精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2026-2027学年高三上学期11月模拟考试数学试题

2026年11月高三试卷 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，而，所以. 2. 一位射击运动员在一次射击测试中射靶次，每次命中的环数如下：，，，，，，，平均数为，则这组数据的中位数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，解得， 将这组数据从小到大排列为6，7，8，8，9，9，9，所以中位数为8. 3. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵双曲线的离心率，，． 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象与轴最近的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 该函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象的解析式为：， 令，可得它的对称轴的方程为， 显然当时，对称轴与轴最近． 6. 一种细菌性感染后的人群需多次服用某种药物才能治愈，这种药物在治疗中的治疗浓度阈值又叫最低有效浓度，是指药物在血液中的含量需要维持在特定浓度阈值以上才能起效，浓度下降至阈值以下，疗效就会中断，浓度过高则增加肾毒性风险．该药的最低有效浓度为血液中药物含量不低于，已知某患者第一次服用该药后当前浓度为，他服用该药后血液中的药物含量会以每小时的速度减少，那么他经过几个小时后进行第二次服用最佳？结果精确到个位（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立指数型函数不等式模型，两边取对数，根据对数运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知100mL血液中药物含量不低于30mg时药物有效， 设他第一次服药后经过小时药物仍有效， 故，即， 两边同时取对数可得， 即， 他经过5个小时后第二次服用最佳. 7. 已知函数，正项等比数列满足，则…（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先挖掘函数满足的配对结论，再利用等比数列下标性质得到，分组配对相乘，最后单独计算中间项 . 【详解】由题可知，易得， 因为为正项等比数列，所以， 又，所以，所以， 所以， 所以， 又， 则． 8. 一长方体盒子的长、宽、高分别为，，，盒子内装有一个半径为的小球，小球在盒子内任意滚动，则小球在盒子内滚动部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题采用空间拆分法，将小球在盒内可滚动到的区域分解为核心长方体、面处长方体板、棱处四分之一圆柱、顶点处八分之一球四部分分别计算，再求和得到总体积. 【详解】由题意可知，能滚动到的空间部分可分为四个部分： ①中间一个核心小长方体：长、宽、高分别为3，2，4的长方体， 可得； ②十二条棱各对应一个四分之一的圆柱，共12个，底面半径为1，高分别为2，3，4， 可得； ③八个顶点各对应一个八分之一的球，恰好拼成一个半径为1的球，得到； ④六个面各对应一个长方体，， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 若，则 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义及表达式确定参数进而判断选项A、B，根据题意利用点斜式设出直线方程，与抛物线联立，结合向量数量关系解得参数值进而得到直线斜率判断直线倾斜角，确定选项C，对两条直线都设出点斜式，分别与抛物线联立，得到直线上两点的横坐标关系，结合两直线垂直的斜率关系以及抛物线定义，利用基本不等式得到最小值，判断选项D. 【详解】 对选项A，由得，即，所以抛物线的方程为，A正确； 对选项B，由抛物线定义得，B错误； 对选项C，设直线的方程为，整理得，令，即， 联立得，整理得，由韦达定理可得， 当时，可得，代入韦达定理关系式，计算可得， 所以直线的斜率为，直线的倾斜角不是，C错误； 对选项D，设直线的方程为， 联立得整理得，所以， 同理可得直线与抛物线的交点的横坐标满足，其中为直线的斜率，， 由抛物线定义可知 ， 当且仅当或时，等号成立，D正确． 10. 如图所示，在长方体中，，点为的中点，点为对角线上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. ，四面体的体积为定值 C. 当时，直线与平面所成的角最大 D. 当时，，，，四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据，结合线面平行判定定理即可判断；对于B，根据平面得点到平面的距离为定值，进而结合体积公式即可判断；对于C，根据，结合为定值得时，最小，最大，再计算即可判断；对于D，连接，并延长交于，进而根据相似得点为的中点，故即可判断. 【详解】对选项A，当时，点为的中点，易知点为的中点，又点为的中点， 所以，又平面，平面，所以平面，A正确； 对选项B，由题可知，则平面，的面积为定值，点到平面的距离为定值， 故四面体的体积为定值，B正确； 对选项C，即为直线与平面所成的角，， 因为为定值，所以最小时，最大， 所以，当时，最小，此时满足∽,∽， 所以 所以，C错误； 对选项D，若时，连接，并延长交于，易知，则， 此时点为的中点，所以，所以，，，四点共面．D正确． 11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用将递推式转化为关于的关系，推导出；再依次验证：由的形式判断其非等差数列，由化简得数列递减，将求和通项裂项相消算出结果，构造函数利用单调性证明不等式成立． 【详解】对于A，，，解得， 当时，，整理得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 当时，，符合上式， 所以，即数列不是等差数列，A错误； 对于B，当时，， 当时，也满足，所以， 由，可知数列为递减数列， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，令，，则， 所以函数在上单调递增，所以， 令，即，即，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则__________． 【答案】5 【解析】 【详解】由复数，可得，所以． 13. 已知向量，，满足，直线与圆交于，两点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量数量积，求得，的数量关系，从而结合直线方程，可得判断其所过定点，并判断定点与圆的位置关系，然后结合圆的弦长公式（为圆心到直线的距离），得到最值情况下直线的位置即可求解． 【详解】由题可知，，即． 对于直线，当，时，方程恒成立， 可得直线恒过定点． 圆，即，则其圆心为，半径为． 由于，则定点在圆内． 当直线经过圆心时，最大，则， 当时，最小，则， 所以的取值范围为． 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，变形后可得，观察到方程中都有，换元后方程转变为，再构造函数，求导分析其单调性，从而求出函数仅有两个零点0，1．原问题就转化为方程和共有2个不同实数根，最后再构造函数，求导分析其单调性即可求解． 【详解】由题令，可得． 令，设，则． 当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 又有，，故函数仅有两个零点0，1． 若恰有2个零点，即方程和共有2个不同实数根． 令，则， 当时，，即在区间上单调递增． 当时，，当时，， 故和各有1个实数根，符合题意； 当时，由，可得，由，可得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 当时，，当时，， 要满足题意，可得，解得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． （1）从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； （2）若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ． 【解析】 【小问1详解】 记事件为“随机选取的名学生中至少有一名学生非常满意”， 事件为“随机选取的名学生中另一名学生不是非常满意”. 从名学生中随机选取名，基本事件总数为. 事件的对立事件为“两名学生都不是非常满意”， 其中“不是非常满意”的学生共有人， 则. 事件表示“选取的名学生中，一人非常满意，另一人不是非常满意”， 其基本事件数为. 故所求概率. 【小问2详解】 抽到“不满意”学生的频率为. 由题意，从该校高一年级中随机抽取名学生，抽到“不满意”的概率. 现从所有学生中随机抽取4名学生，则， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 16. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）在中，内角的对边分别为，且，，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式与辅助角公式将函数化简为正弦型函数，再根据的取值范围求出相位的范围，结合正弦函数的取值得到函数的值域； （2）先由结合三角形内角范围求出角，再利用射影定理求出边，结合与余弦定理解出边长，最后代入面积公式计算三角形面积． 【小问1详解】 ， 当时，则， 所以，所以， 所以函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 若，则，所以， 由，得，所以，即， 因为，所以，所以， 即，所以， 又，所以， 因为，，所以， 整理得，解得，（舍去）， 所以， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面． （1）求证：； （2）若，，，且平面与平面所成角的余弦值为，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）证明：过点作，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面，， 过点作，垂足为，同理可得， 又与相交，平面， 又平面，， （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质证面得到； （2）建系设角，借助两平面法向量夹角列式求解. 【小问1详解】 略， 【小问2详解】 以为原点，直线为轴，直线为轴，在平面内过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设为，，则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 ， 设平面的法向量为， 则 ， 平面与平面所成角的余弦值为， ， 解得，或，， 又， 三棱锥的体积为或． 18. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点在直线：上运动，过点作椭圆的两条切线，切点分别为点，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由． 【答案】（1）椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）存在，直线的斜率为或. 【解析】 【分析】（1）由离心率与椭圆上的点到右焦点距离的最大值列出关于，的方程，求出，，后写出标准方程. （2）（ⅰ）设出切点坐标，用判别式为零求过切点的切线方程，从而得到切点弦的方程，再把点满足的直线方程代入消参，即可看出直线所过的定点. （ⅱ）把四边形为平行四边形转化为的坐标关系，代入椭圆方程得到与的关系，再联立直线与椭圆方程消元，解关于斜率的方程，最后检验切线确实存在. 【小问1详解】 由离心率得. 设右焦点为，椭圆上的点到的距离的最大值为，所以，即，解得. 所以，，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，，，则. 当切线的斜率存在时，设其方程为，即. 代入椭圆方程，整理得. 由直线与椭圆相切得，化简得. 将与代入上式整理，得，所以. 所以切线的方程为，即. 当切线的斜率不存在时，，，切线方程为，也满足上式. 所以切线的方程为，将代入得. 同理，即，的坐标都满足方程，所以直线的方程为. 由得，令，，解得，，所以直线恒过定点. 第（ⅱ）问的一种构型 （ⅱ）若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分，即. 若直线的斜率不存在，由（ⅰ）知的方程为，与椭圆交于，，此时，而，点不在椭圆上，所以直线的斜率存在. 设：，由（ⅰ）知过点，所以. 由与联立消去，得，所以，. 点在椭圆上，即. 将与代入上式整理，得，即. 又，所以. 由得，化简得. 将代入得，即，解得或. 当时，直线与椭圆方程的判别式，直线与椭圆有两个交点. 设对应的点，比较与可得，. 此时，即点在直线上；又，即点在椭圆外，过的两条切线存在. 所以椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，此时直线的斜率为或. 19. 已知函数()． （1）当时，求函数的极值； （2）若对恒成立． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，在函数的图象上是否存在点，过点作函数的图象的切线与轴交于点，与轴交于点 ，使得成立？并说明理由． 【答案】（1）极大值为 （2）（ⅰ）1 （ⅱ）存在点使得成立． 【解析】 【分析】（1）时确定函数解析式，求导后通过导函数的零点及符号变化判定单调性，进而求出极值. （2）（ⅰ）利用必要性探路排除的情形，再对进行导数分析验证； （ⅱ）将向量等式转化为是线段的中点，结合切线方程列出关于切点横坐标的方程，构造新函数利用零点存在性定理证明其有解. 【小问1详解】 当时，，定义域为. 求导得. 令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 （ⅰ）对恒成立，则当时须满足题意，代入得，可得. 注意到，而当时由（1）知显然不成立，故考虑时. 此时，. 令，则. 在上单调递增，且，. 故在上存在唯一零点，使得. (时). 从而恒成立，在上递增. 又，故恒成立. 所以的最小值为. （ⅱ）当时，. 设，其中. 切线斜率. 由知为的中点. 设，，则，，得. 将代入切线方程，得，即. 整理得，即. 令. ，. 根据零点存在定理，在内必存在使得，即存在满足条件的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年11月高三试卷 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一位射击运动员在一次射击测试中射靶次，每次命中的环数如下：，，，，，，，平均数为，则这组数据的中位数（ ） A. B. C. D. 3. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 双曲线的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象与轴最近的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 一种细菌性感染后的人群需多次服用某种药物才能治愈，这种药物在治疗中的治疗浓度阈值又叫最低有效浓度，是指药物在血液中的含量需要维持在特定浓度阈值以上才能起效，浓度下降至阈值以下，疗效就会中断，浓度过高则增加肾毒性风险．该药的最低有效浓度为血液中药物含量不低于，已知某患者第一次服用该药后当前浓度为，他服用该药后血液中的药物含量会以每小时的速度减少，那么他经过几个小时后进行第二次服用最佳？结果精确到个位（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，正项等比数列满足，则…（ ） A. B. C. D. 8. 一长方体盒子的长、宽、高分别为，，，盒子内装有一个半径为的小球，小球在盒子内任意滚动，则小球在盒子内滚动部分的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 若，则 C. 当时，直线的倾斜角为 D. 的最小值为 10. 如图所示，在长方体中，，点为的中点，点为对角线上的一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，平面 B. ，四面体的体积为定值 C. 当时，直线与平面所成的角最大 D. 当时，，，，四点共面 11. 已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，则__________． 13. 已知向量，，满足，直线与圆交于，两点，则的取值范围为__________． 14. 已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校对高一年级学生进行“学校食堂午餐”满意度调查，在随机抽取的名学生中，有名学生表示非常满意，名学生表示一般，名学生表示不满意． （1）从这名学生中随机选取名学生，已知其中至少有一名学生非常满意，求另一名学生不是非常满意的概率； （2）若以这名学生的满意度情况来估计所有学生满意度情况，且以频率作为概率，现从该校所有高一年级学生中随机抽取名学生，设不满意的学生人数为，求的分布列和数学期望． 16. 已知函数． （1）求函数在区间上的值域； （2）在中，内角的对边分别为，且，，若，求的面积． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面． （1）求证：； （2）若，，，且平面与平面所成角的余弦值为，求三棱锥 的体积． 18. 已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点在直线：上运动，过点作椭圆的两条切线，切点分别为点，． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由． 19. 已知函数()． （1）当时，求函数的极值； （2）若对恒成立． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，在函数的图象上是否存在点，过点作函数的图象的切线与轴交于点，与轴交于点 ，使得成立？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $