空间向量与立体几何 讲义-2027届高考数学一轮复习

第 12 讲　空间向量与立体几何

适用：高考数学一轮复习　|　教材：人教 A 版（2019）选择性必修第一册第一章　|　建议课时：3 课时　|　分值：5～14 分

开篇：一道三棱台的题，把“高”和“投影”分开算

（2024 新课标Ⅱ卷）已知正三棱台 的体积为 ，，，则 与平面 所成角的正切值为（　　）

A．　　B．　　C．　　D．

答案是 B，正切值为 。这道题只考两件事：台体体积反求高，把斜棱投影到底面上。两件事都不需要建系。

第一步，用体积把高抠出来。下底是边长 的正三角形，；上底边长 ，。台体体积公式里有个容易漏的中间项 ：

于是

解得 。

第二步，求 在底面上的投影长。正三角形的中心到顶点的距离是高的 ：下底的高为 ，故 到中心 ；上底的高为 ，故 到中心 。两个中心在同一条竖直线上，且 与 在同一侧，所以投影长就是两者之差：

第三步，正切值等于“高除以投影”：

要点　线面角永远是“竖高 水平投影”，所以这类题的关键动作是先把两条都算出来，别急着设坐标。台体体积里的 一项漏掉， 会立刻算错，后面的正切也就全废。

一、考情定位

（一）这一讲在高考里怎么考

立体几何解答题的第二问，现在几乎只剩一种解法——建系。翻近五年新高考卷，凡是 12 分以上的立体几何大题，第二问要的不是二面角就是线面角，而这些题的参考答案，无一例外是“以某点为原点建立空间直角坐标系”。

近几年的具体落点：

• 2024 新课标Ⅱ卷：正三棱台的体积反求高，再把侧棱投影到底面求线面角的正切值（本讲开篇）。
• 2025 全国一卷（多选）：正三棱柱中给出中点，判断线线垂直、线面平行那几个结论。
• 2025 上海卷：圆锥的两条母线所在直线与底面弦，求所成角的最小值（检测 12）。
• 2023 北京卷第 16 题：三棱锥 中 平面 ，先证 平面 ，再求二面角 。
• 2023 新课标Ⅰ卷第 18 题：正四棱柱中 ，点 在棱上，二面角为 时求线段长。
• 2023 新课标Ⅱ卷第 20 题：三棱锥 中 ，先证 ，再求二面角的正弦值。
• 2022 新高考Ⅰ卷第 19 题：直三棱柱体积为 ， 面积为 ，求二面角。

把这几道题放在一起看，命题的三条走向很清楚：

1. 坐标系不再白送。以前题干直接写“某棱垂直于底面”，现在要你先证出来。2023 北京卷要先证 平面 ，第二问才能以 为原点。第一步证不出，第二问连系都建不起来。
2. 动点、参数、最值在增加。2023 新课标Ⅰ卷要设 反解 ，2025 全国一卷要把中点条件换成坐标再逐个验证。只会算定值不够，要会把坐标写成参数。
3. 几何法与向量法同时给分。参考答案常写“解法一（向量法）、解法二（几何法）”，说明两种都算对。走哪条路，看题干给的垂直关系适合谁。

（二）考情梳理

二、知识梳理

（一）建系的三种入口

坐标系不是随便建，要看题干给了哪条垂直关系：

判断标准只有一句话：原点处必须有三条两两垂直的直线。找不到，就先证明出一条垂直，再建系。

（二）法向量的四步求法

求平面 的法向量，标准步骤是四步：

1. 设：设 ；
2. 代：在平面内找两个不共线的向量 、，写出 与 ；
3. 赋：把 赋成 （或让某个分量取一个好算的数），解出另外两个；
4. 验：把结果代回两个方程，看是不是都等于 。

第四步很多人省略，而错误恰恰出在这里：解方程时抄错一个负号，后面所有的角都错。回代只花五秒，能救整道题。

考场上可以用一个口算技巧加速：若 ，，则同时垂直于两者的向量可取

这个式子只用来心算和检验，答题时仍要按四步写全。直接写叉积公式，阅卷时容易判为步骤不全。

（三）三个角的公式与取值范围

表里只有二面角是真难点：前两个角的范围固定，取绝对值就完事；二面角可以是钝角，法向量夹角算出余弦为 时，实际二面角可能是 。判断靠两条——看图形，或找一个平面角算一次对照。