小升初奥数培优27：相遇与追及问题（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优27：相遇与追及问题 学习目标 1. 理解三量关系：路程、速度、时间三者的基本关系，是相遇与追及问题共同的落脚点。 2. 分清两类模型：能准确判断相向相遇与同向追及，知道相遇抓“速度和”、追及抓“速度差”。 3. 处理边界情景：能区分同时与不同时出发、直线与环形跑道、中途停留与继续前进等变式情景。 4. 掌握解题方法：会用线段图分析行程过程，能由“速度和、速度差”配合和差公式求出两个速度。 5. 规范表达：写清每一步的依据，单位统一、方向明确，减少会做但算错的失分。 知识精讲 一、基础三量关系——所有行程问题的根基 核心三式（匀速运动为前提） 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 三条式子互相变形，任何一道行程题最终都要落到“已知两个、求第三个”。做题前先统一单位：速度用“千米/时”则时间用“小时”，速度用“米/分”则时间用“分钟”，单位不统一必须先换算，这是最常见的失分点。 二、相遇问题（相向而行） 两个物体从两地出发、面对面行进，经过一段时间在途中相遇，就是相遇问题。核心特征：两人同时向对方靠近，单位时间内两人共同缩短的距离等于两人的速度之和，因此相遇问题的计算一律围绕“速度和”。 相遇三式（同时出发、相向而行） 总路程 = 速度和 × 相遇时间 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和，其中速度和 = 甲速度 + 乙速度 拓展情景 (1) 不同时出发：先出发的一方单独走的路程要单独计算，剩下的路程才由两人共同走，共同走的部分才用速度和。 (2) 相遇后继续前进：相遇点之后两人转为“背向而行”，两人之间的距离仍然按速度和增长。 (3) 环形跑道相向出发：两人从同一点反向跑，每相遇一次，两人合走一圈周长；第二次迎面相遇合走两圈。 (4) 直线两端出发的多次相遇：第一次迎面相遇合走 1 个全程，第二次迎面相遇合走 3 个全程，第三次合走 5 个全程。 三、追及问题（同向而行） 两个物体同方向运动，慢的在前、快的在后，快的经过一段时间赶上慢的，就是追及问题。核心特征：快的每秒都在缩短与慢的距离，单位时间内缩短的距离等于两人的速度之差，因此追及问题的计算一律围绕“速度差”。 追及三式（同时不同地、同向而行） 路程差（追及路程）= 速度差 × 追及时间 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差，其中速度差 = 快者速度 − 慢者速度 拓展情景 (1) 同时同地同向：两人速度相同则永远追不上；速度不同则距离越拉越大，不存在“追上”的过程。 (2) 环形跑道同向出发：快者每追上慢者一次，就比慢者多跑一圈周长，所以路程差 = 一圈周长 × 追及次数。 (3) 中途停留：谁停留就要从谁的实际运动时间里扣掉停留时间，停留期间两人的距离仍在按速度差缩短（或拉大），必须逐段理清。 (4) 先走一段再追：先走者已经形成的领先距离就是路程差，追及时间从后者出发那一刻开始算。 四、解题常用方法与注意事项 1. 先画线段图：标出起点、终点、相遇点或追及点，把速度、时间、路程写在对应线段上。行程题的信息一图即明，是首选方法。 2. 再判方向：相向用速度和，同向用速度差。方向判断错，整道题就全错，这是相遇与追及最容易混淆的分界点。 3. 后查时间：是否同时出发、有没有人提前走、有没有人停留。时间不相等时，必须拆成“单独走的部分 + 共同走的部分”。 4. 善用和差公式：同一组数据既给出相遇时间又给出追及时间时，先分别求出速度和、速度差，再用“（和+差）÷2 = 快者，（和−差）÷2 = 慢者”。 5. 回头验算：把答案代回原题，检查总路程、路程差是否与题设相符，尤其是分数结果要确认是否合乎题意。 例题讲解 【典型例题1】基础相遇问题（同时相向） 甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。两车几小时后相遇？ 【详解】 本题是标准的“同时出发、相向而行”，求相遇时间，用“总路程 ÷ 速度和”。 速度和：65 + 55 = 120（千米/时） 相遇时间：360 ÷ 120 = 3（小时） 验算：甲走 65 × 3 = 195 千米，乙走 55 × 3 = 165 千米，195 + 165 = 360 千米，与全程相符。 【答案】 3 小时 【跟踪训练1】 A、B 两地相距 480 米，小明和小红同时从两地出发，相向而行。小明每分钟走 55 米，小红每分钟走 65 米，多久两人相遇？ 【详解】 同时相向出发，直接用“总路程 ÷ 速度和”。 速度和：55 + 65 = 120（米/分） 相遇时间：480 ÷ 120 = 4（分钟） 【答案】 4 分钟 【典型例题2】基础追及问题（同时同向） 甲、乙两人在一条笔直公路上相距 80 米，乙在前、甲在后，同时同向出发。甲每分钟走 75 米，乙每分钟走 55 米，甲多久可以追上乙？ 【详解】 同向追及问题，出发时两人的距离就是路程差，求追及时间用“路程差 ÷ 速度差”。 速度差：75 − 55 = 20（米/分） 追及时间：80 ÷ 20 = 4（分钟） 验算：4 分钟内甲走 75 × 4 = 300 米，乙走 55 × 4 = 220 米，两人路程相差 80 米，恰好补齐最初的差距。 【答案】 4 分钟 【跟踪训练2】 两人相距 120 米，前面的人速度 40 米/分，后面追赶的人速度 60 米/分，同时同向出发，多久追上？ 【详解】 路程差为 120 米，求追及时间用“路程差 ÷ 速度差”。 速度差：60 − 40 = 20（米/分） 追及时间：120 ÷ 20 = 6（分钟） 【答案】 6 分钟 【典型例题3】不同时出发的相遇问题 A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地先开出 2 小时，每小时行 60 千米，之后乙车从 B 地出发相向而行，乙车速度 45 千米/时。乙车出发后经过几小时两车相遇？ 【详解】 两车不是同时出发，必须把路程拆成“甲单独走的部分”和“两人共同走的部分”，只有共同走的部分才能用速度和。 第一步，甲先单独走的路程：60 × 2 = 120（千米） 第二步，剩下需要两人共同走的路程：420 − 120 = 300（千米） 第三步，速度和：60 + 45 = 105（千米/时） 第四步，乙出发后的相遇时间：300 ÷ 105 = （小时），即 2 小时 51 分 26 秒左右 验算： 小时为共同行驶时间，甲共走 60 ×（2 + ）= 291.4 千米，乙走 45 × = 128.6 千米，合计 420 千米，与全程相符。 【答案】 小时（约 2.86 小时） 【跟踪训练3】 甲乙两地相距 390 米，甲先出发 3 分钟，每分钟走 40 米，然后乙从乙地出发相向而行，乙每分钟走 50 米。乙出发几分钟后两人相遇？ 【详解】 同样是“不同时出发”，先把甲单独走的路程扣出来。 甲先走的路程：40 × 3 = 120（米） 剩余路程：390 − 120 = 270（米） 速度和：40 + 50 = 90（米/分） 乙出发后的相遇时间：270 ÷ 90 = 3（分钟） 【答案】 3 分钟 【典型例题4】相遇问题中求其中一个速度 甲、乙两车同时从相距 500 千米的两地相向开出，4 小时后相遇。已知甲车每小时行 70 千米，求乙车的速度。 【详解】 已知总路程与相遇时间，可先求出速度和，再减去已知速度，得到另一个速度。 速度和：500 ÷ 4 = 125（千米/时） 乙车速度：125 − 70 = 55（千米/时） 验算：4 小时内甲走 280 千米、乙走 220 千米，合计 500 千米。 【答案】 55 千米/时 【跟踪训练4】 两地相距 360 米，两人同时相向而行，3 分钟相遇，一人速度 62 米/分，求另一人的速度。 【详解】 先求速度和，再减已知速度。 速度和：360 ÷ 3 = 120（米/分） 另一人速度：120 − 62 = 58（米/分） 【答案】 58 米/分 【典型例题5】环形跑道同向追及 环形跑道一圈长 400 米，小强和小亮同时从同一点同向起跑，小强速度 240 米/分，小亮速度 200 米/分。多久小强第一次追上小亮？ 【详解】 环形跑道同向出发，快者第一次追上慢者，意味着快者比慢者正好多跑一圈，所以路程差等于一圈周长。 路程差：400 米（一圈） 速度差：240 − 200 = 40（米/分） 追及时间：400 ÷ 40 = 10（分钟） 【答案】 10 分钟 【跟踪训练5】 环形跑道周长 300 米，两人同点同向出发，快的 210 米/分，慢的 180 米/分，多久第一次追上？ 【详解】 环形同向第一次追上，路程差为一圈 300 米。 速度差：210 − 180 = 30（米/分） 追及时间：300 ÷ 30 = 10（分钟） 【答案】 10 分钟 【典型例题6】相遇与追及综合（和差法求两个速度） 甲、乙两人在相距 180 米的直道上，若相向而行，3 分钟相遇；若同向而行，甲 18 分钟追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 【详解】 同一组距离产生两次运动，分别求出速度和与速度差，再用和差公式还原两个速度。 ① 相向相遇：速度和 = 180 ÷ 3 = 60（米/分） ② 同向追及：速度差 = 180 ÷ 18 = 10（米/分） ③ 和差公式：快者（甲）=（60 + 10）÷ 2 = 35（米/分）；慢者（乙）=（60 − 10）÷ 2 = 25（米/分） 验算：相向时 3 分钟合走（35 + 25）× 3 = 180 米；同向时 18 分钟甲多走（35 − 25）× 18 = 180 米，两次都吻合。 【答案】 甲 35 米/分，乙 25 米/分 【跟踪训练6】 两地相距 240 米，相向而行 4 分钟相遇；同向而行，12 分钟快的追上慢的，两人速度分别是多少？ 【详解】 速度和：240 ÷ 4 = 60（米/分） 速度差：240 ÷ 12 = 20（米/分） 快者速度：（60 + 20）÷ 2 = 40（米/分） 慢者速度：（60 − 20）÷ 2 = 20（米/分） 【答案】 快的 40 米/分，慢的 20 米/分 奥数练习 第 1 题 A、B 两地相距 300 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，在距 A 地 120 米处第一次相遇。相遇后两人继续前进，到达对方出发点后都立即返回。问第二次相遇的地点距 A 地多少米？ 【详解】 第一次相遇时两人合走 1 个全程 300 米。甲走 120 米、乙走 180 米，所以速度比 甲:乙 = 120:180 = 2:3。 第二次相遇时两人合走 3 个全程，即 300 × 3 = 900 米。按速度比分担，甲走 900 × = 360 米。 甲从 A 地出发走 360 米：先走完 300 米到达 B 地，再返回 60 米，所以距 A 地 300 − 60 = 240 米。 检验：乙走 900 − 360 = 540 米，先走 300 米到 A 地，再返回 240 米，距 A 地也是 240 米，两人位置相同，确实相遇。 【答案】 240 米 第 2 题 A、B 两地相距 480 千米。甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距中点 40 千米处相遇，已知甲车速度快。求甲、乙两车各行了多少千米，并求两车速度之比。 【详解】 中点位置：480 ÷ 2 = 240 千米。 甲车快，所以相遇点偏向 B 一侧，即距 A 地比中点更远：240 + 40 = 280 千米。 乙车走的路程：480 − 280 = 200 千米。 相遇时间相同，路程比就是速度比：280:200 = 7:5。 检验：280 − 240 = 40 千米，正好是相遇点与中点的距离，与题意相符。 【答案】 甲车 280 千米，乙车 200 千米；速度之比 7:5 第 3 题 A、B 两地相距 420 米。甲、乙两人同时从两地相向出发，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米。乙出发 2 分钟后停下休息 2 分钟，然后继续以原速前进；甲中途不停。问从出发到两人相遇共用多少分钟？ 【详解】 停留期间只有甲在走，所以乙的实际走路时间比总时间少 2 分钟。 设从出发到相遇共用 t 分钟，则乙实际走了 t − 2 分钟。依路程关系列式： 60t + 40（t − 2）= 420 100t − 80 = 420，100t = 500，t = 5。 检验：甲走 60 × 5 = 300 米；乙前 2 分钟走 40 × 2 = 80 米，休息后第 4 分钟起再走 1 分钟共 40 米，合计 120 米；300 + 120 = 420 米，与全程相符。 【答案】 5 分钟 第 4 题 甲、乙、丙三人沿同一条路同向行走，甲在最后，速度 90 米/分；乙在中间，速度 70 米/分；丙在最前，速度 60 米/分。甲追上乙用 6 分钟，追上丙用 15 分钟。求出发时乙与丙相距多少米？ 【详解】 甲追乙：速度差 90 − 70 = 20 米/分，6 分钟追近 20 × 6 = 120 米，即出发时甲与乙相距 120 米。 甲追丙：速度差 90 − 60 = 30 米/分，15 分钟追近 30 × 15 = 450 米，即出发时甲与丙相距 450 米。 甲在最后、丙在最前，所以乙与丙的距离 = 甲丙距离 − 甲乙距离 = 450 − 120 = 330 米。 检验：乙丙相距 330 米，甲的追及总距离 120 + 330 = 450 米，与甲追丙的结果一致。 【答案】 330 米 第 5 题 一列客车长 180 米，每秒行 25 米；一列货车长 220 米，每秒行 15 米。两车相向而行，从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 【详解】 两车从车头相遇到车尾相离，需要共同“走完”的长度是两车车长之和，而不是某一段路程。 要走的长度：180 + 220 = 400 米。 相向而行，相对速度取速度和：25 + 15 = 40 米/秒。 所用时间：400 ÷ 40 = 10 秒。 【答案】 10 秒 第 6 题 一列客车长 150 米，每秒行 30 米；一列货车长 250 米，每秒行 20 米。两车同向行驶，客车从车头追上货车车尾，到完全超过货车，需要多少秒？ 【详解】 同向超过，客车要比货车多走的距离是两车车长之和。 需要多走的长度：150 + 250 = 400 米。 相对速度取速度差：30 − 20 = 10 米/秒。 所用时间：400 ÷ 10 = 40 秒。 【答案】 40 秒 第 7 题 A、B 两地相距 480 米。甲、乙两人同时从两地相向出发，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 40 米。相遇后两人继续前进，各自走向对方的出发点。问甲到达 B 地时，乙还要多少分钟才能到达 A 地？ 【详解】 相遇时间：480 ÷（80 + 40）= 4 分钟。 甲走完全程需 480 ÷ 80 = 6 分钟；乙走完全程需 480 ÷ 40 = 12 分钟。 甲到达 B 地时恰好是出发后第 6 分钟，此时乙共走 40 × 6 = 240 米，距 A 地还有 480 − 240 = 240 米。 乙走完剩下这段还需 240 ÷ 40 = 6 分钟。 【答案】 6 分钟 第 8 题 环形跑道一圈长 500 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米。问甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？相当于几圈？ 【详解】 同向出发，甲第一次追上乙，说明甲比乙正好多跑一圈。 路程差：500 米；速度差：250 − 200 = 50 米/分。 追及时间：500 ÷ 50 = 10 分钟。 甲跑的路程：250 × 10 = 2500 米。 圈数：2500 ÷ 500 = 5 圈。 检验：10 分钟内乙跑 200 × 10 = 2000 米，正好是 4 圈，甲 5 圈比乙多跑 1 圈，位置重合，确实第一次追上。 【答案】 2500 米，相当于 5 圈 第 9 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距 A 地 60 千米处相遇。相遇后两车继续前进，甲车再行 3 小时到达 B 地，乙车再行 12 小时到达 A 地。求 A、B 两地的距离及甲、乙两车的速度。 【详解】 关键：相遇后甲走的那 3 小时路程，正是乙相遇前走过的路程；乙走的那 12 小时路程，正是甲相遇前走过的路程。设相遇时两车都走了 t 小时。 乙在后段 12 小时走 60 千米，所以乙速 = 60 ÷ 12 = 5 千米/时。 甲在前段 t 小时也走 60 千米，甲速 = 60 ÷ t；甲在后段 3 小时走完乙前段的路程，那段路程 = 5t，所以甲速又是 5t ÷ 3。 两式相等：60 ÷ t = 5t ÷ 3，得 5t × t = 180，t × t = 36，t = 6。 甲速 = 60 ÷ 6 = 10 千米/时；乙相遇前走 5 × 6 = 30 千米。 全程 = 60 + 30 = 90 千米。 检验：甲全程用 90 ÷ 10 = 9 小时，其中后段 3 小时，前段 6 小时，与 t = 6 一致。 【答案】 A、B 相距 90 千米；甲车 10 千米/时，乙车 5 千米/时 第 10 题 一支队伍长 480 米，以每分钟 40 米的速度前进。通信员从队尾骑车以每分钟 120 米的速度赶到队头传达命令，然后立即以同样的速度返回队尾。求通信员往返共需多少分钟？ 【详解】 去队头是追及：队伍也在前进，通信员相对队伍的速度是 120 − 40 = 80 米/分，要追上的距离是队伍长度 480 米。用时 480 ÷ 80 = 6 分钟。 返回队尾是相遇：通信员与队尾相向靠近，相对速度是 120 + 40 = 160 米/分，距离仍是 480 米。用时 480 ÷ 160 = 3 分钟。 往返合计：6 + 3 = 9 分钟。 【答案】 9 分钟 第 11 题 甲以每分钟 60 米的速度从 A 地出发，10 分钟后乙以每分钟 90 米的速度从 A 地出发追赶。乙出发 20 分钟后停下休息 5 分钟，然后继续以每分钟 90 米的速度追赶。问乙从出发到追上甲共用多少分钟？ 【详解】 乙出发时，甲已领先 60 × 10 = 600 米。 设乙从出发到追上共用 t 分钟，则乙实际骑车 t − 5 分钟，甲共走 10 + t 分钟。 两人路程相等：90（t − 5）= 60（10 + t） 90t − 450 = 60t + 600，30t = 1050，t = 35。 检验：t = 35 大于 25，确实已经休息完并继续追赶。此时甲走 60 × 45 = 2700 米，乙骑车 90 ×（35 − 5）= 2700 米，两人路程相等，追上成立。 【答案】 35 分钟 第 12 题 A、B 两地相距 560 千米，甲、乙两车同时从两地相向开出，4 小时后相遇。相遇后甲车再行 3 小时到达 B 地。求乙车的速度。 【详解】 甲车全程用时 4 + 3 = 7 小时，走完 560 千米。 甲速：560 ÷ 7 = 80 千米/时。 相遇时甲走 80 × 4 = 320 千米，则乙走 560 − 320 = 240 千米。 乙速：240 ÷ 4 = 60 千米/时。 检验：4 小时两车合走（80 + 60）× 4 = 560 千米，恰好走完全程。 【答案】 60 千米/时 第 13 题 A、B 两地相距 550 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，甲每分钟 40 米，乙每分钟 50 米；同时丙从 A 地出发，以每分钟 60 米向 B 地前进。丙遇到乙后立即返回。问丙从出发到再次遇到甲，共走了多少米？ 【详解】 第一步，丙与乙相遇：相向而行，速度和 60 + 50 = 110 米/分，用时 550 ÷ 110 = 5 分钟。 此时丙走 60 × 5 = 300 米，位置距 A 地 300 米；甲走 40 × 5 = 200 米，位置距 A 地 200 米；两人相距 100 米。 第二步，丙掉头往回，与甲相向而行，速度和 60 + 40 = 100 米/分，相距 100 米，用时 1 分钟。 这 1 分钟丙又走 60 米；丙共走 300 + 60 = 360 米。 检验：丙返回 60 米后位置距 A 地 240 米，甲此时走了 40 × 6 = 240 米，两人正好相遇。 【答案】 360 米 第 14 题 环形跑道一圈长 800 米，甲、乙两人同时从同一点反向出发，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 100 米。问 40 分钟内两人一共相遇多少次？ 【详解】 反向出发，每相遇一次两人合走一圈 800 米。 速度和：150 + 100 = 250 米/分；每次相遇间隔 800 ÷ 250 = 3.2 分钟。 40 分钟内：40 ÷ 3.2 = 12.5，取整数部分为 12 次。 检验：第 12 次相遇在 3.2 × 12 = 38.4 分钟，第 13 次要到 3.2 × 13 = 41.6 分钟，超过 40 分钟，故只有 12 次。 【答案】 12 次 第 15 题 甲、乙两人分别从 A、B 两地同向出发，甲在后、乙在前，出发时两人相距 600 米。甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 60 米。乙行进 10 分钟后掉头往回走，速度不变，甲仍继续前进。问从出发到两人相遇共用多少分钟？ 【详解】 前 10 分钟是同向追及：甲每分钟比乙多走 90 − 60 = 30 米，10 分钟追近 30 × 10 = 300 米。 此时两人相距 600 − 300 = 300 米，甲仍在乙后面。 乙掉头往回走，两人转为相向而行，速度和 90 + 60 = 150 米/分，走完相距的 300 米需 300 ÷ 150 = 2 分钟。 总时间：10 + 2 = 12 分钟。 检验：12 分钟时甲走 90 × 12 = 1080 米；乙先向 B 走 600 米，再往回走 60 × 2 = 120 米，位置为 600 + 600 − 120 = 1080 米，两人重合。 【答案】 12 分钟 第 16 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，两车速度比为 5:4，相遇时甲车比乙车多行 30 千米。求 A、B 两地的距离。 【详解】 两车行驶时间相同，所以路程比等于速度比，即甲:乙 = 5:4。 把全程看作 5 + 4 = 9 份，甲比乙多 5 − 4 = 1 份。 这 1 份正好是多行的 30 千米，所以全程为 30 × 9 = 270 千米。 检验：甲行 30 × 5 = 150 千米，乙行 30 × 4 = 120 千米，相差 30 千米，合计 270 千米。 【答案】 270 千米 第 17 题 A、B 两地相距 1200 米。甲从 A 地出发，以每分钟 50 米的速度向 B 地前进；10 分钟后乙从 A 地出发，以每分钟 100 米的速度同向追赶。问乙追上甲时，两人距 B 地还有多少米？ 【详解】 甲先走 10 分钟，领先 50 × 10 = 500 米，这就是追及的路程差。 设乙出发 t 分钟后追上：乙走 100t 米，甲走 50（10 + t）米，两人路程相等。 100t = 500 + 50t，50t = 500，t = 10。 追上时甲共走 50 ×（10 + 10）= 1000 米。 距 B 地：1200 − 1000 = 200 米。 检验：乙 10 分钟走 100 × 10 = 1000 米，与甲路程相等，追及成立。 【答案】 200 米 第 18 题 环形跑道一圈长 600 米，甲、乙、丙三人同时从同一点同向出发，速度分别为每分钟 120 米、100 米、60 米。问出发后至少多少分钟，三人第一次同时回到出发点？ 【详解】 各自跑一圈所需时间：甲 600 ÷ 120 = 5 分钟，乙 600 ÷ 100 = 6 分钟，丙 600 ÷ 60 = 10 分钟。 只有当他们跑的时间同时是 5、6、10 的整数倍时，三人才都回到出发点。 5、6、10 的最小公倍数是 30，所以最少需要 30 分钟。 检验：30 分钟内甲跑 6 圈、乙跑 5 圈、丙跑 3 圈，都是整圈数，确实同时回到出发点。 【答案】 30 分钟 第 19 题 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，9 分钟后相遇。若甲每分钟多走 6 米、乙速度不变，则 8 分钟后相遇。求两人原来的速度和，以及 A、B 两地的距离。 【详解】 前后两次走的是同一段路，全程不变。 设原来两人速度和为 x 米/分。原全程 9x；提速后速度和为 x + 6，全程 8（x + 6）。 9x = 8（x + 6），9x = 8x + 48，x = 48。 全程 48 × 9 = 432 米。 检验：提速后速度和 54 米/分，54 × 8 = 432 米，与原来 48 × 9 = 432 米一致。 【答案】 原来速度和 48 米/分；A、B 两地相距 432 米 第 20 题 A、B 两地相距 700 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米。相遇后甲把速度提高到每分钟 140 米，乙速度不变，两人继续前进。问甲到达 B 地时，乙距 A 地还有多少米？ 【详解】 相遇时间：700 ÷（60 + 40）= 7 分钟。 相遇点距 A 地：60 × 7 = 420 米；乙已从 B 地走到此处，走了 700 − 420 = 280 米。 相遇后甲离 B 地还有 700 − 420 = 280 米，提速后用时 280 ÷ 140 = 2 分钟。 这 2 分钟乙又走 40 × 2 = 80 米，乙共走 280 + 80 = 360 米。 乙距 A 地：700 − 360 = 340 米。 检验：甲 2 分钟后正好到达 B 地，乙此时的位置距 B 地 360 米，距 A 地 340 米，两段相加正好 700 米。 【答案】 340 米 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优27：相遇与追及问题 学习目标 1. 理解三量关系：路程、速度、时间三者的基本关系，是相遇与追及问题共同的落脚点。 2. 分清两类模型：能准确判断相向相遇与同向追及，知道相遇抓“速度和”、追及抓“速度差”。 3. 处理边界情景：能区分同时与不同时出发、直线与环形跑道、中途停留与继续前进等变式情景。 4. 掌握解题方法：会用线段图分析行程过程，能由“速度和、速度差”配合和差公式求出两个速度。 5. 规范表达：写清每一步的依据，单位统一、方向明确，减少会做但算错的失分。 知识精讲 一、基础三量关系——所有行程问题的根基 核心三式（匀速运动为前提） 路程 = 速度 × 时间 速度 = 路程 ÷ 时间 时间 = 路程 ÷ 速度 三条式子互相变形，任何一道行程题最终都要落到“已知两个、求第三个”。做题前先统一单位：速度用“千米/时”则时间用“小时”，速度用“米/分”则时间用“分钟”，单位不统一必须先换算，这是最常见的失分点。 二、相遇问题（相向而行） 两个物体从两地出发、面对面行进，经过一段时间在途中相遇，就是相遇问题。核心特征：两人同时向对方靠近，单位时间内两人共同缩短的距离等于两人的速度之和，因此相遇问题的计算一律围绕“速度和”。 相遇三式（同时出发、相向而行） 总路程 = 速度和 × 相遇时间 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和，其中速度和 = 甲速度 + 乙速度 拓展情景 (1) 不同时出发：先出发的一方单独走的路程要单独计算，剩下的路程才由两人共同走，共同走的部分才用速度和。 (2) 相遇后继续前进：相遇点之后两人转为“背向而行”，两人之间的距离仍然按速度和增长。 (3) 环形跑道相向出发：两人从同一点反向跑，每相遇一次，两人合走一圈周长；第二次迎面相遇合走两圈。 (4) 直线两端出发的多次相遇：第一次迎面相遇合走 1 个全程，第二次迎面相遇合走 3 个全程，第三次合走 5 个全程。 三、追及问题（同向而行） 两个物体同方向运动，慢的在前、快的在后，快的经过一段时间赶上慢的，就是追及问题。核心特征：快的每秒都在缩短与慢的距离，单位时间内缩短的距离等于两人的速度之差，因此追及问题的计算一律围绕“速度差”。 追及三式（同时不同地、同向而行） 路程差（追及路程）= 速度差 × 追及时间 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差，其中速度差 = 快者速度 − 慢者速度 拓展情景 (1) 同时同地同向：两人速度相同则永远追不上；速度不同则距离越拉越大，不存在“追上”的过程。 (2) 环形跑道同向出发：快者每追上慢者一次，就比慢者多跑一圈周长，所以路程差 = 一圈周长 × 追及次数。 (3) 中途停留：谁停留就要从谁的实际运动时间里扣掉停留时间，停留期间两人的距离仍在按速度差缩短（或拉大），必须逐段理清。 (4) 先走一段再追：先走者已经形成的领先距离就是路程差，追及时间从后者出发那一刻开始算。 四、解题常用方法与注意事项 1. 先画线段图：标出起点、终点、相遇点或追及点，把速度、时间、路程写在对应线段上。行程题的信息一图即明，是首选方法。 2. 再判方向：相向用速度和，同向用速度差。方向判断错，整道题就全错，这是相遇与追及最容易混淆的分界点。 3. 后查时间：是否同时出发、有没有人提前走、有没有人停留。时间不相等时，必须拆成“单独走的部分 + 共同走的部分”。 4. 善用和差公式：同一组数据既给出相遇时间又给出追及时间时，先分别求出速度和、速度差，再用“（和+差）÷2 = 快者，（和−差）÷2 = 慢者”。 5. 回头验算：把答案代回原题，检查总路程、路程差是否与题设相符，尤其是分数结果要确认是否合乎题意。 例题讲解 【典型例题1】基础相遇问题（同时相向） 甲、乙两车分别从相距 360 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米。两车几小时后相遇？ 【跟踪训练1】 A、B 两地相距 480 米，小明和小红同时从两地出发，相向而行。小明每分钟走 55 米，小红每分钟走 65 米，多久两人相遇？ 【典型例题2】基础追及问题（同时同向） 甲、乙两人在一条笔直公路上相距 80 米，乙在前、甲在后，同时同向出发。甲每分钟走 75 米，乙每分钟走 55 米，甲多久可以追上乙？ 【跟踪训练2】 两人相距 120 米，前面的人速度 40 米/分，后面追赶的人速度 60 米/分，同时同向出发，多久追上？ 【典型例题3】不同时出发的相遇问题 A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地先开出 2 小时，每小时行 60 千米，之后乙车从 B 地出发相向而行，乙车速度 45 千米/时。乙车出发后经过几小时两车相遇？ 【跟踪训练3】 甲乙两地相距 390 米，甲先出发 3 分钟，每分钟走 40 米，然后乙从乙地出发相向而行，乙每分钟走 50 米。乙出发几分钟后两人相遇？ 【典型例题4】相遇问题中求其中一个速度 甲、乙两车同时从相距 500 千米的两地相向开出，4 小时后相遇。已知甲车每小时行 70 千米，求乙车的速度。 【跟踪训练4】 两地相距 360 米，两人同时相向而行，3 分钟相遇，一人速度 62 米/分，求另一人的速度。 【典型例题5】环形跑道同向追及 环形跑道一圈长 400 米，小强和小亮同时从同一点同向起跑，小强速度 240 米/分，小亮速度 200 米/分。多久小强第一次追上小亮？ 【跟踪训练5】 环形跑道周长 300 米，两人同点同向出发，快的 210 米/分，慢的 180 米/分，多久第一次追上？ 【典型例题6】相遇与追及综合（和差法求两个速度） 甲、乙两人在相距 180 米的直道上，若相向而行，3 分钟相遇；若同向而行，甲 18 分钟追上乙。求甲、乙两人的速度各是多少？ 【跟踪训练6】 两地相距 240 米，相向而行 4 分钟相遇；同向而行，12 分钟快的追上慢的，两人速度分别是多少？ 奥数练习 第 1 题 A、B 两地相距 300 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，在距 A 地 120 米处第一次相遇。相遇后两人继续前进，到达对方出发点后都立即返回。问第二次相遇的地点距 A 地多少米？ 第 2 题 A、B 两地相距 480 千米。甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距中点 40 千米处相遇，已知甲车速度快。求甲、乙两车各行了多少千米，并求两车速度之比。 第 3 题 A、B 两地相距 420 米。甲、乙两人同时从两地相向出发，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米。乙出发 2 分钟后停下休息 2 分钟，然后继续以原速前进；甲中途不停。问从出发到两人相遇共用多少分钟？ 第 4 题 甲、乙、丙三人沿同一条路同向行走，甲在最后，速度 90 米/分；乙在中间，速度 70 米/分；丙在最前，速度 60 米/分。甲追上乙用 6 分钟，追上丙用 15 分钟。求出发时乙与丙相距多少米？ 第 5 题 一列客车长 180 米，每秒行 25 米；一列货车长 220 米，每秒行 15 米。两车相向而行，从车头相遇到车尾相离需要多少秒？ 第 6 题 一列客车长 150 米，每秒行 30 米；一列货车长 250 米，每秒行 20 米。两车同向行驶，客车从车头追上货车车尾，到完全超过货车，需要多少秒？ 第 7 题 A、B 两地相距 480 米。甲、乙两人同时从两地相向出发，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 40 米。相遇后两人继续前进，各自走向对方的出发点。问甲到达 B 地时，乙还要多少分钟才能到达 A 地？ 第 8 题 环形跑道一圈长 500 米，甲、乙两人同时从同一点同向出发，甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米。问甲第一次追上乙时，甲跑了多少米？相当于几圈？ 第 9 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，在距 A 地 60 千米处相遇。相遇后两车继续前进，甲车再行 3 小时到达 B 地，乙车再行 12 小时到达 A 地。求 A、B 两地的距离及甲、乙两车的速度。 第 10 题 一支队伍长 480 米，以每分钟 40 米的速度前进。通信员从队尾骑车以每分钟 120 米的速度赶到队头传达命令，然后立即以同样的速度返回队尾。求通信员往返共需多少分钟？ 第 11 题 甲以每分钟 60 米的速度从 A 地出发，10 分钟后乙以每分钟 90 米的速度从 A 地出发追赶。乙出发 20 分钟后停下休息 5 分钟，然后继续以每分钟 90 米的速度追赶。问乙从出发到追上甲共用多少分钟？ 第 12 题 A、B 两地相距 560 千米，甲、乙两车同时从两地相向开出，4 小时后相遇。相遇后甲车再行 3 小时到达 B 地。求乙车的速度。 第 13 题 A、B 两地相距 550 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，甲每分钟 40 米，乙每分钟 50 米；同时丙从 A 地出发，以每分钟 60 米向 B 地前进。丙遇到乙后立即返回。问丙从出发到再次遇到甲，共走了多少米？ 第 14 题 环形跑道一圈长 800 米，甲、乙两人同时从同一点反向出发，甲每分钟跑 150 米，乙每分钟跑 100 米。问 40 分钟内两人一共相遇多少次？ 第 15 题 甲、乙两人分别从 A、B 两地同向出发，甲在后、乙在前，出发时两人相距 600 米。甲每分钟走 90 米，乙每分钟走 60 米。乙行进 10 分钟后掉头往回走，速度不变，甲仍继续前进。问从出发到两人相遇共用多少分钟？ 第 16 题 甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，两车速度比为 5:4，相遇时甲车比乙车多行 30 千米。求 A、B 两地的距离。 第 17 题 A、B 两地相距 1200 米。甲从 A 地出发，以每分钟 50 米的速度向 B 地前进；10 分钟后乙从 A 地出发，以每分钟 100 米的速度同向追赶。问乙追上甲时，两人距 B 地还有多少米？ 第 18 题 环形跑道一圈长 600 米，甲、乙、丙三人同时从同一点同向出发，速度分别为每分钟 120 米、100 米、60 米。问出发后至少多少分钟，三人第一次同时回到出发点？ 第 19 题 甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，9 分钟后相遇。若甲每分钟多走 6 米、乙速度不变，则 8 分钟后相遇。求两人原来的速度和，以及 A、B 两地的距离。 第 20 题 A、B 两地相距 700 米。甲、乙两人同时从 A、B 两地相向出发，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米。相遇后甲把速度提高到每分钟 140 米，乙速度不变，两人继续前进。问甲到达 B 地时，乙距 A 地还有多少米？ 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $