1.1 一元二次方程（第1课时）课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

第1章　一元二次方程 1.1 一元二次方程 第1课时 认识与建模 数学新教材苏科版　九年级上册 面积是2平方米的正方形桌面 正方形桌面的面积是2 m²。设桌面的边长是 m，可以用方程描述边长与面积之间的数量关系。 桌面边长要满足；本课先研究这类方程有什么共同特征。 面积 2m² m 花圃的宽与面积 探究 矩形花圃一面靠墙，另外三面所围栅栏总长19 m，面积24 m²。设花圃的宽为 m，怎样列方程？ 解：。 两条宽共长 m，所以长为 m。 由长乘宽等于24，列出方程。 两年后的收入怎样表示 2020—2022年，我国农村居民人均可支配收入在两年内从17131.5元增加到20132.8元。设平均每年增长的百分率为。 逐年计算 2021年：元；2022年：元。 数量关系 。 梯子中的数量关系 探究 长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙面的距离比梯子顶端到地面的距离多1 m。设梯子底端到墙面的距离为 m，怎样列方程？ 解：。 两条直角边分别长 m、 m，斜边长5 m。 应用勾股定理，得。 这些方程有什么共同特征 四个方程 ；；；。 共同特征 每个方程都只含有一个未知数；整理后，未知数的最高次数是2。 一元二次方程 方程、、、，它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。像这样的方程叫做一元二次方程。 一般形式与各项名称 关于的一元二次方程的一般形式是（、、是常数，）。其中，、、分别叫做二次项、一次项和常数项。、分别叫做二次项系数、一次项系数。 为什么必须有 先看次数 当时，中二次项消失，方程就不再是一元二次方程。 允许缺项 一次项或常数项可以没有。例如中；中。 从实际方程到一般形式 探究 把花圃方程整理成一般形式，并指出各项及其系数。 解：；，，。 去括号：。 移项并按次数排列：。 辨析与订正 判断 下列方程是否是一元二次方程？ (1) ； 是。 只含，最高次数为2。 (2) ； 不是。 化简后为，二次项已经抵消。 (3) ； 不是。 含有、两个未知数。 (4) 。 是。 展开得。 逐项判断，并说明理由。 抓住二次项系数 探究 关于的方程是一元二次方程，满足什么条件？ 解：。 必须保证二次项系数。 不能只看式子中是否写着。 课堂练习 练习1 用方程描述下列问题中的数量关系： (1) 一张面积是240 cm²的长方形彩纸，长比宽多8 cm。设它的宽为 cm，可得方程________。 (2) 一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的。设圆的半径为 cm，可得方程________。 解(1)：。 长为 cm，面积等于长乘宽。 解第(1)题：先用宽表示长，再用面积建立等式。 课堂练习 练习1 用方程描述下列问题中的数量关系： (1) 一张面积是240 cm²的长方形彩纸，长比宽多8 cm。设它的宽为 cm，可得方程________。 (2) 一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1 cm的正方形孔。已知正方形面积是圆面积的。设圆的半径为 cm，可得方程________。 解(2)：。 正方形孔面积为 cm²；圆面积为 cm²。 解第(2)题：比较的是正方形孔面积与整圆面积。 课堂练习 练习2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解(1)：；二次项系数1，一次项系数，常数项2。 把右边的移到左边，注意两项都变号。 解(2)：；二次项系数1，一次项系数，常数项。 先移项，再按未知数次数从高到低排列。 解第(1)(2)题：等号一边整理为0后再读系数。 课堂练习 练习2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解(3)：；二次项系数2，一次项系数3，常数项。 右边的移到左边成为。 解(4)：；二次项系数1，一次项系数3，常数项2。 先去括号得，再移项。 解第(3)(4)题：去括号、移项、合并后再读系数。 习题1.1 第1题 练习 用方程描述下列问题中的数量关系： (1) 一个正方体的表面积是150 cm²。设这个正方体的棱长为 cm，可得方程________。 (2) 一个长方形操场的面积是7200 m²，长是宽的2倍。设这个操场的宽为 m，可得方程________。 (3) 两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________。 (4) 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台。设平均每年增长的百分率为，可得方程________。 解(1)：。 正方体有6个面积都是的面。 解(2)：。 长为 m，长乘宽为。 解第(1)(2)题：分别使用表面积公式和长方形面积公式。 习题1.1 第1题 练习 用方程描述下列问题中的数量关系： (1) 一个正方体的表面积是150 cm²。设这个正方体的棱长为 cm，可得方程________。 (2) 一个长方形操场的面积是7200 m²，长是宽的2倍。设这个操场的宽为 m，可得方程________。 (3) 两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________。 (4) 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台。设平均每年增长的百分率为，可得方程________。 解(3)：若为较小的奇数，；若为较大的奇数，。 两个连续奇数相差2，要根据所设的含义表示另一个数。 习题1.1 第1题 练习 用方程描述下列问题中的数量关系： (1) 一个正方体的表面积是150 cm²。设这个正方体的棱长为 cm，可得方程________。 (2) 一个长方形操场的面积是7200 m²，长是宽的2倍。设这个操场的宽为 m，可得方程________。 (3) 两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为，可得方程________。 (4) 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台。设平均每年增长的百分率为，可得方程________。 解(4)：。 第二年的产量等于第一年产量再乘。 解第(4)题：两次增长要逐年相乘。 习题1.1 第2题 练习 你能找到正方体表面积问题所列方程的解吗？试一试。 解：棱长为5 cm。 由得。 因为棱长为正数，所以；代入。 方法归纳 判断方程的类型 ① 先去括号、合并同类项。 ② 看未知数个数和最高次数。 ③ 二次项系数必须不为0。 由实际问题列方程 ① 设未知数，写清单位和取值条件。 ② 用未知数表示相关数量。 ③ 找相等关系，列出方程。 训练1：识别与整理 训练1 判断并说明理由。 (1) 关于的方程何时是一元二次方程？ (2) 把化成一般形式，并指出各系数。 解(1)：当时是一元二次方程。 二次项系数不能等于0。 解(2)：；。 展开左边并移项，系数要连同前面的符号一起读取。 训练2：建立方程 训练2 一块长方形展板的长比宽多4 dm，面积为60 dm²。设宽为 dm。 (1) 用表示长，并列方程。 (2) 化成一般形式并指出各系数。 解(1)：长为 dm；方程为。 面积等于长乘宽，且。 解(2)：；。 展开左边，把60移到左边。 课堂总结　认识一元二次方程 1 概念 一个未知数；整理后最高次数是2。 2 形式 ，。 3 读系数 先化为一般形式，再带符号读取。 4 列方程 设未知数→表示数量→找相等关系。 $