专题10.7 空间几何体的表面积和体积（考点精练）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

专题10.7 空间几何体的表面积和体积 一、基础训练 1．已知正方体的边长为，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 2．正四棱柱底边长是3，高为5，则它的体积为（   ） A．9 B．45 C．15 D．75 3．若三个球体的体积之比为，则半径之比为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 5．一个几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ）    A． B． C． D． 7．已知球体半径，则球的体积为_____ （保留）. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为__________．      9．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    10．已知一个正四棱柱的底面边长为3，高为2，求这个正四棱柱的全面积和体积.      11．圆锥的底面半径为3，母线长为5， (1)求圆锥的表面积；（参考公式：扇形的半径，弧长，面积） (2)求圆锥的体积． 12．一个球的截面圆面积为 ，球心到该截面的距离为 ，求这个球的半径和表面积. 二、提升训练 1．如图所示，某中空铸件的三视图中、正视图和左视图是全等的正方形内切圆，俯视图是半径为1的圆，则该铸件需要材料（不计损耗）的体积是（    ） A． B． C． D． 2．已知某几何体的正视图与左视图是直角三角形，俯视图是正方形，如图所示，则该几何体的体积是（    ）    A．1 B． C． D． 3．设正四棱锥的底面边长和侧棱长都是 2，则该四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．设球的一个球截面半径为，球心与该球截面的距离是4，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知A是球O的球面上一点，过线段OA的中点作垂直于直线OA的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：）可得该几何体的表面积（无需扣除重叠部分）为（    ）    A． B． C． D． 7．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 8．某图书馆有10根圆柱支撑着屋顶，每根圆柱的底面直径为0.8米，高为5米.现要对这些圆柱的侧面全部进行美化施工，已知每平方米施工费用为50元，则共需施工费用____________元.（取） 9．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    10．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 11．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，求该圆锥的体积．    12．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. 求挖掉的直三棱柱的体积；    第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.7 空间几何体的表面积和体积 一、基础训练 1．已知正方体的边长为，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正方体的边长为， 所以正方体的体积. 故选：D. 2．正四棱柱底边长是3，高为5，则它的体积为（   ） A．9 B．45 C．15 D．75 【答案】B 【解析】正四棱柱底边长是3，高为5， 则它的体积为， 故选：. 3．若三个球体的体积之比为，则半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】球的体积公式为，其中为球的半径， 因此球的体积之比等于半径的三次方之比， 设三个球体的半径分别为，对应体积分别为， 由题意得， 结合体积公式可得，即. 故选：D. 4．已知圆柱的底面半径和高相等，若该圆柱的表面积与某球的表面积相等，则圆柱与球的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱底面半径为，则高也为，设球的半径为， 则圆柱表面积，球的表面积， 因为该圆柱的表面积与某球的表面积相等， 所以，所以， 圆柱的体积为，球的体积为， 则圆柱与球的体积的比值为． 故选：B． 5．一个几何体的三视图如下，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体为半圆柱； 底面半圆的半径为，高， 所以其体积为. 故选：C 6．如图，平行四边形，，，，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的表面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，以所在直线为轴，其它三边旋转一周所围成的几何体的上部分为圆柱挖去一个圆锥， 下部分为与上部分挖去的圆锥相同的圆锥. 圆锥和圆柱的底面半径为， 圆柱的高为， 则挖去圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以几何体的表面积为， 故选：. 7．已知球体半径，则球的体积为_____ （保留）. 【答案】 【解析】球体半径，则球的体积为， 故答案为：. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为__________．      【答案】 【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆锥， 圆锥的底面直径为6，半径，高， 则母线长， 故该几何体的侧面积为. 故答案为：. 9．如图，陀螺可近似地看作是一个圆柱和一个圆锥的组合体，若圆柱与圆锥的高之比为，且圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是，则圆柱的侧面积为__________.    【答案】 【解析】设圆锥和圆柱的底面圆半径为r，因为圆锥的侧面积是，圆锥的母线长是， 即，所以圆锥底面圆的半径为， 所以圆锥的高为，又圆柱与圆锥的高之比为， 所以圆柱的高为2，所以圆柱的侧面积为. 故答案为：. 10．已知一个正四棱柱的底面边长为3，高为2，求这个正四棱柱的全面积和体积.      【答案】全面积为，体积为18 【解析】正四棱柱的全面积为 因为正四棱柱的底面积，高， 所以正四棱柱的体积为18. 11．圆锥的底面半径为3，母线长为5， (1)求圆锥的表面积；（参考公式：扇形的半径，弧长，面积） (2)求圆锥的体积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5， 圆锥的侧面积为， 底面积为， 则其表面积为 （2）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5， 则圆锥的高， 所有其体积． 12．一个球的截面圆面积为 ，球心到该截面的距离为 ，求这个球的半径和表面积. 【答案】球的半径为.球的表面积为 【解析】因为球的截面圆面积为 ，所以截面圆的半径为， 所以球的半径为， 所以球的表面积 . 即这个球的半径为，表面积为. 二、提升训练 1．如图所示，某中空铸件的三视图中、正视图和左视图是全等的正方形内切圆，俯视图是半径为1的圆，则该铸件需要材料（不计损耗）的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据该几何体的三视图可知该几何体为圆柱挖去内切球， 由此可知该圆柱底面半径1、高2，则体积； 球的体积，材料体积为. 故选：B. 2．已知某几何体的正视图与左视图是直角三角形，俯视图是正方形，如图所示，则该几何体的体积是（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为一倒置的四棱锥，如图，    故. 故选：C. 3．设正四棱锥的底面边长和侧棱长都是 2，则该四棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正四棱锥的底面边长和侧棱长都是 2， 底面是边长为2的正方形，面积； 侧面是边长为2的等边三角形，面积. 表面积. 故选：. 4．设球的一个球截面半径为，球心与该球截面的距离是4，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意如图所示：    因为球的一个球截面半径为，球心与该球截面的距离是4， 所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可知：， 所以球的半径，所以其表面积为：， 故选：C. 5．已知A是球O的球面上一点，过线段OA的中点作垂直于直线OA的平面，若该球被这个平面截得的圆面的面积为，则该球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为R，则， 球心O到已知截面的距离为， 设截面圆的半径为r，由已知得，所以， 由球的截面性质得，所以， 该球的表面积是. 故选：C. 6．已知某简单组合体的三视图如图所示，根据图中所示数据（单位：）可得该几何体的表面积（无需扣除重叠部分）为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三视图可知，组合体为一个底面直径为的球和长宽高分别为的长方体组合而成. 所以球的表面积为； 长方体的表面积为； 所以该几何体的表面积为. 故选：A. 7．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 【答案】 【解析】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2， 则球O的半径为， 所以球的表面积为， 故答案为：. 8．某图书馆有10根圆柱支撑着屋顶，每根圆柱的底面直径为0.8米，高为5米.现要对这些圆柱的侧面全部进行美化施工，已知每平方米施工费用为50元，则共需施工费用____________元.（取） 【答案】 6280 【解析】由题意，圆柱的底面直径为0.8米，则半径米，高为米. 故1根圆柱的侧面积. 则10根圆柱的总侧面积. 因为每平方米施工费用为50元，因此总费用为元. 故答案为：6280. 9．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    【答案】 【解析】根据三视图可知，该几何体为半圆柱，如图，    由此可知，底面圆直径为，即半径为，高为， ∴上下底面的面积为，侧面积为， 截面矩形的面积为， ∴该几何体的表面积为. 故答案为：. 10．某同学制作橡皮泥模具，将一个半径为，圆心角为的扇形卡纸卷成圆锥形纸杯，并通过打印技术制作出一个内空的半球体形状的塑料盖子，该半球体盖子的直径与卡纸杯杯口圆的直径相等，如图所示，求： (1)该模具的表面积（含盖子）； (2)若用此模具装橡皮泥，则最多能装多少立方厘米的橡皮泥？（保证盖子刚好合上，且模具材料厚度不计） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设圆锥的底面半径，即半球的半径为， 因为，且扇形的半径为， 则有，解得， 所以模具的表面积为 . （2）已知圆锥的母线长为，底面半径为， 则圆锥的高为， 该模型的体积为 . 即最多能装立方厘米的橡皮泥. 11．如图，圆锥的底面恰是圆柱的一个底面，圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面，且圆锥的顶点也在该球的球面上．若球的体积为，圆柱的高为2，求该圆锥的体积．    【答案】 【解析】设球的半径为R，因为球的体积为，即，解得， 因为圆与圆为圆柱的底面圆， 所以圆与圆面积相等，又圆柱的两个底面分别为同一个球的两个截面， 所以，又圆柱的高为2，所以， 所以， 则在中，， 即圆锥底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以圆锥的体积为.    12．如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形. 求挖掉的直三棱柱的体积；    【答案】16 【解析】记BC中点为E，连接 AE，   因为侧面是边长为4的正方形，直棱柱的侧棱垂直于底面， 所以直三棱柱的高， 同时底面三角形的边. 过面截半球得到的截面是一个半圆， 则BC是所在小圆直径，则. 因为，则. 挖掉的直三棱柱的体积. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $