专题10.5 线面夹角以及二面角（考点精练）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题10.5 线面夹角以及二面角 一、基础训练 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则EF与平面 ABCD所成角的正切值是() D' B E D > F B A. 2 B.2 5 D. 5 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC与平面A1ADD1所成的角为( A.30°B.45°C.60°D.90 3.如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，直线B,D和面D1AC所成角的度数为( 6 D A.30°B.45°C.60°D.90° 4.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，二面角D-AC-H的正切值为( 第1页共6页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com D G A.92B. 5.若正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则该正四棱锥的侧面与底面所成二面角为() A君 6.在正方体ABCD-A1BC1D1中，平面A1B,CD与平面A1BC1D1所成的二面角的度数是 C A.90°B.60°C.45°D.30° 7.在二面角Q-a-B内有一点P,过P作PA⊥a于点A,作PB⊥B于点B,若PA=PB=AB=5,则二 面角a-a-β的大小为 8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成角的度数为 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，二面角C1-BD-C的正切值等于 D 第2页共6页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中点，PD=2. B (1)求证：AC⊥平面PBD: (2)若∠BCD=60°，求直线OE与平面ABCD所成的角的大小. 11.如图所示，在边长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中. D C (1)求三棱锥B1~A1BC1的体积 (2)求二面角C1-A,B-B的余弦值. 12.如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4，高为3，点E为棱BC上的点，且 BE=2EC,求： B :B C (1)三棱锥A1~ABE的体积： (2)二面角A1-BE-A的余弦值， 第3页共6页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 二、提升训练 1.点到平面距离为6，斜线长为12，则斜线与平面所成的角为() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.棱长为2的正方体中，A,C与底面所成角的正弦值为() 3.折叠构件两板分别为ABCD和ABEF,AD=6,AF=8,公共边AB垂直于平面DAF,且DF=10, 则两板所成二面角的大小为() A.30°B.45°C.60°D.90 4.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,PA⊥平面ABC,PA=6,则点P到BC的距离是( A.3V3B.2V5c.2V13D.3V5 5.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，二面角C-BD-C1的正弦值为( 2。V6.6.3 A.3B.3 C.2 D. 2 6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC为等边三角形，D为BC中点，则二面角P-BC-A 的平面角是() A.∠PDAB.∠PCAC.∠ABCD.∠PBA 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,AA1=12,则A1C与底面ABCD所成角的正切 值为 8.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,那么二面角 P-BC-A的大小为 9.如题图所示，长方体ABCD-A1BC1D中，AA1=5,AB=3,D1B与平面ABCD所成的角为45°， 第4页共6页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 则二面角B-DD,-C的平面角的正切值为 D C A B D 10.已知正四楼锥P-ABCD,底面边长AB=2,四棱锥的体积为42 B (1)求四棱锥P-ABCD的高和侧棱PC; (2)求二面角B-PC-D的平面角的余弦值. 11.如图，正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为1，求： 第5页共6页 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com D A B D A B (1)三棱锥C1~ABD的体积； (2)二面角C1-DB-A的平面角的正切值. 12.Rt△ABC所在平面a外有一点P,∠C=90°，PC=24,PD垂直AC于D,PE⊥BC于E,且 PD=PE=6V10,求 (1)点P到平面a的距离： (2)PC和平面。所成的角的大小， 第6页共6页中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题10.5 线面夹角以及二面角 一、基础训练 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点，则EF与平面 ABCD所成角的正切值是() D' B E D 2 3 C.3 5 B. 2 D. 【答案】D D B 【解析】 A B 如图所示，连接FC, 因为EC⊥面ABCD,所以∠EFC就是EF与平面ABCD所成的角， 棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱CC、AB的中点， tan∠EFC=EC=1-5】 FC9/12+225 故选：D 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC与平面A1ADD1所成的角为( A.30°B.45°C.60°D.90 第1页共20页 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【答案】B 【解析】如图所示，连接AC,由正方体ABCD-A1B1C1D1的性质可知CD垂直平面A1ADD1, D B D B 则∠CAD即为直线AC与平面A1ADD1所成的角， 在等腰直角三角形DAC中，∠CAD=45:所以直线AC与平面A,ADD 所成的角为45 故选：B 3.如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，直线B1D和面D1AC所成角的度数为( B D A B D A.30°B.45°C.60°D.90° 【答案】D 【解析】连接BD,因为BB1⊥面ABCD,ACC面ABCD, 所以BB1⊥AC, B D A B C D 又因为BD⊥AC且BB1NBD=B, BB1S面BB1D,BDC面BB1D, 第2页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 所以AC⊥面BB,D,又BDC面BBD,, 所以AC⊥B1D, 同理可得AD1⊥BD, 因为AD1nAC=A,AD1C面ACD1,ACS面ACD1, 所以B,D⊥面ACD 故选：D. 4.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-EFGH中，二面角D-AC-H的正切值为( D B G A.2B. 2 C.3 D. 3 2 2 【答案】A 【解析】 B 连接BD,设ACn BD=O,连接OH,则BD⊥AC, 因为在正方体ABCD-EFGH中，AC=AH=CH, 所以OH⊥AC 又平面ACDn平面ACH=AC,ODC平面ACD,OHC平面ACH, 所以∠DOH是二面角D-AC-H的平面角， 在Rt△DOH中，DH=1,OD=BD=2 第3页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com an∠DOH=DH:J=2 所 OD 2 2 故选：A 5.若正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则该正四棱锥的侧面与底面所成二面角为() A君 c 0.30 【答案】c 【解析】设正四棱锥的底面边长为Q,高h,斜高l, 底面积S,=d,侧面积5，=4×号×Q×1=2al, 由题意得2a=2al,则a=l, 正四棱锥斜高PE⊥CD,O为垂心，E为CD中点，则OE⊥CD, 因为PEC平面PCD,OEC平面ABCD,平面PCDn平面ABCD=CD, 则该正四棱锥的侧面与底面所成二面角为∠PEO, 因为O为垂心，PO⊥平面ABCD,所以PO⊥OE, a 所以cos0=2_2=1,则0= 3 1a2 故选：C Oi--- B C 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面A1BC1D1所成的二面角的度数是 A.90°B.60°C.45°D.30° 【答案】c 【解析】如图，在正方体ABCD-AB,C1D1中， A1B1⊥平面BCC1B,B1CC平面BCC1B1, 第4页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 所以A1B1⊥BC,又A1B1⊥B1C1 所以∠CB1,C1为平面A1B1CD与平面A1B1C1D1所成的二面角的平面角， 因为BCC1B1为正方形，所以∠CBC1=45°， 即平面A,B,CD与平面A,B,CD,所成的二面角的度数是45o D D 故选：C. 7.在二面角C-a-B内有一点P,过P作PA⊥a于点A,作PB⊥B于点B,若PA=PB=AB=5,则二 面角a-a-β的大小为 【答案】120° 【解析】 设平面PAB与a交于O,连接AO，BO 由题意可知，PA⊥a,PB⊥B, 所以PA⊥a,PB⊥a,PA⊥OA,PB⊥OB 又因为PA0 PB=P, 所以a⊥面APB, 所以a⊥OB,a⊥OA, 所以∠AOB即为二面角Q-a-β的平面角， 如图所示，PA=PB=AB=5, 所以∠APB=60°→∠A0B=360°-60°-90°-90°=120°， 第5页共20页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 则二面角a-a-β的大小为120° 故答案为；120° 8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成角的度数为 【答案】45° 【解析】，'PA⊥平面ABC, .AB为直线PB在平面ABC内的射影， 即∠PBA为直线PB与平面ABC所成的角， 又PA⊥平面ABC,ABC平面ABC, ∴PA⊥AB,即∠PAB=90°，且PA=AB 所以∠PBA=45°，即直线PB与平面ABC所成角的度数为45°， 故答案为：45° 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，二面角C1-BD-C的正切值等于 【答案】V2 【解析】连接AC,AC交DB于O,则OC⊥DB, 因为DB,BC1,DC1为正方体的对角线，所以DB=BC1=DC1, 所以△DBC1为等腰三角形，则CO⊥DB, 所以∠C,OC是二面角C,-BD-C的平面角，因为正方体的棱长为2， 第6页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 则CC,=2,0C=2+2=2, 2 所以tan∠C,OC CC=2-2 OC 2 故答案为：V2. D 10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中点，PD=2. B (1)求证：AC⊥平面PBD: (2)若∠BCD=60°，求直线OE与平面ABCD所成的角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 暖 【解析】(1)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以AC⊥BD, 又因为PD⊥底面ABCD,且ACC底面ABCD, 所以PD⊥AC, 因为PDn BD=D,PD,BDC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD (2)如图，取F为直线DC的中点，连接EF,OF, 因为E为PC的中点， 所以EF为三角形PDC的中位线， 第7页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 所以PD1IEF,EF=PD=L 又因为PD⊥底面ABCD, 所以EF⊥底面ABCD 又DC,OFC底面ABCD, 所以EF⊥DC,OF⊥EF, 所以∠EOF为直线OE与平面ABCD所成的角. 因为四边形ABCD是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线DC的中点， 所以OF为三角形ADC的中位线，所以OF=号AD=1, 所以在直角三角形OEF中，tan∠E0F=E-L, OF 又∠EOF∈0,2'T 所以∠EOF=圣 B 11.如图所示，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中. D B D (1)求三棱锥B1-A1BC1的体积； (2)求二面角C1-A1B-B1的余弦值. 【容】哈 第8页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com p 3 【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1BC1, SA,号A-BC2x2=2, 1 x2×2=1 4 所以Vg-ABC,=Vg-Aac3S△AG,BB-3 (2)取A1B的中点M,连接C1M、BM, 由题，有C,B=C,A1=A,B=22则C,M1A1B 由题，有BB=B1A1=2,则B1M⊥A1B, 则∠C1MB1就是二面角C1-A1B-B1的平面角， 在Rt△C,B1M中，C1B,=2,B1M=V2,C,M=V6 则cs∠C,MB, BM_2_3 C,M63 D A M D B 12.如图所示，已知正三棱柱ABC-A1BC1的底面边长为4，高为3，点E为棱BC上的点，且 BE=2EC,求： B A C (1)三棱锥A,-ABE的体积； (2)二面角A1~BE-A的余弦值. 【答案】83 3 第9页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com ,2 1 【解析】(1)：△ABC是边长为4的正三角形， ∴△ABC的面积为S△ABC= ×4×283=43 2 -83 又：BE=2EC,△ABE的面积为S△ABE号S△ABC 3 三楼催A,nBE的体积为V-号5，eh号×8距x3=8 33 (2)二面角A1-BE-A就是二面角A1-BC-A,记棱BC的中点为F 如图所示，连接A1F,AF, B ABC-A B C1 A B=A C B C1在正三棱柱 中， ,因为F是棱BC的中点， 则A,F⊥BC,AE⊥BC:所以∠A,A为二面角A,-BC-A的一个平面角 连直角△A,AF中，AF三3AB=23,AA,=3,则A,E=23+32=7 “c0s∠A,A=AE-23=27,∴二面角A,-BE-A的余弦值为27 AF-217 7 二、提升训练 1.点到平面距离为6，斜线长为12，则斜线与平面所成的角为() A.30° B.45° c.60° D.90° 【答案】A 【解析】已知点到平面距离d=6,斜线长l=12,如图： 第10页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 设斜线与平面所成的角为0，可得sin9=d-6= 1-122 因为0°≤0≤90°，所以0=30°. 故选：A 2.棱长为2的正方体中，A,C与底面所成角的正弦值为() 3 【答案】B 【解析】如图，连接AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 因为AA1⊥平面ABCD,所以A1C在ABCD内的射影为AC, 即∠ACA1是A1C与底面所成角， 在边长为2的正方形ABCD中，AC=AB2+BC2=V22+2=2/2° 在Rt△ACA,中，A,C=VA1A2+AC2=22+|2V2=23 所以sin AC A,-A,C233 AA=2=3 3 即A1C与底面所成角的正弦值为3 故选：B D B D B 3.折叠构件两板分别为ABCD和ABEF,AD=6,AF=8,公共边AB垂直于平面DAF,且DF=10, 则两板所成二面角的大小为() 第11页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com A.30°B.45°C.60°D.90 【答案】D 【解析】因为AB⊥平面DAF,AF,ADC平面DAF,则AB⊥AF,AB⊥AD, 所以∠DAF就是两板所成二面角的平面角， 在△DAF中，AD=6,AF=8,DF=10, 因为AD2+AF2=62+82=100,DF2=102=100,所以AD+AF2=DF2, 则△DAF是直角三角形，且∠DAF=90°， 故选：D. F B C 4.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,PA⊥平面ABC,PA=6,则点P到BC的距离是( A.33B.2V5c.2V13D.3V5 【答案】D 【解析】取BC的中点D,连接AD,PD 因为AB=AC,D为BC的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得AD⊥BC, 因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 由线面垂直的性质可得PA⊥BC,又PA∩AD=A, PAC平面PAD,ADC平面PAD 由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAD, 因为PDC平面PAD,故BC⊥PD, 即线段PD的长度为点P到BC的距离， 在Rt△ABD中，AB=5'BD=4'AD=52-42=3 且PA=6所以PD=V62+32=35 第12页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 故选：D. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C-BD-C1的正弦值为（ 誓e誓e 【答案】B 【解析】如图所示，连接AC,BD相交于点O,连接C1O和CO, A D B 则∠C,0C即为二面角C,-BD-C 假设正方体棱长为1，则CC=1,C0=号AC=2 因为平面ABCD⊥平面BB,C1C, 且OCC平面ABCD,CC1C平面BBC1C, 所以OC⊥CC,:所以△OCC,是直角三角形， 由句脱定程得oC,0C+cC-份1= 2 sin∠C1,OC= CC1=1=2=V6 0C1663. 2 故选：B 6.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC为等边三角形，D为BC中点，则二面角P-BC-A 的平面角是() A.∠PDAB.∠PCAC.∠ABCD.∠PBA 第13页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【答案】A 【解析】△ABC为等边三角形，D为BC中点，可知AD⊥BC, 因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC, 又因为PA∩AD=A,PA,AD平面PAD,可得BC⊥平面PAD, 因为PD平面PAD,所以BC⊥PD 可知∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角，故A正确： AC与棱BC不垂直，则∠PCA不是二面角P-BC-A的平面角，故B错误： AC,BC均在平面ABC内，则∠ABC不是二面角P-BC-A的平面角，故C错误： AB与棱BC不垂直，则∠PBA不是二面角P-BC-A的平面角，故D错误， 故选：A B 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=4,AA1=12,则A1C与底面ABCD所成角的正切 值为 12 【答案】 【解析】连接AC长方体中AA1⊥底面ABCD, ∠A,CA即为A,C与底面所成角 底面ABCD为矩形，AB=3,BC=4. AC=AB+BC2=32+42=5 AA1=12 tan∠A,CA=AA=12 12 故答案为： 8.若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,那么二面角 第14页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com P-BC-A的大小为 【答案】90° 【解析】取BC的中点O,分别连结PO,AO,如图所示： B 因为△PBC与△ABC都是边长为2的正三角形， 所以PB=PC=2,AB=AC=2, 又因为点0为BC的中点， 所以PO⊥BC,AO⊥BC. 则∠POA为二面角P-BC-A的平面角， 因为PC=2'0C=1'所以P0=V22-1下=3' 同理可得，A0=3, 又因为PA=V6 所以在△POA中，PO+AO=PA2, 所以∠POA=90°，即二面角P-BC-A的大小为90° 故答案为：90° 9.如题图所示，长方体ABCD-A1B1C1D中，AA1=5,AB=3,D1B与平面ABCD所成的角为45°， 则二面角B-DD,-C的平面角的正切值为 B 第15页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【容案 【解析】长方体ABCD-A,BC1D中，DD1⊥平面ABCD 因为D,B与平面ABCD所成的角为45o:所以∠D,BD=45,且DD1⊥BD, 所以Rt△D1DB是等腰三角形，即DB=DD1=5,且DC=AB=3, 则BC=VDB2-DC2=4 因为DD1⊥BD,DD1⊥DC, 所以二面角B-DD,-C的平面角为∠CDB,tan∠CDB=C5-4, CD 3 即二面角B-DD,-C平面角的正切值为 故答案为： 10。已知正四棱锥P-ABCD,底面边长AB=2,四棱锥的体积为42 3 B (1)求四棱锥P-ABCD的高和侧棱PC: (2)求二面角B-PC-D的平面角的余弦值. 【答案】(1)h=2,PC=2 a 【解析】(1) 第16页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com B 因为正四棱锥P-ABCD,底面边长AB=2,四棱锥的体积为42 设四棱锥P-ABCD的高为h,则S=×2×h=42 3 3 解得h=V2: 连接AC,BD交于点O,连接OP,则OP⊥平面ABCD, 所以0P=2.0C=AC=号2+2=2 所以侧棱PC=0p2+0C=V2+2=2 (2)因为正四棱锥P-ABCD中，侧棱PC=2,底面边长AB=2, 所以侧面PBC和PCD都是等边三角形， B 取PC的中点E,连接BE,DE,则BE⊥PC,DE⊥PC, 故∠BED为二面角B-PC-D的平面角， 因为BD=2AB=22,BE=DE-3BC=5. 所以cos∠BED=BE+DE-BD2-3+3-8 1 2BE·DE 2×V3×V33 即二面角B-PC-D的平面角的余弦值是一号 11.如图，正方体ABCD-ABC1D1的棱长为1，求： 第17页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com D B D⅓ B (1)三棱锥C1-ABD的体积； (2)二面角C1-DB-A的平面角的正切值， 【答案】哈 (2)-V2 【解析】(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 所以三棱锥C1-ABD的高为h=CC1=1, 底面△ABD的面积为5号×1X1- 期三装C一ABD作制为w专5omCC,专×宁1 6 (2) D A D A B 如图所示，连接AC设ACO BD=E连接C,E 由正方体ABCD-A1B,C1D1可得，E为BD的中点，且AE⊥BD,C1E⊥BD 第18页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 则∠C,EA即为二面角C,-DB-A的平面角， 在Rt△C,EC中，因为C,C=L,CE=AC=2 221 an∠C1EC= CC=1=2 所以 2 又因为∠C1EA+∠C1EC=180°. 所以tan∠C,EA=tan180°-∠C,EC=-tan∠C,EA=-2, 即二面角C1-DB-A的平面角的正切值为-2. 12.Rt△ABC所在平面C外有一点P,∠C=90°，PC=24,PD垂直AC于D,PE⊥BC于E,且 PD=PE=6V10,求 (1)点P到平面a的距离： (2)PC和平面。所成的角的大小 【答案】(1)12 (2)30° 【解析】(1)作PO⊥a于O,则PO为点P到平面a的距离， 连接OC,∠PCO为PC和平面a所成的角，连接OE,OD 因为PD=PE,PE⊥BC于E,PD⊥AC于D, 所以PD,PE在平面C&的射影OE=OD, 又因为OE⊥BC,OD LAC,所以在四边形ODCE中， OE=OD,且∠OEC=∠ODC=∠C=90°，所以四边形ODCE为正方形， 所以0C=PV20E①，设0P=x,0C2=PC2-0p2=242-x2②， 第19页共20页 中职精品 gA职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 0E2=PE2-0p2=(6V102-x2③， 联立①②@方程可得242-x2=2(6V10}-x2) x=12,所以点P到平面c的距离为12. 2)因为∠PCO为PC和平面a所成的角，在R△POC中，sin∠PC0=2= 242 因为直线与平面所成角0°≤∠PCO≤90°， 所以∠PCO=30°，即PC与平面a所成的角为30°. 第20页共20页