1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题

 选择性必修第一册　第一章　空间向量与立体几何

[学习目标]

1．理解点到直线的距离与点到平面的距离都是向量投影的长度，会在建系后用坐标计算距离。

2．掌握异面直线所成角、直线与平面所成角的向量公式，理解角度的取值范围与公式中绝对值的作用。

3．会求平面的法向量并用它求两个平面的夹角与二面角，能结合图形判断二面角是锐角还是钝角。

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 1．点到直线的距离

图 1 的正方体棱长为 2，以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系，则 、、，底面中心 。计算得 ，，两者的数量积为 −2+2+0=0，所以 ，线段 的长 就是点 到直线 的距离。

图 1: 正方体棱长为 2， 为底面中心，，点 到直线 的距离为

(1) 设直线 的方向向量为 ，点 为直线外一点， 为 上一点。向量 在 上的投影向量的长度为 ，它与 及垂线段构成直角三角形，由勾股定理得点 到直线 的距离 。

(2) 若 是单位向量，则 ，其中根号内是 的模的平方减去投影长度的平方。图 1 中 在 上的投影长度为 ，代入得 ，与直接找垂足的结果相同。

 提醒： 投影长度是直角三角形的一条直角边，不是斜边。把投影长度直接当作点线距离，只有在 与直线垂直时才正确。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 点 到直线 的距离，等于向量 在 的方向向量上的投影向量的长度。（　　）

(2) 若直线 的方向向量 满足 ，则点 到 的距离等于 。（　　）

 2．点到平面的距离

图 2 中平面 经过 、、。设它的法向量为 ，由 与 可取 。点 满足 2+2+2−2=4，所以点 到平面 的距离为 ，垂足 恰为三角形 的重心，且 、、 共线。

图 2: 平面 的一个法向量为 (1,1,1)， 平面 ，

(1) 设平面 的法向量为 ，点 为平面外一点， 为 内一点。向量 在 上的投影向量的长度就是点 到平面 的距离，即 。

(2) 求法向量时，设 ，让它与平面内两个不共线的向量都垂直，得到两个方程；再取其中一个分量赋一个非零值。若某个分量的方程不含该分量，就不能把这个分量取为 0，要另选一个能解出非零值的方向。

判断

(1) 点 到平面 的距离等于 ，其中 在 内， 是 的法向量。（　　）

(2) 若 在平面 内，且 ，则点 到 的距离等于 。（　　）

 3．异面直线所成角

图 3 中仍是棱长为 2 的正方体，，。两者的数量积为 4，模都是 ，于是 ，异面直线 与 所成角为 。把 平移到 的起点 处再比较，得到的也是同一个角。

图 3: 异面直线 与 的方向向量分别为 (2,0,−2) 与 (0,2,−2)，所成角为

(1) 设异面直线 、 的方向向量分别为 、，它们所成的角为 ，则 ，其中 。

(2) 异面直线所成角规定为锐角或直角，所以公式的分子要加绝对值。方向向量的夹角是钝角时，它与所成角互为补角，例如方向向量夹角为 ，所成角为 。

判断

(1) 两条异面直线所成角可以是 。（　　）

(2) 若两条异面直线的方向向量的夹角余弦为 ，则这两条直线所成角为 。（　　）

 4．直线与平面所成角

图 4 中直线 在平面 内的射影是 。，平面 的法向量为 ，，所以直线 与平面 所成角为 。

图 4: 直线 在平面 内的射影为 ，所成角