 第三步：读出角的另一条边在量角器上的刻度。 角的开口可能朝左或朝右，量角器的两圈刻度（内圈和外圈）分别对应逆时针方向和顺时针方向，适配不同位置的角。如测量开口朝右的时用内圈刻度，测量开口朝左时用外圈刻度。 【易错点】用量角器测量角的度数时，内外圈度数误用 量角器测角度，两点重合0开始，始边向左顺时读，始边向右逆时读。 4、 用量角器画角 步骤：（如画一个75°的角） 第一步：画一条射线OA； 第二步：把量角器的中心点与点O重合，一条零刻度线与射线OA重合。在量角器75°刻度的地方点上一个点，并记为B； 第三步：以O为端点，经过点B画一条射线OB。∠AOB就是所要画的一个75°的角。 使用量角器画指定度数的角时，要注意量角器的中心点与射线的端点重合，零刻度线与射线重合。 5、 三角形的三个角的和 三角形的三个角的和等于180°。 知识点04：尺规作图 1、 用尺规作一条线段等于已知线段 先用直尺画一条射线，再用圆规量取已知线段的长度，在射线上截取相同的长度。 2、 用尺规作多条线段的和 多次运用“用尺规作一条线段等于已知线段”。 解决三角形周长与线段长度比较问题，就是将三角形三边首尾相接依次画到线段上，使起始点与线段的一个端点重合，然后看第三边的末端与线段另一端点的位置即可。 3、 用尺规作图说明三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边。 4、 两点之间线段最短 两点之间的所有连线中，线段最短。连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离。 【易错点】误用三角形任意两边之和大于第三边 判断三条线段能否围成三角形，可以判断“较短的两条线段之和是否大于最长线段”，如果满足，那么这三条线段就一定能围成三角形。 考点1：线段、直线、射线 【典型例题1】一根绷紧的风筝线可以看作( )；激光灯发出的一束光线可以看作( )，它与( )一样，都可以无限延伸。（填“直线”、“射线”或“线段”） 【练习1】“有头有尾”常形容做事有恒心，能坚持到底，也可以类比线段有( )个端点；而“有始无终”常形容只有开端，没有结尾，可以类比( )的特征，只有( )个端点；向两端无限延伸的是( )，它没有端点，正如古人所述的“无始无终”。 【典型例题2】判断：3cm的线段比3cm的射线长。( ) 【练习2】判断：把4厘米长的线段的一端延长5厘米，就变成一条射线。( ) 【典型例题3】判断：射线比线段短，直线比射线长。( ) 【练习3】判断：在直线、射线、线段中，最长的是直线，最短的是线段。( ) 【典型例题4】画出直线AD，线段BC，射线BD。 【练习4】按要求画一画。 过下面三点中的两点分别画一条直线、一条射线和一条线段。 【典型例题5】过如图的点A，画一条直线，并在直线上截取一条长4cm的线段，标出线段的长，并用字母B表示另一个端点。 【练习5】画一画，量一量。 过点A画一条射线，然后在这条射线上截取一段3厘米长的线段。 【典型例题6】如图中有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 【练习6】数一数，下面图形中各有几条线段？几条射线？ ( )条线段   ( )条线段 ( )条线段 ( )条射线    ( )条射线 ( )条射线 【典型例题7】下图中，一共有（   ）条线段。 A．5 B．10 C．4 【练习7】在一条线段上添加9个小圆点，将其分成了若干条线段，现在一共有( )条线段。 【典型例题8】在每两点之间画一条线段，分别能画多少条？先画一画，再填一填。 ［规律应用］当点数是5时，可以画（    ）条线段。 【练习8】经过2个点可以画一条直线，经过3个点中的每两个点画直线，最多可以画3条，经过4个点中的每两个点呢？5个点，6个点呢？画一画，数一数，并填写表格。（任意三个点不在一条直线上） 点数 2 3 4 5 6 直线条数 考点2：圆的初步认识 【典型例题9】下图图中，线段（    ）是它的直径。 A． B． C． D． 【练习9】如下图，下面说法正确的是(   )。 A．线段AC是这个圆的直径 B．线段AB是这个圆的半径 C．线段OD是这个圆的直径 D．OA＝OD 【典型例题10】如图，用这种方法测量圆的直径，依据是（    ）。 A．直径是圆内最长的线段 B．直径是半径的2倍 C．圆心确定圆的位置 D．圆的直径有无数条 【练习10】“井盖是圆的”“自行车车轮是圆形”，能用来解释这些现象的说法是（    ）。 A．圆上各点到圆心的距离都相等 B．圆心决定圆的位置 C．半径决定圆的大小 D．每个圆只有一个圆心 【典型例题11】判断：一条线段在圆内，且其两端都在圆上，这条线段是直径。( ) 【练习11】下面关于圆的说法中，正确的是（    ）。 A．两端都在圆上的线段叫做直径 B．直径是圆内最长的线段 C．在同一个圆中，所有直径的长度都不相等 D．圆的位置由半径决定 【典型例题12】根据同一圆内半径和直径的关系填表。 r 1.4cm 5m 3.2cm d 17dm 24dm 36m 【练习12】一张圆形卡纸，沿任意一条直径对折后两边完全重合。现在在圆内画一条最长的线段长22厘米，在这个圆内任意画一条半径，长度是多少？如果在这个圆里画无数条这样的最长线段，它们的长度都相等吗？请说明理由。 【典型例题13】填一填。 圆的直径是( )厘米，        大圆的直径是( )厘米， 正方形的边长是( )厘米。    小圆的直径是( )厘米。 【练习13】看图，在（    ）里填合适的数。 圆的半径是( )m。      大圆的半径是( )cm。 长方形的宽是( )m。     小圆的直径是( )cm。 【典型例题14】一张圆形贴纸直径16分米，若把半径扩大到原来的2倍，新圆的直径是多少分米？ 【练习14】有两个圆形垫片，小圆半径3厘米，大圆半径是小圆的3倍，大圆的直径比小圆直径长多少厘米？ 【典型例题15】在一个长3厘米、宽2厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径长（    ）厘米。 A．1 B．2 C．3 D．1.5 【练习15】在一个长8cm，宽6cm的长方形里，画一个最大的圆，圆的直径是( )cm。 【典型例题16】用一张长16厘米、宽9厘米的长方形纸板剪一些半径为2厘米的圆（不能拼接），最多能剪出（    ）个。 A．11 B．8 C．12 D．10 【练习16】在一张长6分米、宽4分米的长方形纸片上剪若干个半径为1分米的圆，最多可以剪( )个这种圆。 【典型例题17】圆有（    ）条对称轴。 A．1条 B．4条 C．无数条 【练习17】要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题18】画出下面图形的所有对称轴。 【练习18】画出下面图形的对称轴。（各画出一条即可） 【典型例题19】判断：圆是轴对称图形，它的对称轴是直径。( ) 【练习19】判断：圆的所有对称轴都是经过它的圆心的一条直线。( ) 【典型例题20】用圆规画直径10cm的圆，圆规两脚之间的距离要调整为( )cm；若圆规两脚间距4.5m，画出圆的直径是( )m。 【练习20】如图所示，用圆规在一张正方形纸上画两个同样大小的半圆，圆规两脚间的距离应该是( )cm。 【典型例题21】按要求画圆，并标出圆心、半径和直径。（每个方格的边长表示0.5cm） (1)画一个半径是1.5cm的圆。 (2)画一个直径是2cm的圆。 【练习21】在下面正方形里画一个最大的圆，保留找圆心的痕迹，并标出圆心O和半径r。 【典型例题22】将下面的图案画出来。 【练习22】先观察左边的图案，再在右边的方格里把它画出来。 考点3：角的认识与测量 【典型例题23】从一点引出两条( )所组成的图形叫做角；角的大小与两条边张开的( )有关。 【练习23】角的大小与角两边的_____无关，与角的_____有关． 【典型例题24】用符号表示下面的角，再标出角各部分的名称。 上面的角表示为（    ）。从一点引出两条射线所组成的图形叫做（    ）。 【练习24】读、写下面各角。 记作：_____       记作：_____         记作：_____ 读作：_____       读作：_____         读作：_____ 【典型例题25】用3倍的放大镜看30°的角时，这个角的度数是( )°。 【练习25】判断：一个12°的角放在10倍的放大镜下看，角的度数就是120°。( ) 【典型例题26】一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。1周角＝（    ）个直角。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练习26】把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个一定是( )角；周角是( )度，等于( )个直角。 【典型例题27】若∠1比直角大40°，则∠1＝____________°；若∠2比平角小63°，则∠2＝____________°。 【练习27】计算下面角的度数。 (1)一个直角与一个30°的锐角组成的角是多少度？是什么角？ (2)一个平角减去一个75°的角，剩下的角是多少度？是什么角？ 【典型例题28】下午3时整，钟面上时针和分针所组成的较小角是( )角，度数是( )°；再过3小时，钟面上时针和分针所组成的角是( )角，度数是( )°。 【练习28】( )时整时，钟面上的时针和分针所形成的较小夹角是直角；( )时整时，钟面上的时针和分针所形成的夹角是平角。 【典型例题29】下午2：30开始考试，60分钟结束，这段时间钟面上的分针转动多少度？时针转动了多少度？ 【练习29】从中午12：00到下午3：00，时针绕中心点顺时针方向旋转多少度？从下午3：00到下午3：25，分针绕中心点顺时针方向旋转多少度？ 【典型例题30】给下面的角分类，把序号填在方框里。 锐角   直角   钝角   平角    周角 【练习30】下面的角分别是什么角？分一分，填一填。 15°、101°、130°、99°、89°、180°、90°、360°、60° 直角( ) 锐角( ) 钝角( ) 平角( ) 周角( ) 【典型例题31】下图中，锐角、钝角、平角、直角的个数分别为（    ）。 A．6，3，1，4 B．4，2，1，3 C．4，2，1，2 【练习31】数一数，填一填。 ( )个锐角    ( )个直角     ( )个钝角    ( )个平角 【典型例题32】把圆平均分成360份，其中1份所对的角是( )度，记作( )；半圆被平均分成( )份做成量角器。 【练习32】量角时，量角器的中心要与角的____重合，0°刻度线要与角的一条边重合。 【典型例题33】量出下面各角的度数，并标明它们各是什么角。                ( )度 ( )度 ( )度 ( )角 ( )角 ( )角 【练习33】量一量下面的角各是多少度。 ∠1＝_____________；∠2＝____________；∠3＝_____________；∠4＝____________。 【典型例题34】科学的看书角度是：视线与书本要大约保持的倾斜。 请你量出下图中奇奇的看书角度。 奇奇( ) 【练习34】实践园地。 月月在荡秋千，下面是她荡秋千时，秋千绳与水平线的夹角情况。 (1)量一量图中秋千绳与水平线夹角的度数，填一填。 ∠1＝( )° ∠2＝( )° ∠3＝( )° (2)为保证安全，一般限制秋千绳摆动时与水平线的夹角在45°与135°之间，在图中分别画出秋千绳与水平线夹角最小和最大时的位置。 【典型例题35】如图，这个角的度数是（ ）。 A．140° B．150° C．170° D．30° 【练习35】如图，小何利用一个破损的量角器对一个角进行了度量，这个角的度数是（ ）。 A． B． C． D． 【典型例题36】红红用量角器量一个角的度数、误把外圈刻度认为是内圈刻度，读出一个135°的角，那么这个角的正确度数是( )°。 【练习36】亮亮用量角器量角时犯了两个错误，你能读出正确的度数吗？ (1)第一个角的一条边没有与0°刻度线对齐，而是与10°的刻度线对齐了，这样读出的度数是80°，实际这个角的度数应该为( )。 (2)第二个角的一条边和内圈的0°刻度线重合了，读数时亮亮又读成了外圈的刻度，读出的是65°，实际这个角的度数应该为( )。 【典型例题37】用一副三角尺可以拼成的角是（    ）°。 A．100 B．105 C．110 D．55 【练习37】用一副三角尺不能拼出的角是（ ）。 A． 180° B． 135° C． 100° D． 75° 【典型例题38】下面用一副三角尺拼成的角中，度数是105°的是（ ）。 A． B． C． D． 【练习38】下图是用三角尺拼出的一些图形。 (1)∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 (2)1周角＝( )平角＝( )直角。 【典型例题39】如何用量角器画一个75°的角？ ①画一条射线，使量角器的( )和射线的( )重 合，0°刻度线和射线重合。 ②在量角器上与①中0°刻度线相对应的圈上75°的地方点一个点。 ③以画出的射线的端点为( )，通过刚画的点，再画一条( )，就得到了一个75°的角。 