专题13 立体几何（课件）-2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》

2027版吉林省（高职分类考试） 数学二轮讲练测 专题13 立体几何 1 考情总结｜2022—2026年立体几何（1/3） 2 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 简单几何体 半球表面积 2023-T24 单选 4 空间位置关系 三棱锥中的异面直线 2023-T15 单选 4 空间角 正方体中的异面直线所成角 2024-T15、2025-T25 单选 4 简单几何体 正方体内切球体积 2024-T24 单选 4 空间位置关系 线面、面面关系判断 2024-T26 单选 4 空间位置关系 平行与垂直命题判断 2025-T23 单选 4 考情总结｜2022—2026年立体几何（2/3） 3 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 简单几何体 正方体外接球体积 2025-T24 单选 4 简单几何体 球截面与球表面积 2026-T24 单选 4 空间位置关系 长方体中的线线垂直 2026-T25 单选 4 空间位置关系 线面垂直判定 2026-T26 单选 4 长方体 线面角与面面垂直证明 2022-T32 解答题 10 正方体 平行、垂直证明与三棱锥体积 2023-T32 解答题 10 考情总结｜2022—2026年立体几何（3/3） 4 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 四棱锥 线面平行证明与三棱锥体积 2024-T32 解答题 10 三棱柱 平行或垂直证明，并考查线面角或三棱锥体积 2025-T32、2026-T32 解答题 10 立体几何解答题 2022—2026年T32连续设置立体几何解答题 2022-T32、2023-T32、2024-T32、2025-T32、2026-T32 考情结论 10 2023—2026年单选题持续考查简单几何体度量、空间位置关系与空间角；2022—2026年T32连续设置立体几何解答题. 必备知识｜简单几何体 第一部分：简单几何体 1．柱、锥、球的结构特征 (1)柱体包括棱柱和圆柱：两个底面平行且全等，侧面连接对应边或对应点。 (2)锥体包括棱锥和圆锥：只有一个底面，侧面汇聚于同一个顶点。 5 必备知识｜简单几何体 (3)球由半圆绕直径所在直线旋转形成，球面上的点到球心距离相等。 2．柱、锥、球的表面积与体积 (1)圆柱侧面积；圆锥侧面积。 (2)柱体；锥体；球，。 6 简单几何体·好题精练1（2022·吉林·真题T28） 已知正方体的体积为，则它的棱长为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】设棱长为，则，所以。故选。 18 简单几何体·好题精练2（2023·吉林·真题T24） 半径为的半球（含底面）的表面积为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】半球曲面面积为，底面面积为，故总表面积为。故选。 19 简单几何体·好题精练3（2025·吉林·真题T24（同型重构）） 一个正方体的顶点都在同一个球面上，正方体棱长为，则该球的体积为（　　） ． ． ． ． 【答案】B 【解析】球的直径等于正方体体对角线，故，于是。故选。 20 简单几何体·易错提醒 1．表面积要先判断是否含底面，半球总表面积不能只算曲面。 2．圆锥体积公式含三分之一系数，侧面积公式中的字母表示母线长而不是高。 3．正方体内切球直径等于棱长，外接球直径等于体对角线。 4．组合体计算要先辨清重合面，重合部分不计入外表面积。 5．等体积转化必须同时抓住共同的底面积或高，不能只凭图形外观判断。 21 简单几何体·命题预测1 圆柱的底面半径为，高为，其体积为（　　） ． ． ． ． 【答案】D 【解析】。故选。 22 简单几何体·命题预测2 圆锥的底面半径为，高为，其体积为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】。故选。 23 简单几何体·命题预测3 半径为的球的表面积为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】。故选。 24 简单几何体·命题预测4 半径为的球的体积为（　　） ． ． ． ． 【答案】B 【解析】。故选。 25 简单几何体·命题预测5 如图所示，正三棱柱的底边长和侧棱长均为，则该棱柱的表面积是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】D 【解析】侧面积为，两底面积之和为，所以表面积为。故选D。 26 简单几何体·命题预测6 长、宽、高分别为，，的长方体体积为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】。故选。 27 简单几何体·命题预测7 圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为（　　） ． ． ． ． 【答案】C 【解析】。故选。 28 简单几何体·命题预测8 圆柱的底面半径为，高为，其表面积为（　　） ． ． ． ． 【答案】B 【解析】。故选。 29 简单几何体·命题预测9 某粮囤由圆柱体和圆锥形顶组成，如图所示。圆柱底面直径为、高为，圆锥母线与底面圆直径成角，则粮囤容积为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】A 【解析】圆柱与圆锥的底面半径均为4 m，圆锥高也为4 m，故容积为。故选A。 30 简单几何体·命题预测10 等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】圆柱体积为，圆锥体积为，比为。故选。 31 必备知识｜立体几何 第二部分：立体几何 1．平面的基本性质 (1)一条直线上的两点在平面内，则整条直线在平面内。 (2)过不共线的三点，有且只有一个平面。 7 必备知识｜立体几何 (3)两个不重合平面有公共点，则有且只有一条过该点的公共直线。 2．空间线线、线面、面面的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 ①相交直线共面且有一个公共点。 8 ②平行直线共面且没有公共点。 必备知识｜立体几何 ③异面直线不同在任何一个平面内；所成角为直角时称两异面直线垂直。 (2)直线与平面的位置关系 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 9 (3)平面与平面的位置关系 两个平面有两种位置关系：相交或平行；相交时有且只有一条公共直线。 必备知识｜立体几何 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行；线面平行时，过该直线的平面与已知平面的交线平行于该直线。 (2)面面平行 一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面，则两平面平行；两平行平面被第三平面所截，交线平行。 11 3．平行关系的判定与性质 (1)线面平行 必备知识｜立体几何 (1)直线与平面垂直 ①定义：直线与平面内任意直线都垂直，则该直线与平面垂直。 ②判定：直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。 ③性质：垂直于同一平面的两条直线平行。 12 4．垂直关系的判定与性质 必备知识｜立体几何 (2)平面与平面垂直 ①定义：两平面所成二面角为直二面角，则两平面垂直。 ②判定：一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直。 ③性质：两平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 13 必备知识｜立体几何 5．空间角 (1)异面直线所成角 ①把两条异面直线平移到同一点，所得锐角或直角为异面直线所成角。 ②异面直线所成角范围为。 14 必备知识｜立体几何 (2)直线与平面所成角 ①线面角是斜线与它在平面内射影所成的锐角。 ②直线平行于平面或在平面内时线面角为0；垂直时为。 ③线面角范围为。 15 必备知识｜立体几何 (3)二面角 ①二面角由一条直线出发的两个半平面组成。 ②二面角的平面角由棱上同一点处两条分别垂直于棱的射线构成。 ③二面角范围为。 16 必备知识｜立体几何 6．简单证明 (1)基本思路：由结论逆向寻找判定定理所需条件，再按条件逐步证明。 (2)证明平行：线面平行常转化为线线平行；面面平行常转化为两组线面平行。 (3)证明垂直：线面垂直常转化为线线垂直；面面垂直常转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线。 17 立体几何·好题精练1（2022·吉林·真题T30） 下列说法中正确的是（　　） ． 不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 ． 空间内任意三个点可以确定一个平面 ． 过平面外一点可作无数条直线与该平面垂直 ． 平行于同一平面的两条直线一定平行 【答案】A 【解析】异面直线的定义是不同在任何一个平面内的两条直线。其余命题分别遗漏了三点不共线、垂线唯一以及直线可能相交或异面的条件。故选。 32 立体几何·好题精练2（2025·吉林·真题T23） 下列命题正确的是（　　）①垂直于同一直线的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③垂直于同一直线的两平面平行；④垂直于同一平面的两平面平行。 ． ①② ． ②③ ． ③④ ． ①④ 【答案】B 【解析】空间中垂直于同一直线的两直线不一定平行；垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一平面的两平面不一定平行。故选。 33 立体几何·好题精练3（2026·吉林·真题T26） 下列命题正确的是（　　） ． 经过三点有且只有一个平面 ． 若，则内任意直线均垂直于 ． 若平行于内一条直线，则 ． 若垂直于内两条相交直线，则 【答案】D 【解析】线面垂直的判定要求直线垂直于平面内两条相交直线。其余命题均缺少必要条件。故选。 34 立体几何·易错提醒 1．过三点确定平面必须补充三点不共线。 2．两直线无公共点不一定平行，还可能异面。 3．线面平行判定需确认平面外直线与平面内直线平行。 4．线面垂直判定中的两条直线必须在平面内且相交。 5．求异面直线所成角要先平移到同一点，求线面角要找斜线在平面内的射影。 6．面面垂直后，只有一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面。 35 立体几何·命题预测1 过空间中不共线的三点，可以确定平面的个数为（　　） ． ． ． ． 无数个 【答案】C 【解析】过不共线的三点有且只有一个平面。故选。 36 立体几何·命题预测2 若两条直线没有公共点，则这两条直线（　　） ． 平行或异面 ． 一定平行 ． 一定异面 ． 一定垂直 【答案】A 【解析】空间中没有公共点的两条直线可能共面平行，也可能异面。故选。 37 立体几何·命题预测3 若，，则与的位置关系是（　　） ． ． 与相交 ． 无法确定 ． 【答案】D 【解析】由空间平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行。故选。 38 立体几何·命题预测4 若直线与平面内一条直线平行，则与（　　） ． 一定平行 ． 平行或 ． 一定相交 ． 一定垂直 【答案】B 【解析】还需排除直线在平面内的情形，才能判定线面平行。故选。 39 立体几何·命题预测5 若，过的平面与相交于，则（　　） ． ． 与异面 ． ． 【答案】C 【解析】由线面平行的性质定理，过平行于平面的直线作平面与已知平面相交，则该直线平行于交线。故选。 40 立体几何·命题预测6 若平面内两条相交直线分别平行于平面，则与（　　） ． ． ． 与相交 ． 无法确定 【答案】A 【解析】由面面平行的判定定理可得。故选。 41 立体几何·命题预测7 若直线，直线，则（　　） ． ． 与异面 ． 无法确定 ． 【答案】D 【解析】垂直于平面的直线垂直于该平面内任意一条直线。故选。 42 立体几何·命题预测8 若，，则（　　） ． ． ． 与相交 ． 与异面 【答案】B 【解析】垂直于同一平面的两条直线平行。故选。 43 立体几何·命题预测9 若平面经过平面的一条垂线，则（　　） ． ． ． ． 无法确定 【答案】C 【解析】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。故选。 44 立体几何·命题预测10 直线与平面所成角的取值范围是（　　） ． ． ． ． 【答案】A 【解析】直线平行于平面或在平面内时角为0，直线垂直于平面时角为。故选。 45 立体几何·命题预测11 异面直线所成角的取值范围是（　　） ． ． ． ． 【答案】D 【解析】异面直线所成角为锐角或直角，不可能为0。故选。 46 立体几何·命题预测12 如图，在正三棱柱中，是的中点。下列结论正确的是（　　） A．　B． C．　D． 【答案】A 【解析】连接A₁C交AC₁于E，连接DE，则E、D分别为A₁C、BC的中点，所以。又，且，故选A。 47 立体几何·命题预测13 如图，在正三棱锥中，，则下列结论一定成立的是（　　） A．　　　B． C．　D． 【答案】A 【解析】直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内任意直线。因为，且，所以。故选A。 48 立体几何·命题预测14 在正方体中，直线与的位置关系为（　　） ． 相交且垂直 ． 平行 ． 异面 ． 相交但不垂直 【答案】A 【解析】与是正方形的两条对角线，相交且垂直。故选。 49 $