专题10.5 线面夹角以及二面角（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.5 线面夹角以及二面角 一、课标要求 1. 了解直线与平面所成的角的概念以及会求线面夹角； 2. 了解二面角及二面角的平面角的概念以及会求二面角； 二、知识架构 三、知识清单 1．直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. (3)求直线与平面所成角的一般步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角． ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．　　　　　 2．平面与平面所成角（二面角） (1)二面角的有关概念 ①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. ④锐二面角和钝二面角：根据几何图形形成角来判断锐钝角. (3)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． ①定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (4)二面角问题的策略 ①清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． ②求二面角的大小的方法： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即说明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． (5)作二面角的三种常用方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． ②垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． ③垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 四、考点精练 考点一：直线和平面所成的角 【例1】在直角三角形中,平面，平面，斜线与平面所成角是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】在直角三角形中，，为斜线在平面内的射影，则线面角是（　　） A． B． C． D． 【例2】斜线长，其在平面内的射影长，则线面角为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】斜线长10，射影长5，则与平面所成角为（　　） A． B． C． D． 【例3】正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】长方体的底面对角线长为，高长为，则体对角线与底面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【例4】如图，为矩形所在平面外一点，平面，若，，，求与平面所成的角.    【变式探究】正四棱锥的高为4，底面中心与底面顶点的距离为，则侧棱与底面所成角为（　　） A． B． C． D． 【例5】在正方体中，棱长为1.    (1)找出在底面上的射影； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【变式探究】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    【例6】已知在长方体中，，求直线与平面所成角的正弦值.    【变式探究】在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 技巧点拨 求斜线与平面所成角的步骤： (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 考点二：平面与平面所成角（二面角） 【例1】二面角的平面角为，则二面角大小为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】两块板形成的二面角，将其再张开后，二面角的大小为______. 【例2】二面角为，、分别在两个面内且垂直于棱，且，，则（　　） A． B． C． D． 【变式探究】二面角的棱上有一点，、分别在两个面内且垂直于棱，其中，，则二面角为（　　） A． B． C． D． 【例3】如图所示，在长方体中，已知，，求二面角的大小.    【变式探究】在棱上取点，其中，，且，.若，则二面角为（　　） A． B． C． D． 【例4】如图所示，平面，，求二面角的大小.                                    【变式探究】如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【例5】如图所示，三棱锥中，底面是正三角形，底面，且，，求二面角的大小. 【变式探究】如图所示，已知在四棱锥中，底面为边长为的正方形，底面，且，点在线段上.求二面角的正切值。    【例6】如图所示，在长方体中，已知，求：    (1)直线与底面所成的角； (2)二面角的平面角的正切值. 【变式探究】如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 技巧点拨 1.确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 2.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 五、真题精练 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）在正方体中，二面角的余弦值为________． 5．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）二面角的度数为70°，点M是二面角内的一点，过M作于A，于B，那么______（填度数）. 6．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）如图所示，在长方体中，已知，，求二面角的大小. 7．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值. 8．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）如图，矩形所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点， 分别是， 的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 9．（24-25高三下·江西·职教高考）如图所示，平面，四边形是菱形，且.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．（24-25高三下·重庆·职教高考）如图所示，在三棱锥中，是正三角形，且． (1)证明：； (2)若，，求二面角的余弦值． 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.5 线面夹角以及二面角 一、课标要求 1. 了解直线与平面所成的角的概念以及会求线面夹角； 2. 了解二面角及二面角的平面角的概念以及会求二面角； 二、知识架构 三、知识清单 1．直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角． (2)范围：. (3)求直线与平面所成角的一般步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． ②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角． ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．　　　　　 2．平面与平面所成角（二面角） (1)二面角的有关概念 ①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)符号语言： ①二面角. ②在,内分别取两点，(,),可记作二面角; ③当棱记作时，可记作二面角或者二面角. ④锐二面角和钝二面角：根据几何图形形成角来判断锐钝角. (3)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． ①定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. (4)二面角问题的策略 ①清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． ②求二面角的大小的方法： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即说明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． (5)作二面角的三种常用方法 ①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角． ②垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角． ③垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 四、考点精练 考点一：直线和平面所成的角 【例1】在直角三角形中,平面，平面，斜线与平面所成角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据线面角定义：斜线和它在平面内的射影所成锐角为线面角， 已知平面，平面， 则是斜线在平面内的射影， 线面角是斜线与射影的夹角，即. 故选：A 【变式探究】在直角三角形中，，为斜线在平面内的射影，则线面角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】斜线是，射影是，斜线与射影的夹角为，即线面角. 故选： 【例2】斜线长，其在平面内的射影长，则线面角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意如图： 因为斜线，其在平面内的射影长， 所以即为斜线与平面所成的角， 在中，， 因为，故， 所以线面角为. 故选：A. 【变式探究】斜线长10，射影长5，则与平面所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，是直线与平面所成的角，且， 在中，已知斜边，直角边， 则，所以. 故选：C. 【例3】正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 【变式探究】长方体的底面对角线长为，高长为，则体对角线与底面所成的角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】长方体中，平面， 则与底面所成的角为， 在直角中，，， 则 ， 因为为锐角，所以. 故选：C. 【例4】如图，为矩形所在平面外一点，平面，若，，，求与平面所成的角.    【答案】 【解析】如图，连接，    因为平面，平面， 所以， 所以为与平面所成的角. 在中，，所以. 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以，又， 即，故与平面所成的角为. 【变式探究】正四棱锥的高为4，底面中心与底面顶点的距离为，则侧棱与底面所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正四棱锥为，底面的中心为， 因为底面，所以是侧棱与底面所成的角. 已知正四棱锥的高，底面中心与底面顶点的距离， 在中，，且， 所以. 故选：B. 【例5】在正方体中，棱长为1.    (1)找出在底面上的射影； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）连接，在正方体中，平面，垂足， 因为平面，不在平面内，所以， 又平面，则为在底面上的射影.    （2）由（1）得，为直线与底面所成角， 则. 【变式探究】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，.求直线与平面所成角的正切值.    【答案】 【解析】∵底面为矩形， ∴， ∵侧棱平面，且平面， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∴为直线在平面内的射影， ∴为直线与平面所成角， ∵平面，平面， ∴，即， ∵，，， ∴在中，， ∴在中，， 则直线与平面所成角的正切值为. 【例6】已知在长方体中，，求直线与平面所成角的正弦值.    【答案】 【解析】连接，   平面，为与平面所成的角， 又，， . 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式探究】在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为侧棱平面， 所以是直线与平面所成角， 因为，， 所以，所以， 即直线与平面所成角为； （2）因为侧棱平面，平面， 所以, 又底面为矩形，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为,,， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正切值是. 技巧点拨 求斜线与平面所成角的步骤： (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 考点二：平面与平面所成角（二面角） 【例1】二面角的平面角为，则二面角大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知二面角的平面角为， 因为二面角的大小等于其平面角的大小，所以二面角的大小为. 故选：A. 【变式探究】两块板形成的二面角，将其再张开后，二面角的大小为______. 【答案】 【解析】已知原来两块板形成的二面角为，将其再张开， 那么张开后的二面角的大小为. 故答案为：. 【例2】二面角为，、分别在两个面内且垂直于棱，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图： 因为、分别在两个面内且垂直于棱， 所以即为该二面角的平面角，则， 在中，. 故选：D. 【变式探究】二面角的棱上有一点，、分别在两个面内且垂直于棱，其中，，则二面角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意如图： 因为、分别在两个面内且垂直于棱， 所以为二面角的平面角， 又因为，是等边三角形， 所以，即二面角为. 故选：C. 【例3】如图所示，在长方体中，已知，，求二面角的大小.    【答案】 【解析】在长方体体中，平面， 且平面，故，， 因此即为二面角所成的角， 在中，因为，， 所以，且， 则.故二面角所成的角为. 【变式探究】在棱上取点，其中，，且，.若，则二面角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意如图： 因为，，且，. 所以即为二面角的平面角， 因为，且， 所以，即二面角为. 故选：C. 【例4】如图所示，平面，，求二面角的大小.                                    【答案】 【解析】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以.​ 【变式探究】如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点，连接，. 因为和都是等边三角形，可知，， 由二面角平面角的定义可知，是二面角的平面角. 已知，则， 等边和的边长均为，为中点， 所以， 在中，， 所以是等边三角形，所以. 故选：C. 【例5】如图所示，三棱锥中，底面是正三角形，底面，且，，求二面角的大小. 【答案】 【解析】取的中点，连接，． 因为底面是正三角形，所以． 因为底面，底面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 那么是二面角的平面角． 在正中，，为中点， 所以． 在中，，，则． 因为，所以， 即二面角的大小为. 【变式探究】如图所示，已知在四棱锥中，底面为边长为的正方形，底面，且，点在线段上.求二面角的正切值。    【答案】 【解析】    连接，交于，连接， 在正方形中，则有，是的中点. 因为底面，底面，底面， 所以，， 所以，故. 所以是二面角的平面角，即为二面角的平面角. 在直角中，， 所以； 【例6】如图所示，在长方体中，已知，求：    (1)直线与底面所成的角； (2)二面角的平面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在长方体中，由于面， 所以在底面内的射影为， 则为直线与底面所成的角， 长方体中，，， 则，可得， 即直线与底面所成角为； （2）在长方体， 因为面，且都在平面内， 所以， 即为二面角的平面角. 在直角中， ， 二面角的平面角的正切值为. 【变式探究】如图，在正方体中：    (1)求二面角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在正方体中， 平面，平面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的大小为. （2）因为平面，平面， 所以，， 为二面角的平面角， 又，所以二面角的大小为. 技巧点拨 1.确定二面角的平面角的方法： (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角． 2.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 五、真题精练 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选：. 2．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）在正四棱锥中，若侧棱与底边的边长相等，则侧棱与底面所成的角的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】    设正四棱锥的底面边长为，顶点为，底面为正方形， 取为顶点在底面上的投影，即为的中心， 因为侧棱与底边的边长相等， 所以，且平面， 如图所示即为棱与底面所成的角， 因为为正方形对角线，所以，， 又因为平面，平面， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正切值为__________________. 【答案】/0.5 【解析】正四棱柱如图所示， 正四棱柱中，平面， 因此直线与平面所成角为. 其中，. 在中，. 故答案为：. 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）在正方体中，二面角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 如图所示，取的中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 为二面角的平面角. 设正方体的棱长为 1 ，则， . 同理 故答案为： 5．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）二面角的度数为70°，点M是二面角内的一点，过M作于A，于B，那么______（填度数）. 【答案】 【解析】因为，所以确定一个平面， 设平面交于点，连接， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，都在平面内， 所以平面， 所以，即为二面角的平面角， 所以，因为，， 所以，同理， 且点都在平面内，所以四边形为平面四边形， 所以， 故答案为：. 6．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）如图所示，在长方体中，已知，，求二面角的大小. 【答案】 【解析】连接，，BD， 在长方体中， 平面，平面， 所以， 在长方体中，， 又平面平面， 所以为二面角的平面角， 又，， 所以在直角，， 又因为，所以， 所以二面角的大小为. 7．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且.    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2). （）根据题意找到与平面所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【解析】（1）因为平面，平面，则， 又因为底面为正方形，所以， 因为平面，， 所以平面. （2）因为平面，所以与平面所成角为， 因为平面，则， 四边形是边长为的正方形，则， 又因为，， 所以与平面所成角的正切值为. 8．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）如图，矩形所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点， 分别是， 的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）取的中点，连接， 因为， 分别是， 的中点， 所以， 因为为矩形，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面.    （2）因为平面平面， 平面平面， 因为为矩形，所以， 所以平面，因为平面， 所以，因为， 所以，平面， 所以平面，即为在平面上的射影， 所以是直线与平面所成角， 在中，，则， 因为， 所以，即直线与平面所成角为. 9．（24-25高三下·江西·职教高考）如图所示，平面，四边形是菱形，且.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵平面，平面， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）记与的交点为点O，连接，如图，    由（1）知，平面， 即平面， ∴为直线在平面内的射影， ∴是直线与平面所成的角， ∵平面，平面， ∴， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 10．（24-25高三下·重庆·职教高考）如图所示，在三棱锥中，是正三角形，且． (1)证明：； (2)若，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1） 取中点，连接， 因为是正三角形，所以， 又，所以， 因为平面，即平面， 又平面，即. （2） 因为，，所以， 即，， 可得到，故， 过点作，连接， 因为，平面， 所以平面，又平面，故， 又，平面，得到平面， 且平面，得到， 所以二面角的平面角为， 根据，得到，所以， 所以， 即. 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $