第5章 5.2.1 样本空间与事件-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第二册人教B版 5.2概 率 5.2.1样本空间与事件 (2)在10个同类产品中，有8个正品、 学习目标 2个次品，从中任意抽出2个检验的结果， 1.掌握样本点与样本空间的概念，在实 分析本题考查随机现象和必然现象 际问题中能正确求出随机事件的样本空间. 的概念 2.掌握基本事件、随机事件、必然事件 的概念 3.掌握随机事件的概率的概念，会借助 样本空间和样本点理解随机事件的概率， 要点精析 川要点1必然事件与随机事件 变式训练① 随机事件、必然事件、不可能事件 指出下列事件是必然事件、不可能事 (1)如果随机试验的样本空间为2，则：件，还是随机事件 随机事件A是2的一个非空真子集， ①中国体操运动员将在下届奥运会上获 (2)任何一次随机试验的结果，一定是： 得全能冠军， 样本空间2中的元素，因此可以认为每次试 ②若x∈R,则x2+1≥1. 验中2一定发生，从而称2为必然事件； ③掷一枚骰子两次，朝上的面的数字之 又因为空集⑦不包含任何样本点，因此可以 和小于2. 认为每次试验中☑一定不发生，从而称⑦为 分析本题考查必然事件、随机事件、 不可能事件 不可能事件的概念。 思考你能说出几个生活中的随机 事件、必然事件、不可能事件的具体实 例吗？ 例1判断下列现象是必然现象还是随 机现象。 (1)掷一个质地均匀的骰子出现的 点数； 48)学 第五章统计与概率。 例2给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必 变式训练3 有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； 设O为正方形ABCD的中心，在O,A, ②“当x为某一实数时可使x2<0”是不 B,C,D中任取3点，则样本空间为 可能事件； 川要点3随机事件发生的概率 ③“明天全天要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡(6个是次品)中取 事件发生的可能性大小可以用该事件发 出5个，5个都是次品”是随机事件。 生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能 其中正确命题的个数是() 发生，事件A发生的概率通常用P(A)来表示 A.0 B.1 (1)规定：P(☑)=0；P(2)=1. C.2 D.3 (2)对于任意事件A来说，显然有 P(☑)≤P(A)≤P(2),因此0≤P(A)≤1. 变式训练2 思考抛掷一枚质地均匀的硬币，落地 下列事件中，必然事件是( 后正面向上的概率为50%，那么能否理解为 A.10人中至少有2人生日在同一个月 将这枚硬币抛掷两次必有一次正面向上？ B.11人中至少有2人生日在同一个月 例4先后两次抛掷一枚质地均匀的骰 C.12人中至少有2人生日在同一个月 子，观察朝上的面的点数 D.13人中至少有2人生日在同一个月 (1)写出对应的样本空间： (2)用集合表示事件A:点数之和为3， 川要点2样本空间 事件B:点数之和不超过3： 在写试验结果时，一般采用列举法写 (3)从直观上判断P(A)和P(B)的大小 出，必须首先明确事件发生的条件，根据日 (指出P(A)≥P(B)或P(A)≤P(B)即可) 常生活经验，按一定次序列举，才能保证所 分析本题列举出样本空间，进而通 列结果没有重复，也没有遗漏。 过对事件A和B所包含的样本点个数来判 思考你能分别举出样本空间为有限 断P(A)和P(B)的大小 集和无限集的例子吗？ 例3“连续抛掷两枚质地均匀的骰 子，记录朝上的面的点数”，该试验的结果 共有() A.6种 B.12种 C.24种 D.36种 分析本题将基本事件利用有序数对 形式列举出来 学 49 N 高中数学必修第二册人教B版 史学家所使用，普遍认为这四种发明对中国 变式训练4 古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大 从分别写有1,2,3,4,5,6的6张 的推动作用.某小学三年级共有学生400名， 卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2： 随机抽查100名学生并提问中国古代四大发 张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 明，能说出两种及其以上发明的有3人， ( 据此估计该校三年级的400名学生中，对四 A B. 大发明只能说出一种或一种也说不出的有 c号 () A.69人 B.84人 数学文化 C.108人 D.115人 分析用样本估计总体，列出比例式 例造纸术、印刷术、指南针、火药被 可得 称为中国古代四大发明，此说法最早由英国 汉学家艾约瑟提出，并为后来许多中国的历： (50)学N 高中数学必修第二册人教B版 则总体的平均数为8×474+号×662-5268（分）。 20 总体的方差为入1 20 =18[s计 (-P1+12[s+G-1=08x374(4745268y1+12x [11.824(56.2-52.68)2]=107.6,总体的标准差s≈10.37. .这名选手得分的平均数为52.68分，标准差约为 10.37. 例3解：(1)频率分布表 分组 频数 频率 分组 频数 频率 [41,51) 2 2 30 [81,91) o 10 30 [51,61) 1 30 [91,101)》 5 30 4 [61,71) [101,111] 2 30 6 [71,81) 6 30 (2)频率分布直方图 频率 ,组距 30 60 415161718191101111空气污染指数 例3答图 (3)答对下述两条中的一条即可：①该市一个月中 空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的： 有26天处于良的水平，占当月天数的号：处于优或良 的天数共有28天，占当月天数的4.说明该市空气质量 基本良好.②该市一个月中空气质量为轻微污染的有2 天，占当月天数的二.污染指数在80以上的接近轻微污 15 染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17 天，占当月天数的号，超过50%，说明该市空气质量有 待进一步改善。 变式训练3 解：(1)由题中数据可得，频率分布表如下： 40 N 分组 频数 频率 [320,380) 6 0.20 「380.440) 18 0.60 [440,500) 4 0.13 [500,560] 2 0.07 合计 30 1.00 (2)频率分布直方图如图： 频率 T组距 0.01--- 0.0033 0.0022F--- 1-- 0.0012上- 320380440500560月水电费用/元 变式训练3答图 (3)该月水电费用在[440,560]内的家庭所占的 百分比为0.13+0.07=0.2=20%. 数学文化 224【解析】由题意，得1+2机=125，解得n=224 n m5.2概 率 5.2.1样本空间与事件 要点精析 例1解：(1)掷一个质地均匀的骰子，其点数有可能 出现16，点数是不能确定的，因此是随机现象。 (2)抽出的2个产品中有可能全部是正品，也有可 能是1个正品1个次品，还有可能是2个次品，故是随 机现象 变式训练1 解：由题意知①中事件可能发生，也可能不发生， 所以是随机事件；②中事件一定会发生，是必然事件； 由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之 和最小是2，不可能小于2，所以③中事件不可能发生， 是不可能事件」 例2D【解析】三个球分为两组，有两种情况，1+2和 3+0,.①是正确的命题；任意实数x都有x2≥0，.②是 正确的命题；“明天全天要下雨”是随机事件，③是 错误的命题；“从100个灯泡(6个是次品)中取出5 个，5个都是次品”发生与否是随机的，④是正确的 命题.故有3个正确命题.故选D 变式训练2 D【解析】一年有12个月，因此无论10,11,12 个人，都有可能所有人都不在同一个月出生，而13>12， 所以13人中至少有2人在同一月份出生，为必然事件。 故选D. 例336【解析】试验的全部结果为(1,1)，(1,2)， (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5), (3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种.故选D. 变式训练3 (ABC,ABD,ABO,ACD,ACO,ADO,BCD BCO.BDO.CDO 例4解：(1)用(1,2)表示第一次掷出1点，第二 次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知 所有样本点均可表示成(i,)的形式，其中i,j都是 1,2,3,4,5,6中的数.因此，样本空间2={(i,j1≤ i≤6,1≤j≤6，ieN,jeN. (2)不难看出，A={(1,2),(2,1)月，B=(1,1), (1,2),(2,1)小 (3):A事件发生时，B事件一定发生，也就是说B 事件发生的可能性不会比A事件发生的可能性小，.直 观上可知P(A)≤P(B). 变式训练4 C【解析】样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1， 4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6)},共15个样本点，其中符合数字之积 是4的倍数的样本点有6个，故所求概率P号子·故 选c 数学文化 C【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一 种也说不出的有100-73=27（人）· 参考答案。 设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说 出一种或一种也说不出的有x人，则罗0，解得 x=108.故选C. 5.2.2事件之间的关系与运算 要点精析 例12,4,5,6,7,8,10,12}{5,7)【解析】 事件A=2,5,7),事件B=2,4,6,8,10,12}, ∴AUB=2,4,5,6,7,8,10,12,B=3,5,7,9,11}, ∴.A∩B={5,7}. 例2D【解析】从装有2个红球和2个黑球的口袋内 任取2个球，至少有1个黑球与事件恰有2个红球是对 立事件，∴A不成立；恰好有1个黑球与事件恰有2个 红球是互斥的事件，B不成立；至多有1个红球与事 件恰有2个红球是对立事件，C不成立；至少有1个 红球与事件恰有2个红球是既不对立也不互斥的事件， D成立.故选D. 变式训练1 C【解析】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币 正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选C 例3B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为 只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支 付，则A,B,C刚好组成全事件，且A,B,C为互斥 事件，则P(B)=1-P(A)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故选B. 变式训练2 D【解析】从5名大学生中录用3人，所有不同的 可能结果有（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、 戊)，（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊）， (乙、丙、丁)，（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、 丁、戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有 不同结果只有（丙、丁、戊）1种，其对立事件为“甲 或乙故录用，八10品放选D 数学文化 例1解：如果三个臭皮匠A,B,C能答对的题目彼此 互斥（他们能答对的题目不重复），则P(AUBUC)= PA)+PB)+PC)-褐>PD)=号，放三个臭皮匠方为胜 601 方，即三个臭皮匠顶上一个诸葛亮；如果三个臭皮匠 A,B,C能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶 41