专题14 计数原理、排列组合与二项式定理（讲义）-2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题14 计数原理、排列组合与二项式定理 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 二项式定理 展开式的第4项 2024-T07 单选 4 排列 不同笔记本分给两名同学 2024-T18 单选 4 全排列 5人站成一排合影 2025-T21 单选 4 二项式定理 展开式的常数项 2025-T22 单选 4 计数原理 含0的无重复数字三位数 2026-T22 单选 4 二项式定理 根式二项展开的指定项系数 2026-T23 单选 4 2024—2026年吉林高职分类考试连续考查本专题，每题均为4分单选题。 【考点1：计数原理与排列组合】 （一）计数原理与排列组合 1．排列与排列数 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． (3)排列数公式：． (4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定． 2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合，其中，，；时为空组合，时为全选。 (2)组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． (3)组合数的计算公式：，这里规定． (4)组合数的性质：①；②． 3．附加条件的排列、组合应用题通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 1．（2024·吉林·真题T18）从5本不同的笔记本中选2本分给两名同学，每人一本，则不同的方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】两名同学有先后区别，相当于从5本不同笔记本中取2本作排列，共有种。故选C。 2．（2025·吉林·真题T21）某技能大赛颁奖典礼后，2名老师与3名获奖学生站成一排合影留念，则不同排法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】5人互不相同，站成一排是5个元素的全排列，共有种。故选D。 3．（2026·吉林·真题T22）用0，1，2，3，4，5这6个数组成没有重复数字的三位数，其个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】百位不能为0，有5种选法；十位从剩余5个数字中选，有5种；个位有4种。由分步乘法计数原理，共个。故选C。 1．先判断是分类还是分步：每类都能独立完成用加法，缺一步不可用乘法。 2．交换元素顺序会产生新结果时用排列，只选不排时用组合。 3．含0数字组数时，先处理首位不能为0。 4．相邻问题用捆绑法，不相邻问题优先用插空法或间接法。 1．某事可用互不相同的3种交通方式或4种步行路线完成，则共有（　　）种方法 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两类方法均能独立完成此事，用分类加法计数原理，。 2．完成某项任务需先选1本书（4种），再选1支笔（3种），共有（　　）种方法 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两个步骤都完成任务才完成，用分步乘法计数原理，。 3．从5名学生中选2名分别担任正、副组长，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两个职务有顺序，共种。 4．从6名学生中选2名参加志愿服务，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】只选人不排序，共种。 5．4名同学站成一排，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】4人全排列，共种。 6．从7本不同图书中任选3本，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】。 7．从5本不同图书中取2本依次借给甲、乙，每人1本，不同方法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲、乙有区别，共种。 8．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，共有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】百位5种，十位5种，个位4种，共个。 9．5人站成一排，甲、乙必须相邻，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将甲、乙捆绑为一个整体，再考虑内部顺序，共种。 10．从4名男生、3名女生中选2男1女组成小组，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选男生和选女生是两个步骤，共种。 11．5人站成一排，甲、乙不相邻，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】总排法减去甲、乙相邻的，得。 12．从6名候选人中选主席、副主席各1人，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两个职务有顺序，共种。 13．用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共有（　　）个 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】4个数字全排列，共个。 14．从6个不同小球中任选2个，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】只选不排，共种。 【考点2：二项式定理】 （一）二项式定理 ． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即． 1．二项展开式的特点 (1)项数为． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n． (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n． 2．二项式系数的性质 对称性：． (1)二项式系数先增后减，中间项最大． 当n为偶数时，第项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大． (2)各二项式系数的和：，． 3．二项式定理中，通项公式是展开式的第项，不是第项． 4．系数辨析：(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在中，是该项的二项式系数，该项的系数还与，有关． 补充：二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 1．（2024·吉林·真题T07）的二项展开式的第4项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】通项为。第4项对应，故。故选C。 2．（2025·吉林·真题T22）二项式的展开式中常数项是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】通项为。令得，常数项为。故选A。 3．（2026·吉林·真题T23）的展开式中，的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】通项为。令得，所以的系数为。故选A。 1．通项下标是k加1，求第r项时应令k等于r减1。 2．二项式系数只指组合数，项的系数还包含字母项带来的常数因子与符号。 3．求常数项须令所研究变量的指数为0，并检查求得的k是否为0到n之间的整数。 4．求系数和先明确变量，再用赋值法，不能混淆项序号奇偶与幂次奇偶。 1．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】项为，系数为10。 2．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】项为。 3．的展开式共有（　　）项 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】二项式的次幂展开后共有项，所以共有7项。 4．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】项系数为。 5．展开式的常数项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】通项中的指数为，令其为0得，常数项为。 6．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的系数为。 7．展开式的二项式系数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二项式系数之和为。 8．展开式中最大的二项式系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】指数8为偶数，中间项二项式系数最大，即。 9．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】项为。 10．展开式的第4项为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题14 计数原理、排列组合与二项式定理 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 二项式定理 展开式的第4项 2024-T07 单选 4 排列 不同笔记本分给两名同学 2024-T18 单选 4 全排列 5人站成一排合影 2025-T21 单选 4 二项式定理 展开式的常数项 2025-T22 单选 4 计数原理 含0的无重复数字三位数 2026-T22 单选 4 二项式定理 根式二项展开的指定项系数 2026-T23 单选 4 2024—2026年吉林高职分类考试连续考查本专题，每题均为4分单选题。 【考点1：计数原理与排列组合】 （一）计数原理与排列组合 1．排列与排列数 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示． (3)排列数公式：． (4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，．排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定． 2．组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合，其中，，；时为空组合，时为全选。 (2)组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示． (3)组合数的计算公式：，这里规定． (4)组合数的性质：①；②． 3．附加条件的排列、组合应用题通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 1．（2024·吉林·真题T18）从5本不同的笔记本中选2本分给两名同学，每人一本，则不同的方法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2025·吉林·真题T21）某技能大赛颁奖典礼后，2名老师与3名获奖学生站成一排合影留念，则不同排法有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2026·吉林·真题T22）用0，1，2，3，4，5这6个数组成没有重复数字的三位数，其个数为（　　） A． B． C． D． 1．先判断是分类还是分步：每类都能独立完成用加法，缺一步不可用乘法。 2．交换元素顺序会产生新结果时用排列，只选不排时用组合。 3．含0数字组数时，先处理首位不能为0。 4．相邻问题用捆绑法，不相邻问题优先用插空法或间接法。 1．某事可用互不相同的3种交通方式或4种步行路线完成，则共有（　　）种方法 A． B． C． D． 2．完成某项任务需先选1本书（4种），再选1支笔（3种），共有（　　）种方法 A． B． C． D． 3．从5名学生中选2名分别担任正、副组长，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 4．从6名学生中选2名参加志愿服务，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 5．4名同学站成一排，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 6．从7本不同图书中任选3本，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 7．从5本不同图书中取2本依次借给甲、乙，每人1本，不同方法有（　　）种 A． B． C． D． 8．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，共有（　　）个 A． B． C． D． 9．5人站成一排，甲、乙必须相邻，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 10．从4名男生、3名女生中选2男1女组成小组，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 11．5人站成一排，甲、乙不相邻，不同排法有（　　）种 A． B． C． D． 12．从6名候选人中选主席、副主席各1人，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 13．用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，共有（　　）个 A． B． C． D． 14．从6个不同小球中任选2个，不同选法有（　　）种 A． B． C． D． 【考点2：二项式定理】 （一）二项式定理 ． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即． 1．二项展开式的特点 (1)项数为． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n． (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减小1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增加1直到n． 2．二项式系数的性质 对称性：． (1)二项式系数先增后减，中间项最大． 当n为偶数时，第项的二项式系数最大；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大． (2)各二项式系数的和：，． 3．二项式定理中，通项公式是展开式的第项，不是第项． 4．系数辨析：(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在中，是该项的二项式系数，该项的系数还与，有关． 补充：二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 1．（2024·吉林·真题T07）的二项展开式的第4项为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·吉林·真题T22）二项式的展开式中常数项是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·吉林·真题T23）的展开式中，的系数为（　　） A． B． C． D． 1．通项下标是k加1，求第r项时应令k等于r减1。 2．二项式系数只指组合数，项的系数还包含字母项带来的常数因子与符号。 3．求常数项须令所研究变量的指数为0，并检查求得的k是否为0到n之间的整数。 4．求系数和先明确变量，再用赋值法，不能混淆项序号奇偶与幂次奇偶。 1．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 2．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 3．的展开式共有（　　）项 A． B． C． D． 4．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 5．展开式的常数项为（　　） A． B． C． D． 6．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 7．展开式的二项式系数之和为（　　） A． B． C． D． 8．展开式中最大的二项式系数为（　　） A． B． C． D． 9．展开式中的系数为（　　） A． B． C． D． 10．展开式的第4项为（　　） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $