专题13 立体几何（讲义）-2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题13 立体几何 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 简单几何体 半球表面积 2023-T24 单选 4 空间位置关系 三棱锥中的异面直线 2023-T15 单选 4 空间角 正方体中的异面直线所成角 2024-T15、2025-T25 单选 4 简单几何体 正方体内切球体积 2024-T24 单选 4 空间位置关系 线面、面面关系判断 2024-T26 单选 4 空间位置关系 平行与垂直命题判断 2025-T23 单选 4 简单几何体 正方体外接球体积 2025-T24 单选 4 简单几何体 球截面与球表面积 2026-T24 单选 4 空间位置关系 长方体中的线线垂直 2026-T25 单选 4 空间位置关系 线面垂直判定 2026-T26 单选 4 长方体 线面角与面面垂直证明 2022-T32 解答题 10 正方体 平行、垂直证明与三棱锥体积 2023-T32 解答题 10 四棱锥 线面平行证明与三棱锥体积 2024-T32 解答题 10 三棱柱 平行或垂直证明，并考查线面角或体积 2025-T32、2026-T32 解答题 10 2023—2026年单选题持续考查简单几何体度量、空间位置关系与空间角；2022—2026年T32连续设置立体几何解答题。 【考点1：简单几何体】 第一部分：简单几何体 1．柱、锥、球的结构特征 (1)柱体包括棱柱和圆柱：两个底面平行且全等，侧面连接对应边或对应点。 (2)锥体包括棱锥和圆锥：只有一个底面，侧面汇聚于同一个顶点。 (3)球由半圆绕直径所在直线旋转形成，球面上的点到球心距离相等。 2．柱、锥、球的表面积与体积 圆柱 圆锥 侧面展开图 侧面积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) V＝ S底h 锥体 (棱锥和圆锥) 球 1．（2022·吉林·真题T28）已知正方体的体积为，则它的棱长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·吉林·真题T24）半径为的半球（含底面）的表面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·真题T24（同型重构））一个正方体的顶点都在同一个球面上，正方体棱长为，则该球的体积为（　　） A． B． C． D． 1．表面积要先判断是否含底面，半球总表面积不能只算曲面。 2．圆锥体积公式含三分之一系数，侧面积公式中的字母表示母线长而不是高。 3．正方体内切球直径等于棱长，外接球直径等于体对角线。 4．组合体计算要先辨清重合面，重合部分不计入外表面积。 5．等体积转化必须同时抓住共同的底面积或高，不能只凭图形外观判断。 1．圆柱的底面半径为，高为，其体积为（　　） A． B． C． D． 2．圆锥的底面半径为，高为，其体积为（　　） A． B． C． D． 3．半径为的球的表面积为（　　） A． B． C． D． 4．半径为的球的体积为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，正三棱柱的底边长和侧棱长均为，则该棱柱的表面积是（　　） A．　B．　C．　D． 6．长、宽、高分别为，，的长方体体积为（　　） A． B． C． D． 7．圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为（　　） A． B． C． D． 8．圆柱的底面半径为，高为，其表面积为（　　） A． B． C． D． 9．某粮囤由圆柱体和圆锥形顶组成，如图所示。圆柱底面直径为、高为，圆锥母线与底面圆直径成角，则粮囤的容积为（　　） A．　B．　C．　D． 10．等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【考点2：立体几何】 第二部分：立体几何 1．平面的基本性质 (1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)过不共线的三点，有且只有一个平面． (3)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间线线、线面、面面的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 ①相交直线共面且有一个公共点。 ②平行直线共面且没有公共点。 ③异面直线不同在任何一个平面内；所成角为直角时称两异面直线垂直。 (2)直线与平面的位置关系 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 (3)平面与平面的位置关系 两个平面有两种位置关系：相交或平行；相交时有且只有一条公共直线。 3．平行关系的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ，， ，， 结论 (2)面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ，，，， ，， ， 结论 4．垂直关系的判定与性质 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：，，，，. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：，. (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：，. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：，，，. 5．空间角 (1)异面直线所成角 ①把两条异面直线平移到同一点，所得锐角或直角为异面直线所成角。 ②范围：. (2)直线与平面所成角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． ②直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角为；若直线与平面垂直，直线与平面所成角为． ③线面角的范围：． (3)二面角 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 6．简单证明 (1)基本思路：由结论逆向寻找判定定理所需条件，再按条件逐步证明。 (2)证明平行：线面平行常转化为线线平行；面面平行常转化为两组线面平行。 (3)证明垂直：线面垂直常转化为线线垂直；面面垂直常转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线。 1．（2022·吉林·真题T30）下列说法中正确的是（　　） A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B．空间内任意三个点可以确定一个平面 C．过平面外一点可作无数条直线与该平面垂直 D．平行于同一平面的两条直线一定平行 2．（2025·吉林·真题T23）下列命题正确的是（　　）①垂直于同一直线的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③垂直于同一直线的两平面平行；④垂直于同一平面的两平面平行。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（2026·吉林·真题T26）下列命题正确的是（　　） A．经过三点有且只有一个平面 B．若，则内任意直线均垂直于 C．若平行于内一条直线，则 D．若垂直于内两条相交直线，则 1．过三点确定平面必须补充三点不共线。 2．两直线无公共点不一定平行，还可能异面。 3．线面平行判定需确认平面外直线与平面内直线平行。 4．线面垂直判定中的两条直线必须在平面内且相交。 5．求异面直线所成角要先平移到同一点，求线面角要找斜线在平面内的射影。 6．面面垂直后，只有一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面。 1．过空间中不共线的三点，可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D．无数个 2．若两条直线没有公共点，则这两条直线（　　） A．平行或异面 B．一定平行 C．一定异面 D．一定垂直 3．若，，则与的位置关系是（　　） A． B．与相交 C．无法确定 D． 4．若直线与平面内一条直线平行，则与（　　） A．一定平行 B．平行或 C．一定相交 D．一定垂直 5．若，过的平面与相交于，则（　　） A． B．与异面 C． D． 6．若平面内两条相交直线分别平行于平面，则与（　　） A． B． C．与相交 D．无法确定 7．若直线，直线，则（　　） A． B．与异面 C．无法确定 D． 8．若，，则（　　） A． B． C．与相交 D．与异面 9．若平面经过平面的一条垂线，则（　　） A． B． C． D．无法确定 10．直线与平面所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．异面直线所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．如图，在正三棱柱中，是的中点。下列结论正确的是（　　） A．平面　B．平面　C．平面　D．与平面相交 13．如图，在正三棱锥中，平面，则下列结论一定成立的是（　　） A．　B．平面　C．平面平面　D．平面 14．在正方体中，直线与的位置关系为（　　） A．相交且垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》紧扣考试要求和最新考试真题，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027版吉林省（高职分类考试）《数学二轮讲练测》 专题13 立体几何 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 简单几何体 半球表面积 2023-T24 单选 4 空间位置关系 三棱锥中的异面直线 2023-T15 单选 4 空间角 正方体中的异面直线所成角 2024-T15、2025-T25 单选 4 简单几何体 正方体内切球体积 2024-T24 单选 4 空间位置关系 线面、面面关系判断 2024-T26 单选 4 空间位置关系 平行与垂直命题判断 2025-T23 单选 4 简单几何体 正方体外接球体积 2025-T24 单选 4 简单几何体 球截面与球表面积 2026-T24 单选 4 空间位置关系 长方体中的线线垂直 2026-T25 单选 4 空间位置关系 线面垂直判定 2026-T26 单选 4 长方体 线面角与面面垂直证明 2022-T32 解答题 10 正方体 平行、垂直证明与三棱锥体积 2023-T32 解答题 10 四棱锥 线面平行证明与三棱锥体积 2024-T32 解答题 10 三棱柱 平行或垂直证明，并考查线面角或三棱锥体积 2025-T32、2026-T32 解答题 10 2023—2026年单选题持续考查简单几何体度量、空间位置关系与空间角；2022—2026年T32连续设置立体几何解答题。 【考点1：简单几何体】 第一部分：简单几何体 1．柱、锥、球的结构特征 (1)柱体包括棱柱和圆柱：两个底面平行且全等，侧面连接对应边或对应点。 (2)锥体包括棱锥和圆锥：只有一个底面，侧面汇聚于同一个顶点。 (3)球由半圆绕直径所在直线旋转形成，球面上的点到球心距离相等。 2．柱、锥、球的表面积与体积 圆柱 圆锥 侧面展开图 侧面积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) V＝ S底h 锥体 (棱锥和圆锥) 球 1．（2022·吉林·真题T28）已知正方体的体积为，则它的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱长为，则，所以。故选C。 2．（2023·吉林·真题T24）半径为的半球（含底面）的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】半球曲面面积为，底面面积为，故总表面积为。故选A。 3．（2025·吉林·真题T24（同型重构））一个正方体的顶点都在同一个球面上，正方体棱长为，则该球的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】球的直径等于正方体体对角线，故，于是。故选B。 1．表面积要先判断是否含底面，半球总表面积不能只算曲面。 2．圆锥体积公式含三分之一系数，侧面积公式中的字母表示母线长而不是高。 3．正方体内切球直径等于棱长，外接球直径等于体对角线。 4．组合体计算要先辨清重合面，重合部分不计入外表面积。 5．等体积转化必须同时抓住共同的底面积或高，不能只凭图形外观判断。 1．圆柱的底面半径为，高为，其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】。故选D。 2．圆锥的底面半径为，高为，其体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】。故选A。 3．半径为的球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】。故选C。 4．半径为的球的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】。故选B。 5．如图所示，正三棱柱的底边长和侧棱长均为，则该棱柱的表面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解析】侧面积为，两底面积之和为，所以表面积为。故选D。 6．长、宽、高分别为，，的长方体体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】。故选A。 7．圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】。故选C。 8．圆柱的底面半径为，高为，其表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】。故选B。 9．某粮囤由圆柱体和圆锥形顶组成，如图所示。圆柱底面直径为、高为，圆锥母线与底面圆直径成角，则粮囤的容积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解析】圆柱与圆锥的底面半径均为。由角可得圆锥高为，故容积为。故选A。 10．等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆柱体积为，圆锥体积为，比为。故选A。 【考点2：立体几何】 第二部分：立体几何 1．平面的基本性质 (1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (2)过不共线的三点，有且只有一个平面． (3)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2．空间线线、线面、面面的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 ①相交直线共面且有一个公共点。 ②平行直线共面且没有公共点。 ③异面直线不同在任何一个平面内；所成角为直角时称两异面直线垂直。 (2)直线与平面的位置关系 直线与平面有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 (3)平面与平面的位置关系 两个平面有两种位置关系：相交或平行；相交时有且只有一条公共直线。 3．平行关系的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ，， ，， 结论 (2)面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 ，，，， ，， ， 结论 4．垂直关系的判定与性质 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：，，，，. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：，. (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：，. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：，，，. 5．空间角 (1)异面直线所成角 ①把两条异面直线平移到同一点，所得锐角或直角为异面直线所成角。 ②范围：. (2)直线与平面所成角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． ②直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角为；若直线与平面垂直，直线与平面所成角为． ③线面角的范围：． (3)二面角 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 6．简单证明 (1)基本思路：由结论逆向寻找判定定理所需条件，再按条件逐步证明。 (2)证明平行：线面平行常转化为线线平行；面面平行常转化为两组线面平行。 (3)证明垂直：线面垂直常转化为线线垂直；面面垂直常转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线。 1．（2022·吉林·真题T30）下列说法中正确的是（　　） A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线 B．空间内任意三个点可以确定一个平面 C．过平面外一点可作无数条直线与该平面垂直 D．平行于同一平面的两条直线一定平行 【答案】A 【解析】异面直线的定义是不同在任何一个平面内的两条直线。其余命题分别遗漏了三点不共线、垂线唯一以及直线可能相交或异面的条件。故选A。 2．（2025·吉林·真题T23）下列命题正确的是（　　）①垂直于同一直线的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③垂直于同一直线的两平面平行；④垂直于同一平面的两平面平行。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】空间中垂直于同一直线的两直线不一定平行；垂直于同一平面的两直线平行；垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一平面的两平面不一定平行。故选B。 3．（2026·吉林·真题T26）下列命题正确的是（　　） A．经过三点有且只有一个平面 B．若，则内任意直线均垂直于 C．若平行于内一条直线，则 D．若垂直于内两条相交直线，则 【答案】D 【解析】线面垂直的判定要求直线垂直于平面内两条相交直线。其余命题均缺少必要条件。故选D。 1．过三点确定平面必须补充三点不共线。 2．两直线无公共点不一定平行，还可能异面。 3．线面平行判定需确认平面外直线与平面内直线平行。 4．线面垂直判定中的两条直线必须在平面内且相交。 5．求异面直线所成角要先平移到同一点，求线面角要找斜线在平面内的射影。 6．面面垂直后，只有一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面。 1．过空间中不共线的三点，可以确定平面的个数为（　　） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【解析】过不共线的三点有且只有一个平面。故选C。 2．若两条直线没有公共点，则这两条直线（　　） A．平行或异面 B．一定平行 C．一定异面 D．一定垂直 【答案】A 【解析】空间中没有公共点的两条直线可能共面平行，也可能异面。故选A。 3．若，，则与的位置关系是（　　） A． B．与相交 C．无法确定 D． 【答案】D 【解析】由空间平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行。故选D。 4．若直线与平面内一条直线平行，则与（　　） A．一定平行 B．平行或 C．一定相交 D．一定垂直 【答案】B 【解析】还需排除直线在平面内的情形，才能判定线面平行。故选B。 5．若，过的平面与相交于，则（　　） A． B．与异面 C． D． 【答案】C 【解析】由线面平行的性质定理，过平行于平面的直线作平面与已知平面相交，则该直线平行于交线。故选C。 6．若平面内两条相交直线分别平行于平面，则与（　　） A． B． C．与相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】由面面平行的判定定理可得。故选A。 7．若直线，直线，则（　　） A． B．与异面 C．无法确定 D． 【答案】D 【解析】垂直于平面的直线垂直于该平面内任意一条直线。故选D。 8．若，，则（　　） A． B． C．与相交 D．与异面 【答案】B 【解析】垂直于同一平面的两条直线平行。故选B。 9．若平面经过平面的一条垂线，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。故选C。 10．直线与平面所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线平行于平面或在平面内时角为0，直线垂直于平面时角为。故选A。 11．异面直线所成角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】异面直线所成角为锐角或直角，不可能为0。故选D。 12．如图，在正三棱柱中，是的中点。下列结论正确的是（　　） A．平面　B．平面　C．平面　D．与平面相交 【答案】A 【解析】连接交于，连接。矩形的对角线互相平分，所以为的中点；又为的中点，故。因为平面，且平面，所以平面。故选A。 13．如图，在正三棱锥中，平面，则下列结论一定成立的是（　　） A．　B．平面　C．平面平面　D．平面 【答案】A 【解析】直线垂直于平面，则该直线垂直于平面内任意一条直线。因为平面，且平面，所以。故选A。 14．在正方体中，直线与的位置关系为（　　） A．相交且垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】与是正方形的两条对角线，相交且垂直。故选A。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $