备战2027年浙江中考数学一轮复习 第13讲 二次函数的应用与函数综合（配套练习）

备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第13讲 二次函数的应用与函数综合 · 配套练习 · 学生版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第三单元　函数 第13讲　二次函数的应用与函数综合 配套练习 班级：      　　姓名：      　　得分：       学生版　满分96分　建议用时58分钟　答案另附　本卷不含答案与解析 一、选择题　本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．（26−27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数y=ax²+1的图象经过点(−2,0)，(2,0)，则关于x的方程a(x−2)²+1=0的实数根为（   ） A．，　　　B．， C．，　　　D．， 　 2．（26−27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x是（   ） A．6.164　　　B．6.174　　　C．6.184　　　D．6.194 　 3．（25−26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（   ）米． A．7.2　　　B．6.5　　　C．5.6　　　D．6 　 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE=8m，DF=12m，则花园最大面积为（   ） A．72m²　　　B．80m²　　　C．81m²　　　D．96m² 　 5．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点P是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点．下列结论正确的是（   ） A．2a+b=0 B． C．对任意实数t，at²+bt<4a+2b总成立 D．若点，在抛物线上，，则m>1 　 6．（26−27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数y=−x²+2x+c图象上三个点、、，则，，的大小关系是（   ） A．　　　B． C．　　　D． 　 7．（25−26八年级下·浙江金华·期末）二次函数y=ax²−2ax+b(a>0)图象上有M(0,m)和N(3,n)两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（   ） A．m>n　　　B．m≥n　　　C．m<n　　　D．m≤n 　 8．（25−26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 　 9．（25−26九年级上·浙江·课后作业）下列关于抛物线y=−(x+1)²+4的判断中，错误的是（   ） A．形状与抛物线y=−x²相同　　　B．对称轴是直线x=−1 C．当x>−2时，y随x的增大而减小　　　D．当−3<x<1时，y≥0 　 10．（26−27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc>0，②b²>4ac；③4a+2b+c>0，④3a+c>0，⑤a+b≤m(am+b)（m为任意实数），⑥当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 　 二、填空题　本大题共6小题，每小题3分，共18分 11．（26−27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数y=x²−4x−6，当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 　 12．（26−27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数y=ax²+bx+c中的x、y满足下表： 则m的值为________． 　 13．（25−26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数y=−x²+bx+c，若当y≥2时，x的取值范围是n−3≤x≤n+1（n为常数），则当n−4≤x≤n时，y的取值范围是__________． 　 14．（25−26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数y=x²−3x−4的图象如图所示，则方程x²−3x−4=0的解是__________；不等式x²−3x−4>0的解集是______________；不等式x²−3x−4<0的解集是________________． 　 15．（25−26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,−m)，B(1,m)，C(−2,n)，D(3,m)，其中m，n为常数，则的值为_________． 　 16．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax²+c（其中a、b、c均为常数，且a>0），当t≤x≤t+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为__________． 　 三、解答题　本大题共8小题，每小题6分，共48分 17．（26−27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为OA． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系xOy中，描出了各组数值的对应点(x，y)． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 　 　 　 　 18．（26−27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 　 　 　 　 19．（26−27九年级上·浙江温州·开学考试）已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档(GH)垂直底边(BC)且长为0.6 m，制作所需材料的总长为9 m，设BE=xm，透光面积为Sm²． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围； (2)当x=1.2,1.4时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； (3)求S的最大值． 　 　 　 　 20．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于点A(5,0)，B(−1,0)，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标； (3)若点P在抛物线的图象上，当△ABP面积为27时，则点P的坐标为 ． 　 　 　 　 21．（25−26九年级上·浙江·期中）某品牌水果冻的高为3 cm，底面为直径是4 cm的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为P．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以O为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点P的横坐标为，求BC的长． 　 　 　 　 22．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当−2≤x≤3时，求抛物线的最大值和最小值． 　 　 　 　 23．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点(1,0)和(0,2)． (1)求b，c的值； (2)当−2≤x≤2时，求y的取值范围； (3)已知点P (m，n)在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标． 　 　 　 　 24．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y=a(x−1)²+t(a<0)经过A(−2,8)，B(0,6)，C(4,−10)这三点中的两个点． (1)求a+t的值； (2)求抛物线的解析式； (3)已知t−11≤x≤t+m（其中m>−11），若此时函数的最小值为−24，求实数m的最大值； 　 　 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $备战2027年浙江中考数学一轮复习 · 第13讲 二次函数的应用与函数综合 · 配套练习 · 教师版 备战2027年浙江中考数学一轮复习 第三单元　函数 第13讲　二次函数的应用与函数综合 配套练习 教师版　满分96分　建议用时58分钟　答案与解析随题标注 一、选择题　本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．（26−27九年级上·北京·课堂例题）若二次函数y=ax²+1的图象经过点(−2,0)，(2,0)，则关于x的方程a(x−2)²+1=0的实数根为（   ） A．，　　　B．， C．，　　　D．， 答案　A 解析　 ∵二次函数y=ax²+1的图象经过点(−2,0)， ∴4a+1=0，解得， 将代入方程a(x−2)²+1=0， 得， 移项得(x−2)²=4， 开方得x−2=±2， ∴，． 故选：A． 2．（26−27九年级上·安徽亳州·阶段检测）根据下列表格中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x是（   ） A．6.164　　　B．6.174　　　C．6.184　　　D．6.194 答案　C 解析　 ∵ x=6.18时，y=−0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0， ∴方程ax²+bx+c=0的一个解在6.18<x<6.19之间，选项中只有6.184在该区间内． 故C符合题意． 故选：C． 3．（25−26九年级上·浙江·单元复习）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米古道上一颗璀璨的明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2，可计算出当一个孔的水面宽度为12米时，则拱顶离水面的高度为（   ）米． A．7.2　　　B．6.5　　　C．5.6　　　D．6 答案　A 解析　设抛物线的解析式为y=ax²， 又由题意，抛物线过点(5,−5)， ∴−5=25a， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当一个孔的水面宽度为12时，令x=6， ∴． 故拱顶离水面的高度为7.2米． 故选：A． 4．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园ABCD，花园两边由总长为18m的篱笆围成，墙长DE=8m，DF=12m，则花园最大面积为（   ） A．72m²　　　B．80m²　　　C．81m²　　　D．96m² 答案　B 解析　设AD=xm，则DC=(18−x)m， ∵墙长DE=8m，DF=12m， ∴0<x≤8，0<18−x≤12， 解得6≤x≤8， 花园的面积=x(18−x)=−x²+18x=−(x−9)²+81， ∴当x=8时，花园面积最大，最大面积为80m²． 故选：B． 5．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，点P是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点．下列结论正确的是（   ） A．2a+b=0 B． C．对任意实数t，at²+bt<4a+2b总成立 D．若点，在抛物线上，，则m>1 答案　B 解析　由图象可知，抛物线开口向下，则a<0． ∵顶点P的坐标为(2,3)， ∴对称轴为直线x=2，即， ∴b=−4a，即4a+b=0，故A错误； 设抛物线的解析式为y=a(x−2)²+3． 令x=0，得y=4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为(0,4a+3)． 由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y=1的下方， ∴0<4a+3<1， 解得，故B正确； 根据图象得：当x=2时，y=ax²+bx+c取得最大值为y=4a+2b+c， ∴对任意实数t，at²+bt+c≤4a+2b+c， ∴at²+bt≤4a+2b，当t=2时取等号，故C错误； ∵对称轴为x=2， ∴点A到对称轴的距离为(1−m−2)=(m+1)， 点B到对称轴的距离为(1+m−2)=(m−1)． ∵抛物线开口向下，， ∴点A离对称轴更远，即(m+1)>(m−1)， 解得m>0，故D错误． 故选：B． 6．（26−27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数y=−x²+2x+c图象上三个点、、，则，，的大小关系是（   ） A．　　　B． C．　　　D． 答案　C 解析　抛物线y=−x²+2x+c的对称轴是x=1， ∴点关于x=1的对称点是， 又 ∵抛物线y=−x²+2x+c中a=−1<0， ∴抛物线开口向下，在对称轴x=1的右侧y随x的增大而减小， ∵1<2<3<4， . 故选：C． 7．（25−26八年级下·浙江金华·期末）二次函数y=ax²−2ax+b(a>0)图象上有M(0,m)和N(3,n)两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（   ） A．m>n　　　B．m≥n　　　C．m<n　　　D．m≤n 答案　C 解析　 ∵ 点M(0,m)在二次函数y=ax²−2ax+b图象上， ∴ 将x=0代入解析式得 m=a·0²−2a·0+b=b， ∵ 点N(3,n)在二次函数y=ax²−2ax+b图象上， ∴ 将x=3代入解析式得 n=a·3²−2a·3+b=9a−6a+b=3a+b， 又 ∵ a>0， ∴ 3a+b>b， ∴ m<n． 故选：C． 8．（25−26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A．　　　B．　　　C．　　　D． 答案　D 解析　如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴， ∴ 故选：D． 9．（25−26九年级上·浙江·课后作业）下列关于抛物线y=−(x+1)²+4的判断中，错误的是（   ） A．形状与抛物线y=−x²相同　　　B．对称轴是直线x=−1 C．当x>−2时，y随x的增大而减小　　　D．当−3<x<1时，y≥0 答案　C 解析　A、抛物线y=−(x+1)²+4形状与y=−x²相同，此选项不符合题意； B、抛物线y=−(x+1)²+4对称轴为直线x=−1，此选项不符合题意． C、对于抛物线y=−(x+1)²+4，由于a=−1<0，当x>−1时，函数值y随x值的增大而减小，当x<−1时，函数值y随x值的增大而增大，故当x>−2时，y并非一直随x的增大而减小（−2<x<−1时反而增大），此选项错误，符合题意； D、抛物线y=−(x+1)²+4=−(x+3)(x−1)，a=−1<0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(1,0)，所以当y>0时，−3<x<1，因而当−3<x<1时，y≥0说法正确，此选项不符合题意． 故选：C． 10．（26−27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）对称轴为直线x=1的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc>0，②b²>4ac；③4a+2b+c>0，④3a+c>0，⑤a+b≤m(am+b)（m为任意实数），⑥当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 答案　C 解析　① 由图象可知：a>0，c<0， ∵对称轴为直线：， ∴b=−2a<0， ∴abc>0，故①正确； ② ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b²−4ac>0， ∴b²>4ac，故②正确； ③ ∵对称轴为直线x=1，则x=0与x=2的函数值相等， ∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，故③错误； ④ 当x=−1时，y=a−b+c=a−(−2a)+c>0， ∴3a+c>0，故④正确； ⑤ 当x=1时，y取到最小值，此时，y=a+b+c， 而当x=m时，y=am²+bm+c， 所以a+b+c≤am²+bm+c， 故a+b≤am²+bm，即a+b≤m(am+b)，故⑤正确， ⑥ 当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 二、填空题　本大题共6小题，每小题3分，共18分 11．（26−27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数y=x²−4x−6，当−1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差都是一个定值，则m能取到的最大值与最小值的和为_________． 答案　7 解析　 ∵二次函数y=x²−4x−6中a=1>0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当x=−1时，y=(−1)²−4×(−1)−6=−1， 顶点在x=2处，顶点纵坐标为y=2²−4×2−6=−10， ∵抛物线关于x=2对称，x=−1到对称轴的距离为3， ∴与x=−1函数值相等的对称点横坐标为2+3=5， 此时y=5²−4×5−6=−1，和x=−1处函数值相等． ∵−1≤x≤m时，最大值与最小值的差为定值，说明最大值和最小值都不随m改变， ∵开口向上，要使最小值固定，顶点必须在区间内，即m≥2，此时最小值恒为顶点纵坐标−10； 要使最大值固定，最大值不能超过x=−1处的函数值−1，即m≤5， 若m>5，最大值变为x=m处的函数值，随m改变而改变，差不再是定值， ∴m的取值范围是2≤m≤5， ∴m能取到的最小值为2，最大值为5，二者和为2+5=7． 故答案为：7． 12．（26−27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数y=ax²+bx+c中的x、y满足下表： 则m的值为________． 答案　−5 解析　 ∵当x=−1时，y=0；当x=3时，y=0， ∴二次函数的对称轴为直线， 设函数解析式为y=a(x+1)(x−3)， 代入x=1，y=4得：4=a×2×(−2)， 解得a=−1， ∴y=−(x+1)(x−3)=−x²+2x+3， 验证得x=−2时，y=−(−2)²+2×(−2)+3=−5，符合表格；x=5时，y=−5²+2×5+3=−12，符合表格， 当x=4时，y=−4²+2×4+3=−5， ∴m=−5． 故答案为：−5． 13．（25−26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数y=−x²+bx+c，若当y≥2时，x的取值范围是n−3≤x≤n+1（n为常数），则当n−4≤x≤n时，y的取值范围是__________． 答案　−3≤y≤6 解析　由题意， ∵y≥2时，x的取值范围为n−3≤x≤n+1，且抛物线开口向下， ∴对称轴是直线， ∴b=2(n−1)， ∴抛物线为y=−x²+2(n−1)x+c， 又当x=n+1时，y=−(n+1)²+2(n−1)(n+1)+c=2， ∴c=−n²+2n+5， ∴二次函数为y=−x²+2(n−1)x−n²+2n+5， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵n−1−(n−4)=3>n−(n−1)=1，n−4<n−1<n， 又 ∵n−4≤x≤n， ∴当x=n−1时，y取最大值为y=−(n−1)²+2(n−1)²−n²+2n+5=6， 当x=n−4时，y取最小值为y=−(n−4)²+2(n−4)(n−1)−n²+2n+5=−3， ∴当n−4≤x≤n时，−3≤y≤6， 故答案为：−3≤y≤6． 14．（25−26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数y=x²−3x−4的图象如图所示，则方程x²−3x−4=0的解是__________；不等式x²−3x−4>0的解集是______________；不等式x²−3x−4<0的解集是________________． 答案　，；x>4或x<−1；−1<x<4 解析　由图象可知： 方程x²−3x−4=0的解是，； 不等式x²−3x−4>0的解集是x>4或x<−1； 不等式x²−3x−4<0的解集是−1<x<4． 故答案为：，；x>4或x<−1；−1<x<4． 15．（25−26九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,−m)，B(1,m)，C(−2,n)，D(3,m)，其中m，n为常数，则的值为_________． 答案　 解析　由B(1,m)，D(3,m)可知抛物线的对称轴为直线x=2， ， ∴b=−4a． ∵二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,−m)，B(1,m)，C(−2,n)， ∴c=−m，a+b+c=m，4a−2b+c=n． ∴a−4a−m=m， ． ． ． ． 故答案为：． 16．（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数y=ax+b以及二次函数y=ax²+c（其中a、b、c均为常数，且a>0），当t≤x≤t+1时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则t的值为__________． 答案　−1或0 解析　当x=t时，函数值 ；当x=t+1时，函数值 ． ∵a>0， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数y=ax²+c（a>0）图象开口向上，对称轴为x=0 ． 情况一：当t+1≤0，即t≤−1 时 当x=t时，函数值 ；当x=t+1时，函数值 ． ∵t≤−1 ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令−2at−a=a ， ∴−2at=2a ， ∵a>0 ， ∴解得t=−1 ． 情况二：当t≥0 时 当x=t时，函数值 ；当x=t+1时，函数值 ． ∵t≥0 ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令2at+a=a ，等式两边同时减a得到2at=0 ， ∵a>0 ，解得t=0 ． 情况三：当t<0<t+1，即−1<t<0 时， 当x=0时，． 当x=t时，函数值 ； 当x=t+1时，函数值 ． 当0−t<t+1−0时，即−2t<1， ∴， ∴ 此时a(t+1)²+c−c=a ∴(t+1)²=1， 解得t=0（舍去）或−2（舍去）， 当0−t>t+1−0时，即−2t>1， ∴， ∴ 此时at²+c−c=a ∴t=−1（舍去）或t=1（舍去） 综上所述，t=−1 或0 故答案为：−1或0 三、解答题　本大题共8小题，每小题6分，共48分 17．（26−27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为OA． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系xOy中，描出了各组数值的对应点(x，y)． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 答案　(1)①如图所示：②；(2)这次发球能过网，不会出界，理由如下：∵小宛这次发球是站在O点，∴发球点到球网水平距离为9m，∵当x=9时，，当y=0时，，解得或（舍去），，∴这次发球能过网，不会出界． 解析　（1）①略 ②根据题意，设y与x的函数关系式为y=a(x−6)²+2.8， 将(0,2)代入y=a(x−6)²+2.8，得2=a(0−6)²+2.8， 解得，即， 将表中另外 6 组对应值代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式为； （2）略． 18．（26−27九年级上·浙江衢州·阶段检测）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． (1)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 答案　(1)每件商品售价为34元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1960元．；(2)每件商品的售价定为32元时，每个月的利润恰好是1920元． 解析　（1）解：设每件商品售价上涨x元，则每个月少卖10x件，每月的利润为y元， ∴ y=(30+x−20)(180−10x)， ∴y=−10x²+80x+1800， ∴y=−10(x−4)²+1960， ∵每件售价不能高于35元， ∴30+x≤35， ∴x≤5， ∵x≥0， ∴0≤x≤5， ∴x=4时，最大利润为1960元， ∴售价为30+x=30+4=34元时，最大利润为1960元． （2）解： ∵利润是1920，由（1）可知，y=−10x²+80x+1800， ∴−10x²+80x+1800=1920， ∴−10x²+80x−120=0， ∴x²−8x+12=0， ∴(x−2)(x−6)=0， ，， ∵由（1）可知，0≤x≤5， ∴x=6（舍去）， ∴x=2， ∴售价为30+x=30+2=32元时，每个月的利润是1920元． 19．（26−27九年级上·浙江温州·开学考试）已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档(GH)垂直底边(BC)且长为0.6 m，制作所需材料的总长为9 m，设BE=xm，透光面积为Sm²． (1)求S关于x的函数表达式及x的取值范围； (2)当x=1.2,1.4时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； (3)求S的最大值． 答案　(1)；(2) 解析　（1）解：由题意，得 AE=GH=DF=0.6,BE=CF=x， 所以 所以， 化简，得， ∵制作所需材料的总长为9 m， ∴， ∴0<x<3.6， 即； （2）略； （3）解：因为对称轴，在0<x<3.6范围内，且，抛物线开口向下， 所以当x=1.5时，． 20．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，抛物线y=ax²+bx+5与x轴交于点A(5,0)，B(−1,0)，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标； (3)若点P在抛物线的图象上，当△ABP面积为27时，则点P的坐标为 ． 答案　(1)y=−x²+4x+5；(2)M(2,3)；(3)(2,9)或或 解析　（1）解：由题意，将点A(5,0)，B(−1,0)代入y=ax²+bx+5得：， 解得， ∴抛物线的解析式为y=−x²+4x+5． （2）解：抛物线y=−x²+4x+5=−(x−2)²+9的对称轴为直线x=2， 当x=0时，y=5，即C(0,5)， ∵如图，点M为该抛物线对称轴上一点， ∴点M的横坐标为2，且BM=AM， ∴CM+BM=CM+AM， 由两点之间线段最短可知，当A，M，C三点共线时，CM+AM的值最小，即CM+BM的值最小， 设直线AC的解析式为y=kx+c(k≠0)， 将点A(5,0)，C(0,5)代入得：，解得， ∴直线AC的解析式为y=−x+5， 将x=2代入直线y=−x+5得：y=−2+5=3， ∴点M的坐标为(2,3)． （3）解：设点P的坐标为(m，−m²+4m+5)，则点P到AB的距离为(−m²+4m+5)， ∵A(5,0)，B(−1,0)， ∴AB=5−(−1)=5+1=6， ∴△ABP的面积为， ∵△ABP的面积为27， ∴3(−m²+4m+5)=27，即(−m²+4m+5)=9， ∴−m²+4m+5=9或−m²+4m+5=−9， 解得或，， 当m=2时，−m²+4m+5=9； 当或时，−m²+4m+5=−9； 综上，点P的坐标为(2,9)或或． 21．（25−26九年级上·浙江·期中）某品牌水果冻的高为3 cm，底面为直径是4 cm的圆，两个水果冻倒装在一个长方体盒子内，如图为横断示意图，水果冻的截面可以近似地看成两条抛物线，交点为P．以左侧抛物线的顶点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求以O为顶点的抛物线的函数表达式． (2)若点P的横坐标为，求BC的长． 答案　(1)；(2) 解析　（1）解：设抛物线的函数表达式是y=ax²， ∵高为3 cm， 底面圆的直径为4 cm， ∴E(2,3)， 把E(2,3)代入y=ax²， 解得， ∴函数表达式是， （2）当时，， ∴点， 设以G为顶点的抛物线， ，解得（m=0不符题意，舍去）． ． 22．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当−2≤x≤3时，求抛物线的最大值和最小值． 答案　(1)抛物线的解析式为y=(x−3)²+2；(2)当−2≤x≤3时，抛物线的最大值为27，最小值为2 解析　（1）解： ∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为y=(x−1−2)²−3+5=(x−3)²+2； （2）解： ∵抛物线的解析式为y=(x−3)²+2，1>0， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=3， ∵−2≤x≤3， ∴在−2≤x≤3上，y随着x的增大而减小， 当x=−2时，y取得最大值，为(−2−3)²+2=(−5)²+2=25+2=27， 当x=3时，y取得最小值，为(3−3)²+2=0²+2=0+2=2； 故当−2≤x≤3时，抛物线的最大值为27，最小值为2． 23．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c（b，c都是常数）的图象经过点(1,0)和(0,2)． (1)求b，c的值； (2)当−2≤x≤2时，求y的取值范围； (3)已知点P (m，n)在该函数的图象上，且m+n=1，求点P的坐标． 答案　(1)b=−3，c=2；(2)y的取值范围是 y ≤12；(3)点P的坐标为(1,0) 解析　（1）解：把(1,0)和(0,2)代入y=x²+bx+c得： ， 解得：b=−3,c=2． （2）解：这个函数关系式为， 对称轴为，在−2≤x≤2范围内， 当时，有最小值， ∵ −2到对称轴的距离大于2到对称轴的距离， ∴当x=−2时，函数有最大值(−2)²−3×(−2)+2=12， ． （3）解： ∵ P (m，n)在y=x²−3x+2的图象上， ∴n=m²−3m+2， ∵m+n=1， ∴m²−2m+1=0， 解得m=1， ∴n=0， ∴点P的坐标为(1,0)． 24．（26−27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线y=a(x−1)²+t(a<0)经过A(−2,8)，B(0,6)，C(4,−10)这三点中的两个点． (1)求a+t的值； (2)求抛物线的解析式； (3)已知t−11≤x≤t+m（其中m>−11），若此时函数的最小值为−24，求实数m的最大值； 答案　(1)6；(2)y=−2(x−1)²+8；(3)−3 解析　（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x=1， ∴x=−2时的函数值与x=4时的函数值相同， ∵A(−2,8)，C(4,−10)， ∴点A和点C不可能都在抛物线上， 又 ∵抛物线y=a(x−1)²+t(a<0)经过A(−2,8)，B(0,6)，C(4,−10)这三点中的两个点， ∴点B一定在抛物线上， ∴6=a(0−1)²+t， ∴a+t=6； （2）解： ∵y=a(x−1)²+t(a<0)， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 若点A在抛物线上，−2<0<1， ∴点A的纵坐标一定小于点B的纵坐标，这与8>6矛盾， ∴点A一定不在抛物线上， ∴点C在抛物线上， ∴−10=a(4−1)²+t， ∴9a+t=−10， 联立，解得， ∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)²+8； （3）解： ∵t−11≤x≤t+m，t=8， ∴8−11≤x≤8+m， ∴−3≤x≤8+m； 在y=−2(x−1)²+8中，当x=−3时，y=−2(−3−1)²+8=−24， ∵当−3≤x≤8+m时，此时函数的最小值为−24， ∴当−3≤x≤8+m时，且当x=−3时，函数有最小值， ∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∴(8+m−1)≤(−3−1)， ∴(m+7)≤4， 解得−11≤m≤−3， 又 ∵m>−11， ∴−11<m≤−3， ∴m的最大值为−3． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $