周测评（十五）数学·平面向量的概念及运算-【衡水真题密卷】2026-2027学年高一下册数学学科素养周测评（人教A版）

学山腰太挤，去山项看看 2026一2027学年度高一学科素养周测评（十五） 数学·平面向量的概念及运算 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 A.ao∥bo 24分。在每小题给出的四个选项中，只 B.a=alao 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 4 C.ao+bo-0 答案 D.bo--Jal 1.下列选项中是向量的为 ( A.课桌的高度 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 B.一段路程的公里数 12分。在每小题给出的选项中，有多项 C.上课时老师敲击黑板的频率 符合题目要求。全部选对的得6分，部 D,小汽车受到路面的弹力 分选对的得部分分，有选错的得0分。 2.已知AB=a+5b,BC=-2a十8b,CD 题号 5 6 =3a一3b,则 答案 A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 5.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是 C.B,C,D三点共线 ( ) D.A,C,D三点共线 A.a=3e,b=-2e 3.已知单位向量a,b满足a·b= 3,则a Ba=3e,b= 1 3e 十b在a上的投影向量为 ( 1 C.a=e-e:b-e:-e1 A.30 2 1 B.20 D.a=ei-e:,b-e1+ez+ei+ez 2 6.已知单位向量a,b的夹角为0，则下列结 4 C.3 论正确的有 5 D.30 A.(a+b)⊥(a-b) 4.设a0是与向量a同向的单位向量，b。是 B.a在b方向上的投影向量为(a·b)b 与向量a反向的单位向量，则下列选项 C.若|a+b=1,则0=1209 中错误的是 () D.若(a+b)·a=(a-b)·a,则a∥b 高一学科素养周测评（十五）数学第1页（共2页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 10.(30分)如图，在梯形ABCD中，AB= 12分。 2DC,∠BAD=90°，AB=AD=2,E为 7.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量， 线段BC的中点，记AB=a,AD=b. a=2e1+ae2,b=e1+(x+1)e2,若a∥ b,则入=一· 8.已知向量a与b的夹角为60°，|a|= 3,b|=1,则|a+b|= (1)用a,b表示向量AE: 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 (2)求AE的值； 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (3)求AE与BD夹角的余弦值. 9.(22分)已知a,b不共线， (1)AB=2a+b,BC=a-3b,CD= -a+ 3b,证明：A,C,D三点共线。 13 (2)若向量6-0与20一2b共线，求实 数t的值 高一学科素养周测评（十五）数学第2页（共2页）·数学· 参考答案及解析 2 所以MN=ON-OM=2cos0 3 sin 0, (i)因为9e(0,》,所以29+∈（后，》， 则S(0)=MN·PN=2sin02cos0 23. 3 sin 0 所以当9+行产即0一晋时S0》原得址大值。 4√3 -4sin Ocos 0- 3sin20 s() 432323 33 31 3c0s2023 =2sin20+2 π 3 即当9三6时，5(0)取得最大值，最大值为3 43, sn(2o+-2 -3 (22分) (30分) 2026一2027学年度高一学科素养周测评（十五） 数学·平面向量的概念及运算 一、选择题 以有a=aa。,故B正确；因为a。和b。是方向 1D【解析】向量是既有大小，又有方向的量，而 相反的单位向量，所以a。十b。=0,故C错误；因 高度、公里数、频率只有大小，没有方向，所以不 为a是a的模长，且b。是与向量a反向的单位 是向量；弹力既有大小，又有方向，所以弹力是 向量，所以有a=一ab,整理得到b。=一a' a 向量. 2.A【解析】因为AB=a十5b,BC=-2a+ 故D正确， 8b,CD=3a-3b,所以BD=BC+CD=a+5b, 二、选择题 所以AB=BD,所以AB与BD共线，又因为两 5.ABC【解析)b=二三a,即a∥b,故A正确：b 向量有一个公共，点B,所以A,B,D三点共线，故 A正确；由AB=a十5b,BC=-2a+8b,可得 -2a,即a∥h,故B正确；a=e,-eg,b=e+e? 2 f所以不夺在1使释A这-B心，故小 e1=-ge+2,则b=-0 1 1 -2a,即a∥b,故C正 B,C三点不共线，故B错误；由BC=-2a十 8b,C防=30-36，可得号+8所以不香在 %08-eb=6+e:+g-名a+e 只有当e1=0或e2=0或e1=e2或e1=一e2时 使BC=λCD,故B,C,D三，点不共线，故C错 a∥b,否则b≠λa,所以向量a,b不一定平行，故 误：AC=AB+BC=a+5b-2a+8b=-a+ D错误. 156,又Ci-a-动，可得+小号所以不存在 6.ABC【解析】因为a,b都是单位向量，所以|a A使AC=ACD,故A,C,D三点不共线，故D =|b=1,所以(a十b)·(a-b)=a2-b2=0,即 错误 (a十b)⊥(a-b),故A正确；a在b方向上的投 3.D【解析】a十b在a上的投影向量为Ca+b)·a b |a2 影有量为1am6名=a·8治·合 2 12 ·a3+1 (a·b)b,故B正确；若|a十b=1,则a2十2a·b a=a·b+a2 +b=1,即a6=-分：甲c0s0=-安，因为0 4.C【解析】因为a。是与向量a同向的单位向量， b。是与向量a反向的单位向量，所以a0与b。以 ≤0≤180°，所以0=120°，故C正确；若(a十b)·a= 及a都共线，得到ao∥b,故A正确；因为a|是 (a-b)·a,即a2十a·b=a2-a·b,则a·b= a的模长，且a。是与向量a同向的单位向量，所 0,即a⊥b,故D错误. ·3 2026 学科素养周测评 三、填空题 以A应-2+AC), (5分) 7.一2【解析】由a∥b得十1=2，解得入=-2. 因为A店=2D元，所以DC-, 8.√13【解析】因为a·b=3×1×c0s60°=多，所 由向量的加法法则得AC=AD+DC=AD+ 以a+b|=√(a+b)2=√a2+b2+2a·b 蓝-6+， (7分) =√13. 放g硒+)=号(e+b+) 3 四、解答题 2a 1 =4a+2b, 9.(1证明：由于C而-a+号，A亡-A+BC- 即A它-3。+1 4a+2b. (12分) 3a26=-3(-a+号b),即a配=-30或， (2)由∠BAD=90°，可得a·b=0,又有a= 2,|b=2, 可得AC∥CD且C为公共点，所以A,C,D三 点共线。 (11分) 所以=（a+2b)°=a+ (2)解：由于向量b-0与70-b共线，则存在 1 +b1-6×4+×4- 161 4 4,故A=3 2 唯一实数X,使得b-a=以(2a-多b, (20分) (3)由向量的减法法则得BD=AD一AB=b 可得(2+)a-(3x+1)b=0, a,由(2)知a·b=0,a=2,b|=2, 所以BD12=|b-a|2=|b|2-2a·b+|a2 即 得t=3 =4+4=8,故BD|=22, (24分) {21+1=0, 则应.前=(a+b)小·a) 故实数：的值为写 (22分) 1a+b=-×4+日×4=-1， 10.解：(1)如图，连接AC, 由(2)得M应-空，放c0a底，而) AE.BD -1 √26 AEBD √13 26 2 X2√2 即AE与BD夹角的余弦值为-√26 26· (30分) 因为E为线段BC的中点，AB=a,AD=b,所 2026一2027学年度高一学科素养周测评（十六） 数学·平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 5 1.B【解析】因为向量a与b共线，所以6(x一1) -2(2-x)=0,解得x=4 2.B【解析】因为e1-2e2=-(2e2-e1),所以 ·4·