专题03 函数的性质与零点问题（专项训练）（上海专用）2027年春季高考数学

专题03 函数的性质与零点问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 函数的定义域与解析式 2 题型02 函数的值域与最值 3 题型03 函数的单调性与奇偶性 4 题型04 指数函数、对数函数与幂函数 6 题型05 函数的零点与方程的根 7 03 分层训练·达标过关 9 巩固过关 9 能力提升 13 1、定义域的求法：从解析式的构成出发，分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数为正、零次幂底数不为零，各条件取交集。 2、值域与最值：优先看单调性，其次换元化归为基本函数，还可用基本不等式或判别式法；一切结论都要回到定义域内检验。 3、单调性与奇偶性：证明单调性按"取值、作差、变形、定号"四步走；判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，不对称即为非奇非偶。 4、零点与方程根：先用零点存在定理锁定区间，再用单调性保证唯一；含参问题分离参数后转化为两函数图象的交点个数。 题型01 函数的定义域与解析式 函数定义域与解析式的求解技巧 （1）列出解析式隐含的全部限制条件，取交集后再写成区间或集合； （2）求解析式常用待定系数法、换元法、配凑法，换元后要注明新元的取值范围； （3）抽象函数求值采用赋值法，先赋特殊值求出关键函数值，再找递推关系。 1．（2025·上海·三模）函数的定义域为______. 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 2．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【知识点】求幂函数的解析式 【详解】代入，即，解得. 3．（23-24高三下·上海·阶段检测）设函数的定义域为，满足，当时，，则______ 【答案】/ 【知识点】求函数值 【分析】将写成的形式，再由解析式代入计算即可得. 【详解】由可得， 又，所以， 可得. 故答案为： 题型02 函数的值域与最值 函数值域与最值的求解技巧 （1）先判断单调性，单调函数在区间端点处取得最值； （2）含根式或分式时用换元法化归为二次函数或基本不等式模型； （3）分段函数分段求值域再取并集，注意分段点处的取值。 4．（2025·上海·秋考（真题第5题））函数在上的值域为_________． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 5．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数在区间内的值域 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 6．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为______． 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 题型03 函数的单调性与奇偶性 函数单调性与奇偶性的解题技巧 （1）证明单调性严格按"取值、作差、变形、定号、结论"五步书写； （2）奇偶性先验证定义域关于原点对称，再用 f(-x)=±f(x) 判定； （3）抽象函数的不等式问题，借助奇偶性把自变量化到同一单调区间内比较。 7．（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则__________. 【答案】1 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可知， 再由， 所以， 故答案为：1. 8．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】由函数可知，定义域为关于原点对称，又，故函数为内的偶函数. 故选：B 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明：由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； (2) 【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）略 （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 题型04 指数函数、对数函数与幂函数 指数、对数与幂函数的解题技巧 （1）抓住定点：指数函数过 (0,1)，对数函数过 (1,0)，据此定参数； （2）比较大小先看能否化为同底，不能同底时插入中间量 0 或 1 搭桥； （3）解指对不等式时，底数大于 1 与小于 1 的单调性方向相反，必须分类。 10．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 11．（2024·上海·三模）不等式的解集为______． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集. 【详解】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 12．（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断. 【详解】对于A：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故A正确； 对于B：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故C错误； 对于D：因为函数在上单调递减， 所以当时，，故D错误； 故选：A 题型05 函数的零点与方程的根 函数零点与方程根的解题技巧 （1）零点存在定理只保证存在，配合单调性才能保证唯一； （2）把方程化为 f(x)=g(x)，用两图象交点个数确定根的个数； （3）含参零点问题优先分离参数，转化为水平直线与曲线交点个数的讨论。 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】研究对数函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、由幂函数的单调性求参数 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得：， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 14．若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 15．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将方程有两个不同的根，转化为函数图象有两个不同的交点，观察图象可得答案. 【详解】将函数向右平移1个单位得到， 作出函数的图象如下： 要关于的方程有两个不同的根， 则函数和函数有两个不同的交点， 当过点时，， 所以当函数和函数有两个不同的交点时，. 故答案为：. 巩固过关 1．（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意，得，即， 则的定义域是. 2．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 3．（2025·上海崇明·三模）已知函数，则__________. 【答案】3 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数的概念判断与求值 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 4．已知，则的解集是_______． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 5．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________. 【答案】130 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【详解】因为，， 所以其相应的声强级为. 故答案为：130. 6．已知，则的最大值为__________. 【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答. 【详解】因为，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 7．若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是___________. 【答案】或 【知识点】根据函数是指数函数求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 8．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意，结合函数奇偶性与单调性的定义及判定方法，即可求解. 【详解】对于命题，令函数， 满足当时，都有，但函数不是R上的奇函数； 所以命题为假命题， 对于命题，令函数， 满足当时，都有，函数不是R上的增函数, 所以命题为假命题. 故选：D. 能力提升 9．（2024·上海奉贤·三模）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意，当时，得到，求得，结合，代入化简得到，即可得到答案. 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 10．（2024·上海·三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据可求，再求出平移后图象对应的解析式，根据其为偶函数可求参数的值. 【详解】令，故即， 故，由题设有，故. 故， 将图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为： ， 整理得到：， 因为为偶函数，故， 所以， 故对无穷多个恒成立，故， 故. 故答案为: 11．（2026·上海·模拟预测）定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（     ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】D 【知识点】判断命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、利用函数单调性求最值或值域 【分析】分别构造满足题设单调性和连续性的函数，说明命题①和命题②都不成立．构造函数时，不用画图直接说明，而是先给出各整数点处的函数值，再在每个小区间内用一次函数明确写出函数表达式，这样可以保证函数图象连续，且能直接判断每段的单调性． 【详解】①，构造如下函数． 对任意正整数，规定 并且在区间上令 在区间上令 这样定义后，处左右两段的函数值都等于，处左右相邻两段的函数值都等于， 所以函数图象是一条连续不断的曲线． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递增． 在上，函数是一次函数，斜率为所以在上严格递减． 因此该函数满足题设的连续性和单调性要求． 因为且所以存在最小值． 但是该函数各段端点值都为正数，且每一段都是两个正数之间的一次函数，所以，从而． 又当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最小值．故①是假命题． ②，构造如下函数．对任意正整数，规定 在区间上，令 在区间上，令 同理，该函数在相邻小区间端点处的函数值一致，所以函数图象连续不断． 在上，斜率为故函数严格递增； 在上，斜率为故函数严格递减． 因此该函数也满足题设的连续性和单调性要求． 因为且 所以存在最大值． 下面说明没有最大值． 在上述函数中，各段的函数值都在与之间，并且正向最大端点值为 因此对任意，都有． 另一方面， 当越来越大时，可以任意接近，但不等于． 所以可以任意接近，却不能取到，因此不存在最大值，故②是假命题． 12．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 13．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. 14．（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数 (2)； (3). 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】（1）根据二次函数的性质以及奇偶函数的定义，即可判断； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【详解】（1），因为的对称轴为，故当时，的对称轴为轴，此时为偶函数；时，为非奇非偶函数. （2）在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 故和上，单调递增，上，单调递减， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 （3），单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的性质与零点问题 内容导航 01 方法总结·技巧提炼 1 02 题型探究·深度突破 2 题型01 函数的定义域与解析式 2 题型02 函数的值域与最值 3 题型03 函数的单调性与奇偶性 4 题型04 指数函数、对数函数与幂函数 6 题型05 函数的零点与方程的根 7 03 分层训练·达标过关 9 巩固过关 9 能力提升 13 1、定义域的求法：从解析式的构成出发，分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数为正、零次幂底数不为零，各条件取交集。 2、值域与最值：优先看单调性，其次换元化归为基本函数，还可用基本不等式或判别式法；一切结论都要回到定义域内检验。 3、单调性与奇偶性：证明单调性按"取值、作差、变形、定号"四步走；判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，不对称即为非奇非偶。 4、零点与方程根：先用零点存在定理锁定区间，再用单调性保证唯一；含参问题分离参数后转化为两函数图象的交点个数。 题型01 函数的定义域与解析式 函数定义域与解析式的求解技巧 （1）列出解析式隐含的全部限制条件，取交集后再写成区间或集合； （2）求解析式常用待定系数法、换元法、配凑法，换元后要注明新元的取值范围； （3）抽象函数求值采用赋值法，先赋特殊值求出关键函数值，再找递推关系。 1．（2025·上海·三模）函数的定义域为______. 2．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______. 3．（23-24高三下·上海·阶段检测）设函数的定义域为，满足，当时， 题型02 函数的值域与最值 函数值域与最值的求解技巧 （1）先判断单调性，单调函数在区间端点处取得最值； （2）含根式或分式时用换元法化归为二次函数或基本不等式模型； （3）分段函数分段求值域再取并集，注意分段点处的取值。 4．（2025·上海·秋考（真题第5题））函数在上的值域为_________． 5．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为________. 6．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为______． 题型03 函数的单调性与奇偶性 函数单调性与奇偶性的解题技巧 （1）证明单调性严格按"取值、作差、变形、定号、结论"五步书写； （2）奇偶性先验证定义域关于原点对称，再用 f(-x)=±f(x) 判定； （3）抽象函数的不等式问题，借助奇偶性把自变量化到同一单调区间内比较。 7．（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则__________. 8．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 题型04 指数函数、对数函数与幂函数 指数、对数与幂函数的解题技巧 （1）抓住定点：指数函数过 (0,1)，对数函数过 (1,0)，据此定参数； （2）比较大小先看能否化为同底，不能同底时插入中间量 0 或 1 搭桥； （3）解指对不等式时，底数大于 1 与小于 1 的单调性方向相反，必须分类。 10．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 11．（2024·上海·三模）不等式的解集为______． 12．（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型05 函数的零点与方程的根 函数零点与方程根的解题技巧 （1）零点存在定理只保证存在，配合单调性才能保证唯一； （2）把方程化为 f(x)=g(x)，用两图象交点个数确定根的个数； （3）含参零点问题优先分离参数，转化为水平直线与曲线交点个数的讨论。 13．（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为__________. 14．若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为________． 15．对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是____________． 巩固过关 1．（2026·上海·模拟预测）已知函数，则的定义域是________． 2．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 3．（2025·上海崇明·三模）已知函数，则__________. 4．已知，则的解集是_______． 5．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________. 6．已知，则的最大值为__________. 7．若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是___________. 8．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为． 命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数． 命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数． 下列说法正确的是（    ） A．p、q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p、q都是假命题 能力提升 9．（2024·上海奉贤·三模）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 10．（2024·上海·三模）设，已知函数的两个不同的零点、，满足，若将该函数图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则______． 11．（2026·上海·模拟预测）定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（     ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 12．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 14．（2023·上海宝山·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于x的方程有3个不同的实根，求实数m的取值范围； (3)记（是自然对数的底数）.若对任意、且时，均有成立，求实数a的取值范围. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $