2.2.3 反比例函数的图象与性质的综合运用（课件）--2026-2027学年苏科版数学九年级上册

# 苏科版数学九年级上册 2.2.2 反比例函数的性质 专项练习 ## 一、知识梳理（先填空，再做题） 1. 当 k＞0 时，反比例函数图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而______；当 k＜0 时，图象的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 2. 增减性必须限定在“______”内；跨象限比较函数值时，要代入具体数值，或根据正负号直接判断。 3. 从反比例函数 y＝k/x 图象上任意一点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于______；若连接 OP（O 为原点），则三角形 POA（A 为垂足）的面积等于______。 4. 上述面积与点的位置______（填“有关”或“无关”），只由______的绝对值决定。 5. 图象上点的横、纵坐标之积恒等于______。 ## 二、填空：性质与几何意义 1. 反比例函数 y＝5/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 2. 反比例函数 y＝－3/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而______。 3. 若点 P 在反比例函数 y＝k/x 的图象上，先后过 P 向两坐标轴作垂线，围成矩形面积为 7，则 |k|＝______，k＝______。 4. 若点 P 在 y＝－8/x 的图象上，过 P 向 x 轴作垂线，垂足为 A，则 △POA 的面积为______。 5. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的矩形面积为 4，且图象位于第二、四象限，则 k＝______。 ## 三、比较函数值的大小 1. 点 A(－2，y₁)、B(－3，y₂) 在 y＝6/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 2. 点 A(1，y₁)、B(3，y₂) 在 y＝6/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 3. 点 A(－1，y₁)、B(2，y₂) 在 y＝－4/x 的图象上，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 4. 点 A(－2，y₁)、B(－1，y₂)、C(3，y₃) 都在 y＝2/x 的图象上，把 y₁、y₂、y₃ 从小到大排列。 5. 若点 (x₁，y₁)、(x₂，y₂) 都在 y＝3/x 的图象上，且 x₁＜x₂＜0，比较 y₁ 与 y₂ 的大小。 ## 四、k 的几何意义 1. 点 A 是反比例函数 y＝6/x 图象上的一点，AB⊥x 轴于点 B，则 △AOB 的面积是多少？ 2. 点 P 在 y＝－8/x 的图象上，过 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，求围成的矩形的面积。 3. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的三角形面积为 5/2，求 |k| 的值，并说明 k 可能取哪些值。 ## 五、参数问题 1. 若反比例函数 y＝(m－3)/x 在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是______。 2. 若反比例函数 y＝(2m＋1)/x 的图象位于第二、四象限，则 m 的取值范围是______。 3. 若反比例函数 y＝k/x 的图象上一点到两坐标轴围成的矩形面积为 6，且图象位于第一、三象限，则 k＝______。 4. 若反比例函数 y＝(k－1)/x 的图象经过点 (－2，3)，则 k＝______，图象位于第______象限。 ## 六、选择题（每题只有一个正确选项） 1. 关于反比例函数 y＝－2/x，下列说法正确的是（　　） A. 图象位于第一、三象限　B. 在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大　C. 图象与 y 轴相交　D. 图象关于 x 轴对称 2. 若点 (－1，2) 在反比例函数 y＝k/x 的图象上，则下列点也在图象上的是（　　） A. (1，2)　B. (2，1)　C. (1，－2)　D. (－1，－2) 3. 若点 A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂) 都在 y＝4/x 的图象上，且 x₁＜0＜x₂，则（　　） A. y₁＜y₂＜0　B. y₁＜0＜y₂　C. y₂＜0＜y₁　D. 0＜y₁＜y₂ 4. 若反比例函数图象上一点与两坐标轴围成的三角形面积为 3，则 |k| 等于（　　） A. 3　B. 6　C. 9　D. 1.5 5. 若反比例函数 y＝(k＋2)/x 的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是（　　） A. k＞－2　B. k＜－2　C. k＞2　D. k≠－2 ## 七、诊断纠错：下面的解法对不对？错的说明错在哪，并写出正确结果 1. 判断 y＝－3/x 的增减性。解：因为 k＝－3＜0，所以 y 随 x 的增大而增大。 2. 点 A(1，2)、B(－2，－1) 都在反比例函数 y＝k/x 的图象上，比较 y_A 与 y_B 的大小。解：k＝2＞0，y 随 x 增大而减小，因为 1＞－2，所以 y_A＜y_B。 3. 点 P 在 y＝6/x 的图象上，PA⊥x 轴于点 A，求 △POA 的面积。解：面积为 6。 ## 八、易错提醒与方法小结 - 说“y 随 x 的增大而减小（增大）”时，必须加上“在每一个象限内”这一前提；漏掉这半句，结论就是错的。 - 跨象限比较两个函数值，不能用单调性，要分别算出 y 的值，或直接由 k 的符号判断正负。 - 矩形面积等于 |k|，三角形面积等于 |k|/2，这两个结论都只与 |k| 有关，与点 P 的具体位置无关。 - 由面积反求 k 时，要结合图象所在象限确定符号：第一、三象限 k＞0，第二、四象限 k＜0，不要只写正值。 - 点 (x₀，y₀) 在图象上等价于 x₀y₀＝k，判断点是否在图象上用它最快。 ## 参考答案 一、1. 减小；增大　2. 每一个象限　3. |k|；|k|/2　4. 无关；k　5. k 二、1. 减小　2. 增大　3. 7；k＝7 或 k＝－7　4. 4　5. －4 三、1. y₁＝－3，y₂＝－2，故 y₁＜y₂　2. y₁＝6，y₂＝2，故 y₁＞y₂　3. y₁＝4，y₂＝－2，故 y₁＞y₂　4. y₁＝－1，y₂＝－2，y₃＝2/3，故 y₂＜y₁＜y₃　5. y₁＝3/x₁，y₂＝3/x₂，因 x₁＜x₂＜0，故 y₁＞y₂ 四、1. △AOB 的面积＝|k|/2＝3　2. 矩形面积＝|k|＝8　3. |k|/2＝5/2，故 |k|＝5，k＝5 或 k＝－5 五、1. m－3＞0，故 m＞3　2. 2m＋1＜0，故 m＜－1/2　3. k＝6　4. k－1＝－6，故 k＝－5，图象位于第二、四象限 六、1. B　2. C　3. B　4. B　5. B 七、1. 错，漏了“在每一个象限内”。正确：在每个象限内 y 随 x 增大而增大　2. 错，A、B 在不同象限，不能用单调性。正确：y_A＝2＞y_B＝－1　3. 错，三角形面积是 |k|/2 而不是 |k|。正确：面积为 3 > 建议限时 40 分钟完成第二至第五题；每道比较大小的题先在草稿纸上标出各点所在象限，再判断，比凭“单调性”硬套可靠得多。 --- 全文约 1618 字（按 Word 统计口径，含字母和数字），八类板块：性质梳理、填空、跨象限与同象限比较大小、k 的几何意义、参数、选择、诊断纠错、易错小结，答案与解析附后，可直接打印。这张的核心考点可概括为“带限定语说增减性”和“矩形 |k|、三角 |k|/2”两条，掌握这两句就能应付大多数判性质题。 苏科版（新教材）数学九年级上册 2.2.3 反比例函数的图象与性质的综合运用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/6 第2章 反比例函数 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 问题导入 对于反比例函数 y＝，如果自变量的取值范围是1＜x＜2，你能确定函数值 y 的取值范围吗？ 可以先画出函数的图象，根据图象研究 y 的取值范围. 探究新知 -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 6 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 y＝ 反比例函数 y＝ 的图象如图所示． 观察图象，回答下列问题： (1) 函数图象分布在哪些象限？增减性如何？ (2) 当x＝1时，y＝___；当x＝2时，y＝ ___． (3) 如果x在1和2之间（不取端点），那么 y 一定在4和2之间吗？为什么？ 4 2 观察图象可知，当自变量 x 的取值范围是1＜x＜2时，对应的函数值 y 的取值范围是2＜y＜4． 还有其他方法吗？ 探究新知 -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 6 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 y＝ 反比例函数 y＝ 的图象如图所示． 代数推导法 ∵ 1＜x＜2，x为正数， ∴ ＜＜1， 两边同乘4，得 2＜ ＜4， 即 2＜y＜4． 返回 C 举一反三 5 返回 D 举一反三 返回 0＜y＜2 x＜0或x＞2 举一反三 例题讲解 例3 已知反比例函数 y＝ ． （1）画出这个反比例函数的图象，并找出图象上横坐标与纵坐标相同的点． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝ 7 8 -7 -8 解：(1)函数y＝ 的图象如图所示． 根据题意，当图象上点的横坐标与纵坐标相同时，得x＝，所以x＝±．所以满足题意的点是(，)，(－，－)． 例题讲解 例3 已知反比例函数 y＝ ． （2）根据这个反比例函数的图象，写出当x＜－1时，y的取值范围． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝ 7 8 -7 -8 解：(2)观察图象可知，当x＜－1时， y 的取值范围是－6＜y＜0． 探究交流 已知反比例函数 y＝．当自变量 x≤1时，函数值 y 的取值范围是什么？ 解：观察图象可知，当自变量 x 的最大取值为1时，函数值 y 的取值范围y≥6或y＜0． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝ 7 8 -7 -8 1．注意端点值是否能取到； 2．若自变量的取值范围跨过原点，一定要进行分段分析！ 例题讲解 例4 已知 a＜b，比较 与 的大小． 可通过作差比较． 解： －＝， 　　∵ a＜b，∴ b－a＞0， 　　当 a＜b＜0或0＜a＜b时， ＞0， 　　即 － ＞0，∴ ． 　　当 a＜0＜b时，＜0， 　　即 －＜0，∴ ． 例题讲解 例4 已知 a＜b，比较 与 的大小． 也可利用反比例函数 y＝ 的图象和性质来比较． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝　 解：考察反比例函数 y＝，其图象如图所示． 点(a， )，(b， )在函数图象上． 当0＜a＜b时，点(a， )，(b， )在第一象限内， 根据 y＝在第一象限内的性质，y 随 x 的增大而 减小，得 ＞． 例题讲解 例4 已知 a＜b，比较 与 的大小． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝　 当a＜b＜0 时，点(a， )，(b， )在第三象限内， 根据y＝在第三象限内的性质，y 随 x 的增大而 减小，得 ＞； 当a＜0＜b时，有＜0，＞0，所以 ＜． 所以，若a，b同号，则 ＞；若a，b异号，则 ＜ ． 例题讲解 例4 已知 a＜b，比较 与 的大小． -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 x y 4 5 -6 -5 -4 -4 -5 -6 4 5 6 6 y＝　 返回 举一反三 返回 －1≤x<0或x≥2 举一反三 举一反三 举一反三 举一反三 返回 举一反三 C 返回 举一反三 返回 举一反三 返回 －6 举一反三 23 课堂小结 2.2 反比例函数的图象与性质（3） 核心方法：数形结合，画图优先 注意点：反比例函数的增减性仅在单个象限内成立． 若自变量的取值范围跨过0，一定要进行分段讨论，避免因忽略象限限制而得出错误结论． 解题步骤：第一步代入端点值计算，第二步判断所在象限内的增减性，第三步确定函数值的区间范围，第四步务必检验区间端点处等号是否成立． 谢谢观看 THANKS 1．已知反比例函数y＝－，当－3<x<－2时，y的取值范围是(　　) A．0<y<1 B．1<y<2 C．2<y<3 D．－3<y<－2 2．陕西中考改编如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k>0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知反比例函数y＝，当x＞3时，y的取值范围是___________；当y＜3时，x的取值范围是______________． 4．如图，点A，D分别在函数y＝－，y＝的图象上，点B，C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，且点A在第二象限，则点A的坐标为________． 5．威海中考 如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝交于点A，B，则满足y1≤y2的x的取值范围是________________． 6．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象相交于点A(2，3)和点B(n，－2)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； 解：将点A(2，3)的坐标代入y＝，得3＝， 解得k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝. ∴－2n＝6，解得n＝－3.∴点B的坐标为(－3，－2)． 把B(－3，－2)，A(2，3)两点的坐标分别代入y＝ax＋b，得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋1. (2)直接写出不等式＞ax＋b的解集； 解：不等式＞ax＋b的解集为x＜－3或0＜x＜2. (3)若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请求出点P的坐标． 解：设点P的坐标为(m，0)，一次函数的图象与x轴的交点为E，将y＝0代入y＝x＋1，得0＝x＋1，解得x＝－1， ∴点E的坐标为(－1，0)． 易得S△PAB＝S△PAE＋S△PBE＝×3PE＋×2PE＝PE. ∴PE＝10，即|m＋1|＝10，解得m1＝3，m2＝－5. ∴点P的坐标为(3，0)或(－5，0)． 7.定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标互为相反数的点，我们称之为“零和点”．下列关于“零和点”的说法中错误的是(　　) A．函数y＝2x的图象上的“零和点”就是原点 B．函数y＝2x－6的图象上“零和点”的横坐标是2 C．函数y＝的图象上至少有一个“零和点” D．函数y＝的图象上没有“零和点” 8．南京中考已知反比例函数y＝，则当1≤x≤3时，的最小值是________． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x与直线y＝－x＋2分别与函数y＝(x＜0)的图象交于A，B两点，连接AB，OB，若△OAB的面积为3，则k的值为________． $