专题10.6 基本立体图形、直观图（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.6 基本立体图形、直观图 一、课标要求 1. 三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图； 2. 空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 二、知识架构 三、知识清单 1．空间几何体的结构特征 ①空间几何体的概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. ②多面体与旋转体 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. ③几种常见的多面体 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ④棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例). ⑤各种棱柱之间的关系 （1）棱柱的分类 （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 (3)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表： 名称 底面 侧面 侧棱 高 平行于底面的截面 棱柱 斜棱柱 平行且全等的两个多边形 平行四边形 平行且相等 与底面全等 直棱柱 平行且全等的两个多边形 矩形 平行、相等且垂直于底面 等于 侧棱 与底面全等 棱锥 正棱锥 一个正多边形 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 过底面中心 与底面相似 其他棱锥 一个多边形 三角形 有一个公共顶点 与底面相似 棱台 正棱台 平行且相似的两个正多边形 全等的等腰梯形 相等且延长后交于一点 与底面相似 其他棱台 平行且相似的两个多边形 梯形 延长后交于一点 与底面相似 温馨提醒：正四面体是所有棱长相等的特殊的正三棱锥。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 ⑥旋转体 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ⑦简单组合体 (1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 2．直观图 ①简单几何体的三视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 ②空间几何体的直观图的绘制方法 （1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 （2）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使，它们确定的平面表示水平面． （3）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （4）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半 ． （5）立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法． ③斜二测画法保留了原图形中的三个性质 （1）平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；（2）共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；（3）平行于x，z轴的长度不变． 四、考点精练 考点一：空间几何体的结构特征 【例1】一个棱柱的底面是五边形，则它共有（　　）条侧棱 A．3 B．5 C．7 D．10 【变式探究】若四棱柱的侧面都是正方形，则棱柱是（　　） A．正棱柱 B．直棱柱 C．正方体 D．长方体 【例2】下列说法不正确的是（    ） A．长方体是直四棱柱 B．正方体是直四棱柱 C．直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形的直棱柱是正棱柱 【变式探究】三棱锥又称为（    ） A．四面体 B．五面体 C．六面体 D．八面体 【例3】把一张长方形纸片的一组对边粘合，形成的几何体侧面可看作（    ） A．圆锥面 B．球面 C．圆柱面 D．棱锥侧面 【变式探究】下列关于圆柱的说法正确的有（    ）个. （1）两个底面是半径相等且平行的圆面. （2）平行于底面的横截面是与底面相同的圆. （3）母线平行且相等，都等于圆柱的高. （4）轴截面是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形. A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】下列四个命题中，正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥 C．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球 D．一个等腰三角形绕着底边旋转一周形成的旋转体叫做圆锥 【变式探究】一个包装盒的上、下两个面互相平行且全等，其余各面均为平行四边形．该包装盒可抽象为（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．球 【例5】一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ） A． B． C． D． 技巧点拨 1、有关棱柱结构特征问题的解题策略： (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 2、简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要注意两个明确： ①明确由哪个平面图形旋转而成． ②明确旋转轴是哪条直线． 3、与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面． (2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可． 考点二：几何体的直观图 【例1】一个几何体的正视图和侧视图均为长方形，俯视图为圆，该几何体最可能是（    ） A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．正方体 【变式探究】直立圆锥的俯视图是（    ） A．等腰三角形 B．矩形 C．圆 D．梯形 【例2】一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可能是（    ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）. A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【例3】正方形边长为，用斜二测画法画其直观图，平行于轴的边画为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】斜二测画法中，与横轴平行且原长为10厘米的线段，在直观图中通常画成（    ）厘米 A． B． C． D． 【例4】边长为 的正方形斜二测直观图面积是原面积的（　　） A． B． C． D． 【变式探究】用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形的直观图，所得直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 【例5】如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式探究】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例6】一个水平放置的矩形长为、宽为，长边平行于轴. (1)斜二测直观图中两组边长分别是多少？ (2)直观图面积是多少？ 【变式探究】一个长方体实际长、宽、高，按斜二测画法作直观图. (1)写出图中三个方向棱的长度； (2)若误将宽按原长画出，图上宽比正确值多多少厘米？ 【例7】水平放置的直角三角形中，，，.规定平行于轴、平行于轴. (1)写出斜二测直观图中的长度； (2)说明画出的步骤. 技巧点拨 1、画平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 2、直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 3、直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积． 五、真题精练 1．（24-25高三下·广西·职教高考）在下列几何体中，有4个面的是（   ） A．六棱柱 B．四棱锥 C．五棱柱 D．三棱锥 2．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）正方体的六个面中相互平行的平面有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．（23-24高三下·山东青岛·职教高考）如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（     ） A．OC B．OB C．AC D．BC 4．（24-25高三下·福建·职教高考）下列选项正确的是（    ） A．圆锥的体积公式是 B．圆锥的侧面展开图为三角形 C．圆柱的体积公式为 D．圆柱的侧面展开为圆形 5．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）图中几何体的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）请问下列哪项是错误的？（    ） A．棱柱的侧棱不一定相等 B．直棱柱的两个底面平行且全等 C．每个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 7．（22-23高三下·宁夏·职教高考）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．半球 8．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（    ）    A．   B．   C．   D．   9．（24-25高三下·山东·职教高考）如图所示，容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将该容器以棱AB所在直线为轴旋转，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面a，该平面都可把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是（     ）    A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线 AB与平面a始终平行 D．下半部分几何体的三视图中正视图面积不变 10．（25-26高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）任意三棱柱体都只有5个面.( ) 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.6 基本立体图形、直观图 一、课标要求 1. 三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图； 2. 空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 二、知识架构 三、知识清单 1．空间几何体的结构特征 ①空间几何体的概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. ②多面体与旋转体 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. ③几种常见的多面体 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ④棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例). ⑤各种棱柱之间的关系 （1）棱柱的分类 （2）常见的几种四棱柱之间的转化关系 (3)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表： 名称 底面 侧面 侧棱 高 平行于底面的截面 棱柱 斜棱柱 平行且全等的两个多边形 平行四边形 平行且相等 与底面全等 直棱柱 平行且全等的两个多边形 矩形 平行、相等且垂直于底面 等于 侧棱 与底面全等 棱锥 正棱锥 一个正多边形 全等的等腰三角形 有一个公共顶点且相等 过底面中心 与底面相似 其他棱锥 一个多边形 三角形 有一个公共顶点 与底面相似 棱台 正棱台 平行且相似的两个正多边形 全等的等腰梯形 相等且延长后交于一点 与底面相似 其他棱台 平行且相似的两个多边形 梯形 延长后交于一点 与底面相似 温馨提醒：正四面体是所有棱长相等的特殊的正三棱锥。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 ⑥旋转体 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ⑦简单组合体 (1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的. (2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成. 2．直观图 ①简单几何体的三视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 ②空间几何体的直观图的绘制方法 （1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 （2）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使，它们确定的平面表示水平面． （3）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （4）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半 ． （5）立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法． ③斜二测画法保留了原图形中的三个性质 （1）平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；（2）共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；（3）平行于x，z轴的长度不变． 四、考点精练 考点一：空间几何体的结构特征 【例1】一个棱柱的底面是五边形，则它共有（　　）条侧棱 A．3 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【解析】一个棱柱的底面是五边形，则它共有条侧棱. 故选：B. 【变式探究】若四棱柱的侧面都是正方形，则棱柱是（　　） A．正棱柱 B．直棱柱 C．正方体 D．长方体 【答案】B 【解析】侧面是正方形，即侧棱长等于底面四边形的边长，且侧棱垂直于底面， 因此是直棱柱，但底面不一定是正方形，所以不一定是正棱柱. 则不一定是长方体或正方体，故ACD错误，B正确. 故选：B. 【例2】下列说法不正确的是（    ） A．长方体是直四棱柱 B．正方体是直四棱柱 C．直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形的直棱柱是正棱柱 【答案】C 【解析】根据直棱柱的定义及长方体与正方体的底面均为四边形， 可知长方体、正方体均为直四棱柱，故A，B正确； 当直四棱柱的底面为梯形时，该直四棱柱不是长方体，故C错误； 由正棱柱的定义可知D正确． 故选：C. 【变式探究】三棱锥又称为（    ） A．四面体 B．五面体 C．六面体 D．八面体 【答案】A 【解析】三棱锥有 个面，故称四面体， 故选：A. 【例3】把一张长方形纸片的一组对边粘合，形成的几何体侧面可看作（    ） A．圆锥面 B．球面 C．圆柱面 D．棱锥侧面 【答案】C 【解析】将一张长方形纸片的一组对边粘合，相当于将长方形卷成一个曲面， 其侧面形状与圆柱的侧面完全一致. 故选：C. 【变式探究】下列关于圆柱的说法正确的有（    ）个. （1）两个底面是半径相等且平行的圆面. （2）平行于底面的横截面是与底面相同的圆. （3）母线平行且相等，都等于圆柱的高. （4）轴截面是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】根据圆柱的概念及性质可知， 两个底面是半径相等且平行的圆面； 平行于底面的横截面是与底面相同的圆； 母线平行且相等，都等于圆柱的高； 轴截面是长为圆柱的高、宽为底面的直径的矩形． 故（1）（2）（3）（4）均正确． 故选：D． 【例4】下列四个命题中，正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体叫棱锥 C．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球 D．一个等腰三角形绕着底边旋转一周形成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【解析】选项A．其余各面都是平行四边形，不能保证每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 所以有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱， 反例：将两个相同斜棱柱底对底拼合，各面也是平行四边形，但不是棱柱，如图，故A错误；    选项B．其余各面是三角形，而这些三角形不一定有公共顶点， 所以有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，故B错误； 选项C．球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球， 该选项的描述与球的定义完全相符，所以C正确； 选项D．一个等腰三角形绕着底边旋转一周形成的旋转体是由两个共底的圆锥组合而成的，并非一个圆锥，所以D错误， 故选：C. 【变式探究】一个包装盒的上、下两个面互相平行且全等，其余各面均为平行四边形．该包装盒可抽象为（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆锥 D．球 【答案】A 【解析】已知包装盒的上、下两个面互相平行且全等，其余各面均为平行四边形， 因为平行四边形的对边是平行的，所以其余各面相邻四边形的公共边互相平行，满足棱柱的定义，即该包装盒可抽象为棱柱； 棱锥是有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体，与题目中包装盒的形状不符； 圆锥是由一个圆形底面和一个曲面侧面围成的立体图形，不符合题目描述； 球是一个连续曲面的立体图形，也不符合该包装盒的特征， 故选：A. 【例5】一个长方形的两边长分别为和，将其绕一边进行旋转，能得到不同的圆柱的种数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将长方形分别绕着长或宽进行旋转，可得两种不同的圆柱， 故选：B. 【变式探究】下列平面图形中，绕轴旋转一周得到如图所示的空间图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】题图中的空间图形是一个圆锥和一个圆台的组合体． 圆台是由直角梯形以为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体， 圆锥是由直角三角形以为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体， 故选：A.           技巧点拨 1、有关棱柱结构特征问题的解题策略： (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义： ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 2、简单旋转体判断问题的解题策略 (1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键． (2)解题时要注意两个明确： ①明确由哪个平面图形旋转而成． ②明确旋转轴是哪条直线． 3、与圆锥有关的截面问题的解决策略 (1)画出圆锥的轴截面． (2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可． 考点二：几何体的直观图 【例1】一个几何体的正视图和侧视图均为长方形，俯视图为圆，该几何体最可能是（    ） A．球 B．直立圆柱 C．圆锥 D．正方体 【答案】B 【解析】选项A，三视图都是圆，不符合； 选项B，正视图长方形，侧视图长方形，俯视图圆，符合条件； 选项C，正、侧视图为三角形，不符合； 选项D，三视图都是正方形，不符合. 故选：B 【变式探究】直立圆锥的俯视图是（    ） A．等腰三角形 B．矩形 C．圆 D．梯形 【答案】C 【解析】直立圆锥如图， 其俯视图是圆，如下图： 故选：C． 【例2】一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可能是（    ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 【答案】D 【解析】球的三视图是大小相等的圆； 如图，三棱锥中，棱两两垂直且长度相等，其三视图均为直角三角形且大小相等； 正方体的三视图为大小相等的正方形； 圆柱的主视图和左视图为矩形，俯视图为圆，所以圆柱的三视图不可能相同， 故选：. 【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）. A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【答案】B 【解析】由主视图和左视图的外轮廓均为矩形可知，该几何体侧棱垂直于底面，属于柱体. 又由俯视图为三角形可知，该几何体的底面为三角形. 主视图中间的虚线表示该三棱柱有一条侧棱被正对观察者的侧面遮挡， 故该几何体为三棱柱. 故选：B. 【例3】正方形边长为，用斜二测画法画其直观图，平行于轴的边画为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜二测规则可得，平行于轴的边取一半，所以正方形边长为，则平行于轴的边为. 故选：A. 【变式探究】斜二测画法中，与横轴平行且原长为10厘米的线段，在直观图中通常画成（    ）厘米 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据斜二测画法，平行于横轴的线段长度不变， 原线段长10厘米，直观图中长度仍为10厘米. 故选：B 【例4】边长为 的正方形斜二测直观图面积是原面积的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，边长为的正方形面积为， 斜二测直观图邻边为，夹角，所以面积为， 则直观图面积是原面积的. 故选：B. 【变式探究】】用斜二测画法画水平放置的边长为的正三角形的直观图，所得直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为三角形的边长为，所以三角形的面积为， 在斜二测法中，直观图的面积与原图面积之比为， 所以直观图的面积为. 故选：A. 【例5】如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】原正方形的对角线的长度等于直观图中的长度，即， 设正方形的边长为，根据勾股定理，可得， 那么正方形的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 【变式探究】如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 由直观图还原出原图，如图，则，， 所以． 故选：. 【例6】一个水平放置的矩形长为、宽为，长边平行于轴. (1)斜二测直观图中两组边长分别是多少？ (2)直观图面积是多少？ 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【解析】（1）由斜二测画法规则可得，长边不变，宽边减半，则长为，宽为. （2）由（1）得长为，宽为，夹角为，则面积为. 【变式探究】一个长方体实际长、宽、高，按斜二测画法作直观图. (1)写出图中三个方向棱的长度； (2)若误将宽按原长画出，图上宽比正确值多多少厘米？ 【答案】(1)、、 (2)多 【解析】（1）斜二测画法规则： 平行于轴的线段长度不变； 平行于轴的线段长度变为原来的，平行于轴的线段长度不变， 所以按斜二测画法作图，长为，宽为，高为. （2）由（1）可知按斜二测画法作图宽为， 若将宽按原长画出为6 cm，则比正确值多 . 【例7】水平放置的直角三角形中，，，.规定平行于轴、平行于轴. (1)写出斜二测直观图中的长度； (2)说明画出的步骤. 【答案】(1) (2)步骤见解析 【解析】（1）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图： 根据斜二测画法的规则：平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的， 所以斜二测直观图中； （2）①画两条相交直线作为轴和轴，两轴交点记为，并使（或）， ②在原图形中，线段平行于轴且长度为， ③根据斜二测画法规则可知直观图中线段应位于轴上，且长度为原长的一半，即， ④在射线上从点出发截取长度为的线段，其端点即为点. 技巧点拨 1、画平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 2、直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 3、直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积． 五、真题精练 1．（24-25高三下·广西·职教高考）在下列几何体中，有4个面的是（   ） A．六棱柱 B．四棱锥 C．五棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【解析】六棱柱有六个侧面两个底面共8个面， 四棱锥有四个侧面一个底面共5个面， 五棱柱有五个侧面两个底面共7个面， 三棱锥有三个侧面一个底面共4个面； 故选：D. 2．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）正方体的六个面中相互平行的平面有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【解析】正方体的每两个对面平行，则正方体的六个面中相互平行的平面有3对； 故选：B. 3．（23-24高三下·山东青岛·职教高考）如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（     ） A．OC B．OB C．AC D．BC 【答案】D 【解析】有斜二测画法图像知道原三角形是直角三角形，是直角三角形的斜边，故是最长的线段. 故选：D. 4．（24-25高三下·福建·职教高考）下列选项正确的是（    ） A．圆锥的体积公式是 B．圆锥的侧面展开图为三角形 C．圆柱的体积公式为 D．圆柱的侧面展开为圆形 【答案】C 【解析】圆锥的体积公式为，故选项错误； 圆锥的侧面展开图为扇形，故选项错误； 圆柱的体积公式为，故选项正确； 圆柱的侧面展开图为矩形，故选项错误， 故选：. 5．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）图中几何体的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】从左边侧面看，两层物体在左右方向完全重合，能看到一个完整的大矩形； 两层物体高度不同形成的分层分界线，是两个实体的交界棱， 该棱在左视视角下无遮挡、能直接看见，因此必须画实线，不能画虚线. 故选：D 6．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）请问下列哪项是错误的？（    ） A．棱柱的侧棱不一定相等 B．直棱柱的两个底面平行且全等 C．每个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 【答案】A 【解析】对A：棱柱的侧棱互相平行且相等，故A项错误； 对B：直棱柱的两个底面平行且全等，故B正确； 对C：每个侧面都是矩形，则侧棱垂直于底面，所以棱柱是直棱柱，故C项正确； 对D：底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故D项正确. 故选：A. 7．（22-23高三下·宁夏·职教高考）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（   ） A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．半球 【答案】B 【解析】选项A. 正方体的正视图为正方形，故该选项错误. 选项B.圆锥正视图和侧视图是全等的等腰三角形，俯视图是圆，故该选项正确. 选项C.圆柱的正视图为长方形或正方形，故该选项错误. 选项D.半球的正视图、侧视图为圆或半圆，故该选项错误. 故选：B. 8．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，则该几何体的直观图为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由题意，作出该几何体的直观图如下图，    则ABD不符，C符合， 故选：C. 9．（24-25高三下·山东·职教高考）如图所示，容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将该容器以棱AB所在直线为轴旋转，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面a，该平面都可把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是（     ）    A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线 AB与平面a始终平行 D．下半部分几何体的三视图中正视图面积不变 【答案】B 【解析】容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，该容器以棱AB所在直线为轴旋转， 所以上半部分与下半部分都不可能是三棱锥，故A错误，B正确； 对于C选项：由题意可知，容器旋转到任意一个位置后，有平面或平面，故C错误； 对于D选项：在旋转过程中，下半部分几何体的形状会发生变化，其正视图的形状和面积也会随之发生变化， 所以下半部分几何体的正视图面积不是不变的，故D错误. 故选：B. 10．（25-26高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）任意三棱柱体都只有5个面.( ) 【答案】正确 【解析】三棱柱包含2个互相平行的三角形底面，以及3个平行四边形侧面，总面数为， 因此任意三棱柱都只有5个面. 故答案为：正确. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $