精品解析：陕西咸阳市兴平市2027届高三第一次模拟考试数学试题

兴平市2027届高三第一次模拟考试 数学 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共4页，满分150分，请你直接在答题纸上作答； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 7. 若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则______． 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求和； （2）求的值． 16. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. （1）证明：； （2）若，求内角A的大小. 18. 设函数， ． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求实数取值范围； （3）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴平市2027届高三第一次模拟考试 数学 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共4页，满分150分，请你直接在答题纸上作答； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第Ⅰ卷（选择题　共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，求集合，结合交集运算性质，可得答案. 【详解】由，则，即，由，则， 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设可得，则，解得. 3. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出大小关系. 【详解】由题意得，， 即， ， 所以． 故选：C． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 5. 函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 6. 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，把代入即可求出答案；对于B，由正切函数的周期公式计算即可求出答案；对于C，根据正切函数的对称中心代入计算即可求出答案；对于D，根据正切函数的性质代入计算即可求出答案. 【详解】把代入得，故A错误； 由周期公式得的最小正周期为，故B错误； 由正切函数的对称中心可得，图象的对称中心的横坐标满足，即，此时， 即图象的对称中心为，故C错误； ，即，即，即，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 7. 若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，再结合函数的单调性解函数不等式. 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，且其对称轴为， 所以函数的图象关于直线即轴对称，所以函数为偶函数. 又在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且. 所以当或时，；当时，. 又或， 解得或. 所以所求不等式的解集为. 故选：B 8. 已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析得到当时，要有2个根，参变分离后构造函数，研究其单调性和极值，数形结合求出实数a的取值范围. 【详解】与关于y轴对称，且， 要想有5个零点， 则当时，要有2个根，结合对称性可知时也有2个零点， 故满足有5个零点， 当时，，不合题意； 当时，此时 令，定义域为， ， 令得：，，令得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 在处取得极大值，其中， 故，此时与有两个交点. 故选：C 【点睛】对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；有三个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分，有选错的得0分） 9. 下列选项中，正确的是（ ） A. 若，，则， B. 若不等式的解集为，则 C. 函数的图象恒过定点 D. 若，，且，则的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断选项A正误,根据一元二次不等式解集和一元二次方程根之间的关系,再利用韦达定理,即可判断选项B正误,根据对数函数恒过,即可得选项C正误,根据“1”的代换,即可得选项D的正误. 【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确； 对于B：若不等式的解集为, 则的两根为，且, 根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误； 对于C：对数函数恒过, 所以恒过，故C错误； 对于D：因为, 所以, 当且仅当,即时等式成立， 故的最小值为9，故D正确. 故选：AD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用赋值法判断A，结合题意并利用偶函数的定义判断B，利用函数单调性的定义判断C，将目标不等式合理转化判断D即可. 【详解】令，得，即，故A正确； 令， 则， 即是偶函数，故B正确； 当时，因为，所以， 因为，所以， 则在上单调递增，故C错误； 由题意知，且， 因此不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，解不等式得，故D错误． 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题　共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知角的终边过点，则______． 【答案】##0.4 【解析】 【详解】因为角的终边过点，所以，， 所以. 13. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 14. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 【答案】2025 【解析】 【分析】由新定义确定的对称中心，即可求解. 【详解】解：因为，所以，， 令，得，又， 所以的对称中心是，所以， 所以． 四、解答题（本题共5小题，共77分．第15题13分，第16，17题各15分，其余两题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）求和； （2）求的值． 【答案】（1），当在第一象限时，；当在第三象限时，；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可得，讨论的象限，利用同角三角函数的基本关系即可求解. （2）利用诱导公式以及齐次式即可求解. 【详解】解：由已知得 （1），∴在第一、三象限 当在第一象限时， 当在第三象限时， （2）原式 16. 函数（，，）的部分图像如图所示. （1）当时，求的单调递增区间； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的解析式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，， 解得，， 所以在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以， 即，所以. 所以. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. （1）证明：； （2）若，求内角A的大小. 【答案】（1）在中， ， 因为，即， 且，则， 则，即， 又因为 ，则，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 18. 设函数， ． （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有两个零点，求实数取值范围； （3）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值；无极大值； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可求，利用导数判断单调性，由单调性即可求解； （2）令可得，令，求，判断单调性求得最值，即可求解； （3）不等式可转化为，构造函数，可得在上单调递减，即在上恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 因为 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以当时，取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 由题可得， 令，得． 设，则． 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为，又，，可知： 当时，函数有2个零点， 即实数取值范围为. 【小问3详解】 原命题等价于恒成立， 令， 则等价于在上单调递减，在恒成立, 所以恒成立，又， 所以， 即的取值范围是． 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）证明如下： 由（i）可知，当时，， 令，则， 即， 故， 化简可得． 【解析】 【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可. （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可. （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【小问1详解】 由题可知任意， 且，，即，解得， 因为，所以解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $