专题10.4 平面与平面位置关系（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.4 平面与平面位置关系 一、课标要求 1. 平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系； 2. 理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。 二、知识架构 三、知识清单 1．平面与平面平行 ①面面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α ②两平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：α⊥β. (2)判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （3）平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 四、考点精练 考点一：平面与平面平行 【例1】设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式探究】已知不同的直线m，n和不同的平面，则下列命题错误的是_______（填序号） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 【例2】已知直线，是不同的直线，平面，是不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线，分别与平面所成的角相等，则 B．若直线分别与平面，所成的角相等，则 C．若，，，则 D．若，则 【变式探究】已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 【例3】在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 【变式探究】正方体中，平面与平面______平行. 【例4】如图所示，在直角梯形中，，,,.分别为线段的中点.现将折起，使点不属于平面.求证：平面平面.    【变式探究】已知正方体，求证：平面平面.    【例5】如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    【变式探究】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． 求证：平面平面； 若平面，求证：为的中点． 【例6】如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． 求证：平面； 试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【变式探究】直四棱柱中，底面为正方形，、分别为、的中点，、分别是、的中点，求证：平面平面． 技巧点拨 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 考点二：平面与平面垂直 【例1】下列条件能判定平面平面的是（　　） A．内一条直线垂直于 B．内一条直线平行于 C．内两条直线相交 D．都垂直于同一直线 【变式探究】两平面垂直，交线为，直线在一个平面内且，则与另一个平面（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．位置不确定 【例2】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，，，为的中点，求证：平面平面． 【变式探究】如图，已知三棱锥中，侧棱，， 求证：平面平面． 【例3】平面平面，交线为，直线且，则与（　　） A．平行 B．垂直 C．在内 D．异面 【变式探究】已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例4】如图所示，在正四棱锥中，O是正方形对角线的交点，平面，是的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【变式探究】如图所示，在三棱锥中，已知，，点是的中点，点，且．求证：    (1)； (2)平面平面． 【例5】空间四边形中，平面平面，，E为的中点，如图所示，求证：平面平面. 【变式探究】四边形为矩形，平面平面，将沿折叠，点 E 落到上，连接.求证：平面平面.    技巧点拨 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化 ①两种方法： (ⅰ)面面垂直的定义； (ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． ②一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． (2)面面垂直性质的应用 ①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． ②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 五、真题精练 1．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（26-27高三上·河南·对口/高职单招）下列命题中，错误的是（    ） A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 3．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 4．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）在空间中，下列命题正确的是 （ ） A．若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面互相垂直 B．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相垂直 C．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面互相平行 D．若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行 5．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）已知平面∥平面，直线，直线，则直线和不可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 6．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（25-26高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）已知平面，和直线，若，，，，则.( ) 8．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）在正三棱柱中D为AC中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点.    求证： (1)平面PCD； (2)平面平面PCD. 10．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点O，，E为的中点，.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面. 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.4 平面与平面位置关系 一、课标要求 1. 平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系； 2. 理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理和性质定理。 二、知识架构 三、知识清单 1．平面与平面平行 ①面面平行的判定定理 表示 定理 图形 文字 符号 平面与平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒β∥α ②两平面平行的性质定理 文字语言 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：α⊥β. (2)判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （3）平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 四、考点精练 考点一：平面与平面平行 【例1】设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】A选择中，因为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 因为m，n未说明是两条相交直线，故错误； B选项中，因为，则内的任何直线都与平行，故正确； C选项中，若，，则或，故错误； D选项中，，，则或，故错误； 故选：B. 【变式探究】已知不同的直线m，n和不同的平面，则下列命题错误的是_______（填序号） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 【答案】①③ 【解析】对于①，若，则或； 对于②，若，则成立； 对于③，若，则或m与n异面； 对于④，若，则成立． 综上所述，①③错误． 故答案为：①③. 【例2】已知直线，是不同的直线，平面，是不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若直线，分别与平面所成的角相等，则 B．若直线分别与平面，所成的角相等，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】 若直线，分别与平面所成的角相等，则，或直线，相交或异面都有可能，如上图所示，故选项A错误； 若直线分别与平面，所成的角相等，则或平面，相交，都有可能，如上图所示，故选项B错误； 若，，则或，又，则，故选项C正确； 若，则或， 当时，因，则或平面，相交，都有可能； 当时，因，则或平面，相交，都有可能；故选项D错误； 故选：C. 【变式探究】已知直线，，与平面，，，给出下列命题： ①，；②，； ③，；④，. 其中正确的命题是__________填序号 【答案】①② 【解析】①，，由平行公理得出，故①正确； ②，，由面面平行的性质得出，故②正确； ③， 或，故③错误； ④，或，故④错误． 故答案为：． 【例3】在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【解析】在正方体中，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面， 又平面，, 所以平面平面. 故答案为：平行. 【变式探究】正方体中，平面与平面______平行. 【答案】 【解析】正方体如图： 平面与平面平行. 故答案为：. 【例4】如图所示，在直角梯形中，，,,.分别为线段的中点.现将折起，使点不属于平面.求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【解析】直角梯形中，，，， 所以， 在中，分别为的中点， 所以，因此. 在中，由于平面，平面，故平面. 在中，分别为的中点，所以. 平面，平面，故平面. 又因为，平面，平面， 依据面面平行判定定理得， 平面平面. 【变式探究】已知正方体，求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【解析】在正方体中，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面不在平面内，所以平面. 在正方体中，，所以四边形是平行四边形， 则，又平面不在平面内，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【例5】如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    【答案】的中点 【解析】设平面与交于，连接，    当平面时， ∵平面，平面平面，∴， ∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴为平行四边形， 又为的中点，∴， ∵，∴， ∴是的中位线， ∴点是的中点. 故答案为：的中点. 【变式探究】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． 求证：平面平面； 若平面，求证：为的中点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】证明：，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面G. ，分别为，的中点， ， 又， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面G. 又， 平面平面． 平面与平面有公共点，平面， 平面平面． 平面平面，平面平面， ， 又， ， 为的中点， 为的中点． 【例6】如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． 求证：平面； 试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】证明：连接，则是的中点， 是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面． 解：当是的中点时，平面平面，证明过程如下： ，分别是，的中点， ， 又平面，平面， 平面， 由知，平面， 又，平面，平面， 平面平面．  【变式探究】直四棱柱中，底面为正方形，、分别为、的中点，、分别是、的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：连接，，、分别为、的中点，、分别是、的中点，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面；  技巧点拨 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义． (2)面面平行的判定定理． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化． 考点二：平面与平面垂直 【例1】下列条件能判定平面平面的是（　　） A．内一条直线垂直于 B．内一条直线平行于 C．内两条直线相交 D．都垂直于同一直线 【答案】A 【解析】选项A，如果内一条直线垂直于，即平面经过另一个平面的一条垂线， 根据面面垂直的判定定理可知：这两个平面互相垂直，即，该选项正确； 选项B，若内一条直线平行于，此时平面与平面可能平行，也可能相交，但不一定垂直，所以该选项错误； 选项C，内两条直线相交，只能说明这两条直线在平面内的位置关系，无法得出平面与平面的位置关系，所以该选项错误； 选项D，若都垂直于同一直线，根据线面垂直的性质可知：这两个平面平行，所以该选项错误， 故选：A. 【变式探究】两平面垂直，交线为，直线在一个平面内且，则与另一个平面（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．位置不确定 【答案】B 【解析】两平面垂直，交线为，直线在一个平面内且，根据面面垂直的性质定理可知，与另一个平面垂直. 故选：B． 【例2】如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，，，为的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明  设，  连接，则． ，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面  又平面，故有平面平面． 【变式探究】如图，已知三棱锥中，侧棱，， 求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明  作交于点，连接，，  在中，是的中点， ，  又，，，，  又，，平面，平面，  又平面，平面平面． 【例3】平面平面，交线为，直线且，则与（　　） A．平行 B．垂直 C．在内 D．异面 【答案】B 【解析】已知平面平面，交线为，直线且， 由面面垂直的性质定理可知，与垂直. 故选：B. 【变式探究】已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】选项A：若，，则直线与平面的位置关系可能为或，故A错误. 选项B：若，，则直线与平面的位置关系可能为、相交或，故B错误. 选项C：若，，则直线的位置为或，故C错误. 选项D：由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，即若，，则，故D正确. 故选：D. 【例4】如图所示，在正四棱锥中，O是正方形对角线的交点，平面，是的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【解析】（1）如图所示，连接.    因为O，E分别为，的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以. 因为是正方形， 所以， 又因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 【变式探究】如图所示，在三棱锥中，已知，，点是的中点，点，且．求证：    (1)； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为，是的中点， 所以. 因为，是的中点， 所以 . 因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面 ， 所以. （2）证明：由（1）可知平面， 因为平面 ， 所以. 又因为，，平面 ， 平面 ， 所以平面. 因为平面 ， 所以平面平面 . 【例5】空间四边形中，平面平面，，E为的中点，如图所示，求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【解析】在中，因为，E为中点，所以， 因为平面平面，且交线为，平面，， 所以平面.又因为平面，所以平面平面 【变式探究】四边形为矩形，平面平面，将沿折叠，点 E 落到上，连接.求证：平面平面.    【答案】证明见解析 【解析】折叠前，四边形为矩形，故 ， 折叠后，由矩形性质得 ， 因为平面平面，平面平面，， 故平面， 又平面， 所以，又平面 故平面 因为平面 故平面平面. 技巧点拨 (1)面面垂直判定的两种方法与一个转化 ①两种方法： (ⅰ)面面垂直的定义； (ⅱ)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． ②一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． (2)面面垂直性质的应用 ①两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． ②两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 五、真题精练 1．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（26-27高三上·河南·对口/高职单招）下列命题中，错误的是（    ） A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 【答案】C 【解析】对A：三角形的两条边是平面内两条相交直线， 它们都平行于另一个平面，由面面平行判定定理，两平面平行，故A项正确； 对B：平行于同一个平面的两个平面互相平行（面面平行传递性），故B项正确； 对C：  两个平面平行，两个平面内的直线可能平行，也可能异面，故C项错误； 对D：根据面面平行的性质可知：如果两平面平行， 则一个平面内任意直线都平行于另一个平面，故D项正确. 故选：C. 3．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【解析】对①，由线面平行的判定可得，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行，故①正确. 对②，由线面垂直的判定可得，平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线与这个平面垂直，故②错误. 对③，两平面垂直，一平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，故③错误. 对④，由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，故④正确. 综上，①④正确. 故选：D. 4．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）在空间中，下列命题正确的是 （ ） A．若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面互相垂直 B．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相垂直 C．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面互相平行 D．若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行 【答案】D 【解析】若两个平面平行于同一个平面，则这两个平面互相平行，故错误； 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行或相交，故错误； 若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面互相平行或相交，故错误； 若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行，故正确， 故选：. 5．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）已知平面∥平面，直线，直线，则直线和不可能（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 【答案】A 【解析】因为平面和平面互相平行，则两个平面没有公共点； 又因为直线在平面内，直线在平面内，所以两条直线没有公共点， 而两直线相交必须有公共点，所以没有公共点的两条直线不可能相交，只可能是平行或异面. 故选：A. 6．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】选项A，可能在平面内，因此不能推出，错误. 选项B，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，，，且是不同平面，因此，正确. 选项C，平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，不一定平行，错误. 选项D，由B的结论可得，垂直于同一直线的两个不同平面平行，不是垂直，错误. 故选：B. 7．（25-26高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）已知平面，和直线，若，，，，则.( ) 【答案】 正确 【解析】已知，，，且，因此. 故答案为：正确. 8．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）在正三棱柱中D为AC中点，，．    (1)证明：平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）∵三棱柱是正三棱柱， ∴平面， 又平面，∴ . ∵是正三角形，为中点，∴ . ∵ ，且 平面，∴平面， ∵ 平面， ∴平面平面. （2）在正中，， ， 由（1）知平面 ，故是三棱锥的高. 在矩形中：，， 所以 的底 ，高， ， 则三棱锥体积.    9．（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点.    求证： (1)平面PCD； (2)平面平面PCD. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. （2）因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 10．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，相交于点O，，E为的中点，.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接， 因为四边形是平行四边形，，相交于点O， 所以点为的中点， 又因为E为的中点，所以， 因为在平面内，不在平面内， 所以直线平面.    （2）因为，E为的中点，所以， 又因为，所以， 因为，且，，都在平面内， 所以平面，又因为在平面内，所以平面平面. 第 2 页 共 13 页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $