2.2.2 直线的两点式方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.2.2　直线的两点式方程

 选择性必修第一册　第二章 直线和圆的方程

[学习目标]

1．经历由两点坐标与斜率公式推导直线两点式方程的过程，掌握两点式的形式与适用条件，会单独写出与坐标轴垂直、与坐标轴平行的直线。

2．理解直线在坐标轴上截距的含义，掌握截距式方程，会由两点式导出截距式，会由截距式读出直线与坐标轴的交点。

3．能根据已知条件选择恰当的方程形式求直线，会处理截距相等、截距互为相反数等需要分类讨论的问题，会求直线与坐标轴围成图形的面积。

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 1．直线的两点式方程

图 1 中的直线经过 与 两点。由 2.1.1 的斜率公式，这条直线的斜率 ，即横坐标每增加 2，纵坐标相应增加 3；图中两条虚线把这一关系画成水平方向长 2、竖直方向长 3 的直角三角形。把这两个具体数值换成一般点的坐标，就得到由两点确定直线的统一写法。

图 1: 过 、 的直线：水平方向增加 2，竖直方向增加 3

(1) 经过两点 、 的直线，当 且 时，斜率为 。

(2) 这条直线经过点 ，由 2.2.1 的点斜式得 。因为 ，两边同除以 ，得

它由直线上两点的坐标确定，叫做直线的方程，简称。

(3) 两点式的两个条件缺一不可： 时右边分母为零， 时左边分母为零，这两种情形都要另行处理。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 经过任意两个不同点的直线都可以用两点式方程表示。（　　）

(2) 方程 表示经过点 (−1,2) 与 (2,3) 的直线。（　　）

 2．与坐标轴垂直、与坐标轴平行的直线

图 2 中有两条特殊直线：竖直的一条经过 、，水平的一条经过 、。它们的位置都由两点确定，但都写不出两点式：前者两点横坐标相同，后者两点纵坐标相同。

图 2: 蓝色直线只能写成 ，红色直线只能写成 ，两者都没有两点式方程

(1) 当 时，经过 、 的直线与 轴垂直，直线上任意一点的横坐标都等于，方程为 ；当 时这条直线就是 轴。

(2) 当 时，直线与 轴平行，方程为；当 时这条直线就是 轴。

(3) 这两类直线与 2.1.1 中倾斜角为 0 和 的直线相对应：前者斜率不存在，后者斜率为 0，都不能用点斜式与两点式表示。

 提醒： 求过两点的直线方程时，先比较两点的横坐标与纵坐标。横坐标相同写 ，纵坐标相同写 ，两者都不同才用两点式。

判断

(1) 直线 （即 轴）可以用两点式方程表示。（　　）

(2) 经过点 (3,−1) 与 (3,5) 的直线方程是 。（　　）

 3．直线的截距式方程

图 3 中的直线与 轴交于 ，与 轴交于 。把这两点代入两点式，得 ，即 ；右边拆开并移项，得 。这条直线的位置完全由 3 与 2 两个数决定。

图 3: 直线与 轴交于 ，与 轴交于 ，方程是

(1) 一般地，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中 且 。把这两点代入两点式并整理，得 。

(2) 该方程叫做直线的方程，简称，其中 叫做直线在 轴上的， 叫做直线在 轴上的。

(3) 截距是实数，可正、可负，也可以为零，它表示交点的坐标而不是交点与原点的长度。例如图 3 中 、；直线 在 轴上的截距是 −3，而它的交点到原点的长度是 3。

 提醒： 截距式要求 且 ，因此过原点的直线、与坐标轴平行或垂直的直线都没有截距式方程。

判断

(1) 直线 在 轴上的截距是 3。（　　）

(2) 每一条直线都有截距式方程。（　　）

 4．根据条件选择直线方程的形式

图 4 中的直线经过 与 两点，用两点式写成 ；它在 轴、 轴上的截距分别是 −1 与 1，用截距式写成 。两个式子不同，化简后都是 ，表示同一条直线。选用哪一种形式，取决于题目给出的条件。

图 4: 同一条直线：两点式 与截距式