2.2.1 直线的点斜式方程 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.2.1　直线的点斜式方程

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．经历由直线上一个已知点和斜率推导直线方程的过程，掌握点斜式方程，知道它的适用条件，会在斜率不存在时写出直线方程。

2．理解直线在 轴上截距的含义，掌握斜截式方程，能说明 与 的几何意义，会把点斜式方程化为斜截式方程。

3．能根据定点、斜率、倾斜角、平行或垂直等条件选择恰当的形式求直线方程，会处理与截距有关的分类讨论问题。

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 1．直线的点斜式方程

在平面直角坐标系中，经过一个已知点且斜率给定的直线有且只有一条。设直线 经过点 ，斜率为 ，点 是 上异于 的任意一点（图 1）。当 时，由 2.1.1 的斜率公式得

去分母得 。反过来，坐标使这个方程成立的点，要么与 重合，要么与 连线的斜率等于 ，因而都在直线 上。方程与直线上的点就这样一一对应起来。

图 1: 经过 ，斜率为 2；从 到 ，横坐标增加 1，纵坐标增加 2

(1) 一般地，方程 叫做直线方程的，其中 是直线的斜率， 是直线上一个已知点的坐标。

(2) 确定一条直线需要个独立的几何条件。已知直线的斜率与直线经过的一个点的坐标，就能直接写出直线的方程。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 方程 表示经过点 且斜率为 的直线。（　　）

(2) 平面内任意一条直线都可以用点斜式方程表示。（　　）

 2．斜率不存在时直线的方程

点斜式方程的前提是斜率存在。当直线 经过点 且倾斜角等于 时， 与 轴垂直， 上每一点的横坐标都等于 ，纵坐标可以取任意实数，斜率公式中的分母 也等于零。图 2 中的三条直线都经过点 ：斜率为 2 的一条可写成 ；斜率为 0 的一条是 ；斜率不存在的一条是 。

图 2: 过同一点 的三条直线：斜率为 2、斜率为 0、斜率不存在

(1) 当直线 经过点 且斜率不存在时， 与 轴， 上每一点的横坐标都等于，故直线 的方程是 。

(2) 当直线 经过点 且斜率为 0 时， 与 轴（或与 轴重合）， 上每一点的纵坐标都等于 ，故直线 的方程是 。

 提醒： 斜率不存在的直线既没有点斜式方程，也没有斜截式方程，它的方程只能写成 。凡是条件里出现“过某点且与 轴垂直”“过某点且与 轴平行”，都不要再去找斜率。

判断

(1) 经过点 且与 轴平行的直线方程是 。（　　）

(2) 与 轴垂直的直线都没有点斜式方程，但都有确定的方程。（　　）

 3．直线在 轴上的截距与斜截式方程

取 为直线与 轴的交点，点斜式方程就变成一种更简洁的形式。设直线 的斜率为 ，与 轴交于点 ，在 中令 、，得 。图 3 中的两条直线斜率都是 2，与 轴分别交于 与 ，它们的方程是 与 。

图 3: 斜率同为 2、在 轴上的截距分别为 1 与 −2 的两条直线

(1) 如果直线 与 轴交于点 ，那么 叫做直线 在 轴上的。

(2) 斜率为 且在 轴上的截距为 的直线方程为 ，叫做直线方程的。它与 轴交点的横坐标为。

(3) 截距 是直线与 轴交点的坐标，它可以是正数，可以是负数，也可以是。

 提醒： 求直线在 轴上的截距，只需在方程中令 解出 ；截距是一个实数，可正可负可为零，不要把它当成线段的长短，也不要把直线与 轴的交点坐标写成 。

判断

(1) 直线 与 轴的交点坐标是 。（　　）

(2) 平面内任意一条直线都可以用斜截式方程表示。（　　）

 4．由已知条件选择直线方程的形式

点斜式与斜截式都含两个待定量：点斜式含 与 ，斜截式含 与 。求直线方程就是把这两个量确定下来。已知斜率与一个定点，用点斜式；已知斜率与 轴交点，用斜截式；已知两个点，先用 2.1.1 的斜率公式求出 ，再用点斜式；已知平行或垂直关系，由 2.1.2 的判定先定 。

(1) 已知两点时，若两点横坐标相同，则斜率不存在，直线方程为；若两点纵坐标相同，则斜率为，直线方程为 。

(2) 两条直线的斜率分别为 、，则两直线平行 且两直线不重合；两直线垂直 。

(3) 方程 （ 可变）表示的直线恒过定点，与 的取值无关。

 提醒： 平行与垂直只把斜率 定下来，方程还差一个定点或一个截距；用 表示垂直的前提是两条直线的斜率都存在，一条水平、一条与 轴垂直时仍要单独写 。

判断

(1) 直线 恒过定点 。（　　）