圆周运动的临界问题 专题复习课件 -2027届高考物理一轮复习

第六章 圆周运动 1 专题 圆周运动的临界问题 2 本专题的考点主要集中在圆周运动的轻绳模型、轻杆模型、转盘模型、圆锥筒和圆锥摆模型等几个方面.该 部分内容重点突出了圆周运动规律在不同约束条件下的应用，与生活中常见的转动场景联系紧密，因此在学习 中应关注不同模型的受力特点，区分临界条件，灵活运用向心力公式解决实际问题. 知识梳理 3 一、轻绳模型 情景图示 ____________________ ____________________ 弹力特征 弹力可能指向圆心,也可能等于零 力学方程 （最高点）; （最低点） 临界特征 （1）最高点，,即,得 ； （2）小球在最低点时轻绳易断，此时轻绳达到最大拉力 模型关键 （1）“绳”只能对小球施加指向圆心的力; （2）小球通过最高点的速度至少为 4 二、轻杆模型 情景图示 ___________________ ____________________ 弹力特征 最高点弹力可能向下,可能向上,也可能等于零 力学方程 （最高点） 临界特征 ,即,此时 模型关键 （1）“杆”对小球的作用力可以是拉力,也可以是支持力: ①当小球通过最高点的速度 时，“杆”对小球的作用力是拉力； ②当小球通过最高点的速度 时，“杆”对小球无作用力； ③当小球通过最高点的速度 时，“杆”对小球的作用力是支持力. （2）小球通过最高点的速度最小可以为0 5 三、转盘模型 1.水平转盘 情景图示 摩擦力的特征 整体所受摩擦力指向圆心 摩擦力可能指向圆心，也可能背离圆心 力学方程 6 临界特征 （最大静摩擦 力等于滑动摩 擦力） ， ， ； （2）， ， ，、的质量均为 . 、相对转盘发生滑动：增大角速度，物块 的 静摩擦力背离圆心达到最大值时，对 有 ，对 有 ，即 ，解得 续表 2.倾斜转盘 情景图示 摩擦力的特征 摩擦力可能指向圆心、背离圆心或不存在 摩擦力指向圆心 力学方程 临界特征 （1）若 ,摩擦力沿盘面向下； （2）若 ,摩擦力不存在； （3）若 ,摩擦力沿盘面向上 （最大静摩 擦力等于滑动摩擦力）， 即满足 时，物块与盘 面相对静止 8 四、圆锥筒和圆锥摆模型 圆锥摆模型 圆锥筒模型 情景图示 运动特点 若摆长为 ， 轨迹半径 ， 向心力 ， 摆线拉力 若高度为，轨迹半径 ， 向心力 ， 支持力 力学方程 9 圆锥摆模型 圆锥筒模型 关键结论 （1）摆长一定，不一定时， 越大， 越大， 越小. （2）一定，摆长不一定时， 越大，越大， 恒定 同一圆锥筒内，越大， 越小， 越 大，越大， 恒定 续表 考点一 水平面内圆周运动的临界极值问题(名师破题) 1.水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。 考点一 考点二 2.解决此类问题的一般思路 首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态;其次分析该状态下物体的受力特点;最后结合圆周运动知识,应用运动学和牛顿运动定律综合分析。 考点一 考点二 典例1.如图所示,餐桌中心是一个半径为r=1.5 m的圆盘,圆盘可绕中心轴转动,餐桌其余部分不转动,近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动 摩擦力,重力加速度g取10 m/s2。 (1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的 最大值为多少? (2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值为多大? (3)若餐桌半径R'= r,则在圆盘角速度缓慢增大时,小物体从圆盘上被甩出后做平抛运动的水平位移为多少? 考点一 考点二 审题指导 关键词句 获取信息 近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计 物体从圆盘滑到餐桌时速度大小、方向均不变 μ1=0.6,μ2=0.225,小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力 可确定小物体在圆盘上不滑动时的最大向心加速度和在餐桌上做匀减速直线运动的加速度 小物体从圆盘上甩出,为使小物体不滑落到地面,餐桌半径R的最小值 餐桌半径最小时,小物体滑到餐桌边缘的速度恰为零;圆盘半径、餐桌半径和小物体在餐桌上的位移组成直角三角形 餐桌离地高度为h=0.8 m 物体离开餐桌做平抛运动的竖直位移为0.8 m 考点一 考点二 思维点拨 (1)对小物体在圆盘上时进行动力学分析,由牛顿第二定律和向心加速度公式求ω的最大值。 (2)对小物体在桌面上时进行动力学分析,由牛顿第二定律和运动学公式求R的最小值。 (3)对小物体进行运动分析,由运动学和平抛运动规律求解水平位移。 答案 (1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)0.6 m 考点一 考点二 解析 (1)由题意可得,当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时,圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力,所以随着圆盘转速的增大,小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力最大时,小物体即将滑落,此时圆盘的角速度达到最大,有 Ffm=μ1FN=mrω2,FN=mg 考点一 考点二 (2)由题意可得,当小物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零,对应的餐桌半径取最小值。设小物体在餐桌上滑动的位移为x,在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a, 考点一 考点二 考点一 考点二 对点演练 1.(2026河北衡水模拟)短道速滑比赛场地示意图如图所示,比赛场地周长约为111.12 m,其中直道长度为28.85 m,弯道半径为8 m。若一名质量为50 kg的运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周 运动,转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.2, 最大静摩擦力等于滑动摩擦力,运动员可看作 质点,重力加速度g取10 m/s2,则(　　) A.该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为4 m/s B.该运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为8 m/s C.该运动员受到冰面的作用力最大为100 N D.该运动员受到冰面的作用力最大为500 N 答案 A 考点一 考点二 考点一 考点二 2.(多选)(2026陕西榆林第十中学模拟)如图甲所示,倾角为45°的斜面置于粗糙的水平地面上,有一滑块通过轻绳绕过定滑轮与质量为m的小球相连(轻绳与斜面平行),滑块质量为2m,恰好能静止在粗糙的斜面上。在图乙中,让小球在水平面上做匀速圆周运动,轻绳与竖直方向的夹角为θ,且θ≤45°,两幅图中,滑块、斜面都静止,则下列说法正确的是(　　) A.图甲滑块受到斜面的摩擦力大小为 ( -1)mg B.图甲斜面受到地面的摩擦力大小为 mg C.图乙中θ=45°时,滑块恰好不受摩擦力 D.小球转动的角速度越小,滑块受到的摩擦力越大 答案 ACD 考点一 考点二 考点一 考点二 考点二 竖直面内圆周运动的“轻绳”和“轻杆”模型(名师破题) “绳、杆”模型涉及临界问题分析 考点一 考点二 考点一 考点二 典例2.如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球A和球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力,则球B在最高点时(　　) A.球B的速度为零 C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg 考点一 考点二 审题指导 关键词句 获取信息 光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点 球A圆周运动的半径为L,球B圆周运动的半径为2L 球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力 球B在最高点只受重力作用,重力恰好提供向心力 思维点拨 选球B为研究对象,分析其在最高点的受力及运动情况,根据向心力公式列式求解;再选球A为研究对象,根据向心力公式列式求解。 答案 C 考点一 考点二 考点一 考点二 对点演练 3.(2026山东聊城模拟)将过山车经过两段弯曲轨道的过程等效简化成如图所示的两个圆周的一部分(RA<RB),A、B分别为轨道的最低点和最高点,过山车与轨道间的动摩擦因数处处相等,则过山车(　　) A.在A点时合外力方向竖直向上 B.在B点时合外力方向竖直向下 C.在A点时所受摩擦力比在B点时大 D.在B点时所受向心力比在A点时大 答案 C 考点一 考点二 考点一 考点二 答案 C 4.如图所示,长均为L的两根轻绳,一端共同系住质量为m的小球,另一端分别固定在等高的A、B两点,A、B两点间的距离也为L,重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动,若小球在最高点速率为v时,两根轻绳的拉力恰好均为0,改变小球运动的速度,当小球在最高点时,每根轻绳的拉力大小为 mg,则此时小球的速率为(　　) 考点一 考点二 考点一 考点二 题型1 轻绳模型 例1 [黑龙江双鸭山一中2026高三下月考] 小华站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质 量为 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球 飞行水平距离为后落地，如图所示.已知握绳的手离地面高度为，手与球之间的绳长为 ，重力加速 度为 .忽略球的半径、手的运动半径和空气阻力.（计算结果可用分式和根式表示） 题型方略 32 （1）求从绳断到球落地的时间以及绳断时球的速度大小. 【答案】; 【解析】绳断后小球做平抛运动，小球在圆周运动最低点距离地面的高度 ，竖直方向做自由落体运动，有 ，解得 ，水平方向做匀速运动，有，解得 . （2）求绳能承受的最大拉力大小. 【答案】 【解析】圆周运动半径，在最低点，拉力与重力的合力提供圆周运动的向心力，得 ， 解得.由牛顿第三定律得绳能承受的最大拉力大小为 . 33 （3）改变绳长，使球仍绕同一点在竖直平面内做圆周运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使绳断后球飞 行的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 【答案】; 【解析】设改变后绳长为，绳断时拉力达到最大值，满足，可得 ，绳 断后小球做平抛运动，下落高度，竖直方向做自由落体运动，运动时间 ，水平方向 做匀速直线运动，水平位移 ，由二次函数知识可知，当 时，水平位移最大，此时最大水平距离 . 34 题型2 轻杆模型 例2 （多选）竖直平面内的圆周运动是高中物理的经典模型之一.某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图 所示，质量为 的小球固定在力传感器（质量不计）测量的一侧，传感器另一侧与轻杆连接.现给小球一初速度 让其绕杆上的水平轴点做圆周运动，小球到点的距离为 ，已知当力传感器受到小球对它的压力时读数为负， 受到拉力时读数为正，重力加速度为 .则下列说法正确的是( ) BC A.只有当小球通过圆周最高点的速度大于 时才能做完整的圆周运动 B.若小球通过圆周最高点时的速度为，则力传感器读数为 C.小球在与圆心等高的 点下方运动的过程中，力传感器读数总是正值 D.若小球通过圆周最低点时的速度为，则力传感器读数为 35 【解析】轻杆模型中，只要小球通过最高点的速度大于零，就能做完整的圆周运动（总结：明确轻杆模型中的 小球在最高点的速度可以为0），故A错误；在最高点，对小球受力分析有（注意：因 方向未知， 故可先假设、同向，列式计算求的值，的正负代表与同向或反向），将、速度 代入， 解得，结合牛顿第三定律，传感器受到向下的压力，读数为 ，故B正确；小球在与圆心等高 的 点下方运动的过程中，对小球受力分析可知小球一直受到拉力，结合牛顿第三定律，力传感器一直受到拉 力，读数总是正值，故C正确；在最低点，对小球受力分析有，将、速度 代入， 解得，结合牛顿第三定律，力传感器受到拉力，读数为 ，故D错误. 36 题型3 转盘模型 例3 （水平转盘）[甘肃西北师范大学附属中学2026高三下期中] 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径 放着用水平细线相连的质量相等的两个物体和，它们分居圆心两侧，质量均为 ，与圆心距离分别为 、，两物体与盘间的动摩擦因数均为，重力加速度为 ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当圆 盘转速加快到两物体刚好还未相对圆盘发生滑动时，下列说法正确的是( ) B A.此时细线张力大小为 B.此时圆盘的角速度为 C.此时 所受摩擦力方向沿半径指向圆心 D.若此时烧断细线，仍相对盘静止， 将做离心运动 37 【解析】当圆盘转速加快到两物体刚好还未相对圆盘发生滑动时，的静摩擦力方向沿半径指向圆心， 的静摩 擦力方向沿半径指向圆外，对物体、，根据牛顿第二定律分别得， ， 解得，，此时所需的向心力大小为， 所需的向心力大小为 ，若此时烧断细线，、 与圆盘间的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则 、 均做离心运动，故B正确，A、C、D错误. 38 例4 （倾斜转盘）[山东济宁育才中学2026高三下测试] 如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕过圆心且垂直于盘面的固 定转轴以恒定角速度 匀速转动,盘面上离转轴 处有一小物体（可视为质点）与圆盘始终保持相对静止,设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面间的夹角为 , ,则( ) D A.小物体随圆盘以不同的角速度 做匀速圆周运动时, 越大,小物体在最高点处受到的摩 擦力一定越大 B.小物体受到的摩擦力不可能背离圆心 C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则 的最大值是 D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为,则 的最大值是 39 【解析】当物体在最高点时,分析摩擦力不确定问题，物体此时可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用,当 摩擦力的方向背离圆心沿盘面向上时, 越大,小物体在最高点处受到的摩擦力越小,A、B错误;当物体转到圆盘 的最低点且恰好不相对圆盘滑动时,圆盘的角速度最大,此时小物体受竖直向下的重力、垂直于盘面向上的支持力、 沿盘面指向圆心的摩擦力,由沿盘面的合力提供向心力,支持力大小为 ,摩擦力大小为 ,根据牛顿第二定律可得,解得 ,C错误,D正确. 40 题型4 圆锥筒和圆锥摆模型 例5 [广东广州铁一中学2026高三下期中] 竖直细圆杆顶端附近有一小孔，光滑细绳穿过小孔，细绳两端 分别系有、两小球，已知球质量小于 球质量.调节细绳并转动圆杆，使得两球与圆杆能以相同角速度 在水平面内匀速转动，下列图样大致正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】设小孔到小球转动平面的竖直距离为，细绳与竖直方向的夹角为 ，根据小球在竖直方向上受力平 衡有 ，两小球受到的细绳拉力大小相等，因为，所以，即 ，小球 做圆周运动的半径为 ，根据小球所受合力提供向心力有，解得 ，两球 一起做圆周运动，角速度相同，即两球高度相同，C正确. 41 两式联立可得ω==2 rad/s。 则a=,Ff=μ2mg 解得a=μ2g=2.25 m/s2 小物体在餐桌上滑动的初速度为v0=ωr=3 m/s 由运动学公式=-2ax可得x=2 m 由几何关系可得餐桌半径的最小值为R==2.5 m。 (3)当小物体滑离餐桌时,开始做平抛运动,平抛的初速度为小物体在餐桌上滑动的末速度vt',由题意可得vt'2-=-2ax' 由于餐桌半径为R'=r,所以x'=r=1.5 m 解得vt'=1.5 m/s 设小物体做平抛运动的时间为t,则h=gt2,解得t==0.4 s 小物体做平抛运动的水平位移为x1=vt't=0.6 m。 解析 最大静摩擦力等于滑动摩擦力,设运动员在弯道转弯时不发生侧滑的最大速度为v,静摩擦力提供向心力有μmg=m,解得v==4 m/s,A正确,B错误;运动员在水平面内做匀速圆周运动需要的向心力为Fn=m=100 N,竖直方向受力平衡FN=mg=500 N,所以运动员受到冰面的作用力F==510 N,C、D错误。 解析 图甲中滑块所受的摩擦力为Ff甲=2mgsin 45°-mg=(-1)mg,A正确;以滑块与斜面体组成的整体为研究对象,根据平衡条件可知水平方向有,斜面受到地面的摩擦力Ff=FTcos 45°=mg,方向水平向左,B错误;图乙中小球做圆锥摆运动,小球竖直方向没有加速度,则有FT'cos θ=mg,可得轻绳拉力FT'=,对滑块根据平衡条件得滑块受到的摩擦力F f乙=2mgsin 45° -FT'=mg-,显然θ=45°时,Ff乙=0,若θ<45°,小球转动的角速度越小,θ就越小,则Ff乙越大,C、D正确。 物理模型 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 物理模型 轻绳模型 轻杆模型 最 高 点 受力 特征 除重力外,物体受到的弹力:方向向下或等于零 除重力外,物体受到的弹力:方向向下、等于零或方向向上 受力示意图 力学方程 mg+FN=m mg±FN=m 临界 特征 FN=0 mg=m 即vmin= v=0 即F向=0 FN=mg 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ v≥0 B.球A的速度大小为 解析 球B运动到最高点时,杆对球B恰好无作用力,即重力恰好提供向心力,有mg=m,解得v=,A错误;由于A、B两球的角速度相等,故球A的速度大小v'=,B错误;球B运动到最高点时,对杆无弹力,此时球A受到的重力和拉力的合力提供向心力,有F-mg=m,解得F=1.5mg,则水平转轴对杆的作用力为1.5mg,C正确,D错误。 解析 过山车在两段弯曲轨道中所做的运动不是匀速圆周运动,经过A点或B点处,其合外力并不指向圆心,A、B错误;过山车经过A点的速度大于B点的速度,在A点根据向心力公式有FNA-mg=m,过山车在A点对轨道的压力FNA'=FNA=mg+m,由图示轨道知,过山车在最高点B点是在轨道的外侧运动,根据向心力公式有mg-FNB=m,对轨道的压力FNB'=FNB=mg-m,故FNA'>FNB',又摩擦力Ff=μFN,因动摩擦因数处处相等,所以FfA>FfB,C正确;因半径RA<RB,速度vA>vB,则由向心力公式Fn=m可知,在A点时所受向心力较大,D错误。 A.v B.v C.2v D.2v 解析 根据几何关系可知,小球做圆周运动的半径为r=L,小球在最高点速率为v时,两根绳的拉力恰好均为零,有mg=m,解得v=;当小球在最高点时,每根轻绳的拉力大小为mg,小球受到的合外力F合=mg+ 2Fcos 30°=4mg,根据牛顿第二定律有4mg=m,联立解得v'=2v,故选C。 $