专题03 圆与相似及三角函数综合（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册

专题03 圆与相似及三角函数综合（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2 题型一、圆中相似——A型、X型与斜射影 2 题型二、旋转型相似——手拉手与旋转相似 3 题型三、相交弦计算——垂径定理、直径转化边角 6 题型四、切线综合应用——切线垂直半径求解 8 题型五、圆内角度迁移——等角代换与四点共圆 9 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 11 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题以圆的圆周角、切线、直径等核心性质为基础，挖掘图形中隐藏的相等角，识别 A 字型、X 字型、射影以及手拉手旋转相似模型；灵活通过作弦心距、连接切点与半径、利用四点共圆进行等角代换，构造直角三角形，结合相似比例、勾股定理与三角函数，完成线段长度、角度以及比值的推导与计算，实现边角关系的灵活转化。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 相似对应顶点写错顺序，比例式整体错位，后面全盘皆错； 2. 圆内接四边形只记"对角互补"，忘了外角等于内对角，白白丢掉一组等角； 3. 见切线不连半径，题目给了直角却没用上； 4. 需要作垂线时不敢作，或作了垂线却不写"由垂径定理得"； 5. 旋转型相似只看边长不看夹角，把"旋转角相等"这一步漏掉； 6. 四点共圆不先证就用，理由缺失被扣分． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中相似——A型、X型与斜射影 典例1（2026·浙江宁波·二模）如图1，四边形内接于，是的直径，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点作交于点，若，，求的长． 解题模板 1．圆中找相似只有四个入口：同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、切线得直角、圆内接四边形对角互补——先在图上把相等的角成对标出，再找"两角对应相等"； 2．A 型（公共角＋一组等角）、X 型（对顶角＋一组等角）、斜射影（高线分斜边，两边平方等于投影乘斜边）是三类固定图形，见到就套，不必重新推； 3．相似写出后按对应边成比例列式，比例式里只留一条未知线段，其余全部用已知量或同一字母表示，避免出现两个未知数． 变式1-1（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于．连接，交于点． (1)如图1．若．，求的度数； (2)如图2．若于，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，．求的半径． 变式1-2（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，点在上，连接，，，．已知． (1)求证：． (2)若，，求半圆的直径． 变式1-3（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 题型二、旋转型相似——手拉手与旋转相似 典例2（2025·吉林长春·二模）【问题提出】如图①，在中，，于点．与有相似关系，恰似子依母怀，称为“子母型”相似，由相似性质可知（不需要证明）． 【问题迁移】如图②，在中，点是边上一点，连结． （1）已知，求证：． （2）已知，，小明同学认为若，则的长是长的一半．你认为小明的观点正确吗？请说明理由． 【问题应用】如图③，在中，，，．以点为圆心，为半径作，为上一动点，连结、、，则的最小值为________． 解题模板 1．旋转型相似的三件套：旋转中心、旋转角、对应点；旋转前后对应线段相等、对应角相等，"共顶点的两条等长线段"是它最明显的标志； 2．手拉手模型：两个等腰三角形共顶点且顶角相等时，连出的两条"手"相等，且夹角等于顶角，由此得到一对旋转型相似（或全等）； 3．遇到"绕某点旋转后……"先写出旋转前后的对应关系，再把要证的两条线段放进同一对三角形里，用夹角相等＋夹边成比例完成证明． 变式2-1（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，．是上一点，以为直径的交于点，关于圆心的对称点为，连接．    (1)当为中点时，求的长． (2)若，，中有两条弧相等时，求的长． (3)作点关于的对称点，当落在内部（不含边界）时，请直接写出的取值范围． 变式2-2（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 变式2-3（2026·河南平顶山·二模）综合实践课上，老师和同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 操作背景： 如图（1），将矩形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点, 且点在点的上方，过点作交于点． (1)根据以上操作，解决下列问题： ①是 三角形； ②线段 之间的数量关系为 ． 迁移探究： (2)如图（2），将正方形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，,将线段绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，，且点在点的上方． 请你阅读下面的内容并据此证明图（2）中 四点共圆． 知识小积累定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能运用它们吗? Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆（图（3）、图（4））； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆（图（5））； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图（6））． 拓展应用： (3)如图（7），在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，交对角线于点，点是上一动点，连接，过点作的垂线，交直线于点，若点为的三等分点，请直接写出的长． 题型三、相交弦计算——垂径定理、直径转化边角 典例3（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在中，是的直径，弦与交于点E，且点D是弧的中点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的半径； (3)若，求四边形的面积． 解题模板 1．图中没有直角三角形时，第一反应是作垂线：过圆心作弦的垂线得垂径定理（平分弦、平分弧），过圆上一点作直径的垂线得射影定理； 2．直径所对的圆周角是直角，这条结论本身就是"免费的直角"，能连直径就先连直径，比新作垂线省一步； 3．作垂线后立刻把半径、半弦、弦心距写进同一个直角三角形，用勾股定理列方程，这是圆中求线段长度的通用套路． 变式3-1（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点，且，求的度数． 变式3-2（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线经过点，与x轴交于A，D为x轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．    (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点P，连结并延长交于点C，连结交于点E， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为________． 变式3-3如图，是的直径，弦平分，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 题型四、切线综合应用——切线垂直半径求解 典例4（2025·浙江衢州·三模）如图，是等腰的外接圆，，是切线，连接交于点E，连接、， (1)如图1，若经过圆心O， ①若，求的度数； ②若，，求半径； (2)如图2，若是直径，连接并延长，交于点F（），连接交于点G，，求的值． 解题模板 1．见切线必连半径，切点处的直角是整个题目的入口；连完半径再补一条弦，弦切角、圆周角、圆心角三者的等量关系就能接上； 2．两条切线同时出现时，切线长相等、圆心与圆外点的连线平分夹角并垂直平分切点弦，这三条要一起用，只用一条往往算不动； 3．求线段长时把切点、圆心、圆外点组成的直角三角形三边用同一字母表示，再借相似或勾股列方程，比设两个未知数更快． 变式4-1（2025·浙江金华·三模）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆．点D为边上的动点，分别切圆C于点P，点Q，连结，分别交和于点E，F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式4-2如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若为中点，，，求弧的长度． 变式4-3如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． (3)若，，求的长． 题型五、圆内角度迁移——等角代换与四点共圆 典例5【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 解题模板 1．等角转化靠四条：同弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补、弦切角等于所夹弧对的圆周角、等腰三角形两底角相等； 2．要把角"搬"到能用勾股或相似的位置，先证四点共圆（对角互补或同侧张角相等），共圆之后圆上的等角关系可以任意调用； 3．证垂直的常见收尾是"两锐角互余"或"等腰三角形三线合一"，把待证的直角放进一个已知两个锐角互余的三角形里，比硬算角度快得多． 变式5-1（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 变式5-2（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． (1)若圆的半径为，，求的长． (2)如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． (3)如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 变式5-3（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是⊙的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，连结交于点，已知，． 【基本结论】 （1）求证：； 【一般规律探究】 （2）在点运动过程中，设，，求与之间的函数关系式； 【解决问题】 （3）当时，求和的面积之比．（直接写出答案） 【特殊位置探究】 （4）当四边形有两边相等时，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 压轴1（2021·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（　　） A．（，）或（，） B．（，）或（，） C．（，）或（，） D．（，）或（，） 压轴2（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 压轴3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 压轴4（22-23九年级上·浙江丽水·期中）已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 压轴5（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是__________． 压轴6如图，的斜边与相切于点D，与交于点E，连接，．已知，，则的直径为________． 压轴7（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知为半圆O的直径，，，E为上一点，绕点E顺时针旋转得到，射线交于点G，则的最大值为______． 压轴8（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 压轴9（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 压轴10（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 压轴11（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连结，在上取点，使得，，，求的面积． 压轴12（2024·浙江·一模）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若点是上一动点，交于点． ①若与相似，求的长； ②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长． 压轴13（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为 ①若，求的周长； ②若，求的面积． 压轴14（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙的切线BD，连接AD交BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． (1)求证：∠FBD=∠FAB； (2)若AE⊥BC，AC＝6，，求DF的长． 压轴15（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形的面积． 压轴16（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F， (1)如图1，作于点E， ①求证   ②若则的长 (2)若求 压轴17（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 压轴18（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 压轴19（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 压轴20（2019·江苏淮安·三模）在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1， （1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD ①请说明△ADB∽△OPB； ②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长； ③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由． （2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由． 压轴21（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，，是的两条互相垂直的弦，垂足为，是弦的中点，是的平分线，半径交弦于点． (1)延长，交于点，求证：； (2)若是的中点，求证：； (3)如图，延长交于点，连接，若的延长线交于点，，，求的半径． 压轴22（23-24九年级下·浙江宁波·阶段检测）已知内接于，点F是弧的中点，连接交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的高，延长交于点K，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，连接，点M在上，连接．若， ①请按步骤在图3中先作图：连接，并延长交于点P，再求证：； ②计算； ③求的长． 压轴23（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G． ①若，求证：； ②请求出的值． 压轴24（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)连结交于点，若的半径为5． ①若，求的长． ②若，求的周长． ③若，求的面积． 压轴25（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 压轴26（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 压轴27如图，是的直径，点D在上，连接并延长至点C，连接交于点E，，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线． (2)连接，设的面积为，四边形的面积为，求的值． (3)点P在上，且的长为，点Q为线段上一动点，连接，求的最小值． 压轴28如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． (1)若，求． (2)延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 压轴29（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知为的直径，于点F，直线与切于点C，并交的延长线于点E．已知，，连结、，点P，Q分别为、上的点，记，，且． (1)求证：． (2)连结 ，当直线与的一边平行时，求y的值． (3)连结 、，当时，试猜想的度数，并证明你的结论． 压轴30（25-26九年级上·江苏·寒假作业）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录：   我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景）： 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： 已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、． 问题：在直线上找一点，使得最大． 结论： 1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点． 3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解）： 在平面直角坐标系中，对于两个定点,和,，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点， （1）当时，求点的坐标． （2）在轴上找一点，使得最大． 求使得最大的点． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上． 的垂直平分线为：． 设圆心的坐标为，半径为． 2．建立方程： 因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即． 又因为圆经过点，所以． （2） 因此有方程：． 这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交于点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单：    (1)接着情境二的图1，若，试求的最大值； (2)接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值． (3)数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 压轴31（2024·浙江宁波·一模）已知：是的外接圆，连接并延长交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，若，，求线段的长． 压轴32（2024·浙江金华·三模）如图1，在中，，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)求的面积． (2)如图2，连接并延长，分别交，于点，，交于点，当时，求的长． (3)当圆心在的内部时，求的取值范围． 压轴33（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形内接于，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 压轴34（24-25九年级下·广东湛江·阶段检测）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆与相似及三角函数综合（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级下册 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1 题型与解法归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 2 题型一、圆中相似——A型、X型与斜射影 2 题型二、旋转型相似——手拉手与旋转相似 11 题型三、相交弦计算——垂径定理、直径转化边角 25 题型四、切线综合应用——切线垂直半径求解 38 题型五、圆内角度迁移——等角代换与四点共圆 50 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 65 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本专题以圆的圆周角、切线、直径等核心性质为基础，挖掘图形中隐藏的相等角，识别 A 字型、X 字型、射影以及手拉手旋转相似模型；灵活通过作弦心距、连接切点与半径、利用四点共圆进行等角代换，构造直角三角形，结合相似比例、勾股定理与三角函数，完成线段长度、角度以及比值的推导与计算，实现边角关系的灵活转化。 学生高频易错点主要有如下几种情形： 1. 相似对应顶点写错顺序，比例式整体错位，后面全盘皆错； 2. 圆内接四边形只记"对角互补"，忘了外角等于内对角，白白丢掉一组等角； 3. 见切线不连半径，题目给了直角却没用上； 4. 需要作垂线时不敢作，或作了垂线却不写"由垂径定理得"； 5. 旋转型相似只看边长不看夹角，把"旋转角相等"这一步漏掉； 6. 四点共圆不先证就用，理由缺失被扣分． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、圆中相似——A型、X型与斜射影 典例1（2026·浙江宁波·二模）如图1，四边形内接于，是的直径，连接交于点，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点作交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：设，则， 是的直径， ， ， ， ， ； (2)证明：连接，如图所示： ，， 且， ， ， ， ， ， ， 即； (3)8 【分析】（1）设，则，求出，，从而得出，根据等角对等边，即可得出答案； （2）连接，证明 ，得出，即可得出答案； （3）过点作，交于点，连接，设，则，根据 ，得出，从而得出，根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，得出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作，交于点，连接，如图所示： 设，则， ， ， ， 由（2）得， ， ， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 得 ， 化简得， 解得，（舍去） 即． 解题模板 1．圆中找相似只有四个入口：同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、切线得直角、圆内接四边形对角互补——先在图上把相等的角成对标出，再找"两角对应相等"； 2．A 型（公共角＋一组等角）、X 型（对顶角＋一组等角）、斜射影（高线分斜边，两边平方等于投影乘斜边）是三类固定图形，见到就套，不必重新推； 3．相似写出后按对应边成比例列式，比例式里只留一条未知线段，其余全部用已知量或同一字母表示，避免出现两个未知数． 变式1-1（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于．连接，交于点． (1)如图1．若．，求的度数； (2)如图2．若于，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，．求的半径． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1），圆周角与圆心角所对弧是同弧，圆周角与圆心角所对弧是同弧，，可知，且，，，由此即可求解； （2），，在中，，由此即可求证； （3）根据（2）可知，是等腰直角三角形，在中，可计算出，过点作于，可证，且是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 连接，，，， ∵，且圆周角与圆心角所对弧是同弧，圆周角与圆心角所对弧是同弧， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． （2）证明：如图所示， 连接， ∵， ∴， ∵圆周角与圆心角所对弧是同弧， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故． （3）解：由（2）可知，，且， ∵与所对弧是同弧， ∴，且， ∴，则（等弧所对圆周角相等）， ∵，即， ∴，是等腰直角三角形，且，， ∴，， 在中，， 如图所示，连接，，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴在中，， ∴， 故的半径为． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的综合运用，掌握圆内接多边形的性质是解题的关键． 变式1-2（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，点在上，连接，，，．已知． (1)求证：． (2)若，，求半圆的直径． 【答案】(1) 连接， 切半圆于点， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ； (2) 5 【分析】本题考查切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆周角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而得到，从而得出结论； （2）易证得，进而得到，从而求出半圆的直径． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， 在中，， ∴， 又， ∴， ， ，， 直径． 变式1-3（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接并延长交于点F， ∵， ∴， 由垂径定理的推论可知，， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线． (2)证明：∵四边形内接于， ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． (3) 【分析】（1）连接并延长交于点F，由已知条件可得出，由垂径定理的推论可知，，再根据平行线的性质即可得出，进一步即可证明． （2）利用同弧所对的圆周角相等以及平行线的性质，结合等边对等角的性质进一步证明，由相似三角形的性质即可得证． （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，由勾股定理求出k值，进而求出，，最后根据（2）的结论即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 设，，则， ∴，， 在中， ，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴. 【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等，证明某直线是圆的切线，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 题型二、旋转型相似——手拉手与旋转相似 典例2（2025·吉林长春·二模）【问题提出】如图①，在中，，于点．与有相似关系，恰似子依母怀，称为“子母型”相似，由相似性质可知（不需要证明）． 【问题迁移】如图②，在中，点是边上一点，连结． （1）已知，求证：． （2）已知，，小明同学认为若，则的长是长的一半．你认为小明的观点正确吗？请说明理由． 【问题应用】如图③，在中，，，．以点为圆心，为半径作，为上一动点，连结、、，则的最小值为________． 【答案】 【问题迁移】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）小明同学的观点正确 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 【问题应用】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）直接证明，得出比例式，即可求解； （2）根据两边对应成比例，夹角相等得出，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）上取点，且，连接，，证明得出，进而可得当在上时，的最小值为的长，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，上取点，且，连接，， ∵ 又∵ ∴ ∴，即 ∴当在上时，的最小值为的长， ∵ 故答案为：． 解题模板 1．旋转型相似的三件套：旋转中心、旋转角、对应点；旋转前后对应线段相等、对应角相等，"共顶点的两条等长线段"是它最明显的标志； 2．手拉手模型：两个等腰三角形共顶点且顶角相等时，连出的两条"手"相等，且夹角等于顶角，由此得到一对旋转型相似（或全等）； 3．遇到"绕某点旋转后……"先写出旋转前后的对应关系，再把要证的两条线段放进同一对三角形里，用夹角相等＋夹边成比例完成证明． 变式2-1（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，．是上一点，以为直径的交于点，关于圆心的对称点为，连接．    (1)当为中点时，求的长． (2)若，，中有两条弧相等时，求的长． (3)作点关于的对称点，当落在内部（不含边界）时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)5或或 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，连接，则，由为中点可得，，设，根据可得，求出的值可得，最后由勾股定理进行计算即可得到答案； （2）分三种情况：当时；当时；当时，分别进行求解即可得到答案； （3）当点、点重合时，此时和也重合，最大为8，当在上时，此时最小，连接，，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得，证明得到，则，设，则，由勾股定理得，求出的值即可得出的长，再根据落在内部（不含边界）即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图，连接，   ，是直径， ， 为的中点， ， ， 设， ，，，， ， 解得：， ， ∴； （2）解：①当时，则，， 设，则，， ， ， 解得：， ， ∴； ②当时，，， 如图，连接，，   ，关于圆心对称， ∴在一条直线上， 为直径， ， ， ， ， ∴， 设，则，， ， 解得：， ∴； ③当时，则，， 如图，设交于点，   ，， ， ， ，即， ， ，， ， ， ∴， 设半径为，则， ， ， 解得：， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的长为5或或； （3）解：如图，当点、点重合时，此时和也重合，最大为8，   ， 如图，当在上时，此时最小，连接，，   ， 则， ， ， ，， ，即， ， 为直径， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 落在内部（不含边界）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 变式2-2（2024·吉林·二模）【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知半径是3，点A是上的一个动点，点P是平面内一点，，求证：线段的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将延长交于点A，并猜想此时最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 证明过程缺失 则， 则此时，最大，最大值为． 【问题延伸】如图3，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，过点A作于点F，连接，则线段的最小值是 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由和以为直径的半圆两部分构成，已知米，，，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿修建小路，并在中点F处修建一个凉亭，沿修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊最短为 米．（结果保留根号） 【答案】 问题解决：证明：如图2，在上任意取一点B（点B不与点A重合），连接、， 在中，， ， ， 则， 则此时，最大，最大值为； 问题延伸： 拓展提升： 【分析】问题解决：利用三角形三边的关系证明线段的最大值；问题延伸：通过构造圆，利用点与圆的位置关系求线段的最小值；拓展提升：构造圆，结合中位线定理和勾股定理求仿古长廊最短长度． 【详解】问题解决：略 问题延伸： 解：如图3， ， ∴， ∴点F在以为直径的圆上，以为直径作，连接交于F， 由点圆关系得此时最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：； 拓展提升 解：如图4，取、中点、，连接， 以为直径作，连接交于点， 作于，连接、， ∵点F为中点， ∴、分别为和的中位线， ∴， ∴， ∵为半圆直径， ∴， ∴， ∴F在以为直径的圆上，即在上，由点圆关系得，为的最小值， ∵、为、中点， ∴为中位线， ∴米，， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， ∵， ∴米， ∴米， ∴米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）． 故答案为：． 【点睛】本题主要涉及圆的性质、三角形三边的关系、勾股定理以及中位线定理的相关知识；线段最值问题常转化为“点到圆的距离的最值”核心是找到动点的轨迹圆，再计算圆心距与半径的和或差． 变式2-3（2026·河南平顶山·二模）综合实践课上，老师和同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 操作背景： 如图（1），将矩形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点, 且点在点的上方，过点作交于点． (1)根据以上操作，解决下列问题： ①是 三角形； ②线段 之间的数量关系为 ． 迁移探究： (2)如图（2），将正方形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，,将线段绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，，且点在点的上方． 请你阅读下面的内容并据此证明图（2）中 四点共圆． 知识小积累定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能运用它们吗? Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆（图（3）、图（4））； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆（图（5））； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图（6））． 拓展应用： (3)如图（7），在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，交对角线于点，点是上一动点，连接，过点作的垂线，交直线于点，若点为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)①等腰直角；② (2)见解析 (3)的长为或 【分析】（1）利用矩形折叠性质、旋转性质、全等三角形判定及等腰直角三角形性质分析角度与线段关系，结合推导线段等量关系； （2）利用正方形折叠性质、旋转性质得等边三角形，结合四点共圆判定定理（若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆）证明； （3）先确定正方形各点坐标，结合为三等分点两种情况，再结合等腰直角三角形性质求． 【详解】（1）解：①将矩形纸片对折（与重合），折痕为，为在上的一点， 故是线段的垂直平分线， ，， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②由①得， 是等腰直角三角形， ， ， ． （2）证明：如图（1），连接，将线段绕点逆时针旋转得到， ，， 又正方形对折（与重合），点在折痕上， 垂直平分， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 平分， 垂直平分， 是等边三角形，垂直平分，， 在和中， ， ， ， ，，， 四点共圆． （3）解：①如图（2），当，连接，过点作交于点， 由题意得，，垂直平分，， ， ， ，， ，是等腰直角三角形， ， ，， 又 ， ， 同（1）的方法可得， 四边形是正方形，，， ，． 点， 分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ； ②如图（3），当 时，连接，过点作交于点， 同①可知，是等腰直角三角形，，，， ，， ， ， ， ， 综上所述，的长为 或 ． 题型三、相交弦计算——垂径定理、直径转化边角 典例3（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在中，是的直径，弦与交于点E，且点D是弧的中点，连接． (1)求证：平分； (2)若，求的半径； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 即平分； (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正方形的判定与性质等知识，综合性强，熟知相关知识，根据题意添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据点D是弧的中点，得到，即可证明平分； （2）过点O作于点M，连接．先求出，，根据垂径定理求出，，证明，求出，根据勾股定理求出，问题得解； （3）过点D作于点F，，交的延长线于点G．证明和为等腰直角三角形，得到，，进而证明四边形为正方形，再证明，得到，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点O作于点M，连接． ∵是的直径，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴在中，， 即⊙O的半径为2； （3）解：如图，过点D作于点F，，交的延长线于点G． ∵为直径， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形为正方形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 解题模板 1．图中没有直角三角形时，第一反应是作垂线：过圆心作弦的垂线得垂径定理（平分弦、平分弧），过圆上一点作直径的垂线得射影定理； 2．直径所对的圆周角是直角，这条结论本身就是"免费的直角"，能连直径就先连直径，比新作垂线省一步； 3．作垂线后立刻把半径、半弦、弦心距写进同一个直角三角形，用勾股定理列方程，这是圆中求线段长度的通用套路． 变式3-1（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)①证明：如图：连接， ∵是弧的中点， ∴． ∴． ∵， ∴是的垂直平分线，即． ②． (2)或 【分析】（1）①如图：连接，再说明，结合圆的性质可得是的垂直平分线，从而证明结论；②如图：设与交于点H，连接，利用垂径定理可得，由题意可得，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解可得，最后利用勾股定理求解即可； （2）先利用圆周角定理、等边对等角、等角对等边证明，再分点G在线段上和延长线上两种情况，分别连接，设，再利用三角形外角的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）①略． ②解：如图：设与交于点H，连接， ∵内接于，， ， ∴，即， ， ， 设，则， ， ，解得：， ∴， ， ． （2）解：∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴； ①如图，点G在线段上时，连接， 设， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ∵，，， ∴， ， ∵， ， ， ，解得：， ； ②如图，点G在延长线上时，连接， 设， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ∵， ， ∵，，， ∴， ， ， ，解得：， ． 综上，的度数为或． 变式3-2（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，直线经过点，与x轴交于A，D为x轴负半轴上的一点，且，以为直径作，连结．    (1)求出b的值及直线的函数表达式． (2)在线段上取点P，连结并延长交于点C，连结交于点E， ①若，求证：． ②当等于中的某一个角时，求的长． (3)点P关于直线的对称点恰好落在上时，请直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1)，直线的解析式为： (2) ①证明：连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②为或 (3) 【分析】（1）将点B的坐标代入直线，即可求得b的值；根据直线的解析式求得点的坐标，结合题意可求得的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明； ②分情况讨论：当时，根据等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据平行线分线段成比例定理可求得，根据勾股定理求得，即可求解；当时，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据三角形的外角性质可推得，根据直角三角形两个锐角互余可推得，根据等角对等边即可求解； （3）作点P关于直线的对称点，连接，，，，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据三角形的外角性质可推得，根据对称的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据直角三角形两个锐角互余可推得，根据等角对等边可得，根据全等三角形的判定和性质可得的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， 故将代入，得：， ∴直线的解析式为：； ∵直线与x轴交于点A， 故将代入，得：， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）①略 ②分情况讨论： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． （3）解：作点P关于直线的对称点，连接，，，，如图：    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， 故四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数图象上点的特征，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形两个锐角互余，等角对等边，对称的性质，解题的关键是掌握圆的相关性质和全等三角形的判定以及性质． 变式3-3如图，是的直径，弦平分，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 题型四、切线综合应用——切线垂直半径求解 典例4（2025·浙江衢州·三模）如图，是等腰的外接圆，，是切线，连接交于点E，连接、， (1)如图1，若经过圆心O， ①若，求的度数； ②若，，求半径； (2)如图2，若是直径，连接并延长，交于点F（），连接交于点G，，求的值． 【答案】(1)①；3.2 (2) 【分析】（1）①连接，先利用切线的性质得到，再利用圆周角定理求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可； ②延长交于F，利用垂径定理得，，利用等腰三角形的性质得到，则，设，半径为r，则，在中利用勾股定理求得，证明求得，进而可求解； （2）连接，证明得到，设，，则，，则，再证明得到m与k的关系，进而可得结论． 【详解】（1）解：①连接 ∵是切线， ∴，则， ∵经过圆心O，， ∴， ∴； ②延长交于F， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 设，半径为r，则， 在中，，， 由得，解得， ∵，， ∴， ∴ ∴，即， 解得， ∴，即半径为3.2； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴，又， ∴ ∴ ∴ 设，，则，， ∴， ∵是直径， ∴，又， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵ ∴ ∴，即， ∴，则（负值已舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，设参数建立边边关系是解答的关键． 解题模板 1．见切线必连半径，切点处的直角是整个题目的入口；连完半径再补一条弦，弦切角、圆周角、圆心角三者的等量关系就能接上； 2．两条切线同时出现时，切线长相等、圆心与圆外点的连线平分夹角并垂直平分切点弦，这三条要一起用，只用一条往往算不动； 3．求线段长时把切点、圆心、圆外点组成的直角三角形三边用同一字母表示，再借相似或勾股列方程，比设两个未知数更快． 变式4-1（2025·浙江金华·三模）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径作圆．点D为边上的动点，分别切圆C于点P，点Q，连结，分别交和于点E，F，取的中点M． (1)当时，求劣弧的度数； (2)当时，求的长； (3)连接，． ①证明：． ②在点D的运动过程中，是否存在最小值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①证明：连接，，，如图所示： 根据（2）可知：垂直平分， ∵点M为的中点， ∴点M在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②存在，4 【分析】（1）连结、，利用圆的切线的性质定理和四边形的内角和定理解答即可； （2）连结，利用圆的切线的性质定理和直角三角形的全等的判定定理得到，则，；利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，即平分，利用角平分线的性质定理和三角形的面积公式剪刀剪开得出结论； （3）①利用相似三角形的判定与性质解答即可； ②利用相似三角形的判定与性质求得的长度，由于，则，则点M在以为直径的圆上运动，可得当B、M、H三点共线时，最短，取的中点H，利用勾股定理求得的长度，则的最小值． 【详解】（1）解：如图，连接、． ∵分别切圆C于点P、点Q， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则弧为． （2）解：连结，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴C，D在的垂直平分线上， ∴经过的中点M． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴， 即平分， 过点D作于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）解：①略 ②由①可得，C、D、M三点共线，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴为定值， ∵， ∴点M在以为直径的圆上运动， 取的中点H，当B、M、H三点共线时，最短， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为4． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 变式4-2如图，切圆于点，过直径上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若为中点，，，求弧的长度． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵与圆相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由得，由等腰三角形的性质可得，则，结合对顶角相等可得，因此； （2）设圆的半径为，由可得，则，利用三角函数计算出，．根据题意可得，解得，最后利用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设圆的半径为， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴，解得， ∴弧的长度为． 变式4-3如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：． (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； (2) 证明：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接，可知，得，进而可证得，证明，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，证明，进而可证得结论； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∵，， ∴， ∴， 设， 由（2）可得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五、圆内角度迁移——等角代换与四点共圆 典例5【概念学习】圆的切线与过切点的弦的夹角，称为弦切角．如图1，直线切于点，是弦，则、都是弦切角，把弧称为弦切角所夹的弧． 【性质探索】 （1）弦切角与它所夹的弧对的圆周角有何数量关系？如图1，直线切于点，是弦，点为优弧上一点，猜想并证明与的数量关系． 【性质应用】 （2）如图2，过外一点作的两条切线，切点分别为点，，作直线交于点，，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：点为线段的中点． 【答案】（1）； （2）证明：如图，连接、． 由（1）结论可知， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， ∵，是圆的切线， ， 又∵， ∴， ∴，即②， 同理可得， ∴，， 、是过圆外一点作的圆的两条切线， ， ，即③， 由式①、②、③即知 ， 是线段中点． 【分析】（1）有切线连半径，在圆中有切线证角相等，通常通过互余关系证明，所以连接并延长，得到，再通过同弧所对的圆周角相等即可得证； （2）要证是中点，则需证，先想证全等，通过观察发现，除了之外，并无等线段，不好证明，则可通过相似转化等比例线段去证，先证得到，再证得到，所以最后证出即可得证． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， 与切于点， ，即， 是的直径， ， ∴， ∵， ， ∴． （2）略 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质等内容，本题难点在于第二问如何通过多个相似去转化，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解题模板 1．等角转化靠四条：同弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补、弦切角等于所夹弧对的圆周角、等腰三角形两底角相等； 2．要把角"搬"到能用勾股或相似的位置，先证四点共圆（对角互补或同侧张角相等），共圆之后圆上的等角关系可以任意调用； 3．证垂直的常见收尾是"两锐角互余"或"等腰三角形三线合一"，把待证的直角放进一个已知两个锐角互余的三角形里，比硬算角度快得多． 变式5-1（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长． 【答案】(1) 证明：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3)， 【分析】（1）设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，由，可得，，所以可得点在线段的垂值平分线上，如图所示，连接并延长交于于点，可得，在中，设，则，，根据勾股定理可求出，由此即可求解； （3）由（2）可得，，如图所示，过点作于点，可证，得到，根据，可求出，则，在中，根据勾股定理可得，设，则，由勾股定可得，可求出，在中，，所以有，可求出，在中，运用勾股定理可得，由此求出，如图所示，连接，可得，，再根据三角形相似的判定可得，求出，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，且， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图所示，连接并延长交于于点， ∴，，， ∴， 在中，设，则，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 如图所示，连接，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键． 变式5-2（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，已知、是中两条不同于直径的弦，，垂足为，连结并延长，交于点，交于点． (1)若圆的半径为，，求的长． (2)如图，连结、．若，求证：为半圆弧的中点． (3)如图，在（2）的条件下，作的垂直平分线交于点，交于点，连结．若， ①求证：； ②若，求的半径长． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接，延长交于点， ∵， ∴， 由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴为半圆弧的中点． (3)①证明：如图所示，连接、、、、、、， 由（2）可得：，， 在中，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴． ② 【分析】（1）连接，利用是直径得出，再由，即可求出； （2）连接，延长交于点，由垂径定理可得：点为中点，即是的垂直平分线，得出，进而得出，利用圆周角定理可得，从而证明为半圆弧的中点； （3）①连接、、、、、、，先证明得出，再证明得出，最后证明得出，得出是的垂直平分线，即可证明； ②过点作于，连接、、、、、、，由（2）得：，，由题意可得四边形是正方形，利用正方形的性质可得出的半径长与相等，还可证明得出，证明得出，，进而得出，最后在与中利用勾股定理即可求出的半径长． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵圆的半径为， ∴， ∴． （2）略 （3）解：①略 ②如图所示，过点作于，连接、、、、、、， 由（2）得：，， ∴， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， 由①可得：是的垂直平分线， 又∵是的垂直平分线，即与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即的半径长为． 变式5-3（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，是⊙的直径，弦于点，是弧上一点，，的延长线交于点，连结，连结交于点，已知，． 【基本结论】 （1）求证：； 【一般规律探究】 （2）在点运动过程中，设，，求与之间的函数关系式； 【解决问题】 （3）当时，求和的面积之比．（直接写出答案） 【特殊位置探究】 （4）当四边形有两边相等时，求的长． 【答案】 （1）∵是⊙的直径，弦于点， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． （2）；（3）和的面积之比为：或（4） 【分析】（1）根据垂径定理，则，得，根据圆内接四边形的性质，则，根据，等量代换，即可； （2）过点作交的延长线于点，连接，；根据垂径定理，勾股定理，依次求出，，，；再根据相似三角形的判定和性质，则，推出；，推出，最后根据锐角三角形函数，得，即可； （3）根据相似三角形的性质，则，根据，分类讨论：当点在之间；当点在之间，分别求出的值；再根据和的高相等，推出，即可． （4）设四边形中的两边相等，即，根据全等三角形的判定和性质，即可． 【详解】（1） 略 （2）过点作交的延长线于点，连接，， 设⊙的半径为， ∵是⊙的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵设，， ∴． （3）和的面积之比为：或， 理由，如下： 由（1）得，， ∴， ∵， ∴当时，分类讨论：当点在之间， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵和的高相等， ∴， ∴， ∴； 当点在之间， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和的高相等， ∴， ∴． （4）当四边形中的两边相等，即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形，锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的运用，勾股定理，垂径定理等知识． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 压轴1（2021·浙江湖州·一模）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（　　） A．（，）或（，） B．（，）或（，） C．（，）或（，） D．（，）或（，） 【答案】A 【分析】根据条件先计算图1中的直角△AOB的三边长，得∠BOA＝30°；根据两直线平行的性质，同位角相等，可以得不管直线AB向上或向下平移与x轴夹角都是30°，分两种情况进行讨论：①当直线AB向下平移时，如图2，作辅助线，构建直角三角形及平移后的点A′与两坐标轴的垂线，由30°角的性质和三角函数求出A′Q和OQ的长，写出点A′的坐标即可；②同理在图3中求出A′的坐标． 【详解】解：如图﹣1，在函数，令x＝0，得到y＝﹣1， ∴ B（0，﹣1）． 同理可以得到， ∴在Rt△AOB中，． ∴AB＝2，∠OAB＝30°． ∴直线与x轴的夹角总是30° （锐角）． ∵直线AB在平移过程中，不会改变k值， ∴平移后的直线与x轴的夹角仍然是30°． 以下分两种情况： 当直线向下平移到如图﹣2位置． 则有∠OCA1＝30°，A1B1＝2． 过O点作OD⊥A1B1于点D，过点A1作 A1E⊥OC，连接 OA1． 在等腰三角形OA1B1中，根据“三线合一”，得到， ∵半径，在Rt△ODA1中，根据勾股定理可以求得． ∴在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，． ∴，． ∴． ∴在Rt△ECA1中， ， ∴． ∴ ． ∵点A1在第四象限，所以点； 当直线向上平移到如图﹣3位置． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变换--平移，明确平移前后的两线段相等且平行，本题根据已知直线的解析式求出线段的长，得出30°角是关键，采用了分类讨论的思想，分别向上平移和向下平移；构建对应的直角三角形，与特殊的三角函数、勾股定理相结合得出结论． 压轴2（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为，利用全等三角形的性质证明，，再证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为， 点为的中点， ， ， ， 是直径， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，三角函数解三角形，熟练掌握以上性质和定理，灵活应用是解题的关键． 压轴3（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 压轴4（22-23九年级上·浙江丽水·期中）已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是______． 【答案】 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 压轴5（2025·浙江金华·模拟预测）如图，在中，，点是的中点，以为圆心，长为半径作圆． 若与线段有两个交点，则满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置，相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是注意临界状态的分析． 当恰好经过点C时，利用求解；当与相切时，此时与线段只有一个交点，由是的垂直平分线，得到；当恰好经过点A时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当恰好经过点C时，符合题意，如图： 此时 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴； 当与相切时，此时与线段只有一个交点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； 当恰好经过点A时，符合题意，如图： 过点作于点E， ∴， ∴，， ∴， ∴与线段有两个交点，满足的条件是且， 故答案为：且． 压轴6如图，的斜边与相切于点D，与交于点E，连接，．已知，，则的直径为________． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、解直角三角形、相似三角形等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，推出，进一步推出， 在利用勾股定理和锐角三角函数，求出，接着说明， 再利用垂径定理和求出的长，可得的直径等于． 【详解】如图，连接，作于点F，则， ，，， ，， ， ， ， 由勾股定理得， ， 边与相切于点D， ， ， 又 ， ，， ， ，即， ， 的直径等于． 故答案为：． 压轴7（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知为半圆O的直径，，，E为上一点，绕点E顺时针旋转得到，射线交于点G，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理等知识点．设射线与的交点为C，连接，，根据已知条件可得是等腰直角三角形，要使有最大值，等价于有最小值，由于为定角，所以有最小值等价于能取到最小值，过点O作，在等腰直角三角形中，，即的最小值为，此时点G与点N重合，过点O作，求出和的值，设，则，，，利用勾股定理列出方程求解a的值，进而得出的值，最终可求出结果． 【详解】解：如图，设射线与的交点为C，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， 要使有最大值，等价于有最小值， ∵为定角， ∴有最小值等价于能取到最小值， 过点O作， 在等腰直角三角形中，， 即的最小值为，此时点G与点N重合， 如图，过点O作， 在中，，， 由垂径定理可得，， 在中，， ∴，， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 即的最大值为， 故答案为：． 压轴8（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1) 证明： 解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ (2)证明： ， ， (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      压轴9（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求证：是中点； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． (3) 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 压轴10（2023九年级·浙江宁波·竞赛）如图所示，为半圆的直径，在延长线上，是半圆上的一个动点，以为底边作等腰直角三角形（、、逆时针排列），已知，； (1)若为正三角形，求的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解答本题的关键． （1）连接、交于点，为正三角形，为等腰直角三角形，利用计算即可； （2）过点作交于点，设，，则，则四边形即可计算． 【详解】（1）解：连接、交于点， 为正三角形，，， ，， ， 等腰直角三角形， 垂直平分， ，为等腰直角三角形， ， ． （2）解：过点作交于点， 设，，则， ． 当且仅当时，四边形的面积最大，最大值为． 压轴11（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，． (1)直接写出与的数量关系； (2)如图，连结，在上取点，使得，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的性质可证，可得，，如图所示，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，运用圆的基础知识可证，  ，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，，可证，可得，在中，根据勾股定理可得，可求出，，如图所示，过点作于点，可求出，再根据三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）或或（不符合题意，舍去）， ∴当时，；当时，； ∵， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴，， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用是解题的关键． 压轴12（2024·浙江·一模）如图，内接于圆，是的高线，，，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)若点是上一动点，交于点． ①若与相似，求的长； ②当的面积与的面积差最大时，直接写出此时的长． 【答案】(1) 证明：∵是的高线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 证明：连接，延长交于点，交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． (3)①的长为或；② 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股和锐角三角函数求得即可证明； （2）连接，延长交于点，交于点，先证明是的角平分线，再证明即可得出结论； （3）①过点作交于点，点是上一动点，交于点，设，求得，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解； ②要使的面积与的面积差最大，必须使和最大，当点与点重合时，最大，最大，先求得，即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①过点作交于点，点是上一动点，交于点，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵与相似， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴的长为或； ②∵，即， ∴，， ∴， 由题知，要使的面积与的面积差最大，必须使和最大， ∴当点与点重合时，最大，最大，如图： ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 压轴13（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点是的三等分点，直径交于点，连接交于点，连接，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)连结交于点，若的半径为 ①若，求的周长； ②若，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵点是的三等分点， ∴， ∵是的直径 ， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴ (2)①；  ② 【分析】（）根据点是的三等分点，得出，根据是的直径，可得，根据切线的性质可得，即可证明； （）如图，连接，可证，得到，再根据平行线等分线段定理可得，进而由直角三角形的 性质可得，设，则，，利用勾股定理解得，则，，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解；②如图，过点作于点，则，设，则，，，证明 ，得出，则，得出，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 由勾股定理得, 即, 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理的推论，切线的性质，平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴14（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在△ABC中，AC=BC，⊙O是△ABC的外接圆，过点B作⊙的切线BD，连接AD交BC于点E，交⊙O于点F，连接BF． (1)求证：∠FBD=∠FAB； (2)若AE⊥BC，AC＝6，，求DF的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如下图． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BD为的切线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，，由得到，根据三角形的内角和定理得到，结合同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半得到，进而求出，再利用BD为的切线得到，即可求解； （2）先易得，得到，根据已知条件得到CE和BE的长度，利用勾股定理求出AE的长度，再利用相似三角形的性质求出EF，BF，AB的长度，进而得到，设，表示出和，进而列出关于x的方程，解方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，, ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 设， ∴． ∴， ∴ ， 整理得， 解得，（不符合题意舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，作出辅助线，构建三角形，理解相关知识是解答关键． 压轴15（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，是的直径，弦于点，是延长线上一点，过点作的切线，为切点，连接交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接，，若四边形是平行四边形，，求平行四边形的面积． 【答案】(1) 证明：如图1，连接，则， ∵于点，交于点， ∴，， ∴， ∴与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①证明：如图2，连接， ，， ， ， ， ， ， ，且， ， ， ； ② 【分析】（1）连接，则，由，，由切线的性质得，则，而，则，所以； （2）①连接，由，，证明，得，则，由，得，可证明，则，所以； ②连接、，则，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，求得，再证明，得，则，所以，则，由，求得，则，所以，则. 【详解】（1）略 （2）① 略 ②解：如图3，连接、， 是的直径， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 压轴16（2025·浙江宁波·一模）如图， 已知是的直径， C是上一点，是的切线，且 于点D， 延长交于点 M，连接交于点F， (1)如图1，作于点E， ①求证   ②若则的长 (2)若求 【答案】(1)①证明：∵， ∴，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴；；② (2) 【分析】（1）①切线的性质，得到，等边对等角得到，等角的余角相等，推出，利用，即可得证；②连接，，根据圆周角定理，同角的余角相等，推出，证明，推出，证明垂直平分，三线合一推出，进而得到，推出为等腰直角三角形，得到，证明，列出比例式求解即可； （2）过点作，根据，得到，设设，，勾股定理求出的长，证明，推出，，进而求出的长，在中，利用正切的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：①略 ②连接，， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）过点作，由（1）知：， ∴， 由（1）②可知：，， ∴，， ∴设，，则：， ∵是直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求正切值，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 压轴17（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，已知是的直径，点D在上，过点D作的切线，连接，，，，且． (1)求证：； (2)若点E在的延长线上，且，的半径为2，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接．利用切线的性质得到，然后利用平行线的性质证明．接着利用等腰三角形的性质证明，由此即可； （2）过点D作，垂足为H．利用角平分线的性质可以证，接着利用全等三角形的性质得到．设，则，．最后利用勾股定理建立方程模型即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点D作，垂足为H． 由（1）可知，平分，且， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 设，则，． 在中，， 在中，． ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题分别考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定，综合运用相关知识是解题的关键． 压轴18（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形为内接四边形，交于点E，延长、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，连结交于H，若，，求三角形的面积． 【答案】(1) 证明：如图①，作于点G，则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）作于点G，则，得出，证明，得出，证明，根据等角对等边证明结论即可； （2）连接、、，作于点L，则，证明，得出，说明与重合，即圆心O在的高上，设，则，得出，，，得出，求出，得出，即可得出答案； （3）延长交于点I，交于点Q，作于点K，则，证明，设，则，，根据，求出，根据，得出，设，则，，得出，根据，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图①，连接、、，作于点L，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴与重合，即圆心O在的高上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴的长为． （3）解：如图②，延长交于点I，交于点Q，作于点P，作于点K，则， ∵，平分，，， ∴，，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的面积是． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，圆内接四边形的性质，三角形面积的计算，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 压轴19（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立] 如图①、②，点分别在外、在内，直线分别交于点、，则是点到上的点的最短距离，是点到上的点的最长距离．      [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点到上的点的最短距离为，最长距离为．则的半径为　　． （2）如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为的上，则的最小值是　　． [拓展延伸] 如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连，取中点，连接，则线段的最大值为　　． 【答案】[问题解决] 如图，点为上任意一点，连接，， 当点与点不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点与点重合时，， ∴综上可得，， ∵点为上任意一点， ∴的长是点到上的点的最长距离． [初步应用]（1）或； （2）； [拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题； [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点在外，②点在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸] 取的中点，连接，，过点作，可得是的中位线，则点在为圆心，为半径的圆上运动．在中，得出，进而可得的最大值为． 【详解】解：[问题解决]略 [初步应用] （1）若点在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为； 若点在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为； 综上所述，的半径为或． 故答案为：或 （2）连接，交于点，由[模型建立]可得的长是点到上的点的最短距离， 的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸]如图所示， 取的中点，连接，，过点作 ∵点Q是线段的中点， ∴， ∴点在为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在上，线段取得最大值， ∵ ∴， ∴， 在中， ∴的最大值为 故答案为：． 压轴20（2019·江苏淮安·三模）在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1， （1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD ①请说明△ADB∽△OPB； ②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长； ③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由． （2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）①见解析②③（2） 【分析】（1）①由∠ABO=90°和DB⊥PB可得∠DBA=∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论． ②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB=90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB=90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长， ③由△ADB∽△OPB可知，可求AD=，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案． （2）在OC上取点B′，使OB′=OP=，构造△BOP～△POB′，可得PA−PB=PA-PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值． 【详解】（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°， ∴∠ADB＝∠CDP， 又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4， 即：， ∴△ADB∽△OPB； ②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点， ∵AD∥OB，∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝90°， 又∵△ADB∽△OPB， ∴， ∴AD＝， ∵四边形ADHB为矩形， ∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝， 在Rt△DHO中，OD＝． ③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4， ∴OA＝5． 由②得AD＝， ∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动， ∴OD的最大值为OD过A点时最大， 即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝． （2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝， ∵∠BOP＝∠POB′，， ∴△BOP～△POB′， ∴， ∴＝PA﹣PB′≤AB'， ∴有最大值为AB′， 在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝， ∴AB′＝， 即：点P在运动过程中，有最大值为， 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，求线段最值时灵活转换线段，化折为直是解题的关键． 压轴21（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，，是的两条互相垂直的弦，垂足为，是弦的中点，是的平分线，半径交弦于点． (1)延长，交于点，求证：； (2)若是的中点，求证：； (3)如图，延长交于点，连接，若的延长线交于点，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，是弦的中点， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：如图，过点作，可证四边形是矩形， 则， 点是的中点， 在和中， ， ∴， ， ， 即：， ， ， ， ； (3)的半径为． 【分析】考查了圆的综合题，本题是垂径定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，正确求得的度数是解决本题的关键． （）根据是的中点，即可证明，并且，则，根据角平分线的性质以及角平分线的定义即可证得； （）过点作，可证四边形是矩形，证明，则，然后根据垂径定理即可证得； （）延长交于点，连接，首先求得的度数，然后在直角中，利用三角函数求得半径的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，延长交于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， 在中，， 的半径为． 压轴22（23-24九年级下·浙江宁波·阶段检测）已知内接于，点F是弧的中点，连接交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的高，延长交于点K，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点E，连接，点M在上，连接．若， ①请按步骤在图3中先作图：连接，并延长交于点P，再求证：； ②计算； ③求的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接、， 点是弧的中点， ， ， ， ； (2) 证明：如图2，连接， ， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， ； (3) ①证明∶如图3，过点分别作于点，于点，过点作于，连接并延长交于点，连接、， 则四边形为矩形，， ，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ②； ③ 【分析】（1）根据垂径定理即可解答； （2）分别表示出和即可解答； （3）①过点分别作于点，于点，过点作于，连接并延长交于点，连接、，由“”可证，可得，再证明，然后证明，即可得结论； ②设，，由三角函数可求，可得结论； ③由勾股定理和锐角三角函数可求，，的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①略 ②设，， 则，， ， ，，， ， ， 解得：， ，， ， ③由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 压轴23（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图1，是的直径，、是的切线，过点D作于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G． ①若，求证：； ②请求出的值． 【答案】(1) 证明：∵、是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴； (2) ①证明：连接， 由（1）可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； ②4 【分析】（1）根据切线长定理得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，根据圆周角得出，即可得证； （2）①连接，由（1）可得，根据垂径定理得出，，根据圆周角定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一的性质得出，则，根据等边对等角、对顶角的性质可得出，证明，得出，结合即可得出； ②延长、相交于H，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，证明，，得出，结合，得出，则，根据垂径定理得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②延长、相交于H， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，垂径定理，圆周角定理以及推论，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线，灵活应用相关知识解答是解题的关键． 压轴24（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，是一条不过圆心的弦，点，是弧的三等分点，直径交于点，连结交于点，连结，过点的切线交的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)连结交于点，若的半径为5． ①若，求的长． ②若，求的周长． ③若，求的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) (3)①②③ 【分析】（1）利用切线与直径垂直、直径所对圆周角为直角推导等角，结合弧三等分的等角关系，通过内错角相等证明． （2）设、，由弧三等分推得且，在中用勾股定理求，进而计算． （3）①由弧三等分得，结合垂径定理得长度，在中用勾股定理求，再通过线段差计算． ②先由勾股定理求与，通过三角形相似求出，得到的长度，分段求和得到的周长． ③设，结合线段关系与相似三角形列方程解得，再利用相似三角形的面积比求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， 设、， ∴ ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理有，即 ∴ （3）解：①如图，连接， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵半径为5， ∴在中，由勾股定理有，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ②如图，连接，过点H作交于点T， ∵且半径为5， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，由勾股定理有，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则有， ∴设、， ∴， ∴在中，由勾股定理得，即， 解得、， ∵，即， ∴不符合题意舍去， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， ∵、， ∴， ∴，即，解得， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∴， 故的周长为． ③如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵点，是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵半径为5， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴， 在中有， ∴， ∴， ∴， 由可得， ∴， ∵、， ∴， ∴，即， 解得、， ∵，即，， 故不符合题意舍去， ∴，即， ∴， ∴在中，由勾股定理有，即， ∵点C、点G分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即，解得， 故的面积为． 压轴25（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1，已知内接于，，延长交于E点，交于点F，D是劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点M，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，连接分别交和于点G和点H，若，且，请用含n的值表示的值（不需要写出过程）． 【答案】(1) 证明：如图1，∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，由圆内接四边形的性质得，再根据等量代换即可解答； （2）先根据垂径定理得，由勾股定理得：， ，再证明，再运用相似三角形的性质求解即可； （3）如图3，连接，过点G作于K，设，先证明平分，由三角形的面积的比可得：，再化简并等量代换后即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：如图3，连接，过点G作于K， 设， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 设中边上的高为h， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，平分， 同理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定和性质、圆周角的相关定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 压轴26（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）和角公式的提出：小明同学在九下数学教材第八章学习了锐角三角函数，根据其定义又得、等特殊角的三角函数值，如，，，．聪明的小明同学思考：，的角也是比较特殊的角，它们可以通过，角的和差得到，那么，角的三角函数值是否可以用，角的三角函数值而得到呢？小明同学探究发现，是可以的，如．小明同学继续探索，可否将两角和的正弦一般化呢？就是说如何得到两角和的正弦公式？小明探索了如下三个问题，请你帮助其完成． 和角公式的探索：如图①，是锐角三角形． (1)若，，，求的面积； (2)设，都为锐角且，请在中，用初中的知识证明小明提出的和角正弦公式：； (3)如图②，点是边上的一点，若，，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2) 证明：如图所示，过点作，垂足为，不妨设， ． 两边同时除以得， ， ，， ． (3)16 【分析】（1）根据三角形面积公式，然后代入已知两边及其夹角正弦值直接计算； （2）根据图形分割思想，把大三角形拆成两个小三角形，利用面积相等，再结合余弦定义，，再等量代换推导出两角和正弦公式； （3）根据与，求出，再利用勾股定理求出高，最后用三角形面积公式算出面积． 【详解】（1）解： ． （2）证明：略 （3）解：过点作，垂足为． ， ． 设，． 在中， ，，． ，． ． 压轴27如图，是的直径，点D在上，连接并延长至点C，连接交于点E，，过点D作于点F． (1)求证：直线是的切线． (2)连接，设的面积为，四边形的面积为，求的值． (3)点P在上，且的长为，点Q为线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得证； （2）证明，得到，即可得出结果； （3）过点Q作于点G，根据，推出，进而得到当P，Q，G三点共线时，有最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． （2）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点Q作于点G． ∵， ∴， ∴， ∴当P，Q，G三点共线时，有最小值为． ∵的弧长为， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 压轴28如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． (1)若，求． (2)延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 【答案】(1) (2)①； ② 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得根据圆周角定理可得，进而求得； （2）①根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②先证明得出，进而可得， 证明得出，进而得出，再求比值，即可求解． 【详解】（1）解：连接，因为是的切线， ， （2）①∵是直径 ∴ ∵在中，， 设， ∴ ∴ 解得： ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 解得：； ②略. 压轴29（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知为的直径，于点F，直线与切于点C，并交的延长线于点E．已知，，连结、，点P，Q分别为、上的点，记，，且． (1)求证：． (2)连结 ，当直线与的一边平行时，求y的值． (3)连结 、，当时，试猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：连接，，如图， ∵于点F，为的直径， ∴，，， ∴， ∵直线与切于点C， ∴ ， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． (2)或 (3) 证明：过点P作于H，连接，如图， ∵于点F，为的直径， ∴， ∴ 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵由（2）知：， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，，根据垂径定理和圆周角定理，证得，由切线的性质得，圆周角定理的推论得，从而得，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）过点A作于G，先证明，得，，再解直角三角形求出，， ，，，，，，，从而求得，，当直线与的一边平行时，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （3）过点P作于H，连接，先证明，得，从而求得，，，再证明，得，得，从而求得，，，得到，再由等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点A作于G，如图， ∵，即，， ∴， ∵， 由（1）知：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵直线与切于点C， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵于点F，为的直径， ∴， ∴， ∵，，且， ∴，， 当直线与的一边平行时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时，过点Q作于H，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，y的值为或． （3）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆周角定理及其推论，切线的性质，垂径定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，本题属圆的综合题目，难度较大，熟练掌握相关知识及应用是解题的关键． 压轴30（25-26九年级上·江苏·寒假作业）自主式探究学习是学习数学学科的重要能力之一． 情境一：爱思考的小苏利用 “”探究一些数学模型，以下是他和之间的部分聊天记录：   我正在整理数学笔记，你能给我讲讲米勒圆模型的概念和例子吗？ 已思考（用时10秒） 好的，很高兴能为你讲解米勒圆模型．这是一个在几何和数学问题中非常经典的模型，尤其在处理“最大张角”问题时非常有用． 一、米勒圆模型的概念 1．核心问题（生活场景）： 假设你在一条笔直的海岸线上观察海上的两座灯塔（点和点，你站在海岸线的哪个位置，才能使得看这两座灯塔的视角（即最大？ 这就是著名的“米勒问题”或“最大张角问题”． 2．数学模型与结论： 米勒圆模型给出了这个问题的几何解答： 已知条件：给定一条定直线和直线外的两个定点、． 问题：在直线上找一点，使得最大． 结论： 1．作圆：过点、作一个与直线相切的圆． 2．切点即为所求：这个圆与直线的切点，就是使得最大的点． 3．理论依据：在直线上，点位于由、形成的某个“米勒圆”（或称“等角圆” 上，根据“同弧所对的圆周角相等”以及“圆外角小于圆周角”的定理，可以证明这个切点处的视角是最大的． 3．米勒圆的方程（拓展理解）： 在平面直角坐标系中，对于两个定点,和,，到这两点张角为定值（例如的动点的轨迹是一个圆，这个轨迹圆就被称为点、的米勒圆或等角圆． 二、经典例子与应用 我们来看一个最经典、最常考的直角米勒圆模型． 例题： 在平面直角坐标系中，点，点，点是轴上的一个动点， （1）当时，求点的坐标． （2）在轴上找一点，使得最大． 求使得最大的点． 根据米勒圆模型的结论，我们需要找到过、两点且与轴相切的圆，其切点即为所求． 1．设圆心坐标： 由于圆过和两点，根据圆的对称性，圆心必在线段的垂直平分线上． 的垂直平分线为：． 设圆心的坐标为，半径为． 2．建立方程： 因为圆与轴相切，所以圆心到轴的距离等于半径，即． 又因为圆经过点，所以． （2） 因此有方程：． 这个方程无解不成立），说明在轴上方或下方找不到这样的圆． 情境二：如图1，在正方形中，为线段上一点，作交于点，细心的小苏发现的轨迹并不是一直朝一个方向运动；他随后根据，，的相等关系展开了研究． 请根据以上情境，完成下列问题清单：    (1)接着情境二的图1，若，试求的最大值； (2)接着情境一，如图2，在正方形中，是上一点，连接，，当取得最大值时，直接写出的值． (3)数学的模型往往服务于生活之中．如图三是一个摄影棚，在四边形中，，，且，，．是支架，．是在轨道上的移动点，点光源在线段的中间，且射出的光与垂直，打在支架的点处．随着点的运动，试求解或证明： Ⅰ．Ⅰ点是三角形的外心． Ⅱ．Ⅰ点经过的路径长． 【答案】(1)1 (2) (3) Ⅰ．证明：如图，连接，，，，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵点是的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点是的外心． Ⅱ 【分析】（1）根据题意先判定求的最小值，即取最大值，然后由米勒圆模型求出长度，即可根据中位线性质，通过求出的最小值． （2）根据米勒圆模型求出米勒圆半径和正方形边长的数量关系，然后通过求出答案． （3）Ⅰ．由垂直平分线的性质得出即可判定点为的外心； Ⅱ．先判定点的运动轨迹为，然后通过米勒圆模型求出最大时米勒圆的半径大小，然后由平行线分线段成比例求出的大小．再根据求出和的长度，即可得到点的经过的路径长． 【详解】（1）解：由于，故求出的最小值，即可得出的最大值． ∵， ∴当取最大值时，取最小值，取最大值． 如图，连接，由，可知、、、四点共圆，则．    根据米勒圆模型，当的外接圆与相切时，即时，取最大值， 由垂径定理可知， 此时， 由勾股定理建立方程：，即， 解得， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴． 故的最大值为1． （2）解：如图，过、两点的与相切，连接，，的延长线交于点，的延长线交于．    设正方形边长为，的半径为， ∴，，， 同理（1），在中，，即， 解得， ∴， ∵为的中位线，则， ∴． （3）Ⅰ．略 Ⅱ．解：如图，连接，设点为的中点，过点作交于点，交于点，过点作于点， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，．    根据题意当点在上运动时，点在上运动，当运动到点时，为其在上的投射点， 从图中可以看出，在点从点向点运动时，点在从上先是从点向点运动，然后到达点后开始反向运动至点， 则点为点向方向到达的最远点， ∴点运动的路程为：． 根据米勒圆模型，当外接圆半径时，取最大值． 由于且，则，即此时取最大值， ∴，即取最小值时，取最大值． 设外接圆半径为， 在中，，， 则，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由可得，得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故点经过的路径长为． 【点睛】本题主要考查了米勒圆模型的应用，圆的性质，圆周角定理，正方形的性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，正确理解米勒圆模型，熟练掌握圆的性质，圆周角定理，正方形性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 压轴31（2024·浙江宁波·一模）已知：是的外接圆，连接并延长交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ，， ，即， ， ， ，而， ， ， ， ， ， ； (2)1 (3) 【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，两边加上等腰的两个相等底角得，即得； （2）根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，转化成与，，相关的角，最后得到，即得； （3）过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，由垂径定理及等腰直角三角形的判定与性质确定，设，则，由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点，如图所示： ，且， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ，即， ，即， ， ； （3）解：过作于，连接，如图所示： 由（1）知，由（2）知， ， ， 是等腰直角三角形，即， 设，则， ，， ， ，即，解得， 在等腰中，， ， 在中，由勾股定理可得． 【点睛】本题综合考查圆综合，涉及外角性质、圆周角与圆心角的关系、圆周角定理及其推理、等腰三角形的性质、对顶角相等、解直角三角形、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；其中角与辅助线的配合与等角的正切值相等得到边的比值关系起重要作用． 压轴32（2024·浙江金华·三模）如图1，在中，，，点在射线上运动，是的外接圆． (1)求的面积． (2)如图2，连接并延长，分别交，于点，，交于点，当时，求的长． (3)当圆心在的内部时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）连接并延长，交于点，首先利用面积法解得，利用勾股定理可解得，再证明垂直平分，易得，然后证明，由相似三角形的性质可得，进而解得的值； （3）根据是的外接圆，易知点在线段的垂直平分线上，分别求得点在线段上和点在线段上时的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵； （2）如下图，连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的外接圆， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）∵是的外接圆， ∴点在线段的垂直平分线上， 当点在线段上时，如下图， 则为直径， ∴，即， ∴； 当点在线段上时，如下图，连接，过点作于点，过点作于点， 由（1）可知，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，可有， ∴， 整理可得 ，解得， ∴， ∴当圆心在的内部时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、圆周角等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 压轴33（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，四边形内接于，连接，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：取弧的中点，则， ∴ ， ∴ ∴ ． (2)证明：过点作于点，连接, 四边形内接于， , ， ，解得, 所对的圆心角, ， 为等腰三角形，, 由等腰三角形三线合一得：, 在中，，， , 由勾股定理： (3) 【分析】（1）取弧的中点，则，再由圆周角定理证明即可． （2）已知，结合圆内接四边形对角互补：，先解出，再由圆周角定理：弧AC所对圆心角是圆周角的2倍，得到圆心角，是的等腰三角形，顶角，过圆心作弦的垂线，利用等腰三角形三线合一，分成两个含的直角三角形，借助勾股定理建立和半径之间的数量关系，完成证明； （3）承接前两小问结论：，，所以只要求出，就可以算出，由第(1)问结论，设，则，构造辅助点：在弧上取点，使，则弦；利用等弧对等圆周角倒角，证，得到，继续倒角推导：，推出，于是；继续倒角算出，作，得到含的，用设元，则，，，在中，用勾股定理列出关于的方程，解出方程即可解出此题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，，， 设，则，， 在弧上取一点，连接，，使，则， ， 在与中 ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 作于点， ∴， ， ， ， 在中， ， ， 解得 ， ， 由(2)得： 【点睛】本题是圆综合压轴，层层递进：第（1）问铺垫弧与圆周角的倍数关系；第（2）问铺垫角度、与半径的关系式；第(3)问依托前两问结论，采用构造等弧、全等转移线段、特殊角，勾股方程的思路，是初中圆综合典型的“倒角构造方程”解题模型． 压轴34（24-25九年级下·广东湛江·阶段检测）【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ， A、B、C、D四点共圆； （2）； （3） 【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）过作交于，由余弦函数得，由三角形的外角性质得，由等腰三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）延长至，使得，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，作轴交于，轴交于，当、、三点共线时，的值最小，此时，由三角函数及勾股定理，，，由相似三角形的判定方法，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， y关于x的函数关系式； （3）延长至，使得，连接、， ， , ， ， ， ， ， ， ， 如图，作轴交于，轴交于， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 即， ， ， ， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ； 故k的值为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等，掌握圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，相似形三角形的判定及性质，能构建相似三角形找出取得最小值的条件，并能熟练利用三角函数，勾股定理进行求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $