第五单元 比和比例（知识清单）-2026-2027学年六年级上册数学冀教版

第五单元 比和比例 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识框架 知识梳理 知识点 1：比的意义和各部分名称 (1) 比的意义 ① 表示两个数的倍数关系的式子，叫作比。 (2) 各部分的名称 ① “∶”是比号，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。 ② 例：在 3∶6 中，3 是前项，6 是后项。 (3) 比与比值的区别 ① 比是两个数相除的关系，用比号或分数形式表示，通常有两项。 ② 比值是比的前项除以后项所得的商，是一个具体的数值。 【易错点】 ① 把“比”和“比值”混为一谈：比表示关系，比值是具体的数值。 ② 分不清前项、后项：前项在比号前，后项在比号后，不要颠倒。 ③ 忽略比的后项不能为 0（除以 0 没有意义）。 知识点 2：比与除法、分数的关系（求比值） (1) 求比值 ① 前项 ÷ 后项 ＝ 比值。 ② 比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。 (2) 比、除法、分数的关系 ① a∶b ＝ a÷b ＝ （b 不为 0）。 ② 比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；后项相当于除法的除数、分数的分母；比号相当于除号、分数线；比值相当于除法的商、分数的分数值。 【易错点】 ① 求比值时前项、后项颠倒：应是“前项÷后项”，不是“后项÷前项”。 ② 比值忘记化简或用错表示形式。 ③ 忽略除数为 0 无意义：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。 知识点 3：比的基本性质与化简比 (1) 比的基本性质 ① 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 ② 它类似于分数的基本性质和除法中的商不变性质。 (2) 化简比 ① 应用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比（前项、后项是互质数）。 ② 整数比：前项、后项同时除以它们的最大公因数。 ③ 分数比：先化成整数比再化简；小数比：先化成整数比再化简。 【易错点】 ① 漏掉“0 除外”：同乘或同除以 0 没有意义。 ② 把“化简比”与“求比值”混淆：化简比的结果仍是比（如 3∶2），求比值的结果是数值（如 ）。 ③ 化简后前项、后项还不是互质数，没有化成最简单的整数比。 知识点 4：比的应用（按比分配） (1) 按比分配的方法 ① 把比转化为分数，先求出各部分量占总量的几分之几，再用总数量 × 几分之几求出各部分。 ② 例：五、六年级共 56 人，人数比 5∶3，总份数 5＋3＝8，五年级 56×＝35（人），六年级 56×＝21（人）。 (2) 已知两个量的比和一个部分量，求另一个部分量 ① 根据比值相等列比例式求解。 ② 利用部分量之间的倍比关系求解。 ③ 把一部分量看作单位“1”，根据分率求解。 【易错点】 ① 忘记求总份数（前项＋后项）。 ② 把比分当成数量直接用错：要先算出各部分占总量的几分之几，再用总量去乘。 ③ 求出的各部分量之和应等于总量，忘记检验。 知识点 5：比例的意义和基本性质 (1) 比例的意义 ① 表示两个比相等的式子，叫作比例。 ② 例：25∶2 和 37.5∶3 的比值相等，可以组成比例 25∶2＝37.5∶3。 (2) 各部分的名称 ① 组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作外项，中间的两项叫作内项。 (3) 比例的基本性质 ① 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 ② 用字母表示：如果 a∶b＝c∶d（b、d 均不为 0），那么 ad＝bc。 (4) 解比例 ① 根据比例的基本性质（外项积＝内项积），求出比例中的未知项。 ② 例：解比例 x∶8＝5∶4，则 4x＝8×5，x＝10。 (5) 判断两个比能否组成比例 ① 方法一：根据比例的意义，看两个比的比值是否相等。 ② 方法二：根据比例的基本性质，假设能组成比例，看两个外项的积与两个内项的积是否相等。 【易错点】 ① 把“比”和“比例”混淆：比有两项，比例有四项。 ② 找错外项、内项：两端的是外项，中间的是内项。 ③ 解比例时交叉相乘错位，或忘记“外项积＝内项积”这一依据。 知识点 6：正比例 (1) 正比例的意义 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 (2) 正比例的图象 ① 正比例关系的图象是一条直线。 (3) 判断两种量是否成正比例的方法 ① 判断两种量是不是相关联的量（不是则不成正比例）。 ② 比较两种量中相对应的两个数的比值（比值不一定则不成；比值一定则成正比例）。 (4) 判断举例 ① 速度一定，时间和路程成正比例（路程÷时间＝速度，比值一定）。 ② 单价一定，总价和数量成正比例（总价÷数量＝单价，比值一定）。 ③ 男生人数＋女生人数＝全班人数（和一定），不是比值一定，不成正比例。 【易错点】 ① 看到两种量都在变化就误以为成正比例：必须“比值一定”才行。 ② 把“和一定”当成“比值一定”：如男生＋女生＝全班人数一定，是“和一定”，不成正比例。 ③ 判断时没有先确认两种量是否相关联。 典例精讲 考点1、比的意义 【典型例题1】同一时刻，一根4米竹竿，影长2.5米，高度和影长的比值是( )。 【答案】1.6// 【分析】求高度和影长的比值，就是用高度除以影长，代入数据计算即可。 【详解】4÷2.5＝1.6 【练习1】小狗自重12千克，能拉动30千克重物；小猫自重3千克，能拉动10.5千克重物。拉动重量与自身体重的比值更大的是( )，说明它的负重能力更强。 【答案】小猫 【分析】明确需要计算的两个比值：小狗拉动重量与自身体重的比值、小猫拉动重量与自身体重的比值。比值计算方法为拉动重量除以自身体重。分别代入小狗和小猫的对应数值，计算两个比值， 比较两个计算得到的比值大小，因为比值越大说明拉动重量与自身体重的比值更大，所以根据比较结果即可判断对应的动物。 【详解】 因为，小猫的比值更大，所以小猫负重能力更强 【典型例题2】调配果汁，4杯苹果汁搭配3杯纯净水，苹果汁与水的杯数比是( )，水与苹果汁的杯数比是( )。 【答案】 【分析】确定苹果汁与水的比时，因为比的前项是苹果汁的杯数，后项是水的杯数，所以直接将对应数值按顺序写成比的形式。确定水与苹果汁的比时，因为比的前项是水的杯数，后项是苹果汁的杯数，所以直接将对应数值按顺序写成比的形式。 【详解】根据比的意义可得：苹果汁与水的杯数比是4∶3，水与苹果汁的杯数比是3∶4。 【练习2】某班男生人数与女生人数的比是，男生人数是女生人数的( )，女生人数与全班人数的比是( )。 【答案】 / 【分析】根据男生人数与女生人数的比是，可以把男生人数看作4份，女生人数看作5份；求男生人数是女生人数的几分之几，用男生份数除以女生份数；求女生人数与全班人数的比，先求出全班总份数，再写出女生人数与全班人数的比。 【详解】把男生人数看作4份，女生人数看作5份，，男生人数是女生人数的；，女生人数与全班人数的比是。 【典型例题3】把3∶2的前项加上9，要使比值不变，后项应加上( )。 【答案】6 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。前项加上9，先算出变化后的前项，求出前项扩大到原来的几倍；要保持比值不变，后项也要乘相同的倍数，算出新后项，再用新后项减去原来的后项，就是后项需要加上的数。 【详解】3＋9＝12 12÷3＝4 2×4＝8 8－2＝6 【练习3】5∶8的后项乘4，要使比值不变，前项应加上( )；如果前项加上10，那么后项应乘( )比值才不变。 【答案】 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。求出变化后的前项，再减去现在的前项，即可求出前项应该加的数；先算出前项加10后的新前项，再算出前项变化的倍数，即应给后项乘数。 【详解】（1）变化后的前项：5×4＝20 前项应加的数：20－5＝15 （2）变化后的前项：5＋10＝15 前项变化的倍数：15÷5＝3 要是比值不变，后项也应该乘3。 考点2、化简比 【典型例题4】把、 改写成后项是100的比，分别是( )、( )。 【答案】 65∶100 80∶100 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。 【详解】13∶20 ＝（13×5）∶（20×5） ＝65∶100 32∶40 ＝（32÷8）∶（40÷8） ＝4∶5 ＝（4×20）∶（5×20） ＝80∶100 【练习4】化简后是( )；若把这个比的后项改成15，前项应变为( )。 【答案】 12 【分析】比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。据此化简比；根据比的后项改成15，判断出比的后项扩大到原来的几倍，再将比的前项扩大相同的倍数即可。 【详解】＝＝4∶5 15÷5＝3，即比的后项扩大到原来的3倍， 4×3＝12，前项应变为12。 【典型例题5】化简下面各比，并求出比值。 5.6∶1.4            0.03∶0.3      0.21∶6.3 【答案】4∶1；4；5∶6；；1∶10；；1∶30； 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。比值是用前项除以后项得到的数。 （1）比的前项、后项同时乘10转化成整数比，再约分；用前项除以后项求比值。 （2）前后项同时乘分母的最小公倍数，消去分母变成整数比，再化简；用前项除以后项求比值。 （3）比的前项、后项同时乘100转化成整数比，再约分；用前项除以后项求比值。 （4）比的前项、后项同时乘100转化成整数比，再约分；用前项除以后项求比值。 【详解】 【练习5】化简下面各比并求比值。 ∶　　     0.8∶0.12           千克∶400克　　    1.5∶ 【答案】3∶2，；20∶3，；1∶2，；2∶1，2 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；单位不相同的要先统一单位，再化简。 求比值用最简比的前项除以后项即可。 【详解】∶　　 0.8∶0.12 千克∶400克　　 1.5∶ 【典型例题6】笑笑用50克苹果，38克葡萄干，160克芒果，80克黄桃，65克西瓜制作了一份水果沙拉。 (1)写出苹果和西瓜的质量比。 (2)再写出两个不同的比。 【答案】(1)10∶13 (2)苹果和葡萄干的质量比为25∶19；苹果和黄桃的质量比为5∶8（答案不唯一） 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 【详解】（1）苹果和西瓜的质量比： 50∶65 ＝（50÷5）∶（65÷5） ＝10∶13 （2）苹果和葡萄干的质量比： 50∶38 ＝（50÷2）∶（38÷2） ＝25∶19 苹果和黄桃的质量比： 50∶80 ＝（50÷10）∶（80÷10） ＝5∶8 【练习6】每天摄取适量的水果可以补充维生素。小月非常喜欢吃水果，妈妈买了6千克梨，用去30元；还买了5千克苹果，用去36元。 (1)梨和苹果的总价的比是多少？ (2)苹果和梨的单价的比是多少？ 【答案】(1)5∶6 (2)36∶25 【分析】（1）先找出梨的总价是30元，苹果的总价是36元，写出总价的比，再化简成最简整数比。 （2）根据单价＝总价÷数量，先用总价除以数量，分别求出梨和苹果的单价，再写出苹果和梨单价的比，最后化简。 【详解】（1）30∶36 ＝（30÷6）∶（36÷6） ＝5∶6 答：梨和苹果的总价的比是5∶6。 （2）梨的单价：30÷6＝5（元） 苹果的单价：36÷5＝7.2（元） 单价的比：7.2∶5 ＝（7.2×10）∶（5×10） ＝72∶50 ＝（72÷2）∶（50÷2） ＝36∶25 答：苹果和梨的单价的比是36∶25。 考点3、比的应用 【典型例题7】水泥、沙子、石子配比1∶4∶6，搅拌混凝土时沙子用完24吨，每份材料是( )吨，石子需要( )吨。 【答案】 【分析】（）明确配比的含义：水泥、沙子、石子的质量比为，代表三种材料对应的份数分别为份、份、份，因为已知沙子的实际用量和沙子对应的份数，所以可以先求出每份材料的质量。 （）用沙子的实际质量除以沙子对应的份数，即可得到每份材料的质量。 （）得到每份材料的质量后，如果要计算石子的需要量，那么用每份的质量乘以石子对应的份数即可。 【详解】①已知：水泥沙子石子 沙子占份，用了吨， 每份材料：（吨） ②石子：（吨） 【练习7】和面时大米粉和糯米粉质量比是3∶2，若大米粉用6千克，需要糯米粉( )千克；若糯米粉用8千克，需要大米粉( )千克。 【答案】 4 12 【分析】大米粉和糯米粉的比是3∶2，大米粉占3份，糯米粉占2份。已知大米粉6千克，就用6除以3得到1份重量，再乘糯米粉的2份；已知糯米粉8千克，就用8除以2得到1份重量，再乘大米粉的3份。 【详解】6÷3×2 ＝2×2 ＝4（千克） 8÷2×3 ＝4×3 ＝12（千克） 【典型例题8】李叔叔采摘一批玉露香梨，一共采摘480筐，将这批梨按7∶5的比例运往甲、乙两个仓库。甲、乙两个仓库各收到多少筐玉露香梨？ 【答案】 甲仓库收到筐，乙仓库收到筐 【分析】按比分配问题可将比转化为份数，用总数量除以总份数得到每份的量，再乘各部分对应的份数，即可求出各部分的数量。 【详解】（份） （筐） （筐） （筐） 答：甲仓库收到280筐玉露香梨，乙仓库收到200筐玉露香梨。 【练习8】王伯伯家的菜地有平方米，他在这块菜地里按照的面积比种了黄瓜和茄子。黄瓜地的面积是多少平方米？ 【答案】 360平方米 【分析】先求出总份数，再计算黄瓜地占总面积的几分之几，最后用乘法求出面积。 【详解】总份数：3＋1＝4 黄瓜占3份，所以种黄瓜的面积是菜地的。 黄瓜地的面积：480×＝360（平方米） 答：黄瓜地的面积是360平方米。 【典型例题9】学校图书馆科技书和故事书共1500本，科技书与故事书的比是2∶3。两种书各有多少本？ 【答案】科技书600本，故事书900本。 【分析】已知科技书与故事书的本数比是，即科技书占2份，故事书占3份，总份数为份；用两种书的总本数除以总份数求出1份的数量，再用1份的数量分别乘2、乘3，即可求出两种书的本数。 【详解】 （本） 科技书：（本） 故事书：（本） 答：科技书有600本，故事书有900本。 【练习9】新学期，六（一）班购置图书50本，要分给班上的男生和女生，男生人数和女生人数的比是1∶4，男生和女生各能分到多少本书？ 【答案】男生10本；女生40本 【分析】把图书的总本数看作单位“1”，男生分到的本数占全部本数的，女生分到的本数占全部本数的，最后用分数乘法求出男生、女生各分到多少本图书。 【详解】男生：50×＝10（本） 女生：50×＝40（本） 答：男生分到10本书，女生分到40本书。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 【典型例题10】为了增加学生的阅读量，王老师为本班的图书角购买了故事类、科技类、作文类三种图书，共150本。其中故事类图书占图书总数的，科技类和作文类图书的数量比是2∶5。这三种图书分别购买了多少本？ 【答案】故事类图书45本；科技类图书30本；作文类图书75本 【分析】“故事类图书占图书总数的”将图书总数看作单位“1”，用图书总数乘可算得故事类图书本数，用图书总数减去故事类图书本数可算得科技类和作文类图书总数，科技类和作文类图书的数量比是2∶5，科技类图书是2份，作文类图书是5份，科技类和作文类图书总数是这样的（份），用科技类和作文类图书总数除以7可算得1份对应的数量，用1份对应的数量乘2可算得科技类图书的本数，用1份对应的数量乘5可算得作文类图书的本数。 【详解】故事类图书数量：（本） 科技类和作文类图书总数量：（本） 总份数： 1份对应的数量：（本） 科技类图书数量：（本） 作文类图书数量：（本） 答：故事类图书45本，科技类图书30本，作文类图书75本。 【练习10】学校图书室购进900本新书，其中是科技书，其余的是文艺书和历史读本，文艺书和历史读本的数量比是3∶2。文艺书和历史读本各有多少本？ 【答案】 文艺书有本，历史读本有本。 【分析】根据题意可知新书的总数被看作单位“”。文艺书和历史读本占总数的。求一个数的几分之几是多少用乘法，先求出文艺书和历史读本的总数量。再按二者的数量比进行分配，分别计算两种书的数量。 【详解】文艺书和历史读本的总本数： （本） 总份数： 文艺书的本数：（本） 历史读本的本数：（本） 答：文艺书有本，历史读本有本。 考点4、比例和正比例 【典型例题11】求出比例式中未知数的值。 0.7∶x＝14∶   x∶1＝4∶   ＝   ∶x＝∶ 【答案】x＝；x＝36；x＝5.4；x＝ 【分析】①根据比例的内项积等于外项积将比例转化为方程，然后等式两边再同时除以14； ②根据比例的内项积等于外项积将比例转化为方程，然后等式两边再同时除以； ③等式两边交叉相乘，然后等式两边再同时除以10； ④根据比例的内项积等于外项积将比例转化为方程，然后等式两边再同时除以。 【详解】0.7∶x＝14∶ 解：14x＝0.7× 14x＝ 14x÷14＝÷14 x＝× x＝ x∶1＝4∶ 解：x＝4 x÷＝4÷ x×9＝4×9 x＝36 ＝ 解：10x＝18×3 10x＝54 10x÷10＝54÷10 x＝5.4 ∶x＝∶ 解：x＝× x＝ x÷＝÷ x×2＝×2 x＝ 【练习11】解比例。        x∶1.4＝0.7∶0.2            【答案】；；； 【分析】解比例：应用比例的基本性质，即两个外项的积＝两个内项的积。 第一道：先利用比例的基本性质变形后，再利用等式的性质2：两边同时乘3求得； 第二道：先利用比例的基本性质变形后，再利用等式的性质2：两边同时除以0.2求解； 第三道：先利用比例的基本性质变形后，再利用等式的性质2：两边同时除以6求解； 第四道：先利用比例的基本性质变形后，再利用等式的性质2：两边同时除以2.4求解。 【详解】 解： x∶1.4＝0.7∶0.2 解：0.2 x＝1.4×0.7 0.2x÷0.2＝1.4×0.7÷0.2 x＝0.98÷0.2 x＝4.9 解：4.5×2.2＝6 x 9.9＝6x 9.9÷6＝6x÷6 1.65＝x x＝1.65 解：1.8∶2.4＝ x∶4.5 1.8×4.5＝2.4 x 8.1＝2.4x 8.1÷2.4＝2.4x÷2.4 3.375＝x x＝3.375 【典型例题12】下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．24∶10和46∶18 B．11∶33和22∶66 C．0.8∶5和16∶25 D．0.4∶0.2和 【答案】B 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，假设各选项中的两个比可以组成比例，逐一计算。 【详解】A．24×18＝432，10×46＝460，432≠460，所以24∶10和46∶18不能组成比例； B．11×66＝726，33×22＝726，726＝726，所以11∶33和22∶66能组成比例； C．0.8×25＝20，5×16＝80，20≠80，所以0.8∶5和16∶25不能组成比例； D．0.4×4＝1.6，0.2×＝0.12，1.6≠0.12，所以0.4∶0.2和∶4不能组成比例。 【练习12】下面两个比不能组成比例的是（    ）。 A．10∶12和35∶42 B．20∶10和60∶20 C．4∶3和60∶45 D．1.5∶0.3和15∶3 【答案】B 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．10∶12和35∶42 10×42＝420；12×35＝420 420＝420，所以10∶12和35∶42能组成比例。 B．20∶10和60∶20 20×20＝400；10×60＝600 400≠600，所以20∶10和60∶20不能组成比例。 C．4∶3和60∶45 4×45＝180；3×60＝180 180＝180，所以4∶3和60∶45能组成比例。 D．1.5∶0.3和15∶3 1.5×3＝4.5；0.3×15＝4.5 4.5＝4.5，所以1.5∶0.3和15∶3能组成比例。 两个比不能组成比例的是20∶10和60∶20。 故答案为：B 【典型例题13】有两个相关联的变量x和y，它们的关系可以用下图表示，这两个量不可能是（    ）。 A．订阅《父母课堂》的总价与份数。 B．正方体的表面积和它的棱长。 C．花生的出油率一定，花生的总量与榨出的花生油的质量。 D．同一时刻，同一地点，树的高度和它的影长。 【答案】B 【分析】题目给出的图像是一条经过原点（0，0）的直线，即表示纵坐标变量和横坐标变量之间存在正比例关系；正比例是指两个变量的比值恒定，据此逐项判断即可。 【详解】A．根据公式单价＝总价÷份数，当单价固定不变时，总价和份数成正比例，此选项正确； B．根据正方体表面积公式（）可知，表面积除以棱长的值不是固定不变的，故正方体的表面积和棱长不成正比例关系，此选项错误； C．根据公式出油率＝榨出的花生油的质量÷花生的总量可知，当出油率固定不变时，花生的总量与榨出的花生油的质量成正比例关系，此选项正确； D．在同一时刻和地点，物体的高度与其影长成正比关系，故同一时刻，同一地点，树的高度除以树的影长是一个固定值，树的高度和它的影长成正比例关系，此选项正确。 【练习13】有两种相关联的量，它们的关系如图，这两个量是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．工作量一定时，工作时间和工作效率 C．小华看《红楼梦》，看了的页数和未看的页数 D．同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度 【答案】D 【分析】两种相关联的量的比值一定，这两种量成正比例关系，题图中的图像是一条直线，成正比例关系的两种量的图像是一条经过原点的直线。逐项分析选项中的两种量是否成正比例。 【详解】依据分析： A．正方体的表面积和它的棱长，表面积∶棱长＝棱长×6（不一定）比值不一定，所以正方体的表面积和它的棱长不成比例。不符合题意。 B．工作时间×工作效率＝工作量，工作量一定，积是定值，属于反比例，不符合题意。 C．看一本书，看了的页数＋未看的页数＝总页数（一定），和一定，所以看了的页数和未看的页数不成比例，不符合题意。 D．同一时间同一地点，物体高度：影长＝固定比值，比值一定，成正比例，与图像特征一致，符合题意。 【典型例题14】如图是一个水龙头打开后出水量情况统计，根据下边的图象，这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，根据图象判断，35秒能出水( )升。 【答案】 正 7 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。 从图中可以看出10秒出水2升，出水量÷时间＝每秒出水量，进而可以算出35秒的出水量； 【详解】出水量÷时间＝每秒出水量（定值），比值一定，成正比例。 看图：10秒出水2升 2÷10＝0.2（升/秒） 35×0.2＝7（升） 【练习14】用弹簧秤称物品时，物品的质量与弹簧长度的变化情况如下图。（假设此题数据均在弹簧的弹性限度内） (1)弹簧本身的长度是( )厘米。 (2)物品质量每增加10克，弹簧长度就会增加( )厘米，物品的质量和弹簧伸长的长度成( )比例关系。 (3)用这个弹簧秤称90克的物品时，弹簧的长度是( )厘米。 【答案】(1)20 (2) 2 正 (3)38 【分析】（1）从表中找到质量为0，所对应的弹簧长度，就是弹簧本身的长度； （2）挂10克物体，弹簧长22厘米；挂20克物体，弹簧长24厘米；挂30克物体，弹簧长26厘米……；挂物体时的弹簧长减去原长度就是弹簧增加的长度。物品的质量与弹簧伸长的长度的乘积一定则成反比例关系，物品的质量与弹簧伸长的长度的比值一定则成正比例关系； （3）90克包含9个10克，用9乘每增加10克，弹簧长度增加的长度再与原长度相加，据此解答。 【详解】（1）质量为0时，所对应的弹簧长度是20厘米，所以弹簧本身的长度是20厘米。 （2）因为22－20＝2（厘米），24－22＝2（厘米）……30－28＝2（厘米），所以物品质量每增加10克，弹簧长度就会增加2厘米。 因为是定值，所以物品的质量和弹簧伸长的长度成正比例。 （3）90÷10×2＋20 ＝9×2＋20 ＝18＋20 ＝38（厘米） 故用这个弹簧秤称90克的物品时，弹簧的长度是38厘米。 【典型例题15】小美家用一种方砖装修厨房地面，200块能铺50平方米。照这样计算，小美家厨房地面有12平方米，一共需要多少块这样的方砖？ 【答案】48块 【分析】可以通过比例关系求解，因为每块方砖面积固定时，铺设面积与方砖数量成正比例关系，可据此列比例式计算。 【详解】解：设一共需要x块这样的方砖。 50∶200＝12∶x 50x＝200×12 x＝2400÷50 x＝48 答：一共需要48块这样的方砖。 【练习15】原地慢跑踩中了现代人“想健身又怕麻烦”的痛点，是当下非常火的一种便捷运动方式。李阿姨用原地慢跑的方式锻炼身体，10分钟跑了1800步，照这样计算，她每天原地慢跑45分钟，每天共跑多少步？（用比例解答） 【答案】8100步 【分析】总步数与跑步的时间的比值等于每分钟跑步的步数，根据题中“照这样计算”，说明每分钟跑的步数不变，可知总步数与跑步时间成正比例关系；因此设李阿姨每天原地慢跑45分钟共跑x步；利用两次总步数与跑步时间的比值相等列出比例式；根据比例的基本性质解比例即可解答。 【详解】解：设每天共跑x步。 1800∶10＝x∶45 10x＝1800×45 10x＝81000 10x÷10＝81000÷10 x＝8100 答：每天共跑8100步。 【典型例题16】配制消毒水，消毒液与清水体积比1∶120。 (1)有60毫升消毒液，需要加多少毫升清水？ (2)现有960毫升清水，需要加入多少毫升消毒液？ 【答案】(1)7200毫升 (2)8毫升 【分析】（1）配制消毒水时，消毒液与清水体积比1∶120，也就是消毒液与清水的体积成比例，有60毫升消毒液，设需要加x毫升清水，列出比例式求解即可； （2）消毒液与清水的体积成比例，960毫升清水，设需要加入y毫升消毒液，列出比例式求解即可。 【详解】（1）解：设需要清水x毫升。 1∶120＝60∶x x＝120×60 x＝7200 答：需要加7200毫升清水。 （2）解：设需要消毒液毫升。 1∶120＝y∶960 120y＝960 120y÷120＝960÷120 y＝8 答：需要加入8毫升消毒液。 【练习16】一种药水是用药粉和水按3∶100配制而成的，现在有药粉87千克，需加多少千克的水才能配成所要的药水？（用比例解答） 【答案】2900千克 【分析】两种相关联的量，对应的数有相除的关系，且这两个量的比值（也就是商）一定，这两种量就成正比例关系。已知药粉和水的质量比为，则这两种量有相除的关系，二者比值为，是固定不变的，所以药粉和水成正比例关系。可设水的质量为千克，再根据正比例的意义，列比例式后根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）求解。 【详解】解：设需加千克的水。 答：需加2900千克的水才能配成所要的药水。 考点5、比例的应用 【典型例题17】修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，大齿轮有30个齿，小齿轮有15个齿，当大齿轮转动5圈时，小齿轮转动（    ）圈。 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】相互咬合的两个齿轮，相同时间内转过的总齿数相等，大齿轮转过的总齿数等于小齿轮转过的总齿数。先算大齿轮转5圈的总齿数，再用总齿数除以小齿轮一圈15个齿即可求解。 【详解】大齿轮转动5圈的总齿数： （个） 小齿轮转动的圈数：（圈） 【练习17】地球与太阳的实际平均距离大约是1.5亿千米，海王星与太阳的实际平均距离大约是45亿千米。科学课上，小明要将它们的位置制作成模型，他将“地球”与“太阳”的距离设定为3厘米。那么按照这个比例，模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”（    ）厘米。 A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】C 【分析】设模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”x厘米。根据海王星与太阳的实际平均距离与地球与太阳的实际平均距离的比值不变列出比例式，再解比例即可。 【详解】解：设模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”x厘米 45∶1.5＝x∶3 1.5x＝45×3 1.5x＝135 x＝135÷1.5 x＝90 【典型例题18】欢欢和乐乐一起照相，欢欢身高1.4米，在照片上她的高是4厘米，乐乐在照片上高3厘米，乐乐的身高是( )米。 【答案】1.05 【分析】欢欢的身高∶欢欢照片上的身高＝乐乐的身高∶乐乐照片上的身高，据此列比例并解答。 【详解】解：设乐乐的身高是x米 1.4∶4＝x∶3 4x＝1.4×3 4x＝4.2 4x÷4＝4.2÷4 x＝1.05 乐乐的身高是1.05米。 【练习18】某广场的古树已有600多年历史。浩浩的身高是160厘米，阳光下的影子长是80厘米，这时古树的影长是6.5米。这棵古树实际的高度是( )米。 【答案】 13 【分析】在同一时刻，不同物体的高度与影长的比值相等，则浩浩的身高∶他的影长＝古树的高度∶树的影长。设古树实际高x米，列出比例解决问题。 【详解】解：设古树实际高x米。 【典型例题19】同一时间、同一地点，测得路灯影长9米，旁边一根1.5米标杆影长0.9米，路灯高多少米？ 【答案】15米 【分析】标杆和路灯同时测量，高度与影长成正比例。标杆数据对应标杆，路灯数据对应路灯。 【详解】解∶设路灯高x米。 1.5∶0.9＝x∶9 0.9x＝1.5×9 0.9x＝13.5 0.9x÷0.9＝13.5÷0.9 x＝15 答：路灯高15米。 【练习19】上午某时刻，小红测量一棵大树，大树一部分影子落在墙上，墙上影子高2米，地面上能看到的影子长6米；她同时立一根1米竹竿，影长0.8米。求大树总高度。 【答案】9.5米 【分析】墙上的影子相当于竖直的一段，先算出这段高度对应的地面影长，转化成全在地面的影子再计算。 【详解】由1米竹竿影长0.8米，得高度∶影长＝1∶0.8 墙上2米高的影子，如果投影到地面，影长∶2×0.8＝1.6（米） 大树完整投影到地面总长度∶6＋1.6＝7.6（米） 解∶设大树总高h米。 1∶0.8＝h∶7.6 0.8h＝7.6 0.8h÷0.8＝7.6÷0.8 h＝9.5 答∶大树总高9.5米。 巩固练习 一、填空题 1．如果（a、b、c、d均不为0），那么( )×( )＝( )×( )。 【答案】 【分析】根据分数和比的关系，分子相当于前项，分母相当于后项，即，； 可以看作比例，，即和为外项，和为内项； 最后根据比例的基本性质进行求解。 【详解】因为， 所以 因此 2．一种杀虫剂，是用药粉和水按1∶5的质量比配制而成的，9.5千克的药粉需要准备水( )千克。 【答案】47.5 【分析】题目中已知药粉和水的比是1∶5，则这种杀虫剂中，药粉占1份，水占5份，且知道药粉的重量为9.5千克，用药粉的重量除以药粉占的份数求出1份的重量，再用1份的重量乘水的份数就可以求出水的重量。 【详解】9.5÷1×5 ＝9.5×5 ＝47.5（千克） 3．( )∶10＝16∶( )＝12∶( )＝。 【答案】 8 20 15 【分析】根据比与分数的关系，，再利用比的基本性质，比的前项和后项同时乘2，就可以得到；比的前项和后项同时乘4，就可以得到；比的前项和后项同时乘3，就可以得到。 【详解】 综上， 4．4∶0.25的比值是( )，如果后项乘4，要使比值不变，前项应该( )，前项和后项都除以0.5，比值是( )。 【答案】 16 乘4 16 【分析】（1）比值是比的前项除以后项的商。 （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。 【详解】4∶0.25＝4÷0.25＝16 根据比的基本性质，要让比值不变，前项也应该乘4。 前项和后项都除以0.5，属于同时除以同一个不为0的数，符合比的基本性质，所以比值不变，还是16。 4∶0.25的比值是16，如果后项乘4，要使比值不变，前项应该乘4，前项和后项都除以0.5，比值是16。 5．写出一个比例，其中两个比的比值都是2.5，两个外项都是2。( )。 【答案】2∶0.8＝5∶2 【分析】已知比例的两个外项都是2，设这个比例为2∶a＝b∶2，则2∶a＝2.5，b∶2＝2.5，用前项除以比值求出a的值，用比值乘后项求出b的值；写出对应的比例即可。 【详解】设这个比例为2∶a＝b∶2。 a＝2÷2.5＝0.8 b＝2.5×2＝5 所以这个比例为2∶0.8＝5∶2。 6．某种大米的数量与总价关系如下表。将表中数据补充完整。表中存在的数量关系是（    ），用表达式表达是（    ）。 数量x（袋） 1 27 总价y（元） 35 70 945 【答案】正比例关系；单价＝总价÷数量；2 【分析】判断两种量成什么比例关系，关键是看商一定还是积一定，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。根据单价×数量＝总价，进行分析。 【详解】35÷1＝35（元）、945÷27＝35（元）、70÷35＝2（袋） 表中已知数量和总价，根据单价、数量和总价之间的关系，用表达式表达是单价＝总价÷数量，表中存在的数量关系是正比例关系。 二、选择题 7．下列能与组成比例的比是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C． D． 【答案】B 【分析】判断两个比能否组成比例，只需看两者的比值是否相等，先求出题干中比的比值，再对比各选项的比值即可。 【详解】 A．，与题干比值不相等，不符合题意； B．，与题干比值相等，符合题意； C．，与题干比值不相等，不符合题意； D．，与题干比值不相等，不符合题意。 8．“优果园”水果超市某天上午售出草莓和菠萝质量的比是3∶7，草莓比菠萝少售32千克。这天上午，该水果超市售出草莓和菠萝共（    ）千克。 A．48 B．66 C．80 D．110 【答案】C 【分析】已知草莓和菠萝质量的比是3∶7，则草莓的质量占3份，菠萝的质量占7份，且还知道草莓比菠萝少售32千克，用求出草莓比菠萝少售的份数，再用草莓比菠萝少售的质量除以少售的份数求出1份的质量，最后用1份的质量乘草莓和菠萝的总份数求出总质量。 【详解】 （千克） 草莓和菠萝的总质量： （千克） 9．为响应国家“碳达峰”“碳中和”低碳环保政策和号召。某村有700户家庭进行冬季取暖“煤改电”改造。施工队14天改造的户数与未改造的户数比是，施工队再改造（ ）户就能完成全村的“煤改电”改造工程。 A．140 B．420 C．280 D．360 【答案】C 【分析】已知改造户数与未改造户数的比是，先求出总份数，再计算未改造户数占总户数的分率，用总户数乘这个分率就能得到还需要改造的户数。 【详解】总份数：（份） 未改造户数： （户） 10．下面每组数不能组成比例的是（    ）。 A．2，3，4和6 B．3，5，6和10 C．1，2，3和4 D．，，8和12 【答案】C 【分析】判断四个数能否组成比例，依据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，只需验证四个数中是否存在两组数的乘积相等即可。 【详解】A．，，乘积相等，可以组成比例； B．，，乘积相等，可以组成比例； C．，，，乘积不相等，不能组成比例； D．，，乘积相等，可以组成比例。 11．比例3∶5＝0.9∶1.5的外项3增加12，要使比例成立，内项0.9应该增加（    ）。（5与1.5保持不变） A．3.6 B．2.4 C．1.2 D．0.9 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，先计算外项3增加12之后的新外项数值，再结合另一个不变的外项1.5，计算变化后的两个外项的乘积。因为两个内项的乘积需要和外项乘积相等，且内项5保持不变，所以用外项新的乘积除以5，得到变化后的内项0.9对应的新数值。用变化后的内项新数值减去原来的内项0.9，即可得到0.9需要增加的量。 【详解】 12．有两个相关联的变量x和y，它们的关系可以用下图表示，这两个量不可能是（    ）。 A．订阅《父母课堂》的总价与份数。 B．正方体的表面积和它的棱长。 C．花生的出油率一定，花生的总量与榨出的花生油的质量。 D．同一时刻，同一地点，树的高度和它的影长。 【答案】B 【分析】题目给出的图像是一条经过原点（0，0）的直线，即表示纵坐标变量和横坐标变量之间存在正比例关系；正比例是指两个变量的比值恒定，据此逐项判断即可。 【详解】A．根据公式单价＝总价÷份数，当单价固定不变时，总价和份数成正比例，此选项正确； B．根据正方体表面积公式（）可知，表面积除以棱长的值不是固定不变的，故正方体的表面积和棱长不成正比例关系，此选项错误； C．根据公式出油率＝榨出的花生油的质量÷花生的总量可知，当出油率固定不变时，花生的总量与榨出的花生油的质量成正比例关系，此选项正确； D．在同一时刻和地点，物体的高度与其影长成正比关系，故同一时刻，同一地点，树的高度除以树的影长是一个固定值，树的高度和它的影长成正比例关系，此选项正确。 13．如果，那么与的比是（    ）。 A．3∶20 B．2∶5 C．15∶4 D．5∶12 【答案】A 【分析】先把A和C都用B表示出来，再计算A与C的最简整数比即可。 【详解】 所以，与的比是3∶20。 14．经过调查，人一天内用于睡眠、吃饭、活动的时间约占，用于睡眠、吃饭、活动的时间比是8∶3∶4，其中用于吃饭的时间约是（    ）小时。 A．8 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】一天的总时长是24小时，把总时长看作单位“1”，人一天内用于睡眠、吃饭、活动的时间约占，用于睡眠、吃饭、活动的时间＝总时长×，用于睡眠、吃饭、活动的时间比是8∶3∶4，先用除法求出比中每份的时长，再乘用于吃饭的时间所占的份数。 【详解】一天＝24小时 24×＝15（小时） 15÷（8＋3＋4）×3 ＝15÷15×3 ＝1×3 ＝3（小时） 所以，用于吃饭的时间约是3小时。 三、计算题 15．先化简下列各比，再求出比值。 48∶20         0.9∶1.35           吨∶600千克 【答案】 ，； ，； ，； ， 【分析】整数比化简：将前项和后项同时除以最大公因数，之后用前项除以后项得到比值。 小数比化简：先根据小数位数把前后项同时扩大相同的倍数转化为整数比，再按照整数比的化简方法处理，最后计算比值。 分数比化简：将前后项同时乘两个分母的最小公倍数转化为整数比，再化简为最简整数比后计算比值。 带单位的比化简：因为单位不统一无法直接化简，所以先根据1吨＝1000千克把前后项的单位换算成统一单位，再按照对应类型的比化简方法处理，最后计算比值。 【详解】48∶20＝（48÷4）∶（20÷4）＝12∶5，48∶20＝12÷5＝ 0.9∶1.35＝（0.9×100）∶（1.35×100）＝90∶135＝（90÷45）∶（135÷45）＝2∶3，0.9∶1.35＝2÷3＝ ＝（）∶（）＝21∶20，＝21÷20＝ 吨∶600千克＝750千克∶600千克＝5∶4，吨∶600千克＝5÷4＝ 16．解比例。     【答案】；， 【分析】根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积转化为，再根据等式的性质2两边同时除以解方程。 根据比例的基本性质转化为，再根据等式的性质2两边同时除以3解方程。 根据比例的基本性质转化为，再根据等式的性质2两边同时除以7解方程。 【详解】 解： 解： 解： 四、解答题 17．同一时间同一地点，一根2米长竹竿影长1.6米，一棵小树影长4米，小树高多少米？ 【答案】5米 【分析】同时间同地点，物高和影长成正比例，列比例解答。 【详解】解∶设小树高x米。 2∶1.6＝x∶4 1.6x＝2×4 1.6x＝8 1.6x÷1.6＝8÷1.6 x＝5 答∶小树高5米。 18．育才小学六年级学生分三批参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5∶4，第二批和第三批的人数比是3∶2，已知第一批人数比第二、三批人数的总和少15人。六年级参观的有多少人？ 【答案】105人 【分析】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质；先根据比的基本性质统一两个比中第二批的份数，即给第一批和第二批的人数比的前项和后项同时乘3，第二批和第三批的人数比同时乘4，得到三批人数的连比；再算出第一批比第二、三批总和少的份数，用少的人数除以份数差得到1份的人数，最后乘总份数得到总人数。 【详解】 三批人数比为 （人） 答：六年级参观的有105人。 19．智能停车场可以实现快速入场、出场以及自动计费。某智能停车场一段时间内驶出小型汽车和中型汽车共208辆，小型汽车占中型汽车数量的，该智能停车场这段时间内驶出小型汽车和中型汽车各多少辆? 【答案】 小型汽车130辆；中型汽车78辆 【分析】根据小型汽车占中型汽车数量的，可知小型汽车与中型汽车的数量比为5∶3，把驶出小型汽车和中型汽车的总数量看作单位“1”，则小型汽车占总数量的，中型汽车占总数量的，用总数量分别乘两种汽车的分率，即可解答。 【详解】小型汽车：208×＝208×＝130（辆） 中型汽车：208×＝208×＝78（辆） 答：该智能停车场这段时间内驶出小型汽车130辆，中型汽车78辆。 20．有甲、乙两个粮仓，乙粮仓的存粮比甲粮仓少120 吨，甲粮仓存粮的等于乙粮仓存粮的。甲、乙两个粮仓各存粮多少吨？ 【答案】480吨；360吨 【分析】根据甲粮仓存粮的等于乙粮仓存粮的列式为：甲粮仓存粮×=乙粮仓存粮×，根据比例的基本性质把式子变为比例式为：，化简得：；先用乙粮仓的存粮比甲粮仓少的120 t除以甲、乙两仓库的存粮份数差，得到每份数；然后用每份数分别乘甲、乙两个粮仓所对应份数，即可计算得到甲、乙两个粮仓存粮各是多少吨。 【详解】甲粮仓存粮×=乙粮仓存粮× （吨） （吨） （吨） 答：甲、乙两个粮仓各存粮480吨、360吨。 21．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的数据统计表。 行驶路程y/km 25 50 75 100 耗油量x/L 2 4 6 8 (1)如果这辆汽车从甲地出发前往乙地，共耗油14升，从甲地到乙地行驶了多少千米？（先写表达式，再解答） (2)如果这辆汽车从乙地出发时里程表读数为12785千米，到达丙地时里程表读数为13235千米，从乙地到丙地共耗油多少升？ 【答案】(1)175千米 表达式： 当时： 答：从甲地到乙地行驶了175千米。 (2)36升 【分析】根据表格数据，汽车行驶路程与耗油量的比值（每升油可行驶的路程）固定，二者成正比例关系。（1）先写出路程与耗油量的正比例表达式，再代入耗油量计算路程；（2）先通过里程表读数差求出乙地到丙地的路程，再根据正比例关系计算耗油量。 【详解】（1）计算每升油可行驶的路程： （千米） 表达式：（表示行驶路程，表示耗油量） 当时： 答：从甲地到乙地行驶了175千米。 （2）计算乙地到丙地的行驶路程： （千米） 设从乙地到丙地共耗油升，根据正比例关系： 答：从乙地到丙地共耗油36升。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 比和比例 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识导图 知识梳理 知识点 1：比的意义和各部分名称 (1) 比的意义 ① 表示两个数的倍数关系的式子，叫作比。 (2) 各部分的名称 ① “∶”是比号，比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。 ② 例：在 3∶6 中，3 是前项，6 是后项。 (3) 比与比值的区别 ① 比是两个数相除的关系，用比号或分数形式表示，通常有两项。 ② 比值是比的前项除以后项所得的商，是一个具体的数值。 【易错点】 ① 把“比”和“比值”混为一谈：比表示关系，比值是具体的数值。 ② 分不清前项、后项：前项在比号前，后项在比号后，不要颠倒。 ③ 忽略比的后项不能为 0（除以 0 没有意义）。 知识点 2：比与除法、分数的关系（求比值） (1) 求比值 ① 前项 ÷ 后项 ＝ 比值。 ② 比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。 (2) 比、除法、分数的关系 ① a∶b ＝ a÷b ＝ （b 不为 0）。 ② 比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；后项相当于除法的除数、分数的分母；比号相当于除号、分数线；比值相当于除法的商、分数的分数值。 【易错点】 ① 求比值时前项、后项颠倒：应是“前项÷后项”，不是“后项÷前项”。 ② 比值忘记化简或用错表示形式。 ③ 忽略除数为 0 无意义：比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。 知识点 3：比的基本性质与化简比 (1) 比的基本性质 ① 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。 ② 它类似于分数的基本性质和除法中的商不变性质。 (2) 化简比 ① 应用比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比（前项、后项是互质数）。 ② 整数比：前项、后项同时除以它们的最大公因数。 ③ 分数比：先化成整数比再化简；小数比：先化成整数比再化简。 【易错点】 ① 漏掉“0 除外”：同乘或同除以 0 没有意义。 ② 把“化简比”与“求比值”混淆：化简比的结果仍是比（如 3∶2），求比值的结果是数值（如 ）。 ③ 化简后前项、后项还不是互质数，没有化成最简单的整数比。 知识点 4：比的应用（按比分配） (1) 按比分配的方法 ① 把比转化为分数，先求出各部分量占总量的几分之几，再用总数量 × 几分之几求出各部分。 ② 例：五、六年级共 56 人，人数比 5∶3，总份数 5＋3＝8，五年级 56×＝35（人），六年级 56×＝21（人）。 (2) 已知两个量的比和一个部分量，求另一个部分量 ① 根据比值相等列比例式求解。 ② 利用部分量之间的倍比关系求解。 ③ 把一部分量看作单位“1”，根据分率求解。 【易错点】 ① 忘记求总份数（前项＋后项）。 ② 把比分当成数量直接用错：要先算出各部分占总量的几分之几，再用总量去乘。 ③ 求出的各部分量之和应等于总量，忘记检验。 知识点 5：比例的意义和基本性质 (1) 比例的意义 ① 表示两个比相等的式子，叫作比例。 ② 例：25∶2 和 37.5∶3 的比值相等，可以组成比例 25∶2＝37.5∶3。 (2) 各部分的名称 ① 组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项叫作外项，中间的两项叫作内项。 (3) 比例的基本性质 ① 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。 ② 用字母表示：如果 a∶b＝c∶d（b、d 均不为 0），那么 ad＝bc。 (4) 解比例 ① 根据比例的基本性质（外项积＝内项积），求出比例中的未知项。 ② 例：解比例 x∶8＝5∶4，则 4x＝8×5，x＝10。 (5) 判断两个比能否组成比例 ① 方法一：根据比例的意义，看两个比的比值是否相等。 ② 方法二：根据比例的基本性质，假设能组成比例，看两个外项的积与两个内项的积是否相等。 【易错点】 ① 把“比”和“比例”混淆：比有两项，比例有四项。 ② 找错外项、内项：两端的是外项，中间的是内项。 ③ 解比例时交叉相乘错位，或忘记“外项积＝内项积”这一依据。 知识点 6：正比例 (1) 正比例的意义 ① 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 (2) 正比例的图象 ① 正比例关系的图象是一条直线。 (3) 判断两种量是否成正比例的方法 ① 判断两种量是不是相关联的量（不是则不成正比例）。 ② 比较两种量中相对应的两个数的比值（比值不一定则不成；比值一定则成正比例）。 (4) 判断举例 ① 速度一定，时间和路程成正比例（路程÷时间＝速度，比值一定）。 ② 单价一定，总价和数量成正比例（总价÷数量＝单价，比值一定）。 ③ 男生人数＋女生人数＝全班人数（和一定），不是比值一定，不成正比例。 【易错点】 ① 看到两种量都在变化就误以为成正比例：必须“比值一定”才行。 ② 把“和一定”当成“比值一定”：如男生＋女生＝全班人数一定，是“和一定”，不成正比例。 ③ 判断时没有先确认两种量是否相关联。 典例精讲 考点1、比的意义 【典型例题1】同一时刻，一根4米竹竿，影长2.5米，高度和影长的比值是( )。 【练习1】小狗自重12千克，能拉动30千克重物；小猫自重3千克，能拉动10.5千克重物。拉动重量与自身体重的比值更大的是( )，说明它的负重能力更强。 【典型例题2】调配果汁，4杯苹果汁搭配3杯纯净水，苹果汁与水的杯数比是( )，水与苹果汁的杯数比是( )。 【练习2】某班男生人数与女生人数的比是，男生人数是女生人数的( )，女生人数与全班人数的比是( )。 【典型例题3】把3∶2的前项加上9，要使比值不变，后项应加上( )。 【练习3】5∶8的后项乘4，要使比值不变，前项应加上( )；如果前项加上10，那么后项应乘( )比值才不变。 考点2、化简比 【典型例题4】把、 改写成后项是100的比，分别是( )、( )。 【练习4】化简后是( )；若把这个比的后项改成15，前项应变为( )。 【典型例题5】化简下面各比，并求出比值。 5.6∶1.4            0.03∶0.3      0.21∶6.3 【练习5】化简下面各比并求比值。 ∶　　     0.8∶0.12           千克∶400克　　    1.5∶ 【典型例题6】笑笑用50克苹果，38克葡萄干，160克芒果，80克黄桃，65克西瓜制作了一份水果沙拉。 (1)写出苹果和西瓜的质量比。 (2)再写出两个不同的比。 【练习6】每天摄取适量的水果可以补充维生素。小月非常喜欢吃水果，妈妈买了6千克梨，用去30元；还买了5千克苹果，用去36元。 (1)梨和苹果的总价的比是多少？ (2)苹果和梨的单价的比是多少？ 考点3、比的应用 【典型例题7】水泥、沙子、石子配比1∶4∶6，搅拌混凝土时沙子用完24吨，每份材料是( )吨，石子需要( )吨。 【练习7】和面时大米粉和糯米粉质量比是3∶2，若大米粉用6千克，需要糯米粉( )千克；若糯米粉用8千克，需要大米粉( )千克。 【典型例题8】李叔叔采摘一批玉露香梨，一共采摘480筐，将这批梨按7∶5的比例运往甲、乙两个仓库。甲、乙两个仓库各收到多少筐玉露香梨？ 【练习8】王伯伯家的菜地有平方米，他在这块菜地里按照的面积比种了黄瓜和茄子。黄瓜地的面积是多少平方米？ 【典型例题9】学校图书馆科技书和故事书共1500本，科技书与故事书的比是2∶3。两种书各有多少本？ 【练习9】新学期，六（一）班购置图书50本，要分给班上的男生和女生，男生人数和女生人数的比是1∶4，男生和女生各能分到多少本书？ 【典型例题10】为了增加学生的阅读量，王老师为本班的图书角购买了故事类、科技类、作文类三种图书，共150本。其中故事类图书占图书总数的，科技类和作文类图书的数量比是2∶5。这三种图书分别购买了多少本？ 【练习10】学校图书室购进900本新书，其中是科技书，其余的是文艺书和历史读本，文艺书和历史读本的数量比是3∶2。文艺书和历史读本各有多少本？ 考点4、比例和正比例 【典型例题11】求出比例式中未知数的值。 0.7∶x＝14∶   x∶1＝4∶   ＝   ∶x＝∶ 【练习11】解比例。        x∶1.4＝0.7∶0.2            【典型例题12】下面各组中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．24∶10和46∶18 B．11∶33和22∶66 C．0.8∶5和16∶25 D．0.4∶0.2和 【练习12】下面两个比不能组成比例的是（    ）。 A．10∶12和35∶42 B．20∶10和60∶20 C．4∶3和60∶45 D．1.5∶0.3和15∶3 【典型例题13】有两个相关联的变量x和y，它们的关系可以用下图表示，这两个量不可能是（    ）。 A．订阅《父母课堂》的总价与份数。 B．正方体的表面积和它的棱长。 C．花生的出油率一定，花生的总量与榨出的花生油的质量。 D．同一时刻，同一地点，树的高度和它的影长。 【练习13】有两种相关联的量，它们的关系如图，这两个量是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．工作量一定时，工作时间和工作效率 C．小华看《红楼梦》，看了的页数和未看的页数 D．同一时间、同一地点每棵树的高度和它的影子的长度 【典型例题14】如图是一个水龙头打开后出水量情况统计，根据下边的图象，这个水龙头打开的时间和出水量成( )比例，根据图象判断，35秒能出水( )升。 【练习14】用弹簧秤称物品时，物品的质量与弹簧长度的变化情况如下图。（假设此题数据均在弹簧的弹性限度内） (1)弹簧本身的长度是( )厘米。 (2)物品质量每增加10克，弹簧长度就会增加( )厘米，物品的质量和弹簧伸长的长度成( )比例关系。 (3)用这个弹簧秤称90克的物品时，弹簧的长度是( )厘米。 【典型例题15】小美家用一种方砖装修厨房地面，200块能铺50平方米。照这样计算，小美家厨房地面有12平方米，一共需要多少块这样的方砖？ 【练习15】原地慢跑踩中了现代人“想健身又怕麻烦”的痛点，是当下非常火的一种便捷运动方式。李阿姨用原地慢跑的方式锻炼身体，10分钟跑了1800步，照这样计算，她每天原地慢跑45分钟，每天共跑多少步？（用比例解答） 【典型例题16】配制消毒水，消毒液与清水体积比1∶120。 (1)有60毫升消毒液，需要加多少毫升清水？ (2)现有960毫升清水，需要加入多少毫升消毒液？ 【练习16】一种药水是用药粉和水按3∶100配制而成的，现在有药粉87千克，需加多少千克的水才能配成所要的药水？（用比例解答） 考点5、比例的应用 【典型例题17】修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，大齿轮有30个齿，小齿轮有15个齿，当大齿轮转动5圈时，小齿轮转动（    ）圈。 A．5 B．10 C．15 D．20 【练习17】地球与太阳的实际平均距离大约是1.5亿千米，海王星与太阳的实际平均距离大约是45亿千米。科学课上，小明要将它们的位置制作成模型，他将“地球”与“太阳”的距离设定为3厘米。那么按照这个比例，模型中“海王星”的位置应该距离“太阳”（    ）厘米。 A．30 B．60 C．90 D．120 【典型例题18】欢欢和乐乐一起照相，欢欢身高1.4米，在照片上她的高是4厘米，乐乐在照片上高3厘米，乐乐的身高是( )米。 【练习18】某广场的古树已有600多年历史。浩浩的身高是160厘米，阳光下的影子长是80厘米，这时古树的影长是6.5米。这棵古树实际的高度是( )米。 【典型例题19】同一时间、同一地点，测得路灯影长9米，旁边一根1.5米标杆影长0.9米，路灯高多少米？ 【练习19】上午某时刻，小红测量一棵大树，大树一部分影子落在墙上，墙上影子高2米，地面上能看到的影子长6米；她同时立一根1米竹竿，影长0.8米。求大树总高度。 巩固练习 一、填空题 1．如果（a、b、c、d均不为0），那么( )×( )＝( )×( )。 2．一种杀虫剂，是用药粉和水按1∶5的质量比配制而成的，9.5千克的药粉需要准备水( )千克。 3．( )∶10＝16∶( )＝12∶( )＝。 4．4∶0.25的比值是( )，如果后项乘4，要使比值不变，前项应该( )，前项和后项都除以0.5，比值是( )。 5．写出一个比例，其中两个比的比值都是2.5，两个外项都是2。( )。 6．某种大米的数量与总价关系如下表。将表中数据补充完整。表中存在的数量关系是（    ），用表达式表达是（    ）。 数量x（袋） 1 27 总价y（元） 35 70 945 二、选择题 7．下列能与组成比例的比是（    ）。 A．5∶7 B．7∶5 C． D． 8．“优果园”水果超市某天上午售出草莓和菠萝质量的比是3∶7，草莓比菠萝少售32千克。这天上午，该水果超市售出草莓和菠萝共（    ）千克。 A．48 B．66 C．80 D．110 9．为响应国家“碳达峰”“碳中和”低碳环保政策和号召。某村有700户家庭进行冬季取暖“煤改电”改造。施工队14天改造的户数与未改造的户数比是，施工队再改造（ ）户就能完成全村的“煤改电”改造工程。 A．140 B．420 C．280 D．360 10．下面每组数不能组成比例的是（    ）。 A．2，3，4和6 B．3，5，6和10 C．1，2，3和4 D．，，8和12 11．比例3∶5＝0.9∶1.5的外项3增加12，要使比例成立，内项0.9应该增加（    ）。（5与1.5保持不变） A．3.6 B．2.4 C．1.2 D．0.9 12．有两个相关联的变量x和y，它们的关系可以用下图表示，这两个量不可能是（    ）。 A．订阅《父母课堂》的总价与份数。 B．正方体的表面积和它的棱长。 C．花生的出油率一定，花生的总量与榨出的花生油的质量。 D．同一时刻，同一地点，树的高度和它的影长。 13．如果，那么与的比是（    ）。 A．3∶20 B．2∶5 C．15∶4 D．5∶12 14．经过调查，人一天内用于睡眠、吃饭、活动的时间约占，用于睡眠、吃饭、活动的时间比是8∶3∶4，其中用于吃饭的时间约是（    ）小时。 A．8 B．3 C．4 D．7 三、计算题 15．先化简下列各比，再求出比值。 48∶20         0.9∶1.35           吨∶600千克 16．解比例。     四、解答题 17．同一时间同一地点，一根2米长竹竿影长1.6米，一棵小树影长4米，小树高多少米？ 18．育才小学六年级学生分三批参观科技馆。第一批和第二批的人数比是5∶4，第二批和第三批的人数比是3∶2，已知第一批人数比第二、三批人数的总和少15人。六年级参观的有多少人？ 19．智能停车场可以实现快速入场、出场以及自动计费。某智能停车场一段时间内驶出小型汽车和中型汽车共208辆，小型汽车占中型汽车数量的，该智能停车场这段时间内驶出小型汽车和中型汽车各多少辆? 20．有甲、乙两个粮仓，乙粮仓的存粮比甲粮仓少120 吨，甲粮仓存粮的等于乙粮仓存粮的。甲、乙两个粮仓各存粮多少吨？ 21．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的数据统计表。 行驶路程y/km 25 50 75 100 耗油量x/L 2 4 6 8 (1)如果这辆汽车从甲地出发前往乙地，共耗油14升，从甲地到乙地行驶了多少千米？（先写表达式，再解答） (2)如果这辆汽车从乙地出发时里程表读数为12785千米，到达丙地时里程表读数为13235千米，从乙地到丙地共耗油多少升？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $