专题10.1 平面的基本特征以及性质（考点精讲）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）
|
2份
|
22页
|
5人阅读
|
0人下载
精品
内容正文：
认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店
专题10.1 平面的基本特征以及性质
一、课标要求
1. 平面的基本性质：了解平面的概念；
2. 了解空间中点、线、面关系的符号表示；
3. 理解平面性质的三个公理以及推论。
二、知识架构
三、知识清单
1．平面的特征和表示
(1)平面的概念：
广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．
(2)平面的画法：
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.
(3)平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．
2. 点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系
符号表示
图形语言
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C∉AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB⊂平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1⊄平面AC
3.平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
⇒AB⊂α
(1)判定直线在平面内；
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
⇒α∩β＝l
且P∈l
(1)判断两个平面是否相交；
(2)判定点是否在直线上；
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据；
(2)证明平面重合；
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
A∉l⇒A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
a∥b⇒a，b确定一个平面α
四、考点精练
考点一：平面的特征及其表示
【例1】点在平面内，正确的符号表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点在平面内，符号表示是.
故选：A.
【变式探究】已知点，平面，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点在平面内 B．点在平面外
C．点与平面平行 D．点确定平面
【答案】B
【解析】点，平面，满足，则点在平面外，
故选：.
【例2】长方体中，点与平面的位置关系应记为（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】B
【解析】
如图所示，在长方体中，
点不在平面内，记作平面，故错误；正确；
点与平面的位置关系不能用“”符号连接，故错误；
故选：.
【变式探究】黑板面记为，粉笔尖位置记为.若粉笔尖接触黑板，可写作（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】粉笔尖接触黑板面，说明点在平面内，记作.
故选：C.
【例3】平面与平面的交线为，若点同时在两平面内，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】平面与平面的交线为，若点同时在两平面内，
则点在交线上，即，故错误，正确；
因为两个平面的交线为，则，故错误，
故选：.
【变式探究】点，平面，若，则直线与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点，平面，若，则，
故选：.
【例4】平面 中，字母表示该平面内的______.
【答案】点
【解析】平面 中，字母表示该平面内的点，
故答案为：点.
【变式探究】若两个平面，有一条公共直线，通常记为______.
【答案】
【解析】若两个平面有一条公共直线，通常记为.
故答案为：.
【例5】用符号表示：点在平面内，点在平面外，直线在平面内.
【答案】
【解析】点在平面内，符号表示为；
点在平面外，符号表示为；
直线在平面内，符号表示为.
【变式探究】两个相交平面的交线为，规范记作______.
【答案】
【解析】两个相交平面的交线为，规范记作.
故答案为：.
技巧点拨
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
考点二：平面的基本性质
【例1】空间中给出点 ，且，则经过三点的平面有（ ）个
A． B． C． D．无数
【答案】B
【解析】因为，所以三点能构成非退化三角形，故三点不共线；
所以三个不共线点确定唯一平面.
故选：B.
【变式探究】三点共线时，它们（ ）
A．不能唯一确定一个平面 B．一定确定唯一平面
C．不能在同一直线上 D．一定确定两条直线
【答案】A
【解析】共线三点不能唯一确定一个平面，因为过同一条直线可作多个平面，故A正确，B错误；
三点共线时，一定在同一条直线上，并且只确定一条直线，故CD错误；
故选：A.
【例2】两个不重合平面有一个公共点，则它们（ ）
A．没有其他公共点 B．有且只有一条经过的公共直线
C．完全重合 D．一定平行
【答案】B
【解析】两个不重合平面若有一个公共点，则它们相交于一条经过该点的直线.
所以两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条经过的公共直线.
故选：B.
【变式探究】已知，则经过的平面有______个.
【答案】1
【解析】因为，所以三点构成非退化三角形，
即三点不共线，所以三个不共线点确定个平面.
故答案为：.
【例3】在直线外取点，经过直线和点的平面数为（ ）
A． B． C． D．无数
【答案】B
【解析】已知点在直线外，根据直线与直线外一点确定一个平面这一公理可知，经过直线和点有且只有一个平面.
故选：B.
【变式探究】一条直线上有两个点在平面内，则该直线（ ）
A．与平面平行 B．在平面内 C．与平面只有一个交点 D．位置不能确定
【答案】B
【解析】一条直线上有两个点在平面内，则该直线在平面内，
故选：.
【例4】空间四点，，，中，，，不共线．若，则经过四点的平面有______个.
【答案】1
【解析】已知，，不共线，可知，，三点可以确定一个平面，设这个平面为，
因为，两点在平面内，所以直线在平面内，
因为，而直线在平面内，所以点也在平面内，
由于，，，四点都在平面内，且经过这四点只能确定这一个平面，
所以经过四点的平面有个.
故答案为：1.
【变式探究】长方体中，用点、、表示的平面还经过顶点______.
【答案】
【解析】已知长方体中，点、、不共线，它们确定一个平面，
由于，所以、、、四点共面，
所以用点、、表示的平面还经过顶点，
故答案为：.
【例5】若点平面，则直线与平面的位置关系为______.
【答案】直线平面
【解析】由平面的基本性质可知：若点平面，则直线平面.
故答案为：直线平面.
【变式探究】两个不重合平面相交，点同时属于和，且.
(1)判断直线与两个平面的关系；
(2)写出两平面的交线.
【答案】(1)且
(2)直线
【解析】（1）由平面的基本性质可知：
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，
因为点同时属于和，即点既在平面内，也在平面内，
所以直线既在平面内，也在平面内，即且.
（2）由平面的基本性质可知：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，
因为平面不重合，点是这两个平面的公共点，且，
所以这两个平面的交线就是过这两点的直线，即直线.
【例6】直线满足与相交于点，与相交于点，与相交于点，且互不相同.证明三条直线共面.
【答案】证明见解析
【解析】直线与相交于点，则直线确定平面，因为与相交于点，则，所以平面，
同理与相交于点，则，所以平面，
所以平面，直线经过点，
所以直线平面，
则直线共面.
【变式探究】如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点．
(1)证明：，，，四点共面．
(2)证明：，，三线共点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，连接，．
∵是的中位线，∴．
∵，且，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，
∴，，，四点共面．
（2）如图，延长，相交于点．
∵，平面，∴平面．
∵，平面，∴平面．
∵平面平面，
∴，∴，，三线共点．
【例6】已知：．求证：a，b，c和l共面．
【答案】证明见解析
【解析】如图，，与b确定一个平面，记为，
，，，
又，，
，与c确定一个平面，记为，同理，
∵平面与都包含和b，且，
由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面与平面重合，
和共面．
【变式探究】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内．
已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．
【答案】证明见解析
【解析】因为直线和相交于点，
所以直线和可确定一个平面，记为．
因为，，所以，．所以．
因此，直线都在平面内，即它们共面．
技巧点拨
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
五、真题精练
1．（22-23高三下·宁夏·职教高考）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A．四边形 B．圆 C．三角形 D．梯形
【答案】A
【解析】由不共线的三点确定一个平面，
知圆、三角形、梯形是平面图形，
四边形如空间四边形不是平面图形.
故选：A.
2．（21-22高三·宁夏·对口/高职单招）下列命题中正确的是（ ）
A．平面是没有边界的 B．桌面就是一个平面
C．直线比平面长 D．三角形ABC就是一个平面
【答案】A
【解析】几何里的平面就是从生活中的水平面中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
A平面是没有边界的，正确，
B桌面就是一个平面,错误，平面是无限延展的，
C直线比平面长,错误，直线与平面都是无限延展的，
D就是一个平面,错误，平面是无限延展的.
故选：A
3．（22-23高三下·甘肃·职教高考）下列说法错误的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过平面外一点画平面的垂线可以画两条
D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
【答案】C
【解析】选项为平面的基本性质公理3，不共线的三点确定一个平面，所以正确.
选项为平行线公理，空间平行线具有传递性，所以正确.
选项经过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直，所以错误.
选项为直线与平面垂直的性质定理，所以正确.
故选：.
4．（18-19高三·新疆·职教高考）下列说法正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则这两个平面相交于该点
B．两个平面ABC与DBC交于线段BC
C．若一条直线上有一点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
D．两条相交直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对A：若两个平面有一个公共点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,故A项错误;
对B：两个平面相交于一条直线,故B项错误;
对C：若一条直线上有一点在一个平面内,则这条直线在这个平面内或与该平面相交,故C项错误;
对D：两条相交直线可以确定一个平面,故D项正确.
故选：D.
5．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
选项中，如图所示，连接，
因为，所以四点共面，所以与共面，故正确；
选项中，与为异面直线，
故选：.
6．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）下列说法中正确的是（ ）
A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
B．空间内任意三个点可以确定一个平面
C．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直
D．平行于同一平面的两条直线一定平行
【答案】A
【解析】A选项，不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故正确.
B选项，在空间内任意三点在同一条直线上时，则不能确定一个平面，故错误.
C选项，过平面外一点只有一条直线与这个平面垂直，故错误.
D选项，平行于同一平面的两条直线可以为平行于该平面的另一个平面的两条相交直线
或异面直线，不一定平行.故错误.
故选：A.
7．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）下列命题正确的是（ ）
A．经过三点有且只有一个平面
B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面
C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行
D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直
【答案】D
【解析】经过不共线的三点有且只有一个平面，
如果三点在一条直线，经过三点有无数个平面，故A错误，
若两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个面，不是平面内任意直线都满足，故B错误，
若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行，或在平面内，故C错误，
根据线面垂直的判定定理可知，若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直，故D正确，
故选：D.
8．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）下列推断中，错误的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．，且，，不共线，重合
【答案】C
【解析】根据平面的基本性质，若，则，故选项A正确，不符合题意；
根据平面的基本性质，若，则，故选项B正确，不符合题意；
若，则点A不在平面内或，故选项C错误，符合题意；
根据平面的基本性质，若，且，，不共线，则平面与重合，故选项D正确，不符合题意；
故选：C.
9．（24-25高三下·广西·职教高考）（多选）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．三条平行的直线共有一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．梯形是平面图形
【答案】CD
【解析】对A，由平面的基本性质可得，不共线的三点确定一个平面，故A错误.
对B，三条平行的直线不一定共面，故B错误.
对C，由平面的基本性质可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C正确.
对D，因为梯形中有一组对边平行，所以梯形是平面图形，故D正确.
故选：CD.
10．（22-23高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）直线和直线外一点可以确定一个平面. ( )
【答案】正确
【解析】根据平面基本公理的推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面，即一条直线与直线外一点可确定一个平面，
因此该命题表述符合平面公理推论内容，是正确的，
故答案为：正确．
第 2 页 共 11 页
第 1 页 共 11 页
学科网（北京）股份有限公司
$认准淘宝店：学子之家精品店 售后微信：2496342225 单招精品资料专卖店
专题10.1 平面的基本特征以及性质
一、课标要求
1. 平面的基本性质：了解平面的概念；
2. 了解空间中点、线、面关系的符号表示；
3. 理解平面性质的三个公理以及推论。
二、知识架构
三、知识清单
1．平面的特征和表示
(1)平面的概念：
广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．
(2)平面的画法：
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.
(3)平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．
2. 点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系
符号表示
图形语言
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C∉AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1∉平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB⊂平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1⊄平面AC
3.平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
⇒AB⊂α
(1)判定直线在平面内；
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
⇒α∩β＝l
且P∈l
(1)判断两个平面是否相交；
(2)判定点是否在直线上；
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据；
(2)证明平面重合；
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
A∉l⇒A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
a∥b⇒a，b确定一个平面α
四、考点精练
考点一：平面的特征及其表示
【例1】点在平面内，正确的符号表示是（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】已知点，平面，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点在平面内 B．点在平面外
C．点与平面平行 D．点确定平面
【例2】长方体中，点与平面的位置关系应记为（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【变式探究】黑板面记为，粉笔尖位置记为.若粉笔尖接触黑板，可写作（ ）.
A． B． C． D．
【例3】平面与平面的交线为，若点同时在两平面内，则（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】点，平面，若，则直线与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【例4】平面 中，字母表示该平面内的______.
【变式探究】若两个平面，有一条公共直线，通常记为______.
【例5】用符号表示：点在平面内，点在平面外，直线在平面内.
【变式探究】两个相交平面的交线为，规范记作______.
技巧点拨
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
考点二：平面的基本性质
【例1】空间中给出点 ，且，则经过三点的平面有（ ）个
A． B． C． D．无数
【变式探究】三点共线时，它们（ ）
A．不能唯一确定一个平面 B．一定确定唯一平面
C．不能在同一直线上 D．一定确定两条直线
【例2】两个不重合平面有一个公共点，则它们（ ）
A．没有其他公共点 B．有且只有一条经过的公共直线
C．完全重合 D．一定平行
【变式探究】已知，则经过的平面有______个.
【例3】在直线外取点，经过直线和点的平面数为（ ）
A． B． C． D．无数
【变式探究】一条直线上有两个点在平面内，则该直线（ ）
A．与平面平行 B．在平面内 C．与平面只有一个交点 D．位置不能确定
【例4】空间四点，，，中，，，不共线．若，则经过四点的平面有______个.
【变式探究】长方体中，用点、、表示的平面还经过顶点______.
【例5】若点平面，则直线与平面的位置关系为______.
【变式探究】两个不重合平面相交，点同时属于和，且.
(1)判断直线与两个平面的关系；
(2)写出两平面的交线.
【例6】直线满足与相交于点，与相交于点，与相交于点，且互不相同.证明三条直线共面.
【变式探究】如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点．
(1)证明：，，，四点共面．
(2)证明：，，三线共点．
【例6】已知：．求证：a，b，c和l共面．
【变式探究】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内．
已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．
技巧点拨
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
五、真题精练
1．（22-23高三下·宁夏·职教高考）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A．四边形 B．圆 C．三角形 D．梯形
2．（21-22高三·宁夏·对口/高职单招）下列命题中正确的是（ ）
A．平面是没有边界的 B．桌面就是一个平面
C．直线比平面长 D．三角形ABC就是一个平面
3．（22-23高三下·甘肃·职教高考）下列说法错误的是（ ）
A．不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．经过平面外一点画平面的垂线可以画两条
D．垂直于同一个平面的两条直线互相平行
4．（18-19高三·新疆·职教高考）下列说法正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则这两个平面相交于该点
B．两个平面ABC与DBC交于线段BC
C．若一条直线上有一点在一个平面内，则这条直线在这个平面内
D．两条相交直线确定一个平面
5．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）下列说法中正确的是（ ）
A．不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线
B．空间内任意三个点可以确定一个平面
C．过平面外一点可以做无数条直线与这个平面垂直
D．平行于同一平面的两条直线一定平行
7．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）下列命题正确的是（ ）
A．经过三点有且只有一个平面
B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面
C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行
D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直
8．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）下列推断中，错误的是（ ）
A．若，则
B．
C．
D．，且，，不共线，重合
9．（24-25高三下·广西·职教高考）（多选）在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．三条平行的直线共有一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．梯形是平面图形
10．（22-23高三下·辽宁·对口/高职单招）（判断题）直线和直线外一点可以确定一个平面. ( )
第 2 页 共 11 页
第 1 页 共 11 页
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
