第一章特殊平行四边形单元测试卷2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．如图，在菱形中，连接，点M、N分别是、的中点，连接，若，则菱形的周长为（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】先利用三角形中位线的性质求得，再求菱形的周长即可． 【详解】解：∵点M、N分别是、的中点，， ∴， ∴菱形的周长为． 2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（     ） A．若，四边形是菱形 B．若，四边形是矩形 C．若且，四边形是正方形 D．若，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再结合矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 当时，则平行四边形是菱形，故A说法正确； 当时，则平行四边形是矩形，故B说法正确； 当时，平行四边形是菱形，当时，菱形是正方形，故C说法正确； 当时，平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D说法错误． 3．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作等边，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形和等边三角形的性质推出，，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4．如图，矩形的对角线相交于点O，，点E为上一点，连接，F为的中点，若，则的长为（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而求出，利用勾股定理得出，最后利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， 为的中点，， ． 5．如图，矩形的周长是，以为边向外作正方形和正方形，如果正方形和的面积之和为，那么矩形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形的长与宽分别为、，根据周长公式得出的值，根据正方形面积和得出的值，利用完全平方公式变形求出的值. 【详解】解：设，， ∵矩形的周长是20， ∴，即； ∵正方形和的面积之和为68， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即矩形的面积是. 6．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连接；以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点；作，交的延长线于点，则下列矩形是黄金矩形的是（     ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得的长，再根据求得的长，最后判断各个矩形的长宽比即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 取，的中点，， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在矩形中，，符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义； 在矩形中，，不符合黄金矩形的定义． 7．如图，在矩形中，对角线和交于点O，于点E．若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先根据矩形的性质证明，进一步求得，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为． 8．在中，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把为等腰三角形的条件分成、、三种情形，逐一辨认四幅作图痕迹实际保证的是等边关系还是等角关系，再用一个具体角度检验只得到等角关系的作法． 【详解】解：点在上，为等腰三角形，可得、或． 选项A的痕迹是线段的垂直平分线，交于点，故． 选项C的痕迹是用弧线在上截取点，故． 选项D的痕迹是线段的垂直平分线，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得， 选项B的痕迹是的平分线，交于点，只能得到． 若，则，，三个角互不相等，三边也互不相等． ∴选项B的作法不正确． 9．如图，已知四边形，，点从点沿着线段向终点运动，下列关于的周长说法正确的是（     ） A．先变小再变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．一直变大 【答案】A 【分析】延长，使得，连接，可得，则，据此可得的值先变小后变大，然后得出结论即可． 【详解】延长，使得，连接 ， 垂直平分， ， 则， 所以点从点沿着线段向终点运动时，的值先变小后变大， 又的长不变， 所以的周长先变小后变大． 10．如图，在菱形中，，E是上一点，将沿折叠，点的对应点为，与交于点，若为中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得度数． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，即， ∴， 又由折叠的性质得：， ∴， 在中，由三角形的内角和定理得： ． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，在中，，，，分别为三角形的高线与中线，则______． 【答案】 【分析】本题先利用高线定义和三角形内角和定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而由等边对等角求出，即可得到答案． 【详解】解：∵，分别为三角形的高线与中线，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 12．如图，菱形的面积为6，，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为_____________． 【答案】 【分析】连接菱形对角线，利用三角形中位线定理证明四边形为矩形，且其边长分别为菱形对角线的一半，从而得出面积关系.． 【详解】四边形是菱形， ，菱形的面积， ，，，分别为边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， 同理可得出，， ，，， ，即， 四边形为矩形， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积． 13．如图，在中，，，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：连接 ，， 四边形是矩形 当时，的值最小，即的值最小 在中，， 的最小值为 故答案为： 14．在校园手工节中，小华用边长为的正方形彩纸制作拼贴画．如图，他先沿对角线把彩纸剪成两个三角形，再把沿方向平移，得到．若平移后与的重叠部分面积为，则平移距离为________． 【答案】 【分析】设交于点H，交于点G，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，通过证明是等腰直角三角形，设，列出关于平行四边形面积的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，设交于点H，交于点G， 由平移的性质知，， 四边形是平行四边形，． 将边长为的正方形沿对角线剪开， 和均是等腰直角三角形，． ． 是等腰直角三角形． 设，则阴影部分的底长为，高，根据题意可列方程： ， 解得：，即． 15．如图，在矩形纸片中，，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，结合折叠的性质可得，从而得到，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵， ∴点F，M，C共线， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上一点，连接，点P为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，， ∴且． 当点F在上除点C、E外的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，为的中点， ∴、、均为等腰直角三角形，． ∴，． ∴． ∴． ∴，即， ∴的最小值为的长． 在中，， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．如图，在矩形中，点E是边的中点，点F在边上，且，点G在的延长线上，连接、，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是边的中点，， ∴， ． 在和中，， ， ． 【分析】由矩形性质得到直角和对边相等，结合得出，根据直角三角形全等的判定定理得到，进而可证结论． 【详解】略 18．如图，是的斜边上的中线，． (1)求度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，即可得出结果； （2）求出的长，利用面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的斜边上的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为. 19．如图，在菱形中，过点C作对角线的垂线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由菱形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得，则，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 20．如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，使顶点A与边上的点H重合（点H不与顶点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．当点H与的中点重合时，求的长． 【答案】的长为 【分析】由四边形是正方形，边长为，可得，，再由点H为的中点，可得，由折叠可得，设，则，在中，利用定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵点H为的中点， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即． 21．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在，上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用四边形的对角线相等且互相平分的性质证明即可； （2）先求出矩形面积，进而得出，再根据，可求出的面积，问题随之得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴矩形的面积为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？请说明理由． 【答案】解：能通过该隧道，理由如下： 如图，作弦，且使得，过圆心作于，交于，连接，则， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴它能通过该隧道． 【分析】作弦，且使得，过圆心作于，交于，连接，则，由等腰三角形的性质可得，利用矩形的性质和判定可得，，利用勾股定理可得，即得到，再与卡车的高度比较即可判断求解． 【详解】略 23．在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究． (1)【探究发现】 操作一：先把矩形对折，折痕为； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，连接． 根据以上操作，当点在上时，写出图中________； (2)【类比应用】 小丽将矩形卡纸换成边长为的正方形彩纸，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①如图，当点在上时，________； ②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图，判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的探究中，当时，请求出的长． 【答案】(1)30 (2)①； ②，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，即可求解； （2）①连接，结合折叠的性质可得为等边三角形，可得，从而得到，进而得到，，再证明，可设，则，再由勾股定理求出x的值，即可求解； ②证明，即可求解； （3）设，则，然后分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接， ∵四边形为正方形，且边长为， ∴，， 由折叠的性质得：，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴均为直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②略 （3）解：设，则， 根据题意得：， 由（2）得：， 当点Q在点F的下方时，如图， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 24．如图，在正方形中，，点在射线上运动，连接，过点作，交的延长线于点． (1)如图，当点在的延长线上时，求证；； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图，当在边上，，点是边上一动点（点不与点、重合），将沿折叠得，点的对应点为，延长交的延长线于点，且，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的性质，根据证明，继而得到； （2）根据勾股定理得到，利用（1）中的结论即可得到答案； （3）根据勾股定理得到，，，由折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴； （3）解：由（1）可知，同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵由折叠可得：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：， ∴的长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.如图，在菱形ABCD中，连接BD,点MN分别是AD、BD的中点，连接MN,若MN=3,则菱形 ABCD的周长为() M A.12 B.24 C.36 D.48 2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD，,下列说法错误的 是() D B A.若AC⊥BD,四边形ABCD是菱形 B.若AC=BD,四边形ABCD是矩形 C.若AC⊥BD且AC=BD,四边形ABCD是正方形 D.若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形 3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作等边△CDE,则∠AEC的度数为() D B A.45° B.40° C.35° D.30 4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,AD=6,点E为BC上一点，连接DE,F为DE的中 点，若OF=2,则CF的长为() 试卷第1页（共3页） A.2 B.5 c.25 D.3 5.如图，矩形ABCD的周长是20cm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,如果正方形 ABEF ADGH 68cm2 ABCD 和 的面积之和为 那么矩形 的面积是() H G D B C A.16cm2 B.20cm2 C.24cm2 D.48cm2 5-1 6.宽与长的比是2（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协 调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AB,CD的中点E, F,连接EF,以点E为圆心，以ED为半径画弧，交BA的延长线于点G;作GH⊥CD,交CD的延长 线于点H,则下列矩形是黄金矩形的是() G H D E B C A.矩形ADHG B.矩形ADFE C.矩形EFCB D.矩形EFHG 7.如图，在矩形ABCD中，对角线4C和BD交于点O,AE1BD于点丑.若AE=3,BE=DE,则矩 形ABCD的面积为() 试卷第2页（共3页） A.6V5 B.12V3 c.20V2 D.25 8.在△ABC中，∠ABC=90°，用无刻度的直尺和圆规在AC上找一点D,使△ABD为等腰三角形，下列 作法不正确的是() -X D. B 9.如图，己知四边形ABCD,∠A=∠B=90°，点E从点B沿着线段BA向终点A运动，下列关于△CDE 的周长说法正确的是() A A.先变小再变大 B.一直变小 C.先变大后变小 D.一直变大 10.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是CD上一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D', AD'与BC交于点F,若F为BC中点，则∠AED的度数为() 试卷第3页（共3页） A.70° B.75 C.80° D.85° 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°，BD,BE分别为三角形的高线与中线，则∠DBE= D E B C 12.如图，菱形ABCD的面积为6，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，则四边形 EFGH的面积为， G 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,D是AB上一点，DE⊥AC于点E, DF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值为 cm 14.在校园手工节中，小华用边长为2Cm的正方形彩纸ABCD制作拼贴画.如图，他先沿对角线AC把彩 试卷第4页（共3页） 纸剪成两个三角形，再把△ABC沿AD方向平移，得到△AB'C'.若△ABC平移后与△ACD的重叠部分面 积为0.8cm,则平移距离AA为. cm A D B 15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12cm,BC=20cm,E为边CD上一点，将△BCE沿BE所在的 直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE,垂足为点M,取AF的中点N,连接 MN,则MN的长为 cm y F M B 16.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,点E是AB的中点，连接DE,CE,点F是EC上一点， 连接DF,点P为DF的中点，连接BP,则BP的最小值为 D B 三、解答题(（本大题8题，每小题9分，共计72分) 1.如图，在矩形BCD中，点2是D边9中点，点P在AB边上，且F-BC,点G在BC的延长 2 线上，连接EF、FG,EF=FG.求证：∠AEF=∠BFG. 试卷第5页（共3页） D B CG 18.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠A=30°. D (1)求∠CDB度数： (2)若CD=3,求△ABC的面积. 19.如图，在菱形ABCD中，过点C作对角线AC的垂线，交AB的延长线于点E,连接BD B E (I)求证：四边形DBEC是平行四边形： (2)如果∠E=60°，CE=2,求菱形ABCD的面积 20.如图，将边长为2cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点A与CD边上的点H重合（点H不与顶 点C,D重合)，折痕EF交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.当点H与CD的 中点重合时，求DE的长. G△FB H A 21.如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在OB,OD上，且OE=OF=OA,连 接AE,AF,CE,CF 试卷第6页（共3页） D (1)求证：四边形AECF是矩形： BE 1 (②)若CE=3,CF=4,OE3,求。ABCD的面积. 22.如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m,宽为2.6m.一辆卡车装满货 物后，高为4m,宽为2.8m,它能通过该隧道吗？请说明理由. 2.6m 4m 23.在数学综合实践课上，小华用一张矩形卡纸进行折叠探究. D D 图1 图2 图3 备用 (1)【探究发现】 操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM, 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP=°： (2)【类比应用】 小丽将矩形卡纸换成边长为6cm的正方形彩纸ABCD,按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点 Q,连接BO ①如图2，当点M在EF上时，MQ= 试卷第7页（共3页） ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并 说明理由 (3)【拓展延伸】 在(2)的探究中，当QF=1cm时，请求出AP的长. 24.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在射线BC上运动，连接AE,过点A作AF⊥AE,交CD 的延长线于点F. F A D D C E P EC 图1 图2 (I)如图1，当点E在BC的延长线上时，求证；AE=AF; (2)在(1)的条件下，若CE=1,求AF的长： (3)如图2，当E在BC边上，AF=5,点P是BE边上一动点（点P不与点B、E重合），将AABP沿AP 折叠得△AGP,点B的对应点为G,延长AG交BC的延长线于点H,且AE=EH,求BP的长. 试卷第8页（共3页）