【练习39】用量角器画一个60°的角，下面画法正确的是（    ）。 A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【典型例题40】分别以下面的射线为角的一条边、用量角器画出一个40°和一个100°的角。 【练习40】用你喜欢的方式画出各角，并标出角度。 (1)画一个比直角小55°的角。 (2)画一个比平角小30°的角。 【典型例题41】下面是4位同学画的75°角，画法正确的是（ ）。 A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【练习41】 (1)在这个破损的量角器上画一个比直角小的角。并标上度数。 (2)这个破损的量角器能量出的最大的角是( )。 (3)用这个破损的量角器能画出的角吗？画一画，并标出相应角的度数。 【典型例题42】求如图各角的度数。 (1)已知∠1＝30°，则∠2＝____° (2)已知∠1＝50°，则∠2＝____°，∠3＝____°，∠4＝____°。 【练习42】如图所示，打台球时，球撞向桌边会向另一个方向弹走。 (1)已知∠1＝35°，∠2＝110°，则∠3＝___________ °。 (2)王叔叔通过多次测量发现，球撞向桌边形成角的度数和球弹走时与桌边形成角的度数相等，这一发现与（1）题的计算结果___________ （填“相符”或“不相符”）。 (3)根据（1）（2）题的结论，画出下面球从桌边弹走的角度和路线。 【典型例题43】如图，已知，求，和的度数。 【练习43】计算图中∠1和∠2的度数。 【典型例题44】手工课上，小飞将一张长方形纸按如图方式折叠，已知∠2＝66°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【练习44】下图是一张长方形纸折起来后得到的图形，其中∠1＝120°，∠2＝( )°。 【典型例题45】如图，把一副三角尺的直角顶点重合放在一起，则∠1与∠2的大小关系是（    ）。 A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【练习45】如图，一张长方形纸和一张正方形纸交叠在一起。已知∠1＝30°，求∠2的度数。 【典型例题46】把一个三角形的各个角撕下来拼在一起，拼成了一个( )角，是( )°。 【练习46】判断：把三角形的三个角撕下来拼在一起，可以拼成一个周角。( ) 【典型例题47】计算下面各未知角的度数。 【练习47】皮影展柜的三块三角形玻璃破损了，都缺了一个角，请你分别算出缺的角的度数。 ( )°         ( )°          ( )° 【典型例题48】如图，已知∠3＝136°，∠4＝24°。计算∠1、∠2和∠5的度数。 【练习48】如图，在三角形中，∠1＝60°，∠2＝65°，求∠4的度数。 【典型例题49】一个等腰三角形的一个角是52°，如果这个角是顶角，则这个三角形的底角是( )°，如果这个角是底角，则这个三角形的顶角是( )°。 【练习49】一个等腰三角形的顶角是底角的3倍，这个等腰三角形的底角是( )，顶角是( )。 【典型例题50】枫枫家装修房子完工时剩下一块三角形木板，这块三角形木板的最大角是最小角的3倍，另外一个角是最小角的2倍。求这块木板每个角的度数。 【练习50】安康是全国最大的天然富硒区，该地产出的富硒茶香高味浓、外形条索紧细，汤色嫩绿明亮。该地的张伯伯家有一块三角形的茶园，这个茶园中最大的角是96度，它是最小的角的3倍，这个三角形茶园另外两个角的度数是多少度？ 【典型例题51】下面是四名同学研究四边形内角和的思考过程，正确的是（    ）。 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4－360°＝360° 一个周角＝360° A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【练习51】下面是四位同学探究四边形内角和的方法。 淘气： 笑笑： 奇思： 妙想： (1)上面四种方法中，你最喜欢谁的方法？说说他或她的探究思路。 (2)请用你喜欢的方法探究下面五边形的内角和，先在图中画一画，再算一算。 【典型例题52】如图为一个三角形零件，加工过程中不小心切掉了一个小角，切掉的小角∠C＝( )°，剩下零件的内角和是( )°。 【练习52】如图，正五边形的5个内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5的度数。 【典型例题53】五边形外角（每一个顶点取一个外角）的和是多少度？ 【练习53】本学期，我们探究了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有内角，还有外角。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少度呢？我们一起来研究一下。 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180°，所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°，又因为三角形的内角和是180°，所以三角形的外角和＝540°－180°＝360° 【应用解答】探究四边形的外角和 (1)四边形的内角和＋外角和＝_________，因为四边形的内角和是360°，所以四边形的外角和＝_________。 五边形的内角和＋外角和＝5×180°＝900°，因为五边形的内角和是540°，所以五边形的外角和为360° (2)通过以上阅读与思考，我猜想八边形的外角和＝_________。 考点4：尺规作图 【典型例题54】用圆规和无刻度的直尺作一条与线段a长度相等的线段BC。（保留作图痕迹） 【练习54】用无刻度的直尺和圆规作线段AB的等长线段。（保留作图痕迹） 【典型例题55】在下面直线上，借助尺规画线段CD，使线段CD的长度等于线段a，b长度的和。 ____________________________________ 【练习55】用尺规作等长的线段。 (1)在下面直线上，借助尺规画线段，使。 (2)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的和。 (3)在下面直线上，借助尺规画线段，使线段的长度等于线段，长度的差。 【典型例题56】用圆规比一比下面每组中两条线段的长短。（填“＞”“＜”或“＝”） (1) AB___________CD (2) AB___________CD 【练习56】星期日，文文和方方约好去图书馆看书，她们分别从家出发。你能想办法用圆规比较一下谁家到图书馆的路线短吗？ 答：（    ）家到图书馆的路线短。 【典型例题57】用圆规和尺子比较下面两个图形的周长。 (1)聪聪作了一部分，请你补作完整（保留尺规作图痕迹）。 (2)通过比较，我发现长方形的周长_______平行四边形的周长。（填“大于”、“小于”或“等于”。） 【练习57】使用圆规和直尺画出线段来表示图形①和②的周长。（保留作图痕迹） 比较：图形______（填“①”或“②”）的周长长。 【典型例题58】图中哪三条线段能围成一个三角形，用尺规画一画，保留作图痕迹（一组即可）。 【练习58】用尺规作图的方法，判断以3厘米、5厘米、7厘米为边长的三角形能不能围成，请画出作图过程。并写出结论。 【典型例题59】下面三组小棒，不能围成三角形的是（ ）。 A．5cm，5cm，5cm B．3cm，5cm，7cm C．2cm，3cm，5cm 【练习59】下面各组小棒中，能围成三角形的是（    ）。 A．3cm、4cm、8cm B．5cm、5cm、10cm C．6cm、7cm、8cm 【典型例题60】一根用来制作徽派木窗三角支架的木料，截成三段围成三角形，已知两条边长4分米、6分米，第三条边最长是( )分米，最短是( )分米，（边长取整分米） 【练习60】一个三角形的两条边分别长8分米、13分米，则第三条边的长度最长是( )分米，最短是( )分米。（取整分米数） 【典型例题61】数学活动课上乐乐准备将一根13cm长的吸管（如图）剪成三段，并首尾相连围成一个三角形，他第一次在3cm处剪了一刀，要想围成三角形，第二次可能会在（ ）cm处剪。 A．8 B．6 C．10 D．4 【练习61】张老师拿来一根长10cm的铁丝，他先从点A处剪开，小文建议再从8cm处剪开，这样分成的三段铁丝( )围成三角形；辰辰建议再从6cm处剪开，这样分成的三段铁丝( )围成三角形。（填“能”或“不能”） 【典型例题62】如图，从甲地到乙地之间的路线中，路线（ ）最短。 A．① B．② C．③ 【练习62】大熊猫是中国的“国宝”。下面的大熊猫要去吃竹子，它选择( )号路线走最近。