专题10.2 直线与直线位置关系（考点精练）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.2 直线与直线位置关系 一、基础训练 1．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 2．下列说法正确的是（    ） A．空间中任意三点确定一个平面 B．空间中垂直于同一条直线的两条直线平行 C．正方体的各条棱互相平行 D．长方体的六个面都是矩形 3．如图所示，在正方体中，为顶面的中心，为底面的中心，异面直线与所成的角是（    ）．    A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（   ） A．30° B．45° C． D．90° 5．下列命题中，正确的是（   ） A．如果两条直线垂直，那么它们一定相交 B．过一点作已知直线的垂线，有且只有一条 C．已知三条直线，，，如果，，那么 D．如果两条异面直线所成的角为，那么这两条直线互相垂直 6．在三棱锥中过点P画任意一条直线与三棱锥中的棱至少有几条是异面直线（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 8．设有直线异面，，则与的位置关系为__________ 9．空间两条直线垂直于同一条直线，这两条直线的位置关系可能是________． 10．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 11．已知正方体的棱长为1，求 (1)直线与之间的距离 (2)直线与之间的距离 12．在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数. (1)与 (2)与 二、提升训练 1．下列说法中正确的是（    ） A．可以画一个面积为的平面 B．若两条直线都和直线l平行，则这两条直线也互相平行 C．若两条直线都和直线l异面，则这两条直线也是异面直线 D．正方体属于斜棱柱 2．下列命题中，正确的是（    ） A．共面直线一定相交 B．相交直线一定共面 C．异面直线一定垂直 D．垂直直线一定异面 3．在空间中，若直线a与直线b平行，直线b与直线c相交，则直线a与直线c的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 4．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 7．如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条 8．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 9．如图，在正方体中，现有下列四个命题： ①与平行；              ②与是异面直线； ③与是异面直线；   ④与是异面直线． 其中，真命题的序号是______．    10．在如图所示的正方体中，    (1)指出哪些棱与是异面直线，哪些棱与对角线是异面直线； (2)分别求出直线与、、所成的角. 11．长方体中，. (1)判断与的位置关系； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成的角. 12．如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.2 直线与直线位置关系 一、基础训练 1．如图所示的正方体中，直线与直线的位置关系是（   ）．    A．相交 B．平行 C．异面 D．不确定 【答案】C 【解析】在正方体中，，和相交于点， 因此和不平行； 不在直线所在的平面内，且与平面平行， 因此和没有公共点，不相交； 两条直线既不平行也不相交，因此是异面直线. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．空间中任意三点确定一个平面 B．空间中垂直于同一条直线的两条直线平行 C．正方体的各条棱互相平行 D．长方体的六个面都是矩形 【答案】D 【解析】对于选项A：根据平面的基本性质公理，只有空间中不共线的三点才能确定唯一平面，若三点共线则可确定无数个平面，故A错误； 对于选项B：空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可以是平行、相交或异面，并非一定平行，故B错误； 对于选项C：正方体的棱之间存在相交、异面、垂直等多种位置关系，并非所有棱都互相平行，例如相邻的两条棱互相垂直相交，故C错误； 对于选项D：由长方体的定义可知，长方体是底面为矩形的直平行六面体，其六个面均为矩形，故D正确. 故选：D 3．如图所示，在正方体中，为顶面的中心，为底面的中心，异面直线与所成的角是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是正方体上下底面中心的连线， 所以和正方体的侧棱是平行且相等的， 因此异面直线与所成的角等价于与所成的角. 在正方体中，与在同一个平面内，两者互相垂直. 因此，异面直线与所成的角是. 故选：D. 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（   ） A．30° B．45° C． D．90° 【答案】C 【解析】 如图所示，连接，在正方体中， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 则异面直线与所成的角为， 因为在中， ，所以是等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角为， 故选：. 5．下列命题中，正确的是（   ） A．如果两条直线垂直，那么它们一定相交 B．过一点作已知直线的垂线，有且只有一条 C．已知三条直线，，，如果，，那么 D．如果两条异面直线所成的角为，那么这两条直线互相垂直 【答案】D 【解析】对于A：如果两条直线垂直，那么可能相交，也可能异面，所以A错误； 对于B：过一点作已知直线的垂线，在平面内有且只有一条，在空间中有无数条，所以B错误； 对于C：已知三条直线，，，如果，， 那么a与c可能相交，可能平行，也可能异面，所以C错误； 对于D：如果两条异面直线所成的角为，那么这两条直线互相垂直，所以D正确. 故选：D. 6．在三棱锥中过点P画任意一条直线与三棱锥中的棱至少有几条是异面直线（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】三棱锥的棱分别为， 过点的直线一定与棱相交， 过点的直线与棱可能都异面， 考虑特殊情，当过点的直线为某一侧棱时， 该直线只与中某一条棱异面，所以至少有1条异面直线. 故选：B. 7．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 【答案】异面 【解析】因为直线平面，平面，且， 所以直线与直线的位置关系为异面. 故答案为：异面. 8．设有直线异面，，则与的位置关系为__________ 【答案】相交或异面 【解析】设有直线异面，， 若与有公共点则相交，若与无公共点则异面， 所以与的位置关系为相交或异面， 故答案为：相交或异面. 9．空间两条直线垂直于同一条直线，这两条直线的位置关系可能是________． 【答案】平行，相交或异面 【解析】如图在正方体中， 因为，所以可得， 因为，所以可得直线b与直线相交， 因为，所以可得直线b与直线异面， 所以空间两条直线垂直于同一条直线，这两条直线的位置关系为平行，相交或异面. 故答案为：平行，相交或异面. 10．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 在等腰直角中，， 所以异面直线与所成的角的大小是． （2）由正方体的体对角线公式得 ， 故该正方体的体对角线的长为． 11．已知正方体的棱长为1，求 (1)直线与之间的距离 (2)直线与之间的距离 【答案】(1)1 (2)1 【解析】（1）如图，正方体的棱长为，则， 又因为四边形为正方形，则， 又因为，， 所以线段为与的公垂线段， 故线段的长为直线与之间的距离， 所以直线与之间的距离为. （2）因为为正方体，则， 所以四边形与四边形均为正方形， 所以，， 所以线段是异面直线与的公垂线段， 故线段的长为异面直线与之间的距离， 所以直线与之间的距离为. 12．在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数. (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在正方体中，因为， 所以与所成的角就是与所成的角， 因为，所以与所成的角为； （2）在正方体中，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求. 在中，， 所以，所以与所成的角是. 二、提升训练 1．下列说法中正确的是（    ） A．可以画一个面积为的平面 B．若两条直线都和直线l平行，则这两条直线也互相平行 C．若两条直线都和直线l异面，则这两条直线也是异面直线 D．正方体属于斜棱柱 【答案】B 【解析】选项A：平面是无限延展的，没有面积的概念，所以不能说画一个面积为的平面，该选项错误. 选项B：若两条直线都和直线平行，根据平行公理可知，这两条直线也互相平行，该选项正确. 选项C：若两条直线都和直线异面，这两条直线可能异面、相交或者平行，该选项错误. 选项D：正方体属于直棱柱，而不是斜棱柱，该选项错误. 故选：B. 2．下列命题中，正确的是（    ） A．共面直线一定相交 B．相交直线一定共面 C．异面直线一定垂直 D．垂直直线一定异面 【答案】B 【解析】A选项，共面直线包括平行和相交两种情况，不一定相交,故不符合题意； B选项，由相交直线的性质，两条相交直线确定一个平面，故符合题意； C选项，异面直线只是不共面，但不一定垂直，故不符合题意； D选项，垂直直线可能共面（如正方形的邻边），不一定为异面直线，故不符合题意. 故选：B. 3．下列命题中，正确的是（    ） A．共面直线一定相交 B．相交直线一定共面 C．异面直线一定垂直 D．垂直直线一定异面 3．在空间中，若直线a与直线b平行，直线b与直线c相交，则直线a与直线c的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【解析】已知，设b与c相交于点P. ①若a、b、c共面，则a与c必相交（若，则，与b、c相交矛盾）； ②若a、b、c不共面，则a与c不同在任何平面内，即a与c是异面直线. 故直线a与c的位置关系是相交或异面， 故选：D. 4．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】空间中两直线垂直包含相交垂直和异面垂直两种情况， 当两直线为异面垂直时，两直线不相交，故充分性不成立； 若两直线相交，其夹角的取值范围为，仅当夹角为时两直线才垂直，故必要性不成立， 所以在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 6．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【解析】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以 ，因为，所以. 故选：D. 7．如图，在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与 异面的有________条 【答案】4 【解析】根据异面直线的定义可得. 在四棱台 的12 条棱所在的直线中，与重合的有一条，即直线； 与平行的有三条，即直线； 与相交的有四条，即直线； 所以与异面的有四条，分别是直线. 故答案为：4. 8．在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线有________条. 【答案】无数 【解析】在上任意取一点M，直线与M确定一个平面， 这个平面与有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面， 从而与有不同的交点N，而直线与这3条异面直线都有交点如图所示，    所以在空间中与三条直线，，都相交的直线有无数条. 故答案为：无数. 9．如图，在正方体中，现有下列四个命题： ①与平行；              ②与是异面直线； ③与是异面直线；   ④与是异面直线． 其中，真命题的序号是______．    【答案】②④ 【解析】由图可知：①直线与既不平行也不相交，故为异面直线，故不平行，错误； ②直线与即不平行也不相交，故为异面直线，正确； ③平面为平行四边形，且与是一组对边，故平行，错误； ④直线与既不平行也不相交，故为异面直线，正确. 故答案为：②④. 10．在如图所示的正方体中，    (1)指出哪些棱与是异面直线，哪些棱与对角线是异面直线； (2)分别求出直线与、、所成的角. 【答案】(1)答案见解析 (2)，， 【解析】（1）根据异面直线的定义： 、、、与棱是异面直线. 、、、、、与对角线是异面直线. （2）因为，所以（或其补角）是直线与所成的角. 在正方体中，且，可得， 即直线与所成角为. 因为，所以直线与所成角为. 在直角中，，可得， 则直线与所成的角为. 11．长方体中，. (1)判断与的位置关系； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成的角. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）在长方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以. （2）是直角三角形，其中，，， 所以. （3）由（1）可知，所以与所成角为. 12．如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题，平面，平面， 又知为正方体， 则平面平面， 故异面直线之间的距离即为所在平面之间的距离， 则异面直线与的距离即为. （2）连接， 在正方体中，， 即，又，故为平行四边形，则， 故异面直线所成的角即为， 设正方体边长为，则， 故为等边三角形，即， 故所求异面直线所成的角为 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $