综合与实践 理财小课堂 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

理财小课堂　综合与实践　知识清单

依据上海教育出版社《义务教育教科书·数学》八年级上册（五·四学制）编写，供复习与实践使用。

一、活动总览

本项目研究一个与生活直接相关的问题：同样一笔钱，怎样存、怎样投才更划算？教材给出三个方案（表1），它们本金相同、时间相同，拿回的钱数看起来也差不多；要判断哪个更合算，必须用数学把收益算清楚。

表1　三个方案的对照

 

项目用三种方法比较：活动1 用单利法与复利法算本息和；活动2 把各期回报折成“今天的钱”（折现），比较现值；活动3 由“各期回报的现值之和等于本金”求出收益率，用收益率比较。三种方法的结论应当一致，这一点在活动3 的第 4 个问题中要专门对照。

表2　项目任务与知识对应

 

二、核心知识链接

（一）单利法与复利法

单利法：只有本金生息，利息不再生息，存 n 年的本息和为 （P 为本金，r 为年利率）。

复利法：每一年的利息都并入本金，下一年连利息一起生息。第一年年末本息和为 ；第二年在 的基础上计息，得 ；一般地，n 年后的本息和为 。

可以证明：当 r＞0、n＞1 时，复利法所得的本息和不少于单利法。教材正是用“复利法不少于单利法”这一结论来比较方案的。

（二）幂的运算

求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，记作 ，其中 a 叫底数、n 叫指数。 表示 n 个 相乘，是幂的运算在实际问题中的直接应用。计算本息和时按“先算括号内，再乘方，最后相乘”的顺序进行。

（三）折现与现值

把未来某个时间的一笔钱，按一定的折现率折算成“现在的价值”，叫做折现，折算出的结果叫做现值。折现率为 t 时，n 年后的 P 元，其现值为 。

折现可以理解为复利的逆运算：今天存入这笔现值，按复利计息 n 年后恰好得到 P 元。折现率 t 常取 5%；t＝5% 时，1 年后的 1 元约合现在的 0.95 元（）。

（四）收益率

把各期回报都折成现值，如果现值之和恰好等于本金，此时的折现率就叫做这个方案的收益率。设收益率为 r，令 ，方案2 的各期回报为 1 年后 6000 元、2 年后 5025 元，于是有

两边同乘 并整理，得 ；解出 x 后减去 1，就是方案2 的收益率。

（五）一元二次方程的解法

形如 （a≠0）的方程叫做一元二次方程。当 时，可用求根公式求解：

也可以先因式分解或配方再求解。实际问题中 是正数，只取正根；解出后还要回到题目的实际意义中检验。

三、活动过程

【活动1】　单利法与复利法

教材先给一个便于比较的例子：本金 100 元、年利率 5%、存 2 年。

单利法得 （元）；复利法得 （元）。两种方法只差 0.25 元，差别来自“利息也能生息”。

【任务】（1）用两种方法分别计算 10000 元存 2 年的本息和；（2）比较两个结果，说明差在哪里；（3）本金 P、年利率 r，写出 3 年的本息和；（4）写出 n 年的本息和，并说明两种方法的关系。

【成果】（1）单利法 元；复利法 元。（2）复利法多出 25 元，这 25 元是“利息的利息”：第一年的利息 500 元在第二年也按 5% 生息，得 元。（3）单利法 ，复利法 。（4）单利法 ，复利法 ；因为每年多出的“利息的利息”都不少于 0，所以 r＞0、n＞1 时复利法不少于单利法。

表3　两种计息法的对照（本金 10000 元，年利率 5%）

 

从表3可以看出：存期越长，两种方法的差额越大。第 3 年复利比单利多出的 76.25 元，正是前两年利息所生的利息。

【活动2】　折现

教材设折现率为 t：1 年后的 1 元，相当于现在的 ；t＝5% 时约为 0.95 元。