（填序号） 【典型例题63】将军骑着一匹马走到A点时，马渴了，要到河边喝水，然后要到位于B点的军营。怎样走才能使行走的路线最短？ 【练习63】路线中的智慧。 周末，乐乐从家先到爷爷家，然后和爷爷一起去小河边钓鱼，乐乐怎样走最近？请你在下图中画出最短路线。 一、填空题 1．把一条( )向两端无限延伸就得到一条( )，直线( )端点，射线有( )个端点，线段有( )个端点。 2．一个圆内可以画出( )条半径、( )条直径，同一个圆中所有半径长度都( )，所有直径长度都( )。 3．填出每个角的度数。 4．一张三角形纸片，撕去一个角，剩下的两个角分别是32°和67°，撕去的角是( )°。按角分，这个三角形是( )三角形。 5．如图，有五条线段，分别长2cm、4cm、6cm、8cm和10cm，要求从中选出三条首尾相接围成一个三角形。小芸围成的三角形周长最长，她选择的三条线段是( )（填序号）；小磊围成的三角形周长最短，周长是( )cm。 6．将一个圆形纸片对折一次，得到的角是( )角，度数是( )；对折2次，得到的角是( )角，度数是( )；对折3次得到的角是( )角，度数是( )。 7．∠1与∠3的度数和是一个直角，∠3＝45°，∠1＝( )。∠2与∠4的度数和是一个平角，∠2＝60°，∠4＝( )。 8．如下图，已知圆的半径是3厘米，则长方形的长是( )厘米，周长是( )厘米。 9．将一把三角尺和一把破碎的量角器按如图所示的方式摆放，那么∠1＝( )°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 10．21时，时针和分针所成的角是( )角，度数是( )°；从2时整到3时整，分针所走的角的度数是( )°，是( )角；此时，时针所走的角的度数是( )°，是( )角。 11．下图中，有( )条直线，( )条射线，( )条线段。 二、选择题 12．下面说法正确的是（    ）。 ①有一条射线长100千米。 ②过两点，只能画一条直线。 ③长度从大到小排列：直线＞射线＞线段。 ④手电筒射出来的光线可以看作射线。 A．①② B．②④ C．③④ 13．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作（ ）。 A．半径 B．直径 C．距离 D．曲线 14．下面说法中错误的是（    ）。 A．一个圆内有无数条直径 B．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度 C．直径是圆内最长的线段 D．直径是半径的2倍，半径是直径的 15．一个三角形的两边长分别是6cm和8cm，则第三条边的长度不可能是（ ）。 A．3cm B．13cm C．6cm D．15cm 16．用一副三角尺可以画出的角是（　）。 A．105° B．100° C．130° D．160° 三、判断题 17．用一副三角尺无法画出15°的角。( ) 18．因为直线可以向两端无限延伸，而射线只能向一无限端延伸，所以直线比射线长。( ) 19．因为d＝2r，所以圆的直径是半径的2倍。( ) 20．平角就是直线，直线就是平角。( ) 21．两个锐角的度数和一定小于平角的度数。( ) 四、作图题 22．按要求画一画。 (1)画出直线BC。 (2)画出射线AB，再以射线AB为一边、A为顶点画出的角。 (3)以C为端点画出一条长3厘米的线段。 23．画一个直径2厘米的圆，并用字母O表示圆心，用字母r表示半径，用字母d表示直径。 24．仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 五、解答题 25．在一张边长是20厘米的正方形硬纸板上剪半径是2厘米的圆，最多可以剪多少个？ 26．说理题下图是由两把相同的三角尺拼成的图形，其中∠1＝65°。 ∠2等于多少度？请在下面的方框中写出思考的过程和结果。 27．6月11日至12日，“融五育·树新人——五育融合赋能学生全面发展现场会”在铜陵隆重举行。某小学参加了现场会的美育·劳育工作坊活动。该校展区形状如下图，已知在四边形ABCD中，∠2＋∠4＝90°，∠1＝110°，∠2＝50°，你能求出∠3的度数吗？ 28．奇奇制作了一个帆船的微缩模型，船帆由一块三角形棉布制成，其中最大角是96°，最大角的度数是最小角的3倍。请你求出船帆另外两个角的度数。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $