带电粒子在电场中的运动 讲义 -2027届高考物理一轮复习

带电粒子在电场中的运动 一：直线运动 知识点1．对带电粒子进行受力分析时应注意的问题 (1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关。 (2)是否考虑重力依据情况而定。 基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。 带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。 知识点2．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。 知识点3．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v02＝2ad 知识点4．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1 1.(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l＝ B.OB的距离l＝ C.从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs D.AC之间的电势差UAC＝－ 答案　AD 解析　小滑块在B点处的加速度为零，则沿斜面方向有mgsin 30°＝cos 30°，解得l＝ ，A正确，B错误；小滑块从A到C的过程，由动能定理有W＋mgssin 30°＝0，解得静电力对小滑块做的功为W＝－，C错误；根据电场力做功与电势差的关系结合C项分析可知，AC之间的电势差UAC＝＝－，D正确。 2．(多选)（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 【答案】BD 【详解】A．全过程，根据动能定理解得故A错误； B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有解得故B正确； C．小球甲最后停留时，满足解得位置x的区间故C错误； D．若在最低点能返回，即在最低点满足结合动能定理又联立可得故D正确。 3．（多选）（2025·海南·高考真题）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 【答案】BD 【详解】A．初始时，弹簧弹力等于N的重力，弹簧处于压缩状态，即 可得 释放M时，弹簧弹力不会突变，对M和N，根据牛顿第二定律 可得释放时M的加速度为，A错误； B．当M、N的加速度为零，M的速度最大，设此时弹簧的伸长量为，根据平衡条件 解得 由于，可知弹簧弹性势能不变，M从开始运动到速度达到最大过程，根据动能定理 联立解得M下滑的最大速度为，B正确； CD．以速度最大位置为原点，斜面向上为正方向，M、N所受的合外力与位移的关系满足 可知M、N做简谐运动，刚释放M时，加速度，根据简谐运动的对称性可知当M下滑的最大距离时，加速度大小也为，根据牛顿第二定律 解得M下滑的最大距离为 根据题意，M、N做简谐运动的周期 从释放开始计时，位移随时间变化的表达式为 当下滑距离为时，代入数据有 可得 即M下滑的距离为时，所用时间为，故D正确，C错误。 故选BD。 4．(2026·湖北卷)一带正电粒子仅受静电力作用，从静止开始沿直线运动，0 ~ 4t0时间内，其速度v随时间t的变化图像是如图所示的三条线段。t0时刻、1.5t0时刻、3.5t0时刻粒子所在位置分别为a点、b点、c点。下列说法正确的是（   ） A．b点的电势比a点的高 B．b点的电场强度比a点的大 C．粒子在a、c两点的电势能相等 D．粒子在a、c两点受到的电场力大小相等 【答案】C 【详解】A．在0 ~ 2t0内，粒子做匀加速运动，加速度，电场方向与运动方向相同。沿电场线方向电势降低，则点电势比点低，故A错误。 B．在内加速度恒定，点与点电场强度大小相等，故B错误。 C．在时刻，速度 在时刻，处于的匀减速阶段，加速度 速度 则a、c两点动能相等，由能量守恒知电势能相等，故C正确。 D．设粒子质量为m，则点电场力大小 点电场力大小，两者不相等，故D错误。 故选C。 5．如图所示，水平放置的平行板电容器上板上开有一个小孔，电容器两板间距离为d，所加电压恒定，现将一质量为m、带电量为+q的小球从小孔正上方2d高处由静止开始释放，从小孔进入电容器后恰好做匀速直线运动。重力加速度为g。 （1）求电容器两板间电压，并判断上、下板哪一板电势较高； （2）若在其他条件不变的情况下，仅将下板向下移动距离d，求： ①小球在电容器内运动的加速度大小； ②小球到达下板时的速度大小。 【答案】（1），下板电势高；（2）①；② 【详解】（1）小球在两板间做做匀速直线运动，则 解得电容器两板间电压 小球受电场力向上，可知下板电势高； （2）①小球在电容器内运动的加速度大小 解得 ②设小球进入上板时的速度为v0，根据 可得小球到达下板时的速度大小 6．真空中一质量为m、带电荷量为的油滴从A点以一定的速度竖直向上射出，经时间后油滴速度减为0，此时在空间施加一沿竖直方向的匀强电场，持续一段时间后，将电场反向，但其大小保持不变，再持续同样的一段时间后，油滴恰好回到A点，重力加速度大小为g。求： （1）油滴回到A点时的动能； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）油滴上升的最大高度h。 【答案】（1）（2）（3） 【详解】（1）设匀强电场的电场强度为E，在施加电场之前油滴上升过程 分析油滴从A点经过一系列运动返回A点的过程，取向上为正，根据动量定理 在分析油滴从抛出到速度减为零的过程，同理，取向上为正，根据动量定理有 联立解得 油滴回到A点时的动能为 （2）在施加电场之前油滴上升过程 施加电场后，油滴继续上升的过程 电场反向后 又因为 + 联立解得 （3）根据油滴上升过程的位移方程可得 油滴上升的最大高度h 7．(2023·新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1 .解析　(1)根据题述有f＝kvr，设油滴a的质量为m1，油滴a以速率v0向下匀速运动，由平衡条件有m1g＝kv0r1，m1＝πrρ，设油滴b的质量为m2，油滴b以速率v0向下匀速运动，由平衡条件有m2g＝k·v0r2，m2＝πrp，联立解得m1∶m2＝8∶1。 (2)由于当在上下平板加恒定电压(上板为高电势)时，这两个油滴很快以v0的速率竖直向下匀速运动，所以有油滴a速度减小，说明油滴a受到了向上的电场力，则油滴a带负电荷，油滴b速度增大，说明油滴b受到了向下的电场力，则油滴b带正电荷。 由＝8和m1＝πrρ，m2＝πrρ可知，甲乙油滴的半径之比为＝2，由f＝kvr可知两个油滴均以速率v0竖直向下匀速运动时，所受阻力之比为＝＝2；油滴b以速率v0竖直向下匀速运动时，所受阻力为f＝m2g，结合f＝kvr可知油滴b以速率v0竖直向下匀速运动时，所受阻力为f2＝2f＝2m2g；油滴a以速率v0竖直向下匀速运动，所受阻力为f1＝2f2＝4m2g，设油滴a所带电荷量的绝对值为q1，由平衡条件有m1g＝q1E＋f1，设油滴b所带电荷量的绝对值为q2，由平衡条件有m2g＋q2E＝f2，联立解得q1∶q2＝4∶1。 8．(2024·福建卷)如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求匀强电场的场强大小； (2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰） 答案(1) (2)； (3) 【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉力为0，对C根据共点力平衡条件有 解得 （2）C开始做匀速直线运动后，对C和B根据共点力平衡条件分别有， 其中 解得 C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，此时A、B、C三者速度大小相等，M、N两弹簧的弹性势能相同，C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有 解得 （3）没有电场时，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，所以此时A的加速度为零，对A根据共点力平衡有 当电场方向改为竖直向下，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为，对A根据牛顿第二定律可得 对B、C根据牛顿第二定律可得 撤去电场后，由第（2）问的分析可知A、B在C下降时开始相对滑动，在C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有 此时A的速度是其从左向右运动过程中的最大速度，此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动过程中的最大速度为 联立解得 9．(2026·贵州卷)在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球第一次达到最大速率时，受力平衡，根据平衡条件有 解得小球的质量为 小球再次到达最大速率时，受力平衡，小球到达M点上方N点，速度方向竖直向上，则空气阻力竖直向下，根据力的平衡条件有 解得电场强度大小为 （2）对小球从P点运动到M点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，从M点运动到最低点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的减速运动，小球从最低点运动到N点的过程，由牛顿第二定律有 可知小球做加速度减小的加速运动，小球从静止释放时加速度为g，小球运动到M点加恒定匀强电场时有 解得 则小球的最大加速度大小为。 （3）对小球从M点运动到N点的过程，由动能定理有 其中 联立解得M、N两点间的电势差为 10.(2026·海南卷)如图，轻质弹性绳左端固定于点，右端与一置于水平地面上的木板相连。连接点与点等高。A上左端有一带电物体，空间存在水平向右、场强大小为的匀强电场，已知地面光滑，A、B之间的动摩擦因数为0.75。弹性绳原长为0.5 m。弹力大小与伸长量满足胡克定律。劲度系数为。和的质量均为，不带电，的电荷量为。时，的左端到的水平距离为。和由静止开始释放。设木板足够长，、之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。运动过程中的电荷量保持不变，取重力加速度。 (1)求时和的共同加速度大小； (2)求与开始发生相对滑动时的速度大小； (3)当B的速度为时剪断绳右端，又经后和速度相等，求从开始、之间因摩擦产生的热量。 答案　(1) (2)2m/s (3) 【详解】（1）B受到的电场力： 对A、B整体由牛顿第二定律： 解得 （2） A、B刚好发生相对滑动时，对B有： 得此时共同临界加速度 设此时弹性绳的伸长量为，对A： 解得 对应B向右的位移 此过程中由动能定理 代入数据解得 （3）发生相对滑动后，B的加速度 剪断绳后，A的加速度 经共速，共速速度 则剪断绳时，A的速度 由刚好发生相对滑动到B的速度达到过程： 此过程B的位移 对A，根据动能定理 解得A的位移 相对位移 由剪断绳，到共速过程相对位移 从开始、之间因摩擦产生的热量 二：类平抛 1.(多选)(2023·湖北卷)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是(　　) A.L∶d＝2∶1 B.U1∶U2＝1∶1 C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2 D.仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 答案　BD 解析　粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得 E＝，F＝qE＝ma 粒子射入电容器后的速度为v0，水平方向和竖直方向的分速度vx＝v0cos 45°＝v0，vy＝v0sin 45°＝v0 从射入到运动到最高点由运动学关系 v＝2ad 粒子射入电场时由动能定理可得 qU1＝mv 联立解得U1∶U2＝1∶1 B正确； 粒子从射入到运动到最高点由运动学可得 2L＝vxt，d＝·t 联立可得L∶d＝1∶1 A错误； 粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得 L＝vxt1，vy1＝at1 射入电容器到最高点有vy＝at 解得vy1＝ 设粒子穿过电容器与水平的夹角为α，则 tan α＝＝ 粒子射入磁场和水平的夹角为β， tan ＝3 C错误； 粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y＝at2 联立解得y＝ 且x＝vxt′，y＝·t′ 解得x＝2L，y＝d＝L 即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，射出磁场过程同理 x＝L＝vxt1′，y1＝t1′＝＝ 即轨迹不会变化，D正确。故选BD。 2．(2026·云南卷)如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 【答案】C 【详解】根据题意0 ~ 1s水平位移为0，可得代入t=1s 竖直位移为3m，可得vy0＋0.5ay = 3 0 ~ 2s水平位移为3m，可得2v0x＋2ax = 3 竖直位移为0，可得2vy0＋2ay = 0 解得ax = 3m/s2，ay = －6m/s2 对小球受力分析有 代入数据得Ex = 3.0×105V/m，Ey = 4.0×105V/m 故电场强度大小 电场方向斜向上偏N侧，Ex > 0表明沿x轴正方向电势降低，故φO > φN。 故选C。 3．（多选）(2026·全国卷)两带电平行金属板竖直放置，一带电小球从高于金属板的位置由静止自由下落，以一定的速度进入两板间。若忽略边缘效应，下列表示小球运动轨迹（图中实线）的四幅图中，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】小球进入竖直平行板电场前做自由下落运动，进入电场瞬间的初速度方向是竖直向下的。进入电场后，小球同时受两个恒力：竖直向下的重力、水平方向的恒定电场力，因此合外力是恒定的恒力。由于进入电场瞬间水平分速度为0，轨迹在电场边界处的切线方向应与进入前的速度方向一致（即竖直向下），轨迹应是光滑的。竖直方向：初速度向下，同时重力提供向下的加速度，竖直分速度会持续增大；水平方向：初速度为0，在恒定电场力作用下做初速度为0的匀加速直线运动，水平分速度从0开始逐渐增大。因此小球的运动轨迹是曲线且向电场力方向偏转，由于不知道两金属板的电性，所以AB符合题意，CD不符合题意。 故选AB。 4．(2026·贵州卷)如图，密闭真空中，有一竖直放置的金属靶和水平放置的两平行极板，极板与金属靶受光面垂直，板间存在竖直向上的匀强电场。用频率为和的光分别照射靶时，垂直靶面逸出最大初动能分别为和的光电子，经狭缝、后进入电场，分别落到下极板M、N处。忽略极板边缘效应及电子间的相互作用，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 光电子进入匀强电场后做类平抛运动， 竖直方向：加速度 对所有电子，竖直方向加速度和位移均相同，根据可知，运动时间相同 水平方向做匀速运动，则落在M的电子初速度较小，即 对光电效应过程，根据爱因斯坦光电效应方程，可知。 故选A。 5.(2025·河南卷)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10－10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10－13C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10－2m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 答案　(1)5×10－3m　(2)0.11 m 解析　(1)由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向l＝vt1 沿电场方向x1＝at 由牛顿第二定律qE＝ma 解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为 x1＝5×10－3m。 (2)含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则 h＝vt2，则x2＝at1t2 联立解得x2＝0.05 m 由对称性可知A、B细胞收集管的间距 Δx＝2(x1＋x2)＝2×(0.005＋0.05) m＝0.11 m。 6.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能。 【答案】　(1)　(2)2m(v02＋g2t2) 【解析】　(1)设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿第二定律、运动学公式和题给条件，有mg＋qE＝ma① a()2＝gt2② 解得E＝③ (2)设B从O点发射时的速度为v1，到达P点时的动能为Ek，O、P两点的高度差为h，根据动能定理有mgh＋qEh＝Ek－mv12④ 且有v1·＝v0t⑤ h＝gt2⑥ 联立③④⑤⑥式得Ek＝2m(v02＋g2t2)。 7．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角θ=37°之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： （1）质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； （2）质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； （3）平行金属板C、D间的电压大小U′。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）质子在平行金属板A、B间做加速运动，有 解得 （2）质子在平行金属板C、D间做类平抛运动，平行于金属板方向上有 射出金属板C、D间时有 沿垂直于板面方向偏移的距离 解得 ，， （3）质子在平行金属板C、D间运动时有 根据牛顿第二定律有 解得 8．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，，.将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与所在平面平行，现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g．求 （1）无电场时，小球达到A点时的动能与初动能的比值； （2）电场强度的大小和方向． 答案（1） （2） 【详解】 （1）小球做平抛运动，设初速度v0．初动能EK0，从O到A的运动时间为t，令OA＝d， 则：OB=d， 根据平抛运动的规律得：水平方向：d•sin60°=v0t…① 竖直方向：y＝d•cos60°＝d＝gt2…② 又：EK0＝mv02…③ 联立①②③解得：EK0＝mgd…④ 设小球到达A时的动能为EKA，则：EKA＝EK0+mgd＝mgd…⑤ 所以：； （2）加电场后，从O点到A点下降了y=d，从O点到B点下降了d，设电场力F与竖直方向夹角为α， 则由动能定理： 其中EK0＝mgd 联立解得：α=300 所以电场强度为 ， 正电荷受力方向与电场方向相同，即E与竖直方向夹角为 9．喷墨打印机核心成像单元简化模型如图所示，墨滴发生器喷出带负电墨滴，墨滴经加速电场加速后沿偏转电场中轴线匀速进入平行板偏转电场，偏转电场的极板长，板间竖直间距，偏转板中轴线垂直打印纸，且过纸面基准中心点；打印纸距偏转板右边缘的距离。已知加速电场两极板间的电压，单个墨滴所带电荷量。不计墨滴受到的重力和墨滴间的相互作用，墨滴打到打印纸上后立即被完全吸附，忽略空气阻力与电场边缘效应，不计墨滴进入加速电场的初速度大小。 (1)求墨滴离开加速电场时的动能； (2)当墨滴恰好从偏转电场极板的右侧下边缘飞出时，求偏转电场极板间的电压； (3)若偏转电压，求墨滴落到打印纸上时，落点到基准点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由动能定理有 解得 （2）墨滴在偏转电场中运动时，在水平方向有 又 墨滴在竖直方向有 其中 解得 （3）此种情况下，墨滴在偏转电场中运动时，在水平方向有 在竖直方向有 其中 墨滴飞出偏转电场时的竖直分速度大小 墨滴离开偏转电场后，运动到纸面的时间 墨滴离开偏转电场后的竖直偏移量 总偏移距离 解得 10．（2025.四川卷）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【答案】　(1) (2) 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 11．如图1所示，地面上方足够高的空间内存在与水平地面成角、方向周期性变化的电场，以斜向下为正方向，电场的变化规律如图2所示，其中周期为，电场强度的大小E未知。时刻，质量、电荷量的带正电小球从O点以速度水平向右抛出，时刻小球经过A点，速度方向竖直向下，再过一段时间后小球第一次经过O点正下方，该点记为B点。已知O、A的高度差，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小E及角； (2)小球第一次经过O点正下方时的速度大小； (3)小球第n次经过O点正下方时到O点的距离H。 【答案】(1)， (2) (3)（n=1，2，3⋯） 【详解】（1）小球在水平方向，速度时间关系 解得 竖直方向，位移时间关系 解得 又水平方向，根据牛顿第二定律， 联立解得， （2）0∼：x向右匀减速到0，位移 ∼：电场仍为斜向下正方向，x方向加速度仍为−10m/s2，x方向速度从0开始向左加速，时刻x方向的速度 此阶段x位移 说明此时到达O点正下方B点，此时竖直方向的速度 则B点的速度 （3）第一次回到O点正下方时刻为t1= 竖直位移 之后电场反向，电场的水平分量变为向左的反方向，即水平加速度变为 竖直分量向上，竖直加速度变为 则第二次回到O点正下方时刻为t2= 竖直位移 第三次回到O点正下方竖直位移 第四次回到O点正下方竖直位移 …… 小球第n次经过O点正下方时到O点的距离 （n=1，2，3⋯） 12．（2026.河南卷）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 答案(1)设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 (2) 【详解】（1）设离子电荷量为q、质量为m，经加速电场加速后速度为v，由动能定理有 离子进入反射电场，沿电场方向分速度 加速度大小 离子在反射电场中垂直电场方向分速度 由于则粒子在反射电场往返时间 可得垂直电场方向位移 与离子比荷无关，结合沿电场方向最大位移与比荷无关，可得出所有正离子均从同一点射出反射电场。 （2）在加速电场中，根据位移时间关系 其中 可得加速电场中运动时间 无场区运动时间 离子从到射出反射电场所用时间 可知，即 可得 三：圆周与等效重力场 知识点1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 知识点2.方法应用 (1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。 (2)将a＝视为等效重力加速度。 (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。 注意：这里的最高点不一定是几何最高点。 (4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。 知识点3．物体做圆周运动的物理最高点 1．（多选）在竖直平面内有水平向右、场强为的匀强电场。电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1kg的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成37°角。如图所示。给小球一个初速度让小球绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能和重力势能的零点（，，，），小球视为质点，如果小球恰好能做完整的圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．小球所带电量 B．小球运动过程中动能的最小值在B点，且 C．小球运动过程中机械能的最大值 D．小球运动过程中机械能的最小值 【答案】ABD 【详解】A．小球静止时受重力、电场力和细线的拉力三个力作用而平衡，受力情况如图所示 由平衡条件得 即 代入得 所以 代入得，A正确； B．把重力与电场力合成，合力大小为 代入得 即，其方向沿平衡位置的反向延长线 小球恰能做完整的圆周运动时，在等效最高点（与静止位置关于点对称）处细线拉力恰好为零 由得 故动能最小值 代入得，B正确； C．小球绕点转动时，除重力外只有电场力做功，因此机械能的改变量等于电场力做的功 电场水平向右，越靠右电势越低、电势能越小，故小球转到圆周最右端时电势能最小、机械能最大 由点到最右端，小球在水平方向上的位移 代入得 这一段电场力做功 代入得 点的重力势能 代入得 故点的机械能 代入得 所以机械能的最大值 代入得，C错误； D．同理，小球转到最左端点时电势能最大、机械能最小 从到水平方向上的位移 代入得 这一段电场力做功 代入得 故机械能的最小值 代入得，D正确。 故选ABD。 2．（多选）如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。内侧半径为的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场（方向未知）。轨道内侧有一质量为，带电量为的五彩小球从轨道最低点以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心的连线与方向的夹角记为，乙图所示为小球在运动过程中的电势能随角度的变化情况，已知重力加速度为，则（     ） A．匀强电场的方向水平向左 B．电场强度的大小为 C．小球运动过程中动能的最小值为 D．小球运动过程中对轨道压力的最大值为 【答案】ABD 【详解】A.如图所示 设M、N为圆环上与圆心O等高的两点，根据图乙可知当或者时，小球的电势能都为0，则P、Q两点连线为等势线，当时，小球运动到N点，电势能最大 当时，小球运动到M点，电势能最小 综上可知电场线水平向左，由N指向M，由电场力做功与电势能变化的关系得 解得，B正确； C.小球所受的电场力大小为 方向水平向左，所以小球在圆环内受到的等效重力为 方向与MN成角，根据题意，小球运动到“最高点”时动能最小，小球恰好做圆周运动，则在“最高点”由牛顿第二定律有 故最小动能为，C错误； D.小球运动到“最低点”时对轨道的压力最大，小球从“最高点”到“最低点”的过程，由动能定理有 在最低点由牛顿第二定律有 联立解得 由牛顿第三定律可知小球运动过程中对轨道压力的最大值为，D正确。 故选ABD。 3.(2023·浙江卷)某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线(等势线)运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　A 解析　带电粒子在电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，则有qE1＝m，qE2＝m， 联立可得＝ 故选A。 答案　A 4.(2025·福建卷)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，电子恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知B、P两点间的电势差为U，|CQ|＝2|BP|，电子a入射动能为Ek，电子所带的电荷量为－e，则(　　) A.B点的电场强度E＝ B.P点场强大于C点场强 C.电子b在P点的动能小于在Q点的动能 D.电子b全程克服电场力做的功小于2eU 答案　D 解析　电子a恰好做半径为r的圆周运动，设电子a的运动速率为v，则对电子a由牛顿第二定律有Ee＝m，又电子a的入射动能为Ek＝mv2，联立可得E＝，A错误；电场线的疏密程度反映电场的强弱，电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图径向电场的电场线分布可知越靠近圆心处，电场线越密集，电场强度越大，又P点比C点更远离圆心，所以P点的电场强度小于C点的电场强度，B错误；由于沿着电场线方向电势逐渐降低，则该电场中越远离圆心，电势越低，又|CQ|＝2|BP|，则Q点比P点更远离圆心，φQ＜φP，又电子带负电，则电子b在P点的电势能小于在Q点的电势能，由能量守恒定律可知电子b在P点的动能大于在Q点的动能，C错误；由于|CQ|＝2|BP|，越远离圆心，电场越弱，故C、Q间的平均电场强度小于B、P间的平均电场强度，又B、P间的电势差为U，则由U＝Ed可知C、Q间的电势差小于2U，又全程电场力对电子b做负功，所以电子b全程克服电场力做的功小于2eU，D正确。 5.（多选）(2026·山东卷)融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，AC与 交于 点，为最低点， 点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于 点时恰好静止，此时传感器示数等于，g为重力加速度 的大小。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C． 、两点间的电势差 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 【答案】　BCD 【详解】AB．作出小球在点时的受力分析图如图1所示 由力的平衡条件结合几何关系有 所以电场强度的大小，且其方向与的夹角满足，则，故A错误，B正确； C．分别作出、两点在经过点的电场线上的两等势点、，如图2所示 则由几何关系可知，、两点间沿电场方向的距离为 所以、两点间的电势差为，故C正确； D．小球所受支持力对其始终不做功，根据题意可知，小球所受电场力与重力的合力水平向右，连线沿竖直方向，所以从B到的过程，小球所受合外力做的总功为0，由动能定理可知其动能变化量为0，故小球在、两点的速度大小均为，故D正确。 故选BCD。 6．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 7．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得 （2）小球从B到O，根据动能定理有 解得 （3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有 竖直方向有 解得 ， 说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有 ， 联立解得小球过O点后运动的轨迹方程 8．如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与点等高的点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角的点时速度变为零。已知、，空气阻力可忽略，重力加速度为。求： (1)、两点间的电势差； (2)场强的大小； (3)小球通过点时，细线的拉力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从点到点，对小球由动能定理得 解得 因此 （2）、两点沿电场方向的距离为 匀强电场中沿电场方向的电势差满足关系 解得 （3）从点到点，对小球由动能定理得 解得 在点，拉力与重力的合力提供向心力，有 解得细线的拉力大小 9．如图所示，竖直平面内左侧区域Ⅰ存在竖直向下的匀强电场；右侧区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，场强大小。一质量、电荷量的带负电小球（可视为质点），从区域Ⅰ的A点以初速度水平抛出，做类平抛运动后从B点恰好沿切线方向进入右侧绝缘光滑圆弧轨道。圆弧轨道半径为，圆心为O，CD为竖直直径，B点在轨道左下方，半径OB与竖直方向CD夹角。已知A、B两点竖直高度差，重力加速度，、。求： (1)A、B两点的水平间距及区域Ⅰ场强的大小； (2)要使小球进入区域Ⅱ后沿圆弧运动且不脱离轨道，半径的取值范围； (3)当时，求小球在运动的过程中对轨道的最大作用 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)    (2)或 (3)与竖直方向夹角为斜向左下方 【详解】（1）由题可得，小球在B点，存在速度关系① 由牛顿第二定律得，小球在Ⅰ区域有② 又由类平抛运动竖直方向上③ 代入数据，联立①②③解得， 由得，A、B两点水平距离 （2）由（1）得，小球在B点的速度大小为④ 小球在Ⅱ区域受到电场力和重力两个力作用，所以可将这两个力的合力视为小球的等效重力，其大小为，方向竖直向下偏左 由几何关系得，设半径OB的反向延长线交圆轨道于H点，则H点为运动过程中的等效最高点，即小球沿圆轨道运动且不脱离的临界条件之一为在H点仅由等效重力提供向心力由牛顿第二定律得⑤ 从B点到H点，由动能定理得⑥ 联立④⑤⑥解得，所以半径的取值范围为 设从B点转圆弧的位置为K点，则小球沿圆轨道运动且不脱离的第二个临界条件为恰好到达K点，从B点到K点，由动能定理得⑦ 联立④⑦解得，所以半径的取值范围为 综上所述，要使小球进入区域Ⅱ后沿圆弧运动且不脱离轨道，半径的取值范围或 （3）当时，B点为等效最低点，对轨道的作用力最大，则由牛顿第二定律⑧ 联立④⑧解得，与竖直方向夹角为 10．如图所示，为竖直平面内的倾斜轨道和圆轨道，两者在点平滑相切连接，且和略错开，直轨道、和半圆形弯道固定在光滑水平桌面上，整个空间存在水平向右的匀强电场。倾角，长为；竖直圆轨道和半圆弯道半径均为；直轨道和长均为。一质量为、带正电的滑块（可视为质点）在点获得初动能后沿轨道运动。已知滑块所受电场力大小恒为，滑块与直轨道、的动摩擦因数，其余轨道均光滑，所有轨道绝缘。 (1)若，求滑块到达圆轨道最低点的速度大小； (2)若滑块恰能在竖直圆轨道上做完整的圆周运动，求滑块对竖直圆轨道的最大弹力大小； (3)在处固定一竖直挡板，滑块与挡板碰后能原速率反弹，若滑块经一次反弹后不再进入半圆形弯道，求初动能应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小滑块受力分析，可知电场力和重力的合力大小为，方向与斜面垂直向下，故小滑块合外力为0，在段小滑块做匀速直线运动，则有 对到，根据动能定理 解得 （2）等效重力等于电场力和重力的合力大小为，恰好做完整的圆周运动时，在等效最高点处有 从等效最高点到等效最低点，根据动能定理有 解得 弹力和等效重力提供所需向心力，则有     解得 根据牛顿第三定律可得，滑块对竖直圆轨道的最大弹力大小为 （3）①能过圆轨道，则段合外力做功 不脱离竖直圆轨道需要到达点的速度满足 因此 ②能过半圆弯道最左侧，则段合外力做功 滑块在段不脱离时，在圆轨道最左侧处电场力和轨道支持力一起提供所需向心力，则有 同时滑块到最左侧时，根据动能定理有 联立解得 ③反弹后不进入半圆弯道，则从到再反弹回，外力做功为 从到经反弹回，根据动能定理有 解得     综上分析可得 11．（2026.广东卷）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 答案：(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）当小球刚好到金属板时，受力分析如图所示 根据几何关系可得 可得 根据平衡条件有 其中 联立可得 （2）小球从金属板到金属板过程，根据动能定理 小球第一次碰撞前瞬间，受力分析如图所示 对小球根据牛顿第二定律 联立解得 （3）如图所示 要使小球仍能沿着圆弧往复运动，即绳子拉力大于零，需要满足 解得 根据（2）分析可知当时，小球到达金属板时，电场力和重力的合力与绳子的合力方向相同，当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏上，如图所示 绳子拉力对小球不做功，可知小球所受的重力和电场力的合力与小球位移的夹角一直为锐角，当小球到达金属板时，动能最大，根据动能定理有 可得 当时，小球所受的重力和电场力的合力相对于小球到达金属板时绳子合力的方向偏下，如图所示 当小球速度与小球所受的重力和电场力的合力方向垂直时，速度最大，该点为等效最低点，设此时与竖直方向的夹角为，根据几何关系有 根据数学知识可得， 根据动能定理有 解得 $带电粒子在电场中的运动 一：直线运动 知识点1．对带电粒子进行受力分析时应注意的问题 (1)要掌握静电力的特点。静电力的大小和方向不仅跟电场强度的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关。 (2)是否考虑重力依据情况而定。 基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有特殊说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)。 带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有特殊说明或明确的暗示外，一般都不能忽略重力。 知识点2．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动。 知识点3．用动力学观点分析 a＝，E＝，v2－v02＝2ad 知识点4．用功能观点分析 匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02 非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1 1.(多选)(2024·山东卷)如图所示，带电量为＋q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为＋q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l＝ B.OB的距离l＝ C.从A到C，静电力对小滑块做功W＝－mgs D.AC之间的电势差UAC＝－ 2.(多选)（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 3．（多选）（2025·海南·高考真题）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 4．(2026·湖北卷)一带正电粒子仅受静电力作用，从静止开始沿直线运动，0 ~ 4t0时间内，其速度v随时间t的变化图像是如图所示的三条线段。t0时刻、1.5t0时刻、3.5t0时刻粒子所在位置分别为a点、b点、c点。下列说法正确的是（   ） A．b点的电势比a点的高 B．b点的电场强度比a点的大 C．粒子在a、c两点的电势能相等 D．粒子在a、c两点受到的电场力大小相等 5．如图所示，水平放置的平行板电容器上板上开有一个小孔，电容器两板间距离为d，所加电压恒定，现将一质量为m、带电量为+q的小球从小孔正上方2d高处由静止开始释放，从小孔进入电容器后恰好做匀速直线运动。重力加速度为g。 （1）求电容器两板间电压，并判断上、下板哪一板电势较高； （2）若在其他条件不变的情况下，仅将下板向下移动距离d，求： ①小球在电容器内运动的加速度大小； ②小球到达下板时的速度大小。 6．真空中一质量为m、带电荷量为的油滴从A点以一定的速度竖直向上射出，经时间后油滴速度减为0，此时在空间施加一沿竖直方向的匀强电场，持续一段时间后，将电场反向，但其大小保持不变，再持续同样的一段时间后，油滴恰好回到A点，重力加速度大小为g。求： （1）油滴回到A点时的动能； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）油滴上升的最大高度h。 7．(2023·新课标卷)密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v0、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。 （1）求油滴a和油滴b的质量之比； （2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。    8．(2024·福建卷)如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。 (1)求匀强电场的场强大小； (2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小； (3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰） 9．(2026·贵州卷)在竖直平面内，一带电荷量为（）的小球在重力作用下从点由静止开始下落，运动过程中始终受到与运动方向相反的空气阻力作用，其大小与速率满足（为常量）。小球第一次经过点正下方的点时达到最大速率，此时，施加竖直向上的恒定匀强电场，小球做变速运动。经过一段时间后，小球在点正上方的点再次达到最大速率，此后匀速上升。已知小球速率从第一次到再次达到的过程中，克服空气阻力做功为，重力加速度大小为。求： (1)小球的质量和电场强度大小； (2)小球的最大加速度大小； (3)施加电场后，、两点间的电势差。 10.(2026·海南卷)如图，轻质弹性绳左端固定于点，右端与一置于水平地面上的木板相连。连接点与点等高。A上左端有一带电物体，空间存在水平向右、场强大小为的匀强电场，已知地面光滑，A、B之间的动摩擦因数为0.75。弹性绳原长为0.5 m。弹力大小与伸长量满足胡克定律。劲度系数为。和的质量均为，不带电，的电荷量为。时，的左端到的水平距离为。和由静止开始释放。设木板足够长，、之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。运动过程中的电荷量保持不变，取重力加速度。 (1)求时和的共同加速度大小； (2)求与开始发生相对滑动时的速度大小； (3)当B的速度为时剪断绳右端，又经后和速度相等，求从开始、之间因摩擦产生的热量。 二：类平抛 1.(多选)(2023·湖北卷)一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是(　　) A.L∶d＝2∶1 B.U1∶U2＝1∶1 C.微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2 D.仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变 2．(2026·云南卷)如图所示，在大小、方向均未知的匀强电场中，O、M、N三点处于同一竖直面内，将一质量为0.1kg、电荷量为1.0×10－6C的带正电的小球（视为质点）从O点抛出，小球1s后到达O点正上方3m处的M点，再经1s到达N点，O、N两点在同一水平线上且相距3m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，设电场强度大小为E，O、N两点的电势分别为φO和φN，则（   ） A．E = 6.7×105V/m，φO > φN B．E = 6.7×105V/m，φO < φN C．E = 5.0×105V/m，φO > φN D．E = 5.0×105V/m，φO < φN 3．（多选）(2026·全国卷)两带电平行金属板竖直放置，一带电小球从高于金属板的位置由静止自由下落，以一定的速度进入两板间。若忽略边缘效应，下列表示小球运动轨迹（图中实线）的四幅图中，可能正确的是（     ） A． B． C． D． 4．(2026·贵州卷)如图，密闭真空中，有一竖直放置的金属靶和水平放置的两平行极板，极板与金属靶受光面垂直，板间存在竖直向上的匀强电场。用频率为和的光分别照射靶时，垂直靶面逸出最大初动能分别为和的光电子，经狭缝、后进入电场，分别落到下极板M、N处。忽略极板边缘效应及电子间的相互作用，则（     ） A．， B．， C．， D．， 5.(2025·河南卷)流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出(另有一些液滴不含细胞)，液滴质量均为m＝2.0×10－10 kg。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为q＝1.0×10－13C。随后，液滴以v＝2.0 m/s的速度竖直进入长度为l＝2.0×10－2m的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为E＝2.0×105 N/C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方h＝0.1 m处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 6.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B。A不带电，B的电荷量为q(q>0)。A从O点发射时的速度大小为v0，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用时间为。重力加速度为g，求： (1)电场强度的大小； (2)B运动到P点时的动能。 7．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角θ=37°之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： （1）质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； （2）质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； （3）平行金属板C、D间的电压大小U′。 8．如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，，.将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场，场强方向与所在平面平行，现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g．求 （1）无电场时，小球达到A点时的动能与初动能的比值； （2）电场强度的大小和方向． 9．喷墨打印机核心成像单元简化模型如图所示，墨滴发生器喷出带负电墨滴，墨滴经加速电场加速后沿偏转电场中轴线匀速进入平行板偏转电场，偏转电场的极板长，板间竖直间距，偏转板中轴线垂直打印纸，且过纸面基准中心点；打印纸距偏转板右边缘的距离。已知加速电场两极板间的电压，单个墨滴所带电荷量。不计墨滴受到的重力和墨滴间的相互作用，墨滴打到打印纸上后立即被完全吸附，忽略空气阻力与电场边缘效应，不计墨滴进入加速电场的初速度大小。 (1)求墨滴离开加速电场时的动能； (2)当墨滴恰好从偏转电场极板的右侧下边缘飞出时，求偏转电场极板间的电压； (3)若偏转电压，求墨滴落到打印纸上时，落点到基准点的距离。 10．（2025.四川卷）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 11．如图1所示，地面上方足够高的空间内存在与水平地面成角、方向周期性变化的电场，以斜向下为正方向，电场的变化规律如图2所示，其中周期为，电场强度的大小E未知。时刻，质量、电荷量的带正电小球从O点以速度水平向右抛出，时刻小球经过A点，速度方向竖直向下，再过一段时间后小球第一次经过O点正下方，该点记为B点。已知O、A的高度差，重力加速度g取，不计空气阻力，求： (1)电场强度的大小E及角； (2)小球第一次经过O点正下方时的速度大小； (3)小球第n次经过O点正下方时到O点的距离H。 12．（2026.河南卷）反射式飞行时间质谱仪是通过测量离子在真空中的飞行时间来对其进行质量分析的仪器。原理如图所示，离子源 产生不同种类、初速度为零的正离子，离子经匀强电场加速后从 点射出，进入无场区做直线运动，然后从 点进入匀强反射电场，最后从反射电场射出。已知 、 间的距离为；加速电场和反射电场两极板间的电压分别为和（），间距分别为和；反射电场方向与 的夹角为。不计离子重力。 (1)证明从离子源 产生的正离子都能从同一点射出反射电场； (2)测得两种离子从 到射出反射电场所用时间之比，求其比荷之比。 三：圆周与等效重力场 知识点1．等效重力场 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”。 知识点2.方法应用 (1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。 (2)将a＝视为等效重力加速度。 (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”。 注意：这里的最高点不一定是几何最高点。 (4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。 知识点3．物体做圆周运动的物理最高点 1．（多选）在竖直平面内有水平向右、场强为的匀强电场。电场中有一根长的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1kg的带电小球，小球静止时细线与竖直方向成37°角。如图所示。给小球一个初速度让小球绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球静止时的位置为电势能和重力势能的零点（，，，），小球视为质点，如果小球恰好能做完整的圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．小球所带电量 B．小球运动过程中动能的最小值在B点，且 C．小球运动过程中机械能的最大值 D．小球运动过程中机械能的最小值 2．（多选）如图甲所示为一种“自动旋转电玩小球”玩具模型的简化图。内侧半径为的光滑绝缘轨道竖直固定放置，轨道内部存在与轨道平面平行的匀强电场（方向未知）。轨道内侧有一质量为，带电量为的五彩小球从轨道最低点以某一初速度启动，在轨道平面内沿逆时针方向恰好能做完整的圆周运动。运动过程中，小球与轨道圆心的连线与方向的夹角记为，乙图所示为小球在运动过程中的电势能随角度的变化情况，已知重力加速度为，则（     ） A．匀强电场的方向水平向左 B．电场强度的大小为 C．小球运动过程中动能的最小值为 D．小球运动过程中对轨道压力的最大值为 3.(2023·浙江卷)某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑连接成的虚线(等势线)运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 4.(2025·福建卷)某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，电子恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知B、P两点间的电势差为U，|CQ|＝2|BP|，电子a入射动能为Ek，电子所带的电荷量为－e，则(　　) A.B点的电场强度E＝ B.P点场强大于C点场强 C.电子b在P点的动能小于在Q点的动能 D.电子b全程克服电场力做的功小于2eU 5.（多选）(2026·山东卷)融合新型功能材料的传感器在智能感知领域得到广泛应用。如图所示，光滑、绝缘椭圆轨道竖直放置，长轴、短轴，AC与 交于 点，为最低点， 点处内置可感知轨道压力的传感器。空间内充满平行轨道平面、斜向上的匀强电场（图中未画出）。质量为、电荷量为的小球置于 点时恰好静止，此时传感器示数等于，g为重力加速度 的大小。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度方向与的夹角为 C． 、两点间的电势差 D．若小球在点的速度水平向右、大小为，则到达点时速度大小仍为 6．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 7．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能； （2）小球经过O点时的速度大小； （3）小球过O点后运动的轨迹方程。 8．如图所示，在水平向右的匀强电场中，长为的绝缘细线一端悬于点，另一端系一质量为、电荷量为的小球（可视为点电荷）。将小球拉至与点等高的点，保持细线绷紧并静止释放，小球运动到与竖直方向夹角的点时速度变为零。已知、，空气阻力可忽略，重力加速度为。求： (1)、两点间的电势差； (2)场强的大小； (3)小球通过点时，细线的拉力大小。 9．如图所示，竖直平面内左侧区域Ⅰ存在竖直向下的匀强电场；右侧区域Ⅱ存在水平向右的匀强电场，场强大小。一质量、电荷量的带负电小球（可视为质点），从区域Ⅰ的A点以初速度水平抛出，做类平抛运动后从B点恰好沿切线方向进入右侧绝缘光滑圆弧轨道。圆弧轨道半径为，圆心为O，CD为竖直直径，B点在轨道左下方，半径OB与竖直方向CD夹角。已知A、B两点竖直高度差，重力加速度，、。求： (1)A、B两点的水平间距及区域Ⅰ场强的大小； (2)要使小球进入区域Ⅱ后沿圆弧运动且不脱离轨道，半径的取值范围； (3)当时，求小球在运动的过程中对轨道的最大作用力。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 10．如图所示，为竖直平面内的倾斜轨道和圆轨道，两者在点平滑相切连接，且和略错开，直轨道、和半圆形弯道固定在光滑水平桌面上，整个空间存在水平向右的匀强电场。倾角，长为；竖直圆轨道和半圆弯道半径均为；直轨道和长均为。一质量为、带正电的滑块（可视为质点）在点获得初动能后沿轨道运动。已知滑块所受电场力大小恒为，滑块与直轨道、的动摩擦因数，其余轨道均光滑，所有轨道绝缘。 (1)若，求滑块到达圆轨道最低点的速度大小； (2)若滑块恰能在竖直圆轨道上做完整的圆周运动，求滑块对竖直圆轨道的最大弹力大小； (3)在处固定一竖直挡板，滑块与挡板碰后能原速率反弹，若滑块经一次反弹后不再进入半圆形弯道，求初动能应满足的条件。 11．（2026.广东卷）如图（a）所示，两竖直放置且足够大的平行金属板、，两板间距为，在两板正中间竖直平面内固定有一水平绝缘横杆，一质量为、电荷量为的小球通过两根等长且不可伸长的绝缘轻绳悬挂于横杆下方，小球与横杆的距离为，两绳的夹角为直角，如图（b），接通电源，使板间电压由0开始缓慢增大，小球缓慢向靠近，在此过程中每个时刻小球都受力平衡，当小球接触的瞬间，电荷量变为，板间电压停止增大并在此后保持恒定，在此恒定电压下，小球每次与或接触后瞬间，速度均减为0，带电荷量变化满足“电性反转、大小不变”，从而在两板间沿着圆弧往复运动，重力加速度为，小球可视为质点，每次与板碰撞均不影响两板间电压，忽略空气阻力和电场的边缘效应，忽略小球所带电荷对板间电场的影响。 (1)求、间的恒定电压； (2)求小球第一次碰撞前瞬间，单根轻绳的拉力大小； (3)若某次小球碰撞时，、间的电压突变为原恒定电压的倍（），其他条件不变，此后小球仍能沿着圆弧往复运动，求的取值范围，并求出该范围内不同值对应的小球最大动能。 $