1.3 解直角三角形（讲义）数学新教材浙教版九年级下册
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精品
内容正文：
第1章
解直角三角函数
1.3 解直角三角形
课标要点
1.理解解直角三角形的含义，明晰直角三角形六个元素，掌握可解条件：至少已知一条边；熟练运用三边（勾股定理）、两角（互余）、边角（锐角三角函数）三组关系完成求解
2.能够针对两类基础题型（已知两边、已知一边一锐角）合理选取关系式，会借助计算器完成非特殊角的边角互求，规范近似运算。
3.掌握添加辅助线构造直角三角形的方法，把斜三角形、梯形等图形转化为直角三角形求解；能识别仰角、俯角、方位角、坡度坡角，将测量类实际问题抽象为直角三角形模型并求解。
4.在建模、转化运算中落实数形结合，会有条理书写解题过程，发展几何推理与运算能力，能用解直角三角形解释简单现实测量问题。
学习重难点
重点：
1.解直角三角形的概念，直角三角形三边、两锐角、边角三组基本等量关系。
2.两类基本可解情形的常规解法，能根据已知条件优选关系式，规范计算。
3.仰角、俯角、方位角、坡度与坡角的概念，基础实际测量问题建模求解。
4.通过作高，将斜三角形、梯形等图形转化为直角三角形的转化方法。
难点：
1.根据已知条件灵活选择最简关系式，规避中间量误差，规划最优求解顺序。
2.在复杂背景中准确识别、构造直角三角形，找准对应边角，区分对边、邻边。
3.读懂方位角、坡度等专业情境描述，画出正确示意图，完成实际问题数学建模。
4.多直角三角形嵌套问题，建立边角之间的等量关系、列方程求解。
知识点 解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外还有五个元素：三条边和两个锐角。由直角三角形中已知的边和角，求出其余所有未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
在 Rt△ABC 中，约定 ∠C=90°，∠A、∠B 所对的边分别为 a、b，斜边为 c。所谓“解这个直角三角形”，就是把 a、b、c、∠A、∠B 这五个量中未知的部分全部求出来，并写成规范的结果形式。
特别提醒
已知条件中必须至少有一条边。若只已知一个锐角（如 ∠A=30°），三角形只能确定形状而不能确定大小，无法求出各边长，此时不能称为“解直角三角形”
随学随练
1．在Rt中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：在中，，
∴，
∴．
2．在中，，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义结合勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴.
3．如图，是的高．若，，则边的长为（ ）
A． B．10 C． D．12
【答案】B
【分析】先利用已知条件求出的长度，再根据的值求出高的长度，最后在中用勾股定理计算的长．
【详解】解：是的高，
．
，
．
，
．
在中，
，，
．
知识点 解直角三角形的四种基本类型
按已知条件分类，解直角三角形共有四种基本类型，解题步骤可归纳如下（均以 ∠C=90° 为前提）：
类型
已知条件
求解顺序与公式
类型一
一直角边和一锐角（如 a、∠A）
；；
类型二
斜边和一锐角（如 c、∠A）
；；
类型三
两条直角边（如 a、b）
；由 求 ∠A；
类型四
斜边和一直角边（如 c、a）
；由 求 ∠A；
特别提醒
类型三、类型四中求出的锐角若不是特殊角，需按题目要求取近似值（如精确到 1′或 0.1°）；解题时先求边还是先求角并无定式，但“能用乘法不用除法、能用已知量不用中间量”是减少误差的基本要求。
随学随练
1．在中，，则的长为（ ）
A．7 B．7 C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，根据余弦定义推导的表达式即可得出答案．
【详解】∵在中，，
∴根据余弦的定义，，
又∵，
∴．
故选：A．
2．如图，在中，，，，则的度数为______．
【答案】/60度
【分析】求出的正弦值，即可求解度数．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴．
3．在中，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)若，，求，和c的值．
【答案】(1)
，
(2)
，，
【分析】（1）先根据求出a，再根据勾股定理求出；
（2）先根据勾股定理求出，再根据求出，进而得出答案．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
即，
解得．
根据勾股定理，得，
即，
解得；
（2）解：根据勾股定理，得，
即，
解得．
在中，，
∴，
则，
∴．
知识点 解直角三角形的实际应用
实际问题的通法只有一句：把实际情境中的角与线段，转化为某个直角三角形中的边和角，再按知识点 3 的类型求解。常见模型有三类。
一、仰角与俯角。 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在下方的叫俯角。两者都是视线与水平线的夹角，不是与竖直方向的夹角。测量物体高度时，通常过观测点作水平线、过物体顶端作竖直线，构造出以高为对边、水平距离为邻边的直角三角形。
二、坡度与坡角。 坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度（或坡比），记作 ，常写成 1:m 的形式；坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角，二者满足 。坡度越大，坡面越陡。
三、方位角。 以观测点为中心，以正北或正南方向为基准描述目标方向，如“北偏东 30°”“南偏西 45°”。解题时先按方位画出图形，标出已知角与已知边，再在构造出的直角三角形中求解。
特别提醒
实际问题中往往没有现成的直角三角形，需要作垂线（水平线或竖直线）构造；若涉及两个观测点，常设未知数建立方程，或利用公共边把两个直角三角形联系起来。
随学随练
1．2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射．当火箭上升到处时，位于地平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则火箭距地平面的高度为（ ）千米
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在直角三角形中，利用正弦函数的定义表示出对边即可．
【详解】解：在中，，，，
，
．
2．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得．
【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，两景点相距，
∴．
∴，两景点相距．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用．
3．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．24米
【答案】B
【分析】坡面的铅垂高度（）和水平长度（）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即．
【详解】解：由题意可知，米，
斜面坡度，
，
（米）．
拓展 一般三角形的化归求解
深度归纳：解直角三角形是基础工具，而很多试题会把条件放在普通锐角或钝角三角形中，没有现成直角，核心策略就是作高，将一个任意三角形分割为两个直角三角形，把陌生的斜三角形问题回归为本节所学的解直角三角形。这是初中阶段没有学习正弦、余弦定理时，求解一般三角形边角唯一通用途径，也是高中解三角形的前置铺垫。
规律细节：
· 作高选择原则：优先从已知角或者待求角的顶点向对边作垂线；如果已知两边及夹角，从夹角顶点作高最为方便；尽量让已知条件分配到两个直角三角形里，减少未知量。
· 锐角三角形：高全部落在三角形内部，分割得到两个相邻直角三角形，共享这条高线；底边被分成两段，两段长度可以分别用三角函数表达，利用线段和建立关系。
· 钝角三角形：高会落在三角形外部，此时要识别出外部的直角，利用钝角的补角得到锐角；注意：钝角本身不能直接用锐角三角函数，要用它的补角，同时区分线段是差的关系，不要直接套用锐角三角形的线段和。
· 条件适配：只要三角形满足 AAS、ASA、SAS，就可以通过作高实现可解；SSA 需要留意是否存在多解情况，这也是本探究的难点。
· 思想内核：不是单纯记住 “作高” 这一条辅助线，而是建立固定转化思维：只要题目只有斜三角形，就主动寻找垂线，构造直角，实现 “斜图直化”；在这个过程中同步锻炼几何直观，学会识别隐藏直角，并且能够准确对应对边、邻边，避免边角匹配错乱。
活学活用
1．如图，在等腰中，．若，，则底边( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先如图过点A作AD⊥BC交BC于D点，据此接着利用等腰三角形性质可以得出∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，然后在Rt△ABD中，根据求出BD，最后利用BC=2BD求出答案即可.
【详解】
如图，过点A作AD⊥BC交BC于D点，则△ABD是直角三角形，
∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=，BC=2BD，
在Rt△ABD中，，
∴，
∴，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
2．如图，若，，，且，则AC等于_____．
【答案】
【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，证明得到根据等腰三角形的性质得到得到进而求出CE的长度，设 根据列出方程，求出，即可求解.
【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作交BD于点M，过点A作交CE于点N，
,
,
设
解得：
故答案为
【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
3．在中，，，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长；
（2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果．
【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为，
，，
设，，
∴，解得：（负值舍去），
∴，，
，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
，
∴，
，
∴．
题型 利用直角三角形基本关系直接解直角三角形
解题贴士
先理清直角三角形已知元素，牢记勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数三组关系；优先选用原始已知条件列式，少用中间算出的量，避免误差累积，再根据所求合理选择正弦、余弦或正切，按要求保留结果。
▌例1如图，在中，，于，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，得，将代入求值即可．
【详解】解：∵在中，，于，
∴，，
∴，
∵，，
∴即，
∴，
∴，，
∴．
▌对点练1-1如图，中，，，为，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：A、，解得，符合题意；
B、，解得，不符合题意；
C、，解得，不符合题意；
D、，解得，不符合题意．
▌对点练1-2如图在中，，，，则的值为______．
【答案】
【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边．
【详解】解：在中，，，．
，
解得．
由勾股定理得：
．
▌对点练1-3如图，在中，，于D，若，求．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可．
【详解】解：，
，
在中，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
设、，
，
在中，由勾股定理得：，
．
题型 构造直角解直角三角形
解题贴士
图形没有现成直角时，常用作高的方式构造直角三角形；锐角三角形高在内部，钝角三角形高在外部，注意补角与线段和差；把原有条件转化到新得到的直角三角形中，实现斜化直，找准边角对应关系。
▌例1如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，
在中，，
在中，，
∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选:B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
▌对点练1-1如图，在中，，，，则的长为______．
【答案】
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
▌对点练1-2如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
【答案】
【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，过作于，
∴，
∵小正方形的边长为，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
▌对点练1-3如图，在中，，，，求BC的长．
【答案】
【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解．
【详解】解：过 作 于 ．
在 中，，
∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半），
在 中，，
∴ 设 ，（），
由勾股定理，，
∴ ，，
∴ ．
题型 仰角、俯角测量问题
解题贴士
先根据题意画出示意图，分清水平线、视线，确定仰角向上、俯角向下；一般会出现双直角共边模型，常设公共高为未知数，用正切表示水平距离，借助距离的和差建立方程求解。
▌例1如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可．
【详解】解：由题意得：，
，
，
∴
在中，，
∴．
▌对点练1-1如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可．
【详解】解：根据题意，得，，．
▌对点练1-2如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米．
【答案】
【分析】过点作于点，构造矩形和两个直角三角形，利用三角函数分别求出和的长，相加即可得到的高度．
【详解】解：过点作于点，
由题意可知，四边形为矩形，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
即大楼的高度为米．
▌对点练1-3永州滨江新城是永州市“零冷联城”战略的核心发展区域，某数学小组来到滨江新城建设现场开展实践活动：两栋正在建设的楼房、均垂直于地面，工作人员在处测得点俯角，测得点仰角，已知，求的长．（结果精确到0.1米）参考数据： ，
【答案】37.4米
【分析】过点作于，由题意得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：过点作于，如图所示：
，
四边形为矩形，
，
在中，，
在中，．
题型 方位角实际应用问题
解题贴士
方位角是以正北或正南方向为基准描述角度，画图时先标出南北方向线；把实际路线转化为线段，找到直角，遇到多个观测点时，理清各个角度，利用线段之间的等量关系列式计算。
▌例1一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．200米
【答案】C
【分析】过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
由题意得，，，米，
∴，
在中，（米），
在中，（米）．
▌对点练1-1如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
【答案】C
【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间．
【详解】解：由题意可得，，，千米，
∴在中，，即，解得千米，
∴行驶时间（小时），
取，得（小时），
故C选项符合题意．
▌对点练1-2如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
【答案】
28.2
【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
设海里，
在中， 灯塔在港的东北方向，
．
海里，海里．
在中，，海里．
，
．
即．
解得．
（海里）．
故灯塔与港之间的距离约为海里．
▌对点练1-3如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．
(1)求、两市之间的距离（结果保留根号）；
(2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)，，
，
，
，
由（）知：，，
，
∵在中，，
，
，
∴甲货车选择路线①，所需时间为，
乙货车选择路线②，所需时间为，
，
∴乙货车先到达市．
【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，，即得，进而得到，，又由得，，得到，即得到，再根据方程求出即可求解；
（2）求出，再分别求出两条路线所需时间，比较即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
由题意得，，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
、两市之间的距离为，
，
，
，
答：、两市之间的距离为；
（2）略
题型 坡度、坡角相关计算
解题贴士
坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切，不要当成斜边比；已知坡度可以设高和水平宽为对应份数，再用勾股定理求出坡长，注意区分坡角、倾斜角。
▌例1道县乐海水库是一座以供水、灌溉为主的小型水利枢纽，灌溉面积超1000公顷．水库大坝采用重力坝设计，如图为其横断面示意图，已知背水坡的坡度为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案．
【详解】解：，坡度i为，
，
，
．
▌对点练1-1如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．400米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】先由坡度求出水平边的长度，再在中用勾股定理求斜边长．
【详解】解：由题意得，米，
坡度，
，
解得米．
在中，
米．
▌对点练1-2如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．
【答案】
【分析】坡度竖直高/水平宽，题目已给了竖直高度和坡度，代入公式即可求出水平宽．
【详解】解：设，
则
∴
解得，
所以水平宽度为．
▌对点练1-3零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，．
(1)求这段斜坡的水平宽度；
(2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用坡比概念可设，则，利用勾股定理列方程求得x值即可解答；
（2）利用正切定义和特殊角的三角函数值求得即可解答．
【详解】（1）解：
，则是直角三角形，
斜坡的坡比，，
设，则，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
护栏的高度．
题型 利用解直角三角形求面积
解题贴士
三角形面积常用 “底乘高除以二”，难点在于求高；通过解直角三角形算出对应边上的高，若是斜三角形，就作高拆分；也可以利用已知边和夹角的三角函数表达高，再代入面积公式。
▌例1一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算，由三角函数表示出，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】解：在中，
（米），
∴（米）
∴地毯的面积至少需要米
故选：D．
▌对点练1-1如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则的面积可表示为______．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点作于点，先由等腰三角形得到，再解直角三角形即可表示，从而即可求解．
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，
∴
答案：
▌对点练1-2如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题主要考查三角函数的应用，过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴（平方米），
故答案为：．
▌对点练1-3如图，某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚，棚宽，高，长．求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．
【答案】
【分析】根据勾股定理算出的长度，进而根据面积公式即可求解．
【详解】解：由题可得，
，
∵，高，长．
∴，
∴，
∴覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为：．
题型 动点背景下解直角三角形计算
解题贴士
抓住动点运动速度与时间，表示出动点移动的线段长；锁定某一时刻位置，确定此时直角三角形，留意多解，比如点在线段上或延长线上；结合三角函数、勾股建立等式，分类讨论。
▌例1图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面的高度为．当时，则操作平台C离地面的高度为__m．（结果精确到0.1米）【参考数据：】
【答案】7.6
【分析】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用．过点C作，过点A作，由题意得到：进而结合题目已给的条件利用三角函数即可求出的长度，然后根据矩形的性质可得EF的长度，进而即可求解.
【详解】解：过点C作，过点A作，如图，
∵
∴四边形为矩形，
∴
∴
在中，
∴
∴
故答案为：．
▌对点练1-1某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为__________．（参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（含三角函数的运用），解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将起重臂长度、张角等已知条件转化为直角三角形的斜边和锐角，利用正弦函数求出直角边长度，进而计算最高点距离地面的高度。
过点作，垂足为，根据题意可得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】过点作，垂足为，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为，
故答案为：．
▌对点练1-2如图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂．水平操作台为l，底座AB固定，，AB长度为24cm，连杆BC长度为30cm，手臂CD长度为28cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．如图2，转动连杆BC和手臂CD，当，时，端点D离操作台l的高度DE为______cm．
【答案】
【分析】作CF⊥DE于F，BG⊥DE于G，CH⊥AE于H交BG于K，易得四边形BAEG是矩形，四边形CKGF是矩形，分别解Rt△BCK和Rt△DCF求出CK和DF即可解决问题．
【详解】解：如图，作CF⊥DE于F，BG⊥DE于G，CH⊥AE于H交BG于K，则CH∥DE，CF∥BG，
∵AB⊥AE，AE⊥DE，BG⊥DE，
∴四边形BAEG是矩形，
∴GE＝AB＝24cm，∠ABG＝90°，
∴CBG＝135°－90°＝45°，
∵CH∥DE，CF∥BG，
∴四边形CKGF是平行四边形，
∵∠BGF＝90°，
∴平行四边形CKGF是矩形，
∴∠BKC＝∠CKG＝90°，CK＝FG，
∴CK＝BC·sin45°＝30×cm，即FG＝cm，
∴∠BCF＝45°＋90°＝135°，
∵，
∴∠DCF＝165°－135°＝30°，
∴DF＝，
∴端点D离操作台l的高度DE＝DF＋FG＋GE＝14＋＋24＝cm，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
▌对点练1-3如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据：
【答案】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可．
【详解】解：如图，过点C作于点，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
答：可调节活动点 C到水平面的距离为．
基础通关
1．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
，
，
，
．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
3．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（ ）
A．米 B．4米 C．米 D．8米
【答案】B
【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解．
【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为，
∴，
∴（米），
即传送带的水平距离为4米．
4．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系．
【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在中，，
∴米．
6．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案．
【详解】解：，坡度i为，
，
，
．
7．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【详解】解：由题意可知，则为直角三角形，
在中，，，，
，
．
8．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（ ）
A． B．12 C． D．4
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可．
【详解】解：，，得，
，
，
中，，
点D为中点，
故．
9．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【分析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可．
【详解】解：甲的垂直边为：，
∴坡度比为：；
乙的坡度比为：；
∵，
∴乙山坡更陡．
10．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______．
【答案】
【分析】根据坡度的定义得到坡角的正切值，再利用特殊角的三角函数值得到坡角的度数．
【详解】解：设这个斜坡的坡角为，
由坡度的定义可知，坡度等于坡角的正切值，
，
，
，
这个斜坡的坡角为．
11．如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示）
【答案】
【分析】将实际问题转化为直角三角形模型，已知斜边和一个锐角，求对边，利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：由题意可知，，则为直角三角形，且．
在中，．
，，
．
故高为米．
12．在中，，则_____________________，_________________．
【答案】 /30度 /60度
【分析】已知直角三角形两条直角边，先计算的正切值，结合特殊角的三角函数值得到的度数，再利用直角三角形两锐角互余求的度数．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵直角三角形两锐角和为，
∴．
13．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m．
【答案】
【分析】利用坡角的度数结合锐角三角函数即可求解．
【详解】解：根据题意可知，，，
在中，，
，
，
，
即坡面的长度是．
14．在中，已知，，，解这个直角三角形．
【答案】，，
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．如图，中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键．
（1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可；
（2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵中，，，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点E，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
素养提升
1．如图，中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长即可得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴在中，，
则，
在中，，
，
又∵，
∴，
则．
2．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（ ）
A． B．20m
C． D．
【答案】A
【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解．
【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
，
在中，，
，
．
故答案为 A．
3．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【详解】解：在中，，
∴米．
4．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设小正方形的边长为1，利用勾股定理求出，，的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，或利用面积法求出的值．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
如图，在图中取格点D，连接，
由勾股定理得：，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴．
5．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________．
【答案】40
【分析】根据题意可得平行于水平线，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，根据角的和差关系得出，，即可得出，可得是等腰直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：如图，根据题意可得平行于水平线，
，
∵斜面坡度为，
，
，
，
∵在处测得处的俯角为处的俯角为，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
6．如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】先根据已知条件利用勾股定理求出三角形各边的长，再根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
．
7．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
【答案】
【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形，
．
在中，，则．
在中，，
，
．
8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求：
(1)的距离；
(2)楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)楼与之间的距离的长约为
【分析】（1）由三角形外角的性质求出，然后利用等角对等边得到；
（2）延长和分别与直线交于点和点，证明四边形是矩形，得到，然后解直角三角形求出，，进而求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，，，
，
，
；
（2）解：延长和分别与直线交于点和点，如图，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
由题意得：，，，，
∵，
，
∵，
∴，
，
．
答：楼与之间的距离的长约为．
9．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离．
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点B作构造直角三角形，由南偏西得到，利用含直角三角形的性质求出，再用勾股定理算出垂线段，接着算出，最后在中再次使用勾股定理求出；
（2）以基站B为圆心、为通信半径，分别在行进路线上找出和这个圆相交的有效路段：全程在范围内，上截取，在上利用勾股算出交点E到A的距离，把三段有效路程相加，再根据“速度总路程时间”计算速度．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
，
，
，，
；
（2）解：如图，设，
，
，
该智能巡检机器人的行驶速度为．
10．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E．
(1)求坝高；
(2)求水库坝底宽的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）在中，根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求解；
（2）过点作于点，则四边形是矩形，进而得米，米，再根据斜坡的坡度求出，在中，解直角三角形求出，最后根据线段的和差求解．
【详解】（1）解：∵斜坡米，坡角，，
∴（米），
即坝高为米；
（2）解：如图，过点作于点，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵斜坡的坡度，
∴（米），
∵坡角，，米，
∴（米），
∴米，
答：坝底宽的长为米．
迁移创新
1．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下：
活动主题
收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究
活动准备
1．查阅有关资料；
2．准备皮尺、测角仪等测量工具．
采集信息
收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图：
1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂；
2．，，；
3．，，；
4．收割作业前，．
设计方案
为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间．
确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使．
图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图：
1．，，点，，在一条直线上，；
2．，，的长度保持不变．
根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）：
(1)求图1中的长；
(2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行．
【答案】(1)
(2)，小组所设计的方案可行
【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长；
（2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
在中，
依题意，四边形是矩形，
∴
（2）解：在中，
∴
依题意，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴小组所设计的方案可行．
2．【知识再现】
如图1，在中，的对边分别为a，b，c．
∵，，
∴，．
∴．
(1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程．
(2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】(1)，证明：
如图，作于点E．
在中，，
在中，．
，
，
．
(2)
【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解；
（2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：在中，，
，即，
解得．
答：点A到点B的距离为．
3．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动．
【特例探究】
(1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积；
【一般证明】
(2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ；
【迁移应用】
(3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？
【答案】(1)
(2)证明： ， ， ，
过点作 交于点，
，
，
，
即 ；
(3)
【分析】（1）利用 可以求出高的长度，再根据三角形的面积公式求出的面积；
（2）过点作 交于点，再根据 可以求出高的代数式，进而证明结论；
（3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出、、 的面积代数式，再根据求出的长度；
【详解】（1）解：在 中，，
，
；
（2）略；
（3）解：∵是的平分线，
，
由（2）可知：，
，
，
，
．
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第1章
解直角三角函数
1.3 解直角三角形
课标要点
1.理解解直角三角形的含义，明晰直角三角形六个元素，掌握可解条件：至少已知一条边；熟练运用三边（勾股定理）、两角（互余）、边角（锐角三角函数）三组关系完成求解
2.能够针对两类基础题型（已知两边、已知一边一锐角）合理选取关系式，会借助计算器完成非特殊角的边角互求，规范近似运算。
3.掌握添加辅助线构造直角三角形的方法，把斜三角形、梯形等图形转化为直角三角形求解；能识别仰角、俯角、方位角、坡度坡角，将测量类实际问题抽象为直角三角形模型并求解。
4.在建模、转化运算中落实数形结合，会有条理书写解题过程，发展几何推理与运算能力，能用解直角三角形解释简单现实测量问题。
学习重难点
重点：
1.解直角三角形的概念，直角三角形三边、两锐角、边角三组基本等量关系。
2.两类基本可解情形的常规解法，能根据已知条件优选关系式，规范计算。
3.仰角、俯角、方位角、坡度与坡角的概念，基础实际测量问题建模求解。
4.通过作高，将斜三角形、梯形等图形转化为直角三角形的转化方法。
难点：
1.根据已知条件灵活选择最简关系式，规避中间量误差，规划最优求解顺序。
2.在复杂背景中准确识别、构造直角三角形，找准对应边角，区分对边、邻边。
3.读懂方位角、坡度等专业情境描述，画出正确示意图，完成实际问题数学建模。
4.多直角三角形嵌套问题，建立边角之间的等量关系、列方程求解。
知识点 解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外还有五个元素：三条边和两个锐角。由直角三角形中已知的边和角，求出其余所有未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
在 Rt△ABC 中，约定 ∠C=90°，∠A、∠B 所对的边分别为 a、b，斜边为 c。所谓“解这个直角三角形”，就是把 a、b、c、∠A、∠B 这五个量中未知的部分全部求出来，并写成规范的结果形式。
特别提醒
已知条件中必须至少有一条边。若只已知一个锐角（如 ∠A=30°），三角形只能确定形状而不能确定大小，无法求出各边长，此时不能称为“解直角三角形”
随学随练
1．在Rt中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的高．若，，则边的长为（ ）
A． B．10 C． D．12
知识点 解直角三角形的四种基本类型
按已知条件分类，解直角三角形共有四种基本类型，解题步骤可归纳如下（均以 ∠C=90° 为前提）：
类型
已知条件
求解顺序与公式
类型一
一直角边和一锐角（如 a、∠A）
；；
类型二
斜边和一锐角（如 c、∠A）
；；
类型三
两条直角边（如 a、b）
；由 求 ∠A；
类型四
斜边和一直角边（如 c、a）
；由 求 ∠A；
特别提醒
类型三、类型四中求出的锐角若不是特殊角，需按题目要求取近似值（如精确到 1′或 0.1°）；解题时先求边还是先求角并无定式，但“能用乘法不用除法、能用已知量不用中间量”是减少误差的基本要求。
随学随练
1．在中，，则的长为（ ）
A．7 B．7 C． D．7
2．如图，在中，，，，则的度数为______．
3．在中，．
(1)若，，求a，b的值；
(2)若，，求，和c的值．
知识点 解直角三角形的实际应用
实际问题的通法只有一句：把实际情境中的角与线段，转化为某个直角三角形中的边和角，再按知识点 3 的类型求解。常见模型有三类。
一、仰角与俯角。 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在下方的叫俯角。两者都是视线与水平线的夹角，不是与竖直方向的夹角。测量物体高度时，通常过观测点作水平线、过物体顶端作竖直线，构造出以高为对边、水平距离为邻边的直角三角形。
二、坡度与坡角。 坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度（或坡比），记作 ，常写成 1:m 的形式；坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角，二者满足 。坡度越大，坡面越陡。
三、方位角。 以观测点为中心，以正北或正南方向为基准描述目标方向，如“北偏东 30°”“南偏西 45°”。解题时先按方位画出图形，标出已知角与已知边，再在构造出的直角三角形中求解。
特别提醒
实际问题中往往没有现成的直角三角形，需要作垂线（水平线或竖直线）构造；若涉及两个观测点，常设未知数建立方程，或利用公共边把两个直角三角形联系起来。
随学随练
1．2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射．当火箭上升到处时，位于地平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则火箭距地平面的高度为（ ）千米
A． B． C． D．
2．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（ ）
A． B． C． D．
3．如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为12米，斜面坡度，则水坝高度的长（ ）
A．2米 B．6米 C．米 D．24米
拓展 一般三角形的化归求解
深度归纳：解直角三角形是基础工具，而很多试题会把条件放在普通锐角或钝角三角形中，没有现成直角，核心策略就是作高，将一个任意三角形分割为两个直角三角形，把陌生的斜三角形问题回归为本节所学的解直角三角形。这是初中阶段没有学习正弦、余弦定理时，求解一般三角形边角唯一通用途径，也是高中解三角形的前置铺垫。
规律细节：
· 作高选择原则：优先从已知角或者待求角的顶点向对边作垂线；如果已知两边及夹角，从夹角顶点作高最为方便；尽量让已知条件分配到两个直角三角形里，减少未知量。
· 锐角三角形：高全部落在三角形内部，分割得到两个相邻直角三角形，共享这条高线；底边被分成两段，两段长度可以分别用三角函数表达，利用线段和建立关系。
· 钝角三角形：高会落在三角形外部，此时要识别出外部的直角，利用钝角的补角得到锐角；注意：钝角本身不能直接用锐角三角函数，要用它的补角，同时区分线段是差的关系，不要直接套用锐角三角形的线段和。
· 条件适配：只要三角形满足 AAS、ASA、SAS，就可以通过作高实现可解；SSA 需要留意是否存在多解情况，这也是本探究的难点。
· 思想内核：不是单纯记住 “作高” 这一条辅助线，而是建立固定转化思维：只要题目只有斜三角形，就主动寻找垂线，构造直角，实现 “斜图直化”；在这个过程中同步锻炼几何直观，学会识别隐藏直角，并且能够准确对应对边、邻边，避免边角匹配错乱。
活学活用
1．如图，在等腰中，．若，，则底边( )
A． B． C． D．
2．如图，若，，，且，则AC等于_____．
3．在中，，，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
题型 利用直角三角形基本关系直接解直角三角形
解题贴士
先理清直角三角形已知元素，牢记勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数三组关系；优先选用原始已知条件列式，少用中间算出的量，避免误差累积，再根据所求合理选择正弦、余弦或正切，按要求保留结果。
▌例1如图，在中，，于，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，中，，，为，则长为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图在中，，，，则的值为______．
▌对点练1-3如图，在中，，于D，若，求．
题型 构造直角解直角三角形
解题贴士
图形没有现成直角时，常用作高的方式构造直角三角形；锐角三角形高在内部，钝角三角形高在外部，注意补角与线段和差；把原有条件转化到新得到的直角三角形中，实现斜化直，找准边角对应关系。
▌例1如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
▌对点练1-1如图，在中，，，，则的长为______．
▌对点练1-2如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则____________________．
▌对点练1-3如图，在中，，，，求BC的长．
题型 仰角、俯角测量问题
解题贴士
先根据题意画出示意图，分清水平线、视线，确定仰角向上、俯角向下；一般会出现双直角共边模型，常设公共高为未知数，用正切表示水平距离，借助距离的和差建立方程求解。
▌例1如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（ ）．
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-2如图，小明在楼顶点处测得对面大楼楼顶点处的仰角为，楼底点处的俯角为．若两座楼与相距米，则大楼的高度为_____________米．
▌对点练1-3永州滨江新城是永州市“零冷联城”战略的核心发展区域，某数学小组来到滨江新城建设现场开展实践活动：两栋正在建设的楼房、均垂直于地面，工作人员在处测得点俯角，测得点仰角，已知，求的长．（结果精确到0.1米）参考数据： ，
题型 方位角实际应用问题
解题贴士
方位角是以正北或正南方向为基准描述角度，画图时先标出南北方向线；把实际路线转化为线段，找到直角，遇到多个观测点时，理清各个角度，利用线段之间的等量关系列式计算。
▌例1一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．200米
▌对点练1-1如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
▌对点练1-2如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
▌对点练1-3如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．
(1)求、两市之间的距离（结果保留根号）；
(2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，）
题型 坡度、坡角相关计算
解题贴士
坡度是坡面的垂直高度与水平宽度的比值，等于坡角的正切，不要当成斜边比；已知坡度可以设高和水平宽为对应份数，再用勾股定理求出坡长，注意区分坡角、倾斜角。
▌例1道县乐海水库是一座以供水、灌溉为主的小型水利枢纽，灌溉面积超1000公顷．水库大坝采用重力坝设计，如图为其横断面示意图，已知背水坡的坡度为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ）
A． B． C． D．
▌对点练1-1如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．400米 C．米 D．米
▌对点练1-2如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________．
▌对点练1-3零陵古城是湖南第五届旅发大会核心展示地之一，大西门历史文化街区是零陵古城重要板块，保留清代“两纵七横十八巷”古街巷格局，有两千多年建城史．为迎接湖南省第五届旅游发展大会，永州零陵古城对大西门历史街区的青石台阶步道进行保护性修缮．如图，步道斜坡的坡比，斜坡的坡面长度，．
(1)求这段斜坡的水平宽度；
(2)景区计划在斜坡顶端处修建观景护栏，，在坡底点观测护栏顶端的仰角为，求护栏的高度．
题型 利用解直角三角形求面积
解题贴士
三角形面积常用 “底乘高除以二”，难点在于求高；通过解直角三角形算出对应边上的高，若是斜三角形，就作高拆分；也可以利用已知边和夹角的三角函数表达高，再代入面积公式。
▌例1一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
▌对点练1-1如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则的面积可表示为______．
▌对点练1-2如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）．
▌对点练1-3如图，某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚，棚宽，高，长．求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．
题型 动点背景下解直角三角形计算
解题贴士
抓住动点运动速度与时间，表示出动点移动的线段长；锁定某一时刻位置，确定此时直角三角形，留意多解，比如点在线段上或延长线上；结合三角函数、勾股建立等式，分类讨论。
▌例1图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，共转动点A离地面的高度为．当时，则操作平台C离地面的高度为__m．（结果精确到0.1米）【参考数据：】
▌对点练1-1某县消防大队到某小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点距离地面的高度为．当起重臂长度为，张角，则云梯消防车最高点距离地面的高度为__________．（参考数据：，，，）
▌对点练1-2如图1是劳动课上同学们组装的一个智能机器臂．水平操作台为l，底座AB固定，，AB长度为24cm，连杆BC长度为30cm，手臂CD长度为28cm，点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．如图2，转动连杆BC和手臂CD，当，时，端点D离操作台l的高度DE为______cm．
▌对点练1-3如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据：
基础通关
1．在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C．8 D．10
3．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（ ）
A．米 B．4米 C．米 D．8米
4．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角，则梯子底端与墙角的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，人字梯、的长都为2米．当时，人字梯顶端离地面的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（ ）
A． B．12 C． D．4
9．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）．
10．如果某个斜坡的坡度为，那么这个斜坡的坡角为______．
11．如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示）
12．在中，，则_____________________，_________________．
13．如图，河坝横断面迎水坡的坡角是，坝高，则坡面的长度是________m．
14．在中，已知，，，解这个直角三角形．
15．如图，中，，，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
素养提升
1．如图，中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（ ）
A． B．20m
C． D．
3．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________．
6．如图，在中，，点在边上，若，则的值为___________．
7．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）．
8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求：
(1)的距离；
(2)楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）
9．如图是某景区的平面示意图，景点位于景点的正南方向处，景点位于景点的南偏西方向，且与景点的距离．
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)该景区的智能巡检机器人使用远距离无线数传电台与基站通信，在景区对应的环境下，每个基站的有效通信半径是．智能巡检机器人从景点出发，沿道路的方向匀速行驶一周进行巡检，巡检过程中能与设置在景点的基站有效通信的时间共为5小时，求该智能巡检机器人的行驶速度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，）
10．如图，胜利水库大坝的横断面是梯形，其中，坝顶宽米，斜坡米，坡角，斜坡的坡度，坝高于点E．
(1)求坝高；
(2)求水库坝底宽的长．
迁移创新
1．2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下：
活动主题
收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究
活动准备
1．查阅有关资料；
2．准备皮尺、测角仪等测量工具．
采集信息
收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图：
1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂；
2．，，；
3．，，；
4．收割作业前，．
设计方案
为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间．
确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使．
图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图：
1．，，点，，在一条直线上，；
2．，，的长度保持不变．
根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）：
(1)求图1中的长；
(2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行．
2．【知识再现】
如图1，在中，的对边分别为a，b，c．
∵，，
∴，．
∴．
(1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程．
(2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
3．九年级某学习小组围绕“锐角三角形的面积”开展主题学习活动．
【特例探究】
(1)如图①，在锐角三角形 中 ， ，作 ，垂足为D，求的面积；
【一般证明】
(2)如图②，在锐角三角形 中，记的面积为S，求证： ；
【迁移应用】
(3)如图③，在锐角三角形 中， ， ，，是的平分线，则的长为多少？
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