专题14 计数原理、排列组合与二项式定理（课件）-2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》

2027版吉林省（高职分类考试） 数学二轮讲练测 专题14 计数原理、排列组合与二项式定理 1 考情总结｜2024—2026年计数与二项式 2 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 二项式定理 展开式的第4项 2024-T07 单选 4 排列 不同笔记本分给两名同学 2024-T18 单选 4 全排列 5人站成一排合影 2025-T21 单选 4 二项式定理 展开式的常数项 2025-T22 单选 4 计数原理 含0的无重复数字三位数 2026-T22 单选 4 二项式定理 根式二项展开的指定项系数 2026-T23 单选 4 2024—2026年吉林高职分类考试连续考查本专题，每题均为4分单选题。 必备知识｜计数原理与排列组合 （一）计数原理与排列组合 1．排列与排列数 (1)排列的定义：从个不同元素中取出个，按照一定顺序排成一列。 (2)排列数的定义：从个不同元素中取出个的所有不同排列的个数记为。 3 必备知识｜计数原理与排列组合 (3)排列数公式：。 (4)全排列：，且规定；。 2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个合成一组，只选不排。 4 必备知识｜计数原理与排列组合 3．附加条件的排列、组合应用题通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 6 必备知识｜计数原理与排列组合 (2)组合数的定义：从个不同元素中取出个的所有不同组合的个数记为。 (3)组合数的计算公式：，且。 (4)组合数的性质：，。 5 计数原理与排列组合·好题精练1（2024·吉林·真题T18） 从5本不同的笔记本中选2本分给两名同学，每人一本，则不同的方法有（　　） ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 【答案】C 【解析】两名同学有先后区别，相当于从5本不同笔记本中取2本作排列，共有种。故选。 7 计数原理与排列组合·好题精练2（2025·吉林·真题T21） 某技能大赛颁奖典礼后，2名老师与3名获奖学生站成一排合影留念，则不同排法有（　　） ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 【答案】D 【解析】5人互不相同，站成一排是5个元素的全排列，共有种。故选。 8 计数原理与排列组合·好题精练3（2026·吉林·真题T22） 用0，1，2，3，4，5这6个数组成没有重复数字的三位数，其个数为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】百位不能为0，有5种选法；十位从剩余5个数字中选，有5种；个位有4种。由分步乘法计数原理，共个。故选。 9 计数原理与排列组合·易错提醒 1．先判断是分类还是分步：每类都能独立完成用加法，缺一步不可用乘法。 2．交换元素顺序会产生新结果时用排列，只选不排时用组合。 3．含0数字组数时，先处理首位不能为0。 4．相邻问题用捆绑法，不相邻问题优先用插空法或间接法。 10 计数原理与排列组合·命题预测1 某事可用互不相同的3种交通方式或4种步行路线完成，则共有（　　）种方法 ． ． ． ． 【答案】B 【解析】两类方法均能独立完成此事，用分类加法计数原理，。 11 计数原理与排列组合·命题预测2 完成某项任务需先选1本书（4种），再选1支笔（3种），共有（　　）种方法 ． ． ． ． 【答案】C 【解析】两个步骤都完成任务才完成，用分步乘法计数原理，。 12 计数原理与排列组合·命题预测3 从5名学生中选2名分别担任正、副组长，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】A 【解析】两个职务有顺序，共种。 13 计数原理与排列组合·命题预测4 从6名学生中选2名参加志愿服务，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】D 【解析】只选人不排序，共种。 14 计数原理与排列组合·命题预测5 4名同学站成一排，不同排法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】B 【解析】4人全排列，共种。 15 计数原理与排列组合·命题预测6 从7本不同图书中任选3本，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】A 【解析】。 16 计数原理与排列组合·命题预测7 从5本不同图书中取2本依次借给甲、乙，每人1本，不同方法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】D 【解析】甲、乙有区别，共种。 17 计数原理与排列组合·命题预测8 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，共有（　　）个 ． ． ． ． 【答案】C 【解析】百位5种，十位5种，个位4种，共个。 18 计数原理与排列组合·命题预测9 5人站成一排，甲、乙必须相邻，不同排法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】A 【解析】将甲、乙捆绑为一个整体，再考虑内部顺序，共种。 19 计数原理与排列组合·命题预测10 从4名男生、3名女生中选2男1女组成小组，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】B 【解析】选男生和选女生是两个步骤，共种。 20 计数原理与排列组合·命题预测11 5人站成一排，甲、乙不相邻，不同排法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】C 【解析】总排法减去甲、乙相邻的，得。 21 计数原理与排列组合·命题预测12 从6名候选人中选主席、副主席各1人，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】D 【解析】两个职务有顺序，共种。 22 计数原理与排列组合·命题预测13 用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共有（　　）个 ． ． ． ． 【答案】A 【解析】4个数字全排列，共个。 23 计数原理与排列组合·命题预测14 从6个不同小球中任选2个，不同选法有（　　）种 ． ． ． ． 【答案】B 【解析】只选不排，共种。 24 必备知识｜二项式定理 （一）二项式定理 。 通项为，其中。 25 必备知识｜二项式定理 (1)项数为． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数，即与的指数和都等于。 (3)按降幂排列，按升幂排列。 26 1．二项展开式的特点 必备知识｜二项式定理 对称性：。 (1)二项式系数先增后减，中间项最大． 当为偶数时中间一项最大；当为奇数时中间两项相等且最大。 (2)；奇数项与偶数项二项式系数之和均为。 27 2．二项式系数的性质 必备知识｜二项式定理 3．二项式定理中，通项公式是展开式的第项，不是第项． 4．系数辨析： (1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在中，是该项的二项式系数，该项的系数还与，有关． 补充：二项式系数的最大值与指数的奇偶性有关。 28 二项式定理·好题精练1（2024·吉林·真题T07） 的二项展开式的第4项为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】通项为。第4项对应，故。故选。 29 二项式定理·好题精练2（2025·吉林·真题T22） 二项式的展开式中常数项是（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】通项为。令得，常数项为。故选。 30 二项式定理·好题精练3（2026·吉林·真题T23） 的展开式中，的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】通项为。令得，所以的系数为。故选。 31 二项式定理·易错提醒 1．通项下标是k加1，求第r项时应令k等于r减1。 2．二项式系数只指组合数，项的系数还包含字母项带来的常数因子与符号。 3．求常数项须令所研究变量的指数为0，并检查求得的k是否为0到n之间的整数。 4．求系数和先明确变量，再用赋值法，不能混淆项序号奇偶与幂次奇偶。 32 二项式定理·命题预测1 展开式中的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】项为，系数为10。 33 二项式定理·命题预测2 展开式中的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】D 【解析】项为。 34 二项式定理·命题预测3 的展开式共有（　　）项 ． ． ． ． 【答案】A 【解析】二项式的次幂展开后共有项，所以共有7项。 35 二项式定理·命题预测4 展开式中的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】B 【解析】项系数为。 36 二项式定理·命题预测5 展开式的常数项为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】通项中的指数为，令其为0得，常数项为。 37 二项式定理·命题预测6 展开式中的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】的系数为。 38 二项式定理·命题预测7 展开式的二项式系数之和为（　　） ． ． ． ． 【答案】B 【解析】二项式系数之和为。 39 二项式定理·命题预测8 展开式中最大的二项式系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】D 【解析】指数8为偶数，中间项二项式系数最大，即。 40 二项式定理·命题预测9 展开式中的系数为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】项为。 41 二项式定理·命题预测10 展开式的第4项为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】。 42 $