专题10.1 平面的基本特征以及性质（考点精练）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.1 平面的基本特征以及性质 一、基础训练 1．正方体中，包含棱和棱的平面是（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【解析】棱、棱相交于点，两条相交直线确定唯一平面. 故选： 2．点在平面内，可记为（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，点在平面内，可记为. 故选：A. 3．四面体中，点在棱上，且同时属于平面与平面，则两平面的交线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四面体如图： 因为点与点既属于平面又属于平面， 根据平面的基本性质可知，线段为平面与平面的交线， 因为点在棱上， 所以两平面的交线是. 故选：A. 4．两条相交直线能够确定一个平面，关键条件是（　　） A．长度相等 B．有公共点且不重合 C．互相垂直 D．方向相反 【答案】B 【解析】两条相交直线能够确定一个平面，关键条件是相交直线有唯一公共点且为两条不同直线， 故选：. 5．观察正方体，下列点不在平面内的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】、、、是下底面的四个顶点，点、、均在平面内， 而位于上底面，因此不在平面内. 故选：D. 6．若直线上有两个不同点都在平面内，则（　　） A． B．与只有公共点 C．与只有公共点 D．无法判断 【答案】A 【解析】根据平面的基本性质：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 已知直线上有两个不同点都在平面内，所以直线在平面内，即. 故选：A. 7．点在直线上，直线在平面内，用符号语言可以表示为___________． 【答案】 【解析】点在直线上，用符号语言可以表示为； 直线在平面内，用符号语言可以表示为. 故答案为：. 8．平面通常用希腊字母等表示，也可用平行四边形的四个顶点表示，如平面______. 【答案】 【解析】用平行四边形表示平面时，可用其四个顶点命名,即平面. 故答案为：. 9．经过3个点能确定________个平面． 【答案】1或无数 【解析】根据平面的基本性质： 当三个点在同一条直线上时，过一条直线可以作无数个平面，因此经过这三个共线点的平面有无数个； 当三个点不在同一条直线上时，经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面，因此经过这三个点的平面仅有1个； 综上，经过3个点能确定的平面个数为1个或无数个. 故答案为：1或无数. 10．用符号（，，∩，⊆等）表示下列语句： (1)点A在直线上； (2)点B是直线与直线的交点； (3)点C是直线和平面的交点； (4)直线在平面内. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）点A在直线上，可表示为. （2）点B是直线与直线的交点，可表示为. （3）点C是直线和平面的交点，可表示为. （4）直线在平面内，可表示为. 11．一张桌面记为平面，桌面上有点，，桌面外有点. (1)分别写出与与的关系； (2)若直尺边缘经过，，判断这条边缘所在直线与的关系. 【答案】(1)， (2)直线在平面内 【解析】（1）点在桌面上，所以；点在桌面外，所以. （2）直尺边缘经过两点，，， 根据平面的基本性质，如果一条直线上两个点在平面内，则这条直线在该平面内， 因此这条边缘所在直线在平面内. 12．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线， 理由如下： 在正方体中， ∵，分别是棱，的中点， 平面，平面，且与不平行， ∴在平面内分别延长，， 则与必相交于一点，不妨设为点， ∴，， ∵平面，平面， ∴平面，平面， 即为平面和平面的公共点， 又∵为平面和平面的公共点，连接， ∴直线即为平面与平面的交线． （Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∵为直线与平面的交点， ∴，又∵平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴， ∴，，三点共线． 二、提升训练 1．下列说法中，能说明两个平面是同一个平面的是（    ） A．两个平面都经过一条直线 B．两个平面都经过不在同一直线上的三个点 C．两个平面都平行于同一条直线 D．两个平面都垂直于同一条直线 【答案】B 【解析】选项A，若两个平面都经过一条直线，则这两个平面可能相交，也可能重合，所以选项A错误， 选项B，不在同一直线上的三个点可以确定一个唯一的平面，若两个平面都经过这三个点，则这两个平面重合，即同一个平面，所以选项B正确， 选项C，若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面可能平行，也可能重合，也可能相交，所以选项C错误， 选项D，如果两个平面都垂直于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能重合，所以选项D错误， 故选：B. 2．已知空间四点中无三点共线，则可确定（ ） A．1个平面 B．4个平面 C．1个平面或4个平面 D．无法确定平面的个数 【答案】C 【解析】因为不共线的三点可以确定一个平面， 空间四点其中三个点可确定唯一的平面， 当第四个点在此平面内时，可确定1个平面， 当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面. 故选：C. 3．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 【答案】C 【解析】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 4．如图，正方体中E，F，G，H分别是各点所在棱的中点，则以下选项满足E，F，G，H四点共面的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】选项A，点E，F，H确定一个平面，该平面与底面交于， 而点G不在直线上，故E，F，G，H不共面，选项A错误；    选项B，连接底面对角线， 则由中位线定理可知，， 又易知，则， 故E，F，G，H共面，选项B正确；    选项C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内， 故E，F，G，H不共面，选项C错误； 选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一正六边形，也即是点E，G，H确定的平面， 其与正方体正面的交线为，而点F不在直线上，故E，F，G，H四点不共面，选项D错误，      故选：B． 5．设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则α与β重合. 则上述命题中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】若一条直线上有2个点在同一平面内，则这条直线在此平面内， 所以若，则，故①正确； 若两个不重合的平面有1个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线， 因为不重合，且， 所以直线是平面的交线，即，故②正确； 若，则或，当时，,故③错误； 因为点不共线，所以点确定一个平面， 又，所以α与β重合，故④正确； 所以①②④正确，③错误，正确的个数是3个. 故选：C. 6．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论，下列结论正确的是（    ）    ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【解析】    连接，因为是的中点，所以， 平面与平面有公共点A与，则平面平面， 对于①，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以①正确， 对于②③，由①知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以②错误，③正确； 对于④，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面， 所以平面，显然平面，所以④错误. 所以正确的结论为①③， 故选：. 7．在正方体中，由棱和棱及不在其上的点，最多能确定_________个平面. 【答案】3 【解析】棱，所以棱与棱确定一个平面， 过与点可确定1个平面， 过与点可确定另1个平面， 且三个平面互不重合，故最多3个. 故答案为：3. 8．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为________． 【答案】④ 【解析】两个平面相交得到一条直线，故①②错误； 当空间中的三点在一条直线上时，则经过这三点可作无数个平面，故③错误； 当三点不共线时，过三点能作并且只能作一个平面，所以这两个平面重合，故④正确． 故答案为：④. 9．在正方体中，下列说法正确的是_______________（填序号）． ①直线AC1在平面内． ②设正方形与的中心分别为、，则平面与平面的交线为. ③由确定的平面是. ④由确定的平面与由确定的平面是同一个平面． 【答案】②③④ 【解析】如图，在正方体中    ①错误. 因为平面，所以平面； ②正确.因为点、是平面与平面公共点，根据公理2可知，平面与平面的交线为； ③正确.因为点不共线，所以可确定一个平面. 又因为四边形为平行四边形，相交于点，而，， 而， .故由确定的平面是. ④正确.不在一条直线上的三点确定一个平面，故平面就是平面，也即平面. 故正确的是②③④. 故答案为：②③④ 10．试用符号语言表示下列各语句，并画出图形； (1)若点Q在直线b上，b在平面内； (2)直线经过平面外一点P，且与平面相交于点M； (3)平面与平面相交于直线，且经过点P． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解析】（1），如图1所示． （2），如图2所示． （3），如图3所示． 11．在空间中，三个平面可以把空间分成多少部分． 【答案】4，6，7，8 【解析】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面能把空间分成4，6，7，8部分． 12．如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．      (1)证明E，F，G，H四点共面； (2)证明GE，FH，相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：连接AC，，如图所示，    因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面． （2）因为，所以，所以EFHG为梯形，则EG与FH必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面，所以， 则GE，FH，交于一点． 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店 专题10.1 平面的基本特征以及性质 一、基础训练 1．正方体中，包含棱和棱的平面是（　　） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2．点在平面内，可记为（　　）. A． B． C． D． 3．四面体中，点在棱上，且同时属于平面与平面，则两平面的交线是（　　） A． B． C． D． 4．两条相交直线能够确定一个平面，关键条件是（　　） A．长度相等 B．有公共点且不重合 C．互相垂直 D．方向相反 5．观察正方体，下列点不在平面内的是（　　） A． B． C． D． 6．若直线上有两个不同点都在平面内，则（　　） A． B．与只有公共点 C．与只有公共点 D．无法判断 7．点在直线上，直线在平面内，用符号语言可以表示为___________． 8．平面通常用希腊字母等表示，也可用平行四边形的四个顶点表示，如平面______. 9．经过3个点能确定________个平面． 10．用符号（，，∩，⊆等）表示下列语句： (1)点A在直线上； (2)点B是直线与直线的交点； (3)点C是直线和平面的交点； (4)直线在平面内. 11．一张桌面记为平面，桌面上有点，，桌面外有点. (1)分别写出与与的关系； (2)若直尺边缘经过，，判断这条边缘所在直线与的关系. 12．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 二、提升训练 1．下列说法中，能说明两个平面是同一个平面的是（    ） A．两个平面都经过一条直线 B．两个平面都经过不在同一直线上的三个点 C．两个平面都平行于同一条直线 D．两个平面都垂直于同一条直线 2．已知空间四点中无三点共线，则可确定（ ） A．1个平面 B．4个平面 C．1个平面或4个平面 D．无法确定平面的个数 3．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 4．如图，正方体中E，F，G，H分别是各点所在棱的中点，则以下选项满足E，F，G，H四点共面的是（   ） A．   B．   C．   D．   5．设表示两个平面，表示直线，表示三个不同的点，给出下列命题： ①若，则； ②不重合，若，则； ③若，则； ④若，且不共线，则α与β重合. 则上述命题中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，给出下列结论，下列结论正确的是（    ）    ①A、M、O三点共线；         ②A、M、O、不共面： ③A、M、C、O共面；         ④B、、O、M共面， A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 7．在正方体中，由棱和棱及不在其上的点，最多能确定_________个平面. 8．给出下列命题： ①如果平面与平面相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为________． 9．在正方体中，下列说法正确的是_______________（填序号）． ①直线AC1在平面内． ②设正方形与的中心分别为、，则平面与平面的交线为. ③由确定的平面是. ④由确定的平面与由确定的平面是同一个平面． 10．试用符号语言表示下列各语句，并画出图形； (1)若点Q在直线b上，b在平面内； (2)直线经过平面外一点P，且与平面相交于点M； (3)平面与平面相交于直线，且经过点P． 11．在空间中，三个平面可以把空间分成多少部分． 12．如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．      (1)证明E，F，G，H四点共面； (2)证明GE，FH，相交于一点． 第 2 页 共 9 页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $