第03讲 三角函数的应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学下册
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精品
内容正文：
简一数理 初中专题讲义
第03讲 三角函数的应用
（新教材北师大版）
知识点一：仰角、俯角 2
知识点二：坡度、坡角 2
知识点三：方位角、方向角 2
知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤 3
【题型1 仰角俯角问题】 3
【题型2 方位角问题】 10
【题型3 坡度坡比问题】 14
【题型4 周长问题】 17
【题型5 面积问题】 24
【题型6 最值问题】 29
【题型7 其他应用问题】 32
【探究式学习】 35
【课后检测】 39
【复盘笔记】 51
知识点一：仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
知识点二：坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大.
知识点三：方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】招远龙湖黄金塔，坐落在龙王湖南岸，仿宋楼阁式，是金都招远黄金文化地标．某校实践小组的同学把“测量黄金塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如图的活动报告．请根据报告提供的数据求黄金塔的高度．(结果精确到，参考数据：)
课题
测量黄金塔的高度
调查方式
资料查阅．实地测量
调查内容
目的
测量黄金塔的高度
工具
无人机、测角仪、皮尺等
测量示意图及相关数据
如图，将无人机停在距离水平地面的点处，测得塔顶处的俯角为，同时测得地面标记点处的俯角为，点在同一竖直平面内，于点，标记点与塔底的距离为
计算结果
……
展示交流
……
【答案】
【分析】过点作、过点作，把两个俯角分别放进与：先用求出，再由矩形把与的差转成，最后用求，塔高．
【详解】解：过点作，垂足为点；过点作，垂足为点(如图)．
∴．
由题意，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴．
在中，，
∴，
∴．
∴，
∴，即黄金塔的高度约为．
【变式1-1】随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求：
(1)的距离；
(2)楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】(1)
(2)楼与之间的距离的长约为
【分析】（1）由三角形外角的性质求出，然后利用等角对等边得到；
（2）延长和分别与直线交于点和点，证明四边形是矩形，得到，然后解直角三角形求出，，进而求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，，，
，
，
；
（2）解：延长和分别与直线交于点和点，如图，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
由题意得：，，，，
∵，
，
∵，
∴，
，
．
答：楼与之间的距离的长约为．
【变式1-2】舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为．
(1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________．
(2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据仰俯角，平角为即可求解；
（2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，
∴，
（2）解：如图，过点作，分别交，于点，．
，，，
，
四边形，，都是矩形，
，，，．
设，则．
在中，，
．
在中，，
．
，
，
解得．
故桩与桩的距离的长约为．
【变式1-3】1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为
解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号：
(1)填空：___________°，___________；
(2)求，两点之间的距离；
(3)求纪念碑的高度．
【答案】(1)，36米
(2)米
(3)米
【分析】（1）如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质即可求得；直接利用含30度直角三角形的性质求的长即可；
（2）解：如图：过点E作于点H，易得，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得米、米；再说明，即米；然后利用线段的和差即可解答．
（3）由矩形的性质可得米，利用含30度直角三角形的性质求的长，再利用线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图：过点作交于点F，交于点G，则四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴；
在中，，米，
∴米．
（2）解：如图：过点E作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
米，
∵，，
∴，
∴米，
∴米．
（3）解：∵四边形是矩形，米，
∴米，
在中，，米，
∴米．
∴米．
【题型2 方位角问题】
【例2】一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．200米
【答案】C
【分析】过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
由题意得，，，米，
∴，
在中，（米），
在中，（米）．
【变式2-1】位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（ ）（参考公式：）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设救援船位置为点，过点作直线，垂足为，根据条件求出，进一步根据锐角三角函数求出，，即可得，根据勾股定理求出，再结合即可得答案．
【详解】解：设救援船位置为点，过点作直线，垂足为．
∵ 点在点的南偏西方向，
∴与正南方向夹角为，且，
又∵ ，为正东方向，
∴ 为南北方向，点在的延长线上，，
在中，，，
∵ ，
∴ .，
在中，由勾股定理得 ：，
∵ ，
∴ ．
【变式2-2】如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
【答案】
28.2
【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
设海里，
在中， 灯塔在港的东北方向，
．
海里，海里．
在中，，海里．
，
．
即．
解得．
（海里）．
故灯塔与港之间的距离约为海里．
【变式2-3】如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．
(1)求、两市之间的距离（结果保留根号）；
(2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，）
【答案】(1)
(2)，，
，
，
，
由（）知：，，
，
∵在中，，
，
，
∴甲货车选择路线①，所需时间为，
乙货车选择路线②，所需时间为，
，
∴乙货车先到达市．
【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，，即得，进而得到，，又由得，，得到，即得到，再根据方程求出即可求解；
（2）求出，再分别求出两条路线所需时间，比较即可求解．
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
由题意得，，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
、两市之间的距离为，
，
，
，
答：、两市之间的距离为；
（2）略
【题型3 坡度坡比问题】
【例3】如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．400米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】先由坡度求出水平边的长度，再在中用勾股定理求斜边长．
【详解】解：由题意得，米，
坡度，
，
解得米．
在中，
米．
【变式3-1】如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比．
根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可．
【详解】解：迎水坡的坡度，
，
，
，
．
在中，
．
故选C．
【变式3-2】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________．
【答案】40
【分析】根据题意可得平行于水平线，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，根据角的和差关系得出，，即可得出，可得是等腰直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：如图，根据题意可得平行于水平线，
，
∵斜面坡度为，
，
，
，
∵在处测得处的俯角为处的俯角为，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【变式3-3】如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上．
(1)________，_________．
(2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号）
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据勾股定理结合已知条件得出，，进一步得出，；利用等边对等角以及三角形的内角和定理得出，，根据正切的定义得出；
（2）由（1）可知，，，再利用勾股定理得出的长度，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知，，
在中，，，
，，
，
解得（负值舍去），
，
．
在中，，
，．
（2）解：由（1）可知，，，
在中，，
．
答：改善后的滑梯会加长米．
【题型4 周长问题】
【例4】中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点在点的南偏东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正南方向．已知，，求四边形空地的周长．（精确到；参考数据：，）
【答案】
【分析】延长交于点，过点作于点， 在中，解直角三角形即可求出的长；分别在中和中, 求出, 求出四边形的周长．
【详解】解：延长交于点，过点作于点，
由题意，知是矩形，, , ,
∴,
在中,
∴，
，
在中，
，
依题意，，，
，,
【变式4-1】古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）．
【答案】
【分析】本题考查了反正弦概念的理解与勾股定理的应用，解题关键是理解题意，正确求出的表达式．本题利用勾股定理求出后即可求解．
【详解】解：如图，∵高度为一米的石柱有一段长度为s米的影子,
∴米，米，
∴米，
∴，
∴，
∵同一子午线上石柱离塞恩城约h米（地表距离），
∴地球周长为，
故答案为：．
【变式4-2】如图所示，把一张矩形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求矩形卡片的周长（精确到，参考数据：，）．
【答案】矩形的周长约为
【分析】本题主要考查了矩形的性质和解直角三角形，作于点E，于点F，求的度数，在中，求出的值，在中，求出的值，可计算出矩形的周长，从而可解决问题
【详解】解：如图所示，作于点E，于点F，
∵，，
∴．
根据题意，得．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∴矩形的周长约为
【变式4-3】平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点是“二倍点”．
(1)在点，， 中，是“二倍点”的有 ；
(2)若点为双曲线()上任意一点．
①请说明随着点在图象上运动，为什么函数值随自变量的增大而增大？
②若将点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点．求证：点为“二倍点”．
(3)已知“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上，点在轴上，坐标平面内有一点，若以点，，，为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)没有
(2)①见详解，②见详解
(3)点坐标为或．
【分析】（1）根据“二倍点”的定义进行逐一判断即可；
（2）①设在()图象上运动过程中的任意两个位置的点为，，且，可得，即可得证；
②设，则，根据“二倍点”的定义，即可得证；
（3）根据“二倍点”定义求出，；当是矩形的邻边时，过点作轴交于点，直线与轴、轴的交点，，由，可求，当点平移后到点，则点平移后到；过点作中交于点，再由，可求，当点平移后到，则点平移后到；当为对角线时，点不能在轴上，故此时不存在．
【详解】（1）解：点：，，不是二倍点；
点：，，不是二倍点；
点：，，不是二倍点．
故答案：没有．
（2）①解：设在()图象上运动过程中的任意两个位置的点为，，且，
，，
，
，
，，
，
，
，
故点在图象上自左向右运动时，函数值随自变量的增大而增大．
②证明：设，则，
，
，
，
点为“二倍点”．
（3）解：设，，，
是“二倍点”，
，
解得（舍）或，
；
是“二倍点”，
，
解得，（舍去），
；
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当是矩形的邻边时，过点作轴交于点，
直线与轴、轴的交点，，
，
，
，
，
，
，
当点平移后到点，则点平移后到点，
；
过点作中交于点，
，
，
，
，
当点平移后到，则点平移后到；
当为对角线时，点不能在轴上，故此时不存在；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，掌握矩形的性质，直角三角形的性质，点平移的性质是解题的关键．
【题型5 面积问题】
【例5】如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= ，cosθ=，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
【变式5-1】通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ）
A．的面积是 B．
C．点在该函数图象上 D．
【答案】C
【分析】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可．
【详解】解：如图，过点B作于点D，，，
∵图2中图形的最低点，
∴，，
∴在中，，
∴，故B错误，不符合题意；
∴，故A错误，不符合题意；
∵图象经过点，
∴，，
∵在中，，，
∴，
即，故D错误，不符合题意；
如图，当时，，
∵在中，，
∴，即点在该函数图象上，故C正确，符合题意，
故选：C．
【变式5-2】如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则的面积可表示为______．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
过点作于点，先由等腰三角形得到，再解直角三角形即可表示，从而即可求解．
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，
∴
答案：
【变式5-3】通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为，
过点作，垂足为，则在中，
，
．
．
同理可得，， ① ．
即
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又，
将等式两边同除以，得，② ．
∴
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
(1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记；
(2)请使用学习笔记的结论解答以下问题：
如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．
①求：的面积．
②求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
【答案】(1)①；②．
(2)①的面积为（平方海里）；②乙船航行的速度为海里/时．
【分析】（1）由材料的推导过程，轮换三个顶点的字母直接补全①；把等式的两边同时除以补全②；
（2）先求，又且，得为等边三角形，用材料结论求其面积；再由方位角求出、，在中用正弦定理求，除以航行时间小时得乙船速度．
【详解】（1）解：①同理（轮换顶点、、），可得，故①处填；
②将等式的两边同时除以，得，故②处填．
（2）解：甲船行驶分钟的路程（海里），
∵乙船航行到甲船的南偏西方向的处，且此时两船相距海里，即海里，
∴，，
∴是等边三角形，
∴海里，．
①（平方海里）．
②∵沿正北方向，，∴射线的方向是北偏西；
∵射线的方向是南偏西，∴，
∴；
∵由处看为南偏西，得处看为北偏东，又乙船沿北偏东方向航行，
∴，
∴．
