专题10.7 空间几何体的表面积和体积（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.7 空间几何体的表面积和体积 一、课标要求 1. 直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式； 2. 圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式； 3. 柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 二、知识架构 三、知识清单 1．空间几何体的表面积 （1）直棱柱和正棱锥的表面积展开图 (2)直棱柱的侧面积 ①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． ②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch. ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (3)正棱锥的侧面积 ①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等． ②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝ch′. （4）正棱台的表面积展开图 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝(c＋c′)h′. （5）圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 球 半径：R 表面积：S＝4πR2 2．空间几何体的体积 （1）柱体、锥体、台体的体积公式 ①柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)． ②锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)． ③台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)． ④柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. （2）球的表面积和体积公式 ①球的体积公式V＝πR3. 注意 1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆． 2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径． 四、考点精练 考点一：空间几何体的表面积 【例1】已知正方体的棱长为3，则它的表面积为（   ） A．9 B．27 C．54 D．81 【变式探究】如图所示，正四棱柱的底面边长为4，高为8.求 正四棱柱的表面积； 【例2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式探究】若圆柱的底面半径为 ，高为 ，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】几何体的三视图中，正视图、左视图和俯视图都是半径为2的圆，则该几何体的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例4】有一个正四棱锥形物体，底面边长10米，高12米，现在要给此物体的表面刷油漆（不含底面），那么需要刷油漆的面积为______平方米. 【变式探究】乐乐同学在学校的打印社为全班位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为   不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：， A. B. C. D. 【例5】已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高为，则正四棱锥的侧面积为______． 【变式探究】正六棱锥的底面边长为，斜高为，则其侧面积为______. 【例6】如图：圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥，则剩下部分几何体的表面积为____________.    【变式探究】如图所示，一个棱长为2的正方体被一个平面截去一个角后，剩余部分的几何体的表面积约为（     ）    A． B． C． D． 技巧点拨 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． 考点二：空间几何体的体积 【例1】已知圆柱的底面直径与高均为4，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】在长方体中，点E为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【例2】如图所示，在某几何体的三视图中，已知正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆，则该几何体的体积等于（    ）．    A． B． C． D． 【变式探究】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．52 【例3】已知一圆柱的底面直径为2，其体积为，若一个球的直径与该圆柱的高相等，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】已知一圆柱的底面半径与球的半径均为，且该圆柱的体积与球的体积也相等，则该圆柱的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【例4】正四面体的高不变，底面边长扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（   ）倍． A．1 B．2 C．4 D．8 【变式探究】正棱锥的高不变，若底面边长扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（    ） A．不变 B．2倍 C．4倍 D．8倍 【例5】一个圆柱的底面直径为，高为. (1)参照圆柱的主视图，画出其左视图和俯视图； (2)求圆柱的体积； 【变式探究】已知三棱柱的三视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积是__________. 【例6】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.    【变式探究】一件工艺品的上面是一个球体，下面是一个圆锥，并且球心在圆锥的旋转轴上，其轴截面如图所示．已知工艺品的高为10cm，球体与圆锥底面圆的半径都为3cm，则该工艺品的表面积为___________，体积为___________．    【例7】某圆柱体的底面圆直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体体积与球体体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴PO的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 技巧点拨 1．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题． 五、真题精练 1．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）已知圆柱和圆锥的底面半径都是r，高都是h，且圆柱与圆锥的侧面积相等，则 （ ） A． B． C． D．2 4．（25-26高三·云南·对口/高职单招）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）.    A． B． C． D． 5．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6，4，9，将它熔化后铸成一个正方体形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为________． 7．（25-26高三下·湖北·职教高考）若一个球的表面积为，则它的体积为________. 8．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________．    9．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）已知长方体的长为5，宽为2，且其顶点都在表面积为的同一球面上，则该长方体的高为_________． 10．（24-25高三下·新疆·职教高考）已知圆柱的高和底面直径的长均为. (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的体积. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.7 空间几何体的表面积和体积 一、课标要求 1. 直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式； 2. 圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式； 3. 柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 二、知识架构 三、知识清单 1．空间几何体的表面积 （1）直棱柱和正棱锥的表面积展开图 (2)直棱柱的侧面积 ①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． ②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch. ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (3)正棱锥的侧面积 ①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等． ②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝ch′. （4）正棱台的表面积展开图 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝(c＋c′)h′. （5）圆柱、圆锥、圆台以及球的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 球 半径：R 表面积：S＝4πR2 2．空间几何体的体积 （1）柱体、锥体、台体的体积公式 ①柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)． ②锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)． ③台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h(S′，S为上、下底面面积，h为高)． ④柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. （2）球的表面积和体积公式 ①球的体积公式V＝πR3. 注意 1．球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆． 2．利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径． 四、考点精练 考点一：空间几何体的表面积 【例1】已知正方体的棱长为3，则它的表面积为（   ） A．9 B．27 C．54 D．81 【答案】C 【解析】因为正方体棱长为，所以它的表面积为. 故选：C. 【变式探究】如图所示，正四棱柱的底面边长为4，高为8.求 正四棱柱的表面积； 【答案】160 【解析】. 【例2】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的底面半径为， 所以底面周长为，即展开图扇形的弧长为， 又侧面展开图为一个半圆，所以扇形的圆心角为， 所以圆锥的母线长， 所以该圆锥的侧面积. 故选：C. 【变式探究】若圆柱的底面半径为 ，高为 ，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆柱的底面半径为 ，高为 ， 则该圆柱的侧面积为， 故选：. 【例3】几何体的三视图中，正视图、左视图和俯视图都是半径为2的圆，则该几何体的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为几何体的三视图中，正视图、左视图和俯视图都是半径为2的圆， 所以该几何体是半径的球体， 所以表面积. 故选：B. 【变式探究】如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱， 对于圆锥的部分，高为，底面圆的半径为， 所以圆锥的母线为， 所以圆锥的侧面积为， 对于圆柱部分，高为，底面圆的半径为， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的下底面的面积为， 所以该几何体的表面积为. 故选：C. 【例4】有一个正四棱锥形物体，底面边长10米，高12米，现在要给此物体的表面刷油漆（不含底面），那么需要刷油漆的面积为______平方米. 【答案】260 【解析】一个正四棱锥形物体，底面边长10米，高12米， 则斜高为米， 则侧面积为平方米， 故答案为：. 【变式探究】乐乐同学在学校的打印社为全班位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为   不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：， A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图，盘子侧面等腰梯形的高为， 底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给个这样的盘子涂防水涂料约需涂料． 故选：． 【例5】已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高为，则正四棱锥的侧面积为______． 【答案】32 【解析】    如图，正四棱锥，是底面的中心，是的中点，连接， 则是正四棱锥的高，是侧面的斜高， 在中，，， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为. 故答案为： 【变式探究】正六棱锥的底面边长为，斜高为，则其侧面积为______. 【答案】 【解析】正六棱锥的底面边长为 ，斜高为 ， 则底面周长 ， 侧面积为 . 故答案为：. 【例6】如图：圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥，则剩下部分几何体的表面积为____________.    【答案】 【解析】圆柱底面半径和高均为2，在圆柱内部挖去一同底等高的圆锥， 圆柱的侧面积为，圆柱的底面积为， 圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为， 所以剩下部分几何体的表面积为， 故答案为：. 【变式探究】如图所示，一个棱长为2的正方体被一个平面截去一个角后，剩余部分的几何体的表面积约为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，截去一个三棱锥后， 原表面积减少3个小三角形面积，新增1个三角形面积， 新增三角形是边长为的等边三角形， 所以新增三角形的高为， 所以新增三角形的面积为， 所以剩余部分的几何体的表面积为， . 故选：B. 技巧点拨 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． 考点二：空间几何体的体积 【例1】已知圆柱的底面直径与高均为4，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆柱的底面直径为4，则圆柱的底面半径为2， 所以圆柱的体积为. 故选：B. 【变式探究】在长方体中，点E为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解析】三棱锥的底面积，高， 所以三棱锥的体积 故选：A.    【例2】如图所示，在某几何体的三视图中，已知正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆，则该几何体的体积等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三视图知，该几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为2，底面圆的直径为2， 所以底面圆半径为1， 所以该几何体的体积为. 故选：B. 【变式探究】已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．52 【答案】A 【解析】从三视图可判断，这个几何体是一个长、宽、高分别为4、3、4的长方体沿对角面切开后的一半，即该几何体为底面是直角三角形，高为3的直三棱柱， 所以体积. 故选：A 【例3】已知一圆柱的底面直径为2，其体积为，若一个球的直径与该圆柱的高相等，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆柱的底面直径为2，则底面半径为， 设圆柱的高为，则，解得， 所以球的直径为4，半径为， 所以球的体积为， 故选：. 【变式探究】已知一圆柱的底面半径与球的半径均为，且该圆柱的体积与球的体积也相等，则该圆柱的侧面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设圆柱的高为，由圆柱的体积与球的体积相等得，则， 所以该圆柱的侧面积为， 故选D． 【例4】正四面体的高不变，底面边长扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（   ）倍． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】正四面体的底面是正三角形，设原底面边长为，高为，原底面积， 边长扩大到原来的2倍后，新边长为，高为，新底面积， 代入体积公式得，新体积， 因此体积变为原来的4倍. 故选：C. 【变式探究】正棱锥的高不变，若底面边长扩大到原来的2倍，则体积变为原来的（    ） A．不变 B．2倍 C．4倍 D．8倍 【答案】C 【解析】设正棱锥的高为，底面积为，则正棱锥的体积为， 若正棱锥的底面边长扩大到原来的2倍，则它的底面积扩大到原来的4倍， 则正棱锥的底面积为，体积为， 故体积变为原来的4倍. 故选：C 【例5】一个圆柱的底面直径为，高为. (1)参照圆柱的主视图，画出其左视图和俯视图； (2)求圆柱的体积； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1）左视图是长方形（长，高），俯视图是直径为的圆， （2）已知圆柱底面直径为，高，则底面半径， 则圆柱的体积. 【变式探究】已知三棱柱的三视图如图所示，若其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积是__________. 【答案】 【解析】如图，由三视图可知，该三棱柱为正三棱柱， 该正三棱柱的高为1，底面正三角形的高为， 所以底面正三角形的边长为， 所以该三棱柱的体积. 故答案为：. 【例6】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.    【答案】 【解析】根据三视图可得几何体为两个底放在一起的圆锥，    其中底面直径均为，则底面半径为， 其中圆锥高分别为， 所以该几何体的体积是， 故答案为：. 【变式探究】一件工艺品的上面是一个球体，下面是一个圆锥，并且球心在圆锥的旋转轴上，其轴截面如图所示．已知工艺品的高为10cm，球体与圆锥底面圆的半径都为3cm，则该工艺品的表面积为___________，体积为___________．    【答案】 【解析】由题意得，球体的半径，圆锥的底面圆半径3cm， 高，母线， 则工艺品的表面积 ， 体积. 故答案为：；. 【例7】某圆柱体的底面圆直径和高均与某球体的直径相等，则该圆柱体体积与球体体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球体的半径为，，则球体的直径为. 由题意可知，圆柱体的底面圆直径、高均等于球体直径，因此圆柱体底面圆半径为，高为. 圆柱体积，球的体积， 体积比值. 故选：B. 【变式探究】如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴PO的三等分点（靠近点）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥轴截面的边长为2a，则圆锥的底面半径为，高为， 由题意可知，，则圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 所以圆柱的体积与原圆锥的体积之比为． 故选：B. 技巧点拨 1．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题． 五、真题精练 1．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）长方体内部有一个圆柱，长方体底面为正方形，边长为4，高为3；圆柱底面直径为2，圆柱的高为，求该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】长方体底面为正方形，边长为4，高为3，长方体体积为， 圆柱底面直径为2，半径为，圆柱的高为，圆柱体积为， 该组合几何体（长方体挖去圆柱）的体积为， 故选：. 2．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，可得圆锥底面半径，母线长； 圆锥的表面积由底面积与侧面积组成， 底面积为，侧面积为， 因此该圆锥的表面积为. 故选：C. 3．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）已知圆柱和圆锥的底面半径都是r，高都是h，且圆柱与圆锥的侧面积相等，则 （ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】圆柱和圆锥的底面半径都是r，高都是h， 圆柱的侧面积为， 圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为， 因为圆柱的侧面积与圆锥的侧面积相等， 则， 所以， 故选：. 4．（25-26高三·云南·对口/高职单招）如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体为球， 由图可知，球的半径， 所以其表面积. 故选：B. 5．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正三棱柱的底面是边长为的正三角形，其面积为. 容器的棱长为2，装水高度为容器的一半，所以水的体积为； 倒置后的容器：容器放倒后，以侧面为底面，此时水的体积不变，且水占容器体积的一半， 所以上方空的部分也是一个小三棱柱. 设倒置后水面高度为，则空的部分的截面是一个与底面相似的三角形，相似比为，面积比为. 因为水的体积是总体积的一半，所以空的部分体积也是总体积的一半. 因为，代入得， 化简得，. 故选：A. 6．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）一个长方体形的铁块长、宽、高分别为6，4，9，将它熔化后铸成一个正方体形的铁块（不计损耗），则铸成的铁块的棱长为________． 【答案】 【解析】将长方体铁块熔化后铸成一个正方体形的铁块，则体积不变， 设正方体铁块的棱长为， 则，解得， 所以铸成的铁块的棱长为， 故答案为：. 7．（25-26高三下·湖北·职教高考）若一个球的表面积为，则它的体积为________. 【答案】 【解析】设球半径为， 则，解得， 则球的体积为. 故答案为：. 8．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）如图所示，某几何体的正视图和左视图都是边长为4的正方形，俯视图是圆，则该几何体的表面积为_____________．    【答案】 【解析】由三视图知，几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为，底面圆的直径为，即底面圆半径， 所以该几何体的表面积. 故答案为：. 9．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）已知长方体的长为5，宽为2，且其顶点都在表面积为的同一球面上，则该长方体的高为_________． 【答案】 【解析】设长方体高为h，外接球半径为R， 根据球的表面积公式：, 长方体的体对角线为：， 因为，所以， 故答案为：4 10．（24-25高三下·新疆·职教高考）已知圆柱的高和底面直径的长均为. (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的体积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）圆柱的高和底面直径的长均为，即， 则圆柱的侧面积为. （2）圆柱的高和底面直径的长均为，底面半径为， 则圆柱的体积为. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $