4.4.3 不同函数增长的差异课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.4.3 不同函数增长的差异 人教A版2019数学 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 指数 指数函数 指数函数的概念 指数函数的图象与性质 对数 对数的概念 函数的应用（二） 本章知识框图 n次方根与分数指数幂 无理指数幂及其运算性质 对数的运算 对数函数 对数函数的概念 对数函数的图象与性质 不同函数增长的差异 函数的零点与方程的解 用二分法求解方程的近似解 函数模型的应用 03 01 02 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 借助图象、数据表格探究函数增长趋势，体会数形结合、分类讨论的思想，提升观察、对比与归纳能力. 课时教学目标 理解指数函数、对数函数、一次函数的增长特点，能比较不同函数模型的增长差异，会简单应用函数增长规律分析问题. 环节一 新课导入 学习指数函数时，我们就已经感受到一次函数和指数函数刻画的实际问题的增长方式存在很大的差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律. 本节课，我们就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异. 环节一 新课导入 函数模型 图象 的单调性 单调递增函数 环节一 新课导入 由于一次函数的增长规律大家已经比较熟悉了，它在整个定义域上的变化率恒定，即为定值.所以，我们以它为参照，先分别研究一次函数与指数函数、一次函数与对数函数增长的差异，最后再比较三类函数的增长差异. 问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上 的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 环节二 新课探究 不妨以函数 和为例 函数 和的图象 有两个交点 发现： 当， 当， 当， 环节二 新课探究 这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化. 在更大范围内观察两个函数增长的差异 当自变量x越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道 发现： 环节二 新课探究 环节二 新课探究 追问1：你能从代数的角度解释如上现象吗？从哪个角度进行比较？ 要解释如上现象，就是要比较二者的增长率的差异 x x ​ 0 1 — 0 0 — 0.5 1.414 0.828 0.5 1 2 1 2 1.172 1 2 1.5 2.828 1.656 1.5 3 2 4 2.344 2 4 2.5 5.657 3.314 2.5 5 3 8 4.686 3 6 … … … … … … 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长 一次函数的自变量每增加1个单位，函数值均增加两个单位，即增长速度不变; 指数函数的自变量每增加0.5个单位，函数值的增加量在不断变大，即加速增长. 发现： 环节二 新课探究 追问2：一般地，对于函数和 ，又有什么结论? 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长（直线上升），而是越来越快，呈爆炸性增长 问题2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上 的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 环节二 新课探究 不妨以函数 和为例 发现：函数和虽然在区间上都单调递增，但它们的增长速度存在着明显的差异.随着x的增大，函数的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓,就像与x轴平行一样. 环节二 新课探究 追问1：你能从代数的角度解释如上现象吗？ x x ​ 0 不存在 — 0 0 — 10 1 — 10 1 20 1.301 0.0301 20 2 30 1.477 0.0176 30 3 40 1.602 0.0125 40 4 50 1.699 0.0097 50 5 60 1.778 0.0079 60 6 … … … … … … 比较二者的增长率的差异 观察发现： 函数的变化率恒定，即增长速度保持不变； 函数的变化率越来越小，即增长速度在减小. 当时，函数 与相比，增长的就很慢了. 环节二 新课探究 追问2：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况 进行比较，那么仍有上述规律吗？ 前期对数曲线在上，红色直线穿过蓝色对数曲线后急剧拉开差距； 对数函数无论乘以多大常数，当 x充分大时，一次函数增长更快，终将超越对数函数. 环节二 新课探究 追问3：一般地，对于函数和 ，又有什么结论? 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律． 环节二 新课探究 问题3：以上，我们分别究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数的增 长差异，如果将一次函数 、对数函数 和指数函数 同时比较，你能得到什么结论？ 不妨以函数 和为例 如图所示， 三个函数虽然都在增长，但增长速度明显不同. 一次函数的增长速度保持不变， 指数函数的增长速度越来越快， 对数函数的增长速度越来越慢. 环节二 新课探究 追问1：一般地，一次函数 、对数函数 和指数函数 的增长有何差异? 一般地，无论 如何取值，三种函数在区间上都单调递增；但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值总会在某一点开始大于一次函数的函数值;对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值总会在某一点开始小于一次函数的函数值.即： 存在一个时，. 环节二 新课探究 指数函数 一次函数 对数函数 解析式 单调性 在上单调递增 图像 （随的增大） 趋向于和轴垂直 呈直线上升 趋向于和轴平行 增长速度 （随的增大） 的增长速度越来越快 的增长速度不变 的增长速度越来越慢 归纳总结 总会存在一个,当时， 指数爆炸 直线上升 对数增长 指数函数、一次函数、对数函数增长差异比较 环节三 应用新知 例1 【答案】B 【答案】B 环节三 应用新知 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:线性函数模型()的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型:指数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型:对数函数模型()的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. (4)幂函数模型:幂函数()，当充分大时，其增长速度慢于指数增长、快于对数增长. 变式训练 环节三 应用新知 【答案】D 变式训练 环节三 应用新知 【答案】ABD 环节三 应用新知 例2 环节三 应用新知 例2 变式训练 环节三 应用新知 【答案】ABC 环节四 归纳小结 指数函数 一次函数 对数函数 解析式 单调性 在上单调递增 图像 （随的增大） 趋向于和轴垂直 呈直线上升 趋向于和轴平行 增长速度 （随的增大） 的增长速度越来越快 的增长速度不变 的增长速度越来越慢 归纳总结 总会存在一个,当时， 指数爆炸 直线上升 对数增长 指数函数、一次函数、对数函数增长差异比较 环节五 作业布置 巩固作业： 教科书第139页练习第1,2,3,4题 教科书第140页习题4.4第5,6,9,10,11题 感谢聆听 综上所述，虽然函数 与 在区间 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度．尽管在 的一定变化范围内， 会小于 ，但由于 的增长最终会快于 的增长，因此，总会存在一个 ，当 时，恒有 ． 一般地，指数函数 与一次函数 的增长差异都与函数 和 的情况类似.即使 的值远远大于 的值， 的增长速度最终都会大大超过 的增长速度. 因此总存在一个 ，当 时， . 一般地，虽然对数函数 与一次函数 在区间 上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着 的增大，一次函数 保持固定的增长速度，而对数函数 EMBED Equation.DSMT4 的增长速度越来越慢．不论 的值比 的值大多少，在一定范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总会存在一个 ，当 时，恒有 ． 1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．当 时，， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【详解】在平面直角坐标系中，作出 ，， 在 时的图象如下图所示：由图象可知，当 时， 【详解】对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错； 对于选项B，取 ，此时，故B错误； 对于选项C，当 时，结合图象易知知 不恒成立，故C错； 对于选项D，当 时，结合图象易知，一定存在 ，使得当 时，总有 ，但若去掉限制条件“ ”，则结论不成立，故D正确. 1．以下四种说法中，正确的是（    ） A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．已知 ，则对任意的， C．对任意的 ， D．不一定存在 ，当 时，总有 （ 且 ） 2．（多选）已知 ，， ，则下列结论一定成立的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】对于A，函数 均为R上的增函数，且时，两函数值相等，均为1， 时，两函数值相等，均为9，作出函数 的图象如图：由图可知当 时， ，即 ，A正确； 对于B， 时， ，由于 ，故 ，故 ，B正确； 对于C，作出函数 的图象如图，由图象可知当 时， ，即 ，C错误； 对于D， ，则 ， ， ，由于 ，故 ，即 ，D正确， 1．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量 （万件）之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 4.00 5.58 7.00 8.44 若 近似符合以下三种函数模型之一： ， ， ． （1）判断你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式； （2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量． 【详解】解：（1）符合条件的是 ， ①若模型为 ，则由 ，得 ，即 ， 此时 ， ， ，与已知相差太大，不符合． ②若模型为 ，则 是减函数，与已知不符合． 由①②可得，以上两个函数模型都不能选取，所以选择函数 ， 由 ，解得 ，所以 ． （2）由（1）知函数模型为 ， 可得2021年预计年产量为 ，所以 ． 所以2021年的年产量为9.1万件． 试卷第8 = 8 页（共8 = 8 页） 试卷第1 = 1 页（共1 = 1 页） 【详解】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确； 若投资4天，则方案一的回报约为 EMBED Equation.DSMT4 （元），方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确； 若投资6天，则方案一的回报约为 （元），方案二的回报约为 （元）， 结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确； 若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多，所以采用方案三，所以D错误． 1．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（   ） A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 $