由学习笔记的结论（各边和它所对角的正弦的比值相等），得，
∴（海里）．
乙船航行分钟即小时，
∴乙船航行的速度为（海里/时）．
【题型6 最值问题】
【例6】如图，是某学校校门入口的智能闸机及其示意图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与C之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则可以通过闸机的物体的最大宽度约为（ ）（参考值：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用正弦函数求出双翼在水平方向上的投影长度，再加上中间端点间的距离即可得出最大宽度．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，，，
，
同理可得，
可以通过闸机的物体的最大宽度为．
【变式6-1】为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向a米处再建一幢新楼．已知该市冬天中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平的夹角最小为θ，问新楼房最高可建（ ）
A．atanθ米 B．（atanθ+1）米
C．米 D．米
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB，可得四边形BCDE是矩形，知BC＝DE＝a米，CD＝BE＝1米，在Rt△ADE中AE＝tanθ•DE求出AE的长，由AB＝AE+EB可得答案．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB与点E，
在Rt△ADE中，∠ADE＝θ，DE＝BC＝a米，
则AE＝tanθ•DE＝atanθ，
而EB＝DC＝1米，
∴AB＝AE+EB＝（atanθ+1）（米），
答：新楼房最高可建（atanθ+1）米，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．注意能根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
【变式6-2】月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为_____．
【答案】#55度
【分析】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，画出图形，由平行线的性质得到，进而求出的度数即可．
【详解】解：如图，将太阳光板绕支点P顺时针旋转到位置时，太阳光，
，
，
（两直线平行，同位角相等），
，
，
即应将太阳光板绕支点P顺时针旋转的最小角度为，
故答案为：．
【变式6-3】如图，一条船上午从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C的方向在北偏东方向上，上午时到达海岛B处，在B处测得灯塔C的方向在北偏东方向上．
(1)求海岛B到灯塔的距离；
(2)这艘船继续向正北方向航行多长时间与灯塔的距离最小？
【答案】(1)海岛B到灯塔的距离为海里
(2)这艘船继续向正北方向航行时间为小时，与灯塔的距离最小
【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，等角对等边，解题的关键是掌握直角三角形的性质．
（1）求出的长度，然后根据等角对等边进行求解即可；
（2）过C作于点，根据垂线段最短确定船的位置，然后利用含角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知AB之间的距离为：（海里），
由题意可知，，
∴，
∴海里；
（2）解：如图所示，过C作于点，
与灯塔的距离最小时，船航行到D点，
在中，，海里，
∴海里，
∴这艘船继续向正北方向航行时间为（小时），与灯塔的距离最小．
【题型7 其他应用问题】
【例7】如图为长春市跨伊通河轻轨斜拉桥，其桥塔正面示意图是，其中，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一性质及锐角三角函数定义求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，
∵，，
∴，
在 中，，
∴．
【变式7-1】如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作，作垂直于底面，再根据题意可得，然后根据，求出，最后根据可得答案．
【详解】解：过点A作于点E，作垂直于底面，垂足为点F，
根据题意可得．
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
即成人离地面的最高距离为．
【变式7-2】如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点作光线的垂线，将篮球直径转化为平行光线间的距离，在构造的直角三角形中利用正弦函数求解．
【详解】解：如图，过点作于点．
光线平行且直径与光线垂直，
的长度等于平行光线与之间的距离，即，
在中，，，，
，
．
【变式7-3】如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知，运用直角三角形和三角函数即可得到上升的高度．
【详解】解：过点P作于点D，
在中，，
根据题意可知，，
．
即木桩上升了．
【探究式学习】
1．【实验主题】大型滑梯滑道长度检测
【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度．
【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）．
【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米．
(1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示；
(2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表：
滑梯编号
坡角
标准滑道长度（米）
滑梯
滑梯
请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：）
(3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算．
请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”）
②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”）
【答案】(1)
(2)滑梯的滑道不符合标准
(3)①，②偏大
【分析】（1）根据正弦的定义可得；
（2）分别求出两个滑梯的垂直高度，把计算出来的结果与垂直高度米比较，可得滑梯不符合标准；
（3）①滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道，所以滑梯主体的实际垂直高度；
②根据可知，，所以计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大．
【详解】（1）解：滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，
，
；
（2）解：滑梯：，，
米，
故滑梯的滑道长度符合标准；
滑梯：，，
米，
故滑梯的滑道不符合标准；
（3）①解：缓冲坡道占据了一定高度，
滑梯主体的实际垂直高度；
②，
，
这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大．
2．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度角（度）
90
75
60
45
30
15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
(1)【任务1】某一时刻测得米，
①请直接写出__________；
②请求出此时影子的长度；
(2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
【答案】(1)①；②米
(2)小明会被照射到．
理由如下：如图，过点作交于点，
由条件可知，
是等边三角形，，
米，
．米，米，
当时，米，
小明刚好被照射到时离点的距离为，
小明会被照射到．
【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；
②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度；
（2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可．
【详解】（1）解：①如图，过作于，而，
，
，
，
故答案为：；
②如图，过点作于点，过点作于点，
结合题意可得：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
由条件可知米，
在中，，
又，
，
解得：米，
此时影子的长度为米；
（2）略
【课后检测】
1．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【详解】解：由图可知，，
即米．
2．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
【答案】C
【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间．
【详解】解：由题意可得，，，千米，
∴在中，，即，解得千米，
∴行驶时间（小时），
取，得（小时），
故C选项符合题意．
3．汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴．
4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
过点C作于点E，根据，得出，求出，得出，根据三角函数求出．
【详解】解：过点C作于点E，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选：D．
5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键．
过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
由题意得：，
∴，，
，
由题意得，，
，
∴．
故选：C．
6．“藻井垂珠实，素壁绘金图”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井，如图，是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正方形内接正八边形，已知正方形边长为2米，则正八边形的边长为__________米．
【答案】
【分析】设外轮廓为正方形，证明，得，设正八边形的边长为，得，在中，根据，列方程求解即可．
【详解】解：设外轮廓为正方形，
，，
多边形为正方形内接正八边形，
，，
，
，
，
设正八边形的边长为，
，
中，
即，
解得．
7．填空：
（1）在中，，，．______________．
（2）如图，P是的边上一点，且点P的坐标为．______________．
（3）如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为．乘电梯从点B到点C上升的高度h为______________m．
（4）______________；______________；______________；______________．
（5）某海域有相距10海里的两个小岛A和B，另有一小岛C，测量得，．A，C两岛间的距离为______________海里．
（6）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．海轮行驶的路程为______________海里．（结果保留根号）
（7）如图，在中，，，平分．若，则______________．
【答案】
4
1
1
20
3
【分析】（1）因为三角形是直角三角形且已知斜边和一条直角边，所以先用勾股定理求出另一条直角边，再根据正切的定义计算．
（2）因为已知点P的坐标，所以先求出点P到原点的距离，再根据正弦的定义计算．
（3）因为，所以其补角为，过C作的垂线构造直角三角形，结合角的直角三角形性质求高度h．
（4）因为是特殊角的三角函数计算，所以直接代入特殊角的三角函数值，结合同角三角函数的基本关系计算即可．
（5）因为三角形是直角三角形且已知一个锐角和邻边，所以用余弦的定义求的长度．
（6）因为A在P的东北方向，所以先过P作的垂线，构造两个直角三角形，分别利用等腰直角三角形性质和含角的直角三角形性质求出两段长度，相加得到．
（7）因为是角平分线且，所以先求出各角的度数，得到，再在直角中用角的直角三角形性质求．
【详解】（1）∵在中，，
∴，
∴．
（2）过点作轴垂线，
∴。
∴．
（3） 过点作的垂线，垂足为E，得到上升高度．
∵，
∴，
∴．
（4） 代入特殊角三角函数值计算：
∵，，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴；
∴．
（5）∵在中，，，
∴．
∴海里．
（6）过点作的垂线，垂足为，
∵在中，，，
∴海里；
∵在中，，，
∴海里；
∴海里．
（7）∵ 在中，，，
∴。
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∴．
8．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务．如图，某消防云梯全部伸长后为50米，云梯底端到地面的距离为3.4米．在某次救援任务中，当云梯全部伸长（即米），完成从33.4米高的处的救援后，还要从51.4米高的处救援（点，，，，均在同一平面内），这时消防车从处沿向着火的楼房水平移动的距离至少为多少米？
小琴的解法如下：
解：过点作于点，
由题意可知：，，．
…
请你根据她的思路完成后续解答．
【答案】消防车水平移动至点F的位置时恰好够到点E的位置
由题意得：，，
∴在中，由勾股定理得：
，
由题意得：，，，
∴在中，由勾股定理得：，
，
答：消防车从A处沿方向水平移动的距离至少为．
【分析】因为云梯长度固定为50米，且云梯底端A到地面的距离米，所以先在中，利用勾股定理求出的长度，也就是初始状态下消防车到楼房的水平距离．因为要救援51.4米高的E处，云梯长度仍为50米，所以过移动后的F点作楼房的垂线，构造新的直角三角形，利用勾股定理求出此时消防车到楼房的水平距离．因为消防车是沿向楼房水平移动，所以两个水平距离的差值就是消防车至少需要移动的距离．
【详解】略．
9．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，．
(1)求盲区线段的长；
(2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由．参考数据：，，，，，．
【答案】(1)．
(2)不能看到障碍物．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
过点作，交于点(如图)．
在中，，
∴．
∵，
∴障碍物顶端在临界视线的下方，处于盲区内．
∴驾驶员不能看到障碍物．
【分析】（1）在直角三角形中，用把已知的对边与所求的邻边联系起来；
（2）先由平行与垂直判定矩形求出，再用求与，作垂线得到处临界视线的高度，与障碍物的高度比较．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵点在上，点在上，
∴．
在中，．
（2）略
【点睛】本题考查解直角三角形在实际情境中的应用；关键是把盲区边界看作临界视线，由判定矩形，把高转移到，再过作的垂线，把同一点处视线的高度与障碍物的高度作比较；易错点是误用代替计算视线高度．
10．如图，我县某校九年级师生在一次“我的长征”研学活动中需要翻越一座小山．他们先从山脚点爬到点，再从点爬到山顶点．已知坡角，坡角，，，问：这座小山的高度是多少米（结果精确到，参考数据：，，）？
【答案】
【分析】过点B作于点F，则四边形是矩形，可得，解直角三角形分别求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点B作于点F，则四边形是矩形，
∴；
在中，，
在中，，
∴，
∴，
答：这座小山的高度约是．
【复盘笔记】
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简一数理 初中专题讲义
第03讲 三角函数的应用
（新教材北师大版）
知识点一：仰角、俯角 2
知识点二：坡度、坡角 2
知识点三：方位角、方向角 2
知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤 3
【题型1 仰角俯角问题】 3
【题型2 方位角问题】 6
【题型3 坡度坡比问题】 7
【题型4 周长问题】 8
【题型5 面积问题】 10
【题型6 最值问题】 12
【题型7 其他应用问题】 13
【探究式学习】 14
【课后检测】 17
【复盘笔记】 21
知识点一：仰角、俯角
视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.
知识点二：坡度、坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.
坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大.
知识点三：方位角、方向角
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤
①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.
③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】招远龙湖黄金塔，坐落在龙王湖南岸，仿宋楼阁式，是金都招远黄金文化地标．某校实践小组的同学把“测量黄金塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如图的活动报告．请根据报告提供的数据求黄金塔的高度．(结果精确到，参考数据：)
课题
测量黄金塔的高度
调查方式
资料查阅．实地测量
调查内容
目的
测量黄金塔的高度
工具
无人机、测角仪、皮尺等
测量示意图及相关数据
如图，将无人机停在距离水平地面的点处，测得塔顶处的俯角为，同时测得地面标记点处的俯角为，点在同一竖直平面内，于点，标记点与塔底的距离为
计算结果
……
展示交流
……
【变式1-1】随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求：
(1)的距离；
(2)楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）
【变式1-2】舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩，，垂直于地面，且，，在同一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为，两桩的距离为．
(1)舞狮人从跳跃至，随后再跳跃至，所成的角________．
(2)求桩与桩的距离的长（结果精确到，参考数据：，）．
【变式1-3】1947年11月12日，解放军经六昼夜激战攻克石门（石家庄旧称），此役为首例大城市攻坚战．1987年为纪念石家庄解放40周年，石家庄市政府修建了解放纪念碑．石外某班社会实践小组在了解石家庄历史过程中，计划测量纪念碑的高度，绘制了如图所示的平面图，用来表示纪念碑，纪念碑东侧是老火车站的售票厅，其中售票厅高18米．从，之间的E点在同一水平线上）测得纪念碑顶部的点，售票厅顶部点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为
解决下列问题，计算结果是无理数的保留根号：
(1)填空：___________°，___________；
(2)求，两点之间的距离；
(3)求纪念碑的高度．
【题型2 方位角问题】
【例2】一段东西方向的海岸线上，小明从点A测得灯塔C位于北偏西方向，向东走300米到达点B处，测得灯塔C位于北偏西方向，点A到灯塔C的距离AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．200米
【变式2-1】位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（ ）（参考公式：）．
A． B．
C． D．
【变式2-2】如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，）
【变式2-3】如图，甲、乙两辆货车要从市运输货物到市．经查询，道路因塌方不能通行，现有两条路线可供选择：①；②．已知市位于市南偏西方向，市位于市的正西方向，同时位于市的西北方向，、两市之间的距离为，市位于市的南偏东方向，且恰好与市、市在同一直线上．
(1)求、两市之间的距离（结果保留根号）；
(2)甲货车选择路线①，平均速度为；乙货车选择路线②，平均速度为．请通过计算说明哪辆货车先到达市？（参考数据：，）
【题型3 坡度坡比问题】
【例3】如图，小华沿着坡度为的斜坡练习滑雪，若小华从A滑到B，竖直下降的高度为200米，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．400米 C．米 D．米
【变式3-1】如图，水库某段横截面迎水坡的坡度，若坡高，则坡面的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是________．
【变式3-3】如图，某公园为了加强安全管理，决定将园内原滑梯改建为，其坡度由改为，已知原滑梯的长为，点D、B、C在同一水平面上．
(1)________，_________．
(2)改善后的滑梯会加长多少米？（结果保留根号）
【题型4 周长问题】
【例4】中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点在点的南偏东方向上，点在点的北偏东方向上，点在点的正东方向，点在点的正南方向．已知，，求四边形空地的周长．（精确到；参考数据：，）
【变式4-1】古希腊的埃拉托色尼发现塞恩城夏日正午地面上的石柱是没有影子的，而同一子午线上离塞恩城约h米（地表距离）的亚历山大城地面上高度为一米的石柱却有一段长度为s米的影子．如图所示，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与石柱形成的夹角．若一个锐角的正弦满足，则我们记，称为的反正弦．如．由此可以计算出地球的周长为_____米（结果用以及反正弦函数表示）．
【变式4-2】如图所示，把一张矩形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求矩形卡片的周长（精确到，参考数据：，）．
【变式4-3】平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点是“二倍点”．
(1)在点，， 中，是“二倍点”的有 ；
(2)若点为双曲线()上任意一点．
①请说明随着点在图象上运动，为什么函数值随自变量的增大而增大？
②若将点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点．求证：点为“二倍点”．
(3)已知“二倍点”在抛物线的图像上，“二倍点”在一次函数的图像上，点在轴上，坐标平面内有一点，若以点，，，为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【题型5 面积问题】
【例5】如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ）
A．的面积是 B．
C．点在该函数图象上 D．
【变式5-2】如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则的面积可表示为______．
【变式5-3】通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
在（图1）中，，，的对边分别为、、，的面积为，
过点作，垂足为，则在中，
，
．
．
同理可得，， ① ．
即
由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又，
将等式两边同除以，得，② ．
∴
由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
(1)请补充所缺①②内容，完善学习笔记；
(2)请使用学习笔记的结论解答以下问题：
如图2，甲船以海里时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．
①求：的面积．
②求：乙船航行的速度（结果保留根号）．
【题型6 最值问题】
【例6】如图，是某学校校门入口的智能闸机及其示意图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与C之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，则可以通过闸机的物体的最大宽度约为（ ）（参考值：，，）
A． B． C． D．
【变式6-1】为了解决楼房之间的采光问题，某市有关部门规定：两幢楼之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼正南方向a米处再建一幢新楼．已知该市冬天中午12时太阳从正南方向照射的光线与水平的夹角最小为θ，问新楼房最高可建（ ）
A．atanθ米 B．（atanθ+1）米
C．米 D．米
【变式6-2】月球车工作时所需的电能都是由太阳能电池板提供的．当太阳光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多，某一时刻太阳光的照射角度如图所示，如果要使此时接收的太阳光能最多，那么应将太阳光板绕支点顺时针旋转的最小角度为_____．
【变式6-3】如图，一条船上午从海岛A出发，以30海里/时的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C的方向在北偏东方向上，上午时到达海岛B处，在B处测得灯塔C的方向在北偏东方向上．
(1)求海岛B到灯塔的距离；
(2)这艘船继续向正北方向航行多长时间与灯塔的距离最小？
【题型7 其他应用问题】
【例7】如图为长春市跨伊通河轻轨斜拉桥，其桥塔正面示意图是，其中，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】如图是某公园秋千的侧面示意图，已知静止时秋千的拉绳的长为，为，为了安全起见，秋千设置的成人“安全角度”不超过，则成人离地面的最高距离（即点，到地面的最高距离）为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】如图，平行光线照射在一个篮球上，在水平地面上形成的影子长度．已知篮球的直径与光线垂直，且光线与地面之间的夹角是，则该篮球的直径可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前进（如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A． B． C． D．
【探究式学习】
1．【实验主题】大型滑梯滑道长度检测
【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度．
【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）．
【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米．
(1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示；
(2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表：
滑梯编号
坡角
标准滑道长度（米）
滑梯
滑梯
请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：）
(3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算．
请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”）
②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”）
2．综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度．
素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．
素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度角（度）
90
75
60
45
30
15
素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点．
(1)【任务1】某一时刻测得米，
①请直接写出__________；
②请求出此时影子的长度；
(2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由．
【课后检测】
1．长春万达茂室内滑雪场是亚洲垂直落差最大的室内滑雪场，最大落差达85米．如图，某条雪道的坡角为α，坡面长度为413米，则该雪道的铅直高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（ ）（参考数据：）
A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时
3．汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．“藻井垂珠实，素壁绘金图”．中国古代的匠人们极尽精巧之能事，营造出穹顶上的绝美艺术——藻井，如图，是一幅“藻井”的图案，其外轮廓为正方形内接正八边形，已知正方形边长为2米，则正八边形的边长为__________米．
7．填空：
（1）在中，，，．______________．
（2）如图，P是的边上一点，且点P的坐标为．______________．
（3）如图为某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长为．乘电梯从点B到点C上升的高度h为______________m．
（4）______________；______________；______________；______________．
（5）某海域有相距10海里的两个小岛A和B，另有一小岛C，测量得，．A，C两岛间的距离为______________海里．
（6）如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向、距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处．海轮行驶的路程为______________海里．（结果保留根号）
（7）如图，在中，，，平分．若，则______________．
8．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务．如图，某消防云梯全部伸长后为50米，云梯底端到地面的距离为3.4米．在某次救援任务中，当云梯全部伸长（即米），完成从33.4米高的处的救援后，还要从51.4米高的处救援（点，，，，均在同一平面内），这时消防车从处沿向着火的楼房水平移动的距离至少为多少米？
小琴的解法如下：
解：过点作于点，
由题意可知：，，．
…
请你根据她的思路完成后续解答．
9．汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，．
(1)求盲区线段的长；
(2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由．参考数据：，，，，，．
10．如图，我县某校九年级师生在一次“我的长征”研学活动中需要翻越一座小山．他们先从山脚点爬到点，再从点爬到山顶点．已知坡角，坡角，，，问：这座小山的高度是多少米（结果精确到，参考数据：，，）？
【复盘笔记】
“化繁为简，一通百通”
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