专题10.3 直线与平面位置关系（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.3 直线与平面位置关系 一、课标要求 1. 直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系； 2. 理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理。 二、知识架构 三、知识清单 1．直线与平面平行 ①线面平行的判定定理 表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 ⇒a∥α ②线面平行的性质 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 2．直线与平面垂直 ①直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 ②直线和平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 ③直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 四、考点精练 考点一：直线与平面平行 【例1】下列命题中正确的个数为（ ） （1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面； （2）如果直线a，b和平面满足，，那么； （3）如果直线a，b和平面满足，，，那么． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】在正方体中，，平面，平面，可知（1）错误； 由平面，平面，两条直线不一定平行，可知（2）错误； 过直线a过平面交平面于直线c，则，又，所以，又，所以，故（3）正确. 故选：B.    【变式探究】若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若过，则 【答案】C 【解析】选项A中，如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线必定平行，故正确. 选项B中，如果一条直线在一个平面内，且这个平面与另一个平面平行，那么这条直线与另一个平面平行，故正确. 选项C中，，与有可能相交，有可能异面，有可能平行，故错误. 选项D中，根据线面平行的判定定理，如果一条直线平行于平面内的一条直线，并且这条直线不在该平面内，那么这条直线与这个平面平行，故正确. 故选：C. 【例2】直线与平面平行的充要条件是（   ） A．直线上有无数个点不在平面内 B．直线与平面内的一条直线平行 C．直线与平面内的无数条直线都平行 D．直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【解析】选项A，当直线与平面相交，交点只有 1 个，其余无数点都不在平面内，但直线不平行平面，错误； 选项B，当直线，此时直线和平面内直线平行，但直线不在平面外，不满足线面平行定义，错误； 选项C，当直线，平面内有无数直线和它平行，错误； 选项D，当直线与平面平行时，直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，正确. 故选：D. 【变式探究】直线与平面平行时，直线和平面公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】A 【解析】直线与平面平行时，直线和平面没有公共点， 故选：. 【例3】直线平行于平面，则平面内与平行的直线（    ） A．有无数条 B．只有一条 C．不存在 D．只有两条 【答案】A 【解析】设直线，过直线作平面与相交于直线，在平面内可作无数条直线与平行, 所以平面内有无数条直线与平行. 故选：A 【变式探究】已知直线平面，平面经过，且,点，点，若，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．有且只有一组对边平行的梯形 C．两条对角线互相垂直的任意四边形 D．不存在的四边形 【答案】A 【解析】因为直线平面，平面经过，且， 根据直线与平面平行的性质定理可得，即， 又已知，所以四边形是平行四边形. 故选：A. 【例4】四面体中，已知，分别是，中点，则与平面的关系为______. 【答案】平行 【解析】依题意如图： 在中，，分别是，中点，可得， 因为 平面，平面，且， 所以平面. 故答案为：平行. 【变式探究】四棱锥的底面为边长的正方形，分别为的中点. (1)求； (2)证明平面； 【答案】(1)5 (2)证明见解析 【解析】（1）在中，因为，分别为，的中点， 所以是的中位线，则， 已知底面为边长的正方形，即， 所以. （2）由（1）可知是的中位线，所以， 又因为 平面，平面， 所以平面. 【例5】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】证明：在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ， 取的中点，连接，， 是的中点， 则为的中位线， ，， 又由可得，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面．  【变式探究】如图，在四棱锥中，平面，，是的中点．求证： ． 平面． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】证明：在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ， 取的中点，连接，， 是的中点， 则为的中位线， ，， 又由可得，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面．  【例6】如图，在三棱锥中，，分别为线段，的中点，平面与底面的交线为，求证：平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面又平面，平面与底面的交线为，所以，所以又因为平面，平面，所以平面．  【变式探究】如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，平面平面． 求证：平面； ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】证明：如图，取的中点，连接，， 因为，分别是，的中点， 则，且， 又，且， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面； ，平面，平面， 平面， 又平面平面，平面，平面， ．  【例7】如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，且点为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平行，证明见解析 【解析】（1）设F为的中点，连接． 又因为E为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 【变式探究】在如图所示的一块木料中，棱BC平行于面． (1)要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？并说明理由． 【答案】(1)图形见解析 (2)平面，证明见解析 【解析】（1）解：过点作的平行线， 交、于点，， 连接，； 作图如下： （2）解：平面．理由如下： 易知，与平面的相交， 平面， 又平面平面， ， ， 又平面，平面， 平面． 【例8】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点。 求证：平面； 若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论。 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】解：证明：因为在梯形中，， 又面，面，所以面， 因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面 取  中点  ，连接  ， ， ， 分别为  ，  的中点，   ，  平面 ， 平面  ， 平面 ， 因为且，为中点， 所以且，即四边形为平行四边形，故， 又不在平面内，在平面内，所以平面，   ， ，  平面 ，  平面 平面 ，  是  上的动点，  平面  ， 平面  ．   【变式探究】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面； 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】证明：在四棱锥中，平面，平面，平面平面，， 取的中点，连接，，是的中点，，，  又由可得，，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面． 取中点，连接，，，分别为，的中点，，平面，平面，平面，又由可得平面，，平面平面，是上的动点，平面，平面，线段存在点，使得平面 技巧点拨 (1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 考点二：直线与平面垂直 【例1】直线平面，点，且不是垂足．则平面内过点的直线与（　　） A．一定垂直 B．一定平行 C．一定异面 D．一定相交 【答案】A 【解析】已知直线平面，点且不是垂足， 因为直线在平面内且过点， 所以直线与一定垂直；与可能异面，也可能相交. 故选：A. 【变式探究】空间中一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线（　　） A．在平面内 B．平行于平面 C．与平面斜交 D．垂直于平面 【答案】D 【解析】空间中一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线垂直于平面， 故选：. 【例2】矩形所在平面外一点满足平面，，，则______. 【答案】13 【解析】依题意如图： 因为平面，平面， 所以， 已知，， 所以. 故答案为：13. 【变式探究】已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______． 【答案】5 【解析】由，所以，即是的外心， 又，则是的中点，所以． 故答案为：5． 【例3】已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 【答案】必要不充分 【解析】若，， 由线面垂直性质可得，必要性成立. 若，， 不能推出，充分性不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【变式探究】直线垂直于平面内直线，则与平面（　　） A．关系不能确定 B．一定垂直 C．一定平行 D．一定在平面内 【答案】A 【解析】已知直线垂直于平面内直线，但仅凭一条直线垂直于平面内的一条直线，并不能得出直线与平面垂直的结论， 直线可能垂直于平面，可能平行于平面，也可能在平面内，即与平面的位置关系不能确定. 故选：A. 【例4】在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析 【解析】（1）连接，底面为正方形，对角线与相交于点， 所以为的中点，在中，为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在正方体中底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 【变式探究】如图，在直三棱柱中，，点是的中点．求证：；    【答案】证明见解析 【解析】因为在直三棱柱中，平面， 又平面，所以， 因为，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 【例5】如图所示，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为，的中点.求证：    (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为圆柱的轴截面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是底面圆上一点，是底面圆的直径，所以， 因为，平面，所以平面. 【变式探究】如图，在三棱锥中，平面，分别是的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）在中，分别是的中点， 所以， 又因为平面平面， 所以平面． （2）在中，，， 所以，所以， 因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，在中， 因为为的中点，所以， 又因为平面平面． 所以平面． 【例6】如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：    (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【解析】（1）    因为F是的中点，取的中点M， ∴，， ∵，都垂直于平面，∴， ∴，又 ∴四边形是平行四边形，∴ 又∵平面，平面， ∴平面. （2）∵是的中点，是正三角形，∴ 又∵平面，平面，∴ ∵，平面，则平面， ∵平面，∴， ∵，∴， ∵是的中点，，∴， ∵，平面， ∴平面. 【变式探究】如图所示，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：    (1)； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为底面，底面，所以， 又已知，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为底面，底面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以是等边三角形， 从而，又是的中点，所以， 由（1）知，且，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面. 【例6】如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？ 【答案】底面四边形的两对角线垂直，证明见解析 【解析】解：当底面四边形的两对角线垂直时，可得到  证明如下：如图，连接，． 在直四棱柱中，  平面，面，  若，又，平面平面，  而直四枝柱中，  显然，．  【变式探究】如图，是的直径，点是上异于、的任意一点，直线垂直于所在平面，是的中点，是上的点，若平面，试确定点的位置． 【答案】是的中点，证明见解析 【解析】解：是的直径， ． 平面，平面， ． ，，平面， 平面． 平面， ． 是的中点， 是的中点． 技巧点拨 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 五、真题精练 1．（24-25高三下·辽宁·对口/高职单招）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】根据线面垂直的判定定理，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 故选：A. 2．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）下列命题中正确的是（ ） A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 【答案】C 【解析】在同一平面中可作出无数条平行直线与平面内的另一条直线垂直，显然A、B、D错误； 根据线面垂直的定义可知C正确. 故选：C. 3．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）下列表述正确的是（    ）． A．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C．若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D．若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 【答案】D 【解析】若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直，故错误； 若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行或异面，故错误； 若一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线与这个平面垂直，故错误； 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直，故正确， 故选：. 4．（23-24高三下·安徽·职教高考）在空间中，下列结论正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线一定平行 B．垂直于同一平面的两条直线一定平行 C．平行于同一平面的两条直线一定平行 D．没有公共点的两条直线一定平行 【答案】B 【解析】选项A. 垂直于同一直线的两条直线可能相交、平行或者异面.该选项错误. 选项B. 根据线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线一定平行.该选项正确. 选项C. 平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或者异面.该选项错误. 选项D. 没有公共点的两条直线可能平行或异面.该选项错误. 故选：B. 5．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）如图所示的四个正方体中，M，N，P，Q均为正方体的顶点，其中满足的正方体个数为（）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】第一个正方体：如图，由正方体的性质可知，， 由于，所以所成的角等于所成的角， 所以所成的角为，不符合题意；    第二个正方体：如图，由正方体的性质可知，， 所以，符合题意；    第三个正方体：如图，由正方体的性质可知，，从而， 由于，所以所成的角等于所成的角， 所以所成的角为，不符合题意；    第四个正方体：如图，由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，符合题意；    综上，满足的正方体有2个， 故选：C. 6．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（   ） A． B．AB C． D．BC 【答案】B 【解析】    对A选项，与所成的角为，而，故选项错误； 对B选项，在正方体中， ，，平面， 所以平面. 又平面，所以，故选项正确； 对C选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误； 对D选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误. 故选：B 7．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在长方体中，面，面， 所以，故A正确； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为 ，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故B选项错误； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为 ，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故C选项错误； 在长方体中，设，连接，    则，，， ，可知， 则，所以直线与直线不垂直. 故选：A. 8．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 【答案】 【解析】 由题意，连接， 在长方体中，平面， 又平面，所以， 所以线段的长，即是点到棱的距离， 因为棱长，，所以， 所以 ， 即点到棱的距离是. 故答案为：. 9．（25-26高三·云南·对口/高职单招）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2)6. 【解析】（1）在正方形中，， 平面，平面， 所以， 因为平面，， 所以平面. （2）， 因为平面， 则三棱锥的体积为. 10．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知为正方体，棱长为4.    (1)求四棱锥的体积； (2)为上一点，求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 且平面，平面， 所以，四棱锥的底面为矩形， 因为正方体棱长为4，所以，， 则矩形面积为. 连接，则， 因为正方形中，且平面，即， 平面，， 所以平面， 设点到平面的距离为，则. 因此四棱锥体积.    （2）证明：由（1）可知：四边形为矩形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 又因为正方体中且， 所以四边形为平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 又在上，因此平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.3 直线与平面位置关系 一、课标要求 1. 直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系； 2. 理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性质定理。 二、知识架构 三、知识清单 1．直线与平面平行 ①线面平行的判定定理 表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行 ⇒a∥α ②线面平行的性质 文字语言 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 2．直线与平面垂直 ①直线与平面垂直的定义 定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 ②直线和平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 ③直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 四、考点精练 考点一：直线与平面平行 【例1】下列命题中正确的个数为（ ） （1）如果直线，那么a平行于经过b的任何平面； （2）如果直线a，b和平面满足，，那么； （3）如果直线a，b和平面满足，，，那么． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式探究】若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若过，则 【例2】直线与平面平行的充要条件是（   ） A．直线上有无数个点不在平面内 B．直线与平面内的一条直线平行 C．直线与平面内的无数条直线都平行 D．直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 【变式探究】直线与平面平行时，直线和平面公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【例3】直线平行于平面，则平面内与平行的直线（    ） A．有无数条 B．只有一条 C．不存在 D．只有两条 【变式探究】已知直线平面，平面经过，且,点，点，若，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．有且只有一组对边平行的梯形 C．两条对角线互相垂直的任意四边形 D．不存在的四边形 【例4】四面体中，已知，分别是，中点，则与平面的关系为______. 【变式探究】四棱锥的底面为边长的正方形，分别为的中点. (1)求； (2)证明平面； 【例5】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面． 【变式探究】如图，在四棱锥中，平面，，是的中点．求证： ． 平面． 【例6】如图，在三棱锥中，，分别为线段，的中点，平面与底面的交线为，求证：平面． 【变式探究】如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，平面平面． 求证：平面； ． 【例7】如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，，且点为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【变式探究】在如图所示的一块木料中，棱BC平行于面． (1)要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？并说明理由． 【例8】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点。 求证：平面； 若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论。 【变式探究】如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． 求证：； 求证：平面； 若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由． 技巧点拨 (1)判断或证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)． ②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． ③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线． 考点二：直线与平面垂直 【例1】直线平面，点，且不是垂足．则平面内过点的直线与（　　） A．一定垂直 B．一定平行 C．一定异面 D．一定相交 【变式探究】空间中一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线（　　） A．在平面内 B．平行于平面 C．与平面斜交 D．垂直于平面 【例2】矩形所在平面外一点满足平面，，，则______. 【变式探究】已知为直角三角形，且，，点是平面外一点，若，且平面，为垂足，则______． 【例3】已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 【变式探究】直线垂直于平面内直线，则与平面（　　） A．关系不能确定 B．一定垂直 C．一定平行 D．一定在平面内 【例4】在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点．求证： (1)平面； (2)． 【变式探究】如图，在直三棱柱中，，点是的中点．求证：；    【例5】如图所示，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为，的中点.求证：    (1)平面； (2)平面. 【变式探究】如图，在三棱锥中，平面，分别是的中点．求证： (1)平面； (2)平面． 【例6】如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，求证：    (1)平面； (2)平面. 【变式探究】如图所示，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：    (1)； (2)平面. 【例6】如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足什么条件时，？  【变式探究】如图，是的直径，点是上异于、的任意一点，直线垂直于所在平面，是的中点，是上的点，若平面，试确定点的位置． 技巧点拨 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 五、真题精练 1．（24-25高三下·辽宁·对口/高职单招）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）下列命题中正确的是（ ） A．若一条直线垂直于一个平面上的两条直线，则这条直线必垂直于这个平面； B．若一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，则这条直线必垂直于这个平面； C．若一条直线垂直于一个平面上的任意一条直线，则这条直线必垂直于这个平面； D．若一条直线垂直于一个平面的一组平行线，则这条直线必垂直于这个平面． 3．（23-24高三下·河南·对口/高职单招）下列表述正确的是（    ）． A．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面的所有直线都垂直 B．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行 C．若一条直线垂直于一个平面的一条直线，则这条直线与这个平面垂直 D．若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直 4．（23-24高三下·安徽·职教高考）在空间中，下列结论正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线一定平行 B．垂直于同一平面的两条直线一定平行 C．平行于同一平面的两条直线一定平行 D．没有公共点的两条直线一定平行 5．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）如图所示的四个正方体中，M，N，P，Q均为正方体的顶点，其中满足的正方体个数为（）. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（   ） A． B．AB C． D．BC 7．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山西·对口/高职单招）已知长方体的棱长，，则点到棱的距离为_____． 9．（25-26高三·云南·对口/高职单招）如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 10．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知为正方体，棱长为4.    (1)求四棱锥的体积； (2)为上一点，求证：直线平面. 第 2 页 共 12 页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $