小题专题02 8+3+3冲刺高分6阶题组专项训练（二）-2027届高三数学一轮复习

小题专题02 单选8多选3填空3冲刺高分练 （6阶题组）专项训练（二） 1 10 20 32 40 48 （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．若，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得. 2．已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【详解】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 3．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 4．已知为递减的等比数列，且，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 为递减的等比数列，若，数列各项正负交替，不可能保持单调递减， ∴ ，数列所有项符号一致； 又∵ ，故数列所有项均为正数. ∵  ，结合，得. ∴ ，， 代入得：    . 整理得，解得（舍去，因数列递减要求）或，故选:B. 5．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】 设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去），故C正确. 6．已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，由题得,设球的半径为，解方程即得解. 【详解】解：如图所示，由题得. 设球的半径为，则, 所以. 故选：B 7．已知函数，且，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造为R上单调递增的奇函数，再转化不等式为，利用单调性解不等式即得结果. 【详解】解： 令，则，， 故在R上单调递增，且为奇函数. 不等式，即， 即，则 故，即，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛： 利用函数奇偶性和单调性解不等式问题： （1）是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可； （2）是偶函数，图像关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可. 8．已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围. 【详解】椭圆以，为焦点，即，， 所以设椭圆方程， 联立方程， 消去得出， 由题意可得， 即，得出或（舍去），解得， 所以， 所以椭圆的离心率的最大值为. 二、多选题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理，代入求解方程即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 解得或． 故选：BC． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为或． B．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有种. C．的展开式中的系数为． D．从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60． 【答案】ACD 【详解】选项A：根据组合数性质等价于或，且上标满足. 列方程：①，解得，此时上标为7，符合要求. ②，解得，此时上标分别为4和6，符合要求，故或，A正确. 选项B：用间接法计算，总选法，全是男生的选法，故至少1名女生的选法为种，不是42种，B错误. 选项C：的展开通项为，得到项分两类： ①2乘中项，系数为；. ②乘中项，系数为. 总系数为，C正确. 选项D：从5本不同的书中选3本分给3位同学，属于排列问题，总方案数为，D正确. 11．已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【分析】作出符合题意的图形，利用斜率的几何意义得到，结合题意得到进而判断A，联立方程组结合韦达定理得到，最后结合内心的性质判断B，利用二倍角公式并结合方程得到判断C，先确定，再利用弦长公式与点到直线的距离公式得到面积解析式，最后结合角平分线定理建立方程，求解参数，进而得到三角形面积判断D即可. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 三、填空题 12．已知函数的部分图象如图所示，则为________． 【答案】/ 【详解】由图象得，，，解得，所以， 又过点，代入可得，所以， 则，解得， 因为，所以． 13．已知曲线，，，，当轴时，________． 【答案】 【分析】设，则，构造函数，利用导函数研究其最小值. 【详解】当轴时，设，则，则 记，则， 故当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增； 故有，故 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次且竖直方向移动1次的概率为________． 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过（含到达）”，事件“水平方向移动2次且竖直方向移动1次”， 记向左，向右，向上，向下， 按移动到位置需要1步还是3步分类讨论： ①若第1步到为事件，则移动3次满足要求的是（或或）， （或或），（或或），（或或）， 因此； ②若3步到为事件， 则移动3次满足要求的是，，，，， 因此， 而，且，互斥， 则， 满足的情况有：，，，，，，，， 则， 所以． （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算法则，写成的形式，得其对应点的坐标，判断即可. 【详解】因为. 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 2．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 3．双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，解得. 4．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 【答案】C 【详解】令，则； 令，则，故. 5．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. 6．已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性可知，可得数列是单调递减数列. 7．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的减法运算及向量模的不等式，数量积的性质与运算求解. 【详解】， ， 因为等边三角形的边长是， 所以， 所以，又， 故， 即. 8．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 二、多选题 9．下列关于函数的说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在区间上单调递减 【答案】AC 【分析】根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案. 【详解】， 所以的最小正周期，故A正确； 函数的图象向左平移个长度单位得到函数 ，故B不正确； 对于函数，由于， 所以函数的图象关于点中心对称，故C正确； 当时，， 所以函数在区间上单调递增，故D错误. 10．已知函数，，为的极大值点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求出的导数，再设，利用导数结合零点存在定理可判断的极值点满足的性质，据此判断AB的正误，再利用导数求出的单调性，设，利用导数研究其单调性后可判断，故可判断CD的正误. 【详解】因为，设， 则，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，当时，即， 而，故存在，使得即， 且时，即，当，即， 故为的极大值点即， 由前述分析可得也是最大值点且，故B正确. 而，而， 故，即A正确. 易知，当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 因为，故为方程的解， 当时，，而，此时方程无解； 当时，设， 因为在上为增函数，在上为减函数， 故在上为增函数，而， ，故在上存在唯一的零点， 而当时，因为在上为减函数，故， 当时，恒成立，故无解， 综上，即，故C正确，D错误. 11．平面上一动点到原点的距离与到直线的距离之和为常数，点的轨迹为曲线，点在曲线上，则（   ） A． B． C．面积的最大值为9 D．从曲线内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆内的概率大于 【答案】ACD 【分析】求出曲线方程并代入所过的点后可判断A，根据曲线方程结合放缩法和作差法可判断B的正误，根据曲线方程可求到距离的最大值后可判断C的正误，利用斜率换元结合导数可求动点坐标的范围，从而可估算概率后判断D的正误，我们还可以利用复数的三角形求出旋转后曲线对应的方程，从而可判断BC. 【详解】设动点，由题得到 而点在此曲线上，所以，A正确； 由于，，显然即. 而， 所以，所以，从而， 当且仅当即或时等号成立，故，B错误； 设曲线上的动点到直线的距离为，则， 而，故，由B的分析可得， 故，故的面积，C正确； 对于D，设圆内的整点集合为， 则共有25个点， 因为，故曲线内至少有个整点. 因为，则至少有一个不为零， 不妨设，，则，则， 若，则， 令，， 则，此时在上为减函数， 故在上的值域为，故， 若，， 令，， 则即在为增函数， 故在的值域为，故此时， 综上，，由对称性可得，而， 故平面区域内共有81个整点， 上述平面区域包含了曲线，从曲线任取一整点（横纵坐标均为整数），则整数点个数小于个， 所以该点位于圆内的概率大于，D正确. 对于BC，我们提供另外的解法如下： 将曲线绕原点顺时针方向旋转，则旋转前后和面积均保持不变. 设为曲线任意点，旋转后对应点的坐标为，则对应的复数为， 故对应的复数为，故， 故，整理得，故，故曲线的图形如下： 此时旋转后对应的点，故此时的最大值为, 而，故， 当且仅当等号成立，故B错误，C正确. 三、填空题 12．已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 13．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 14．如图，经过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线的倾斜角为，经过点和原点的直线与的准线交于点. （1）当时，________； （2）绕直线旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线的斜率为________. 【答案】 3 【分析】（1）求出点的坐标，求出直线的方程，再求出点纵坐标即可得解； （2）求出几何体的体积，利用导数求体积有最小值时对应的即可得解. 【详解】（1）由可知，焦点，准线方程为， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的方程为， 联立，可得，解得或， 因为点在第一象限，且倾斜角为， 所以，代入，可得, 所以，可得直线的方程为， 代入直线方程，可得， 所以. （2）可证得,即，过作，交延长线于点， 过作于， 绕旋转一周所形成几何体可以看作上下底半径分别为为半径，为高的圆台， 挖去以为半径，高为的圆锥后所得几何体， 故几何体的体积为： ， 令， 则 ， 又，， 分析可知，当时，最大，几何体的体积最小， 由同角三角函数关系得，于是. 即直线的斜率为. （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于命题，取，得，所以命题不正确，所以是真命题； 对于命题，取，得，所以命题正确. 综上所述，和都是真命题. 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 4．等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 【答案】B 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 联立方程组可得，解得， 则由等差数列求和公式得，故B正确. 5．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 6．某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 【答案】B 【分析】先算5个景点3天游览的总方案数，再算、同天的方案数，用总方案数减、同天的方案数，最终得出结果. 【详解】5个景点分到3天，每天至多2个景点，因此分组只能是2，2，1， 所以，又因为， 所以总方案数， 若A、B安排在同一天：共分组方式， 又因为三个组分配到3天，共种排列， 因此A、B同天的方案数， 所以，即不同的安排方案种数为72. 7．已知双曲线及（其中），与相交于A，B，C，D四点，与的两条渐近线相交于四点．若四边形ABCD与四边形相似，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求圆与双曲线渐近线的交点坐标，得到四边形 的边长；再联立圆与双曲线方程，求得四边形 的边长．由两个四边形相似建立关于 的方程，进而求出双曲线的离心率． 【详解】由双曲线 可知其两条渐近线方程为，联立 与 ， 得，因为 ，所以解得 ，从而 ， 故圆 与双曲线两条渐近线的四个交点为 ，所以四边形 为矩形，其边长分别为 ， 再联立，设 ，则，解得， 所以四边形 也为矩形，其边长分别为， 于是矩形两邻边长度之比为，因为四边形 与四边形 相似， 故有，两边平方，得，设 ，则 ，即， 因式分解，得，因为 ，所以， 故双曲线的离心率. 8．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数分析函数的单调性、最值及零点（记为)，由关于x的不等式恒成立，函数的零点恰好是的零点，结合韦达定理对化简，可得，构造函数，利用导数分析单调性，求得其最大值即可. 【详解】设，则. 令，得. 因为是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最小值为. 因为，，且当时，， 所以有两个不同的零点，记为. 又关于x的不等式恒成立，所以恰为函数的零点. 即. 所以. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即的最大值为 二、多选题 9．如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 【答案】ABD 【详解】数列中，若，，则， 所以，即， 即，且. 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以A正确. 所以，，， 因为，所以，所以数列是递减数列，所以B正确. 若数列的前n项和为， 则 ，所以C错误. 因为，所以. 若数列的前n项和为， 则， 其中.所以D正确. 11．已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（   ） A．面积的最小值为 B．若恰有两个点满足，则的取值范围是 C．到平面和到平面的距离之和为定值 D．若，则的周长不可能为 【答案】ACD 【分析】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出点到直线距离的最小值，结合三角形的面积公式可判断A选项；求出球心到直线的距离以及、的长，结合图形可判断B选项；利用等体积法可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项. 【详解】将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中，则， ，， 所以点到直线的距离为 当且仅当时，等号成立，即点到直线距离的最小值为， 所以，A对；     对于B选项，易知球心为正方体体对角线的中点，且， 则球心，， 同理可知，所以为等腰直角三角形， 所以球心到直线的距离为， 故恰有两个点满足，则，即的取值范围是，B错； 对于C选项，， 易知、都是边长为的等边三角形， ， 设点到平面、平面的距离分别为、， 由得， 解得，C对； 对于D选项，设，，、， 在中，， 所以在中，由余弦定理，得， 同理，有， 在中，由余弦定理，得， 在直角中，， 所以，即， 由基本不等式，得，即， 令，则，解得，或（舍）， 所以，显然等号可以取得， 在中，， 又，所以， 所以的周长为， 则的周长为定值，不可能为，所以选项D正确， 故选：ACD． 三、填空题 12．一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 【答案】 【详解】由频率分布直方图估计，，，，的中位数为. 若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为. 13．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】将函数的零点转化为方程的解，再结合正弦函数的性质可得解的表达式，分类讨论，即可求得答案. 【详解】由题意得的零点，即为的解，， 即得或， 即或， 对于，其中相邻解之间距离为， 对于，其中相邻解之间距离为， 当在中取一解，在中取一解时， 两解之间的距离最小为， 综合以上可知的最小值为， 故答案为： 14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定不大于的集合中元素个数，不大于的集合中元素个数，再列出方程并确定其整数解 【详解】依题意，，由，令，显然集合中小于的元素有个， 集合中不大于的元素有个，因此， 由，令， 同理，于是，， 令，则， 由，得，则， 又数列单调递增，而，因此， 当时，，解得；当时，，无整数解； 当时，，无整数解；当时，，无整数解， 则， （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求得，求定义域得，再求集合并集即可. 【详解】，解得， 所以， 函数的定义域为， 所以， 所以 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 3．若是二项式的展开式中的一项，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】二项展开项的通项为， 当时，，则． 4．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 5．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 6．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 8．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设，求解的坐标，由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球，求解三棱锥的外接球的半径为，求解平面的法向量，再由求解即可. 【详解】设正方体棱长为1，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，， 因为点为中点，可得，又设，， 则得，解得，即， 由三棱锥的外接球即为，，为棱的长方体的外接球， 由，，，得长方体的体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，即球心为该长方体体对角线的中点，所以， 设平面的法向量为，，， 由，故可取， 因为，所以与平面的法向量为垂直， 则，即，解得，所以. 二、多选题 9．在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 【答案】AB 【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案. 【详解】原始数据的平均数为， 众数为5和7，中位数为6，极差为， 对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确； 对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确； 对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误； 对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得； 当最大时，得，故或，故错误. 10．已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 【答案】BCD 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为， 整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切， 直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内， 所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 11．对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则（    ） A． B．对任意正整数，恒有 C．记，则的前项和 D．从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则其概率为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设函数定义求解判断即可；对于B，取，进而验证判断即可；对于C，分析可得，进而结合等比数列的求和公式求解判断即可；对于D，由，得互质，进而列举出满足条件的情况，进而求解判断即可. 【详解】对于A，不超过9的正整数中与9不互质的数为3的倍数，即3，6，9， 则，故A正确； 对于B，取，由于不超过25的正整数中与25不互质的数为5的倍数，即5，10，15，20，25， 则，而，则，故B错误； 对于C，因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 所以，则，故C正确； 对于D，由，得互质， 则满足条件的有，共11种， 所以，故D正确. 三、填空题 12．双曲线的离心率为_________． 【答案】 【详解】双曲线，即，其中，， 所以，所以. 13．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 【答案】0 【详解】由三角函数定义知，，， ，， 所以. 14．平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点，令，求导，分情况讨论单调性求解即可. 【详解】由题意可知直线与的图象至多只有一个交点， 令，则， 令，则， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在时有最小值，即， 当时，，当时，， 由题可得，或恒成立， ①当恒成立时，即对恒成立， 当时，时，，则，不满足题意； 当时，恒成立，符合题意； 当时，要使恒成立，则恒成立， 即，解得； ②当恒成立时，即对恒成立， 当时，时，，，不满足题意； 当时，恒成立，不符合题意； 当时，时，，则，不满足题意； 综上，当时，恒成立， 此时函数单调递减，至多只有一个解， 满足直线与的图象至多只有一个交点， 所以实数的取值范围是. （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，， 所以. 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 故. 3．在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理，. 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用垂直关系，转化为坐标运算，根据三点共线，求解和的值. 【详解】由条件可知，，， ，得， 又因为三点共线，所以， 由可得，，， 所以. 5．某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 6．在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 【答案】D 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 7．在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 8．若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列递推公式，构造函数，利用导数判断函数的单调性和函数值，从而判断数列的单调性和，判断A，同样通过作差构造函数，利用导数判断 函数的单调性，证明不等式，判断B，根据B的结果，两边取倒数，判断C，并根据累加法判断D. 【详解】，，， 所以在上单调递增，且， 因此，时，， 由，由递推式，得对所有的成立， ， 令，， 恒成立， 所以在单调递减，，因此时，， 即，数列单调递减， 因此，故A错误； B.， 令，， ， 当时，，时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以时，，即，所以，故B错误； C.由两边取倒数，得，即，故C错误； D.由可知，，即， 根据累加法，，故D正确. 二、多选题 9．某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 【答案】ABD 【分析】本题结合正态分布的对称性判断选项A，B，根据二项分布的概率公式判断选项C，再通过条件概率公式计算验证选项D，从而得出正确答案． 【详解】对于A，正态分布的密度曲线关于直线对称， 所以，A正确； 对于B，由正态分布的对称性， ， 所以，B正确； 对于C，二项分布满足，， 当且仅当时两者相等，一般情况不成立，C错误； 对于D，当时，， ， 条件概率 ，D正确． 10．已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项. 【详解】A.时，，时，单调递减，时，单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 如图，画出函数的图象， B.当，，得或 所以当，， 当，单调递增，由增加到1， ，由1减小到，存在点时，，故B错误； C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误； D.当时，，，此时， ，所以，故D正确. 11．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 三、填空题 12．已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 【答案】729 【详解】由题意得，故，， 所以. 13．已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 的焦点坐标为，故，， 联立与得， 又，故， 满足，故， 即，化简得， 方程每项除以得，解得， 因为，所以不合要求，舍去， ，故. 14．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．已知为虚数单位，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由复数的运算可得，再由复数的几何意义求复数的模可得. 【详解】因为，所以， 即，所以. 2．设随机变量，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以正态分布密度曲线的对称轴为， 已知，根据正态分布的对称性， 可得，解得． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质，并代入函数解析式进行求解即可. 【详解】已知函数为奇函数，则 4．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即． 5．已知曲线在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由题意得, 又曲线在点处的切线方程为, 所以,可得. 6．中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（     ） A．减小，且减速越来越慢 B．减小，且减速越来越快 C．增大，且增速越来越快 D．增大，且增速越来越慢 【答案】D 【详解】， 由题，，， ，指数函数是增函数，且，故恒成立， 即，函数单调递增； 又随着增大而减小，故随着增大而减小，即函数的图象切线斜率越来越小，即增速越来越慢. 7．如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和差化积求出两曲线交点横坐标，得到三个相邻交点，算出三角形底边长；再求出交点纵坐标之差作为三角形的高，结合面积公式建立关于的方程，即可求解. 【详解】根据题意，，则，即. 若，则两曲线完全重合，不满足题意，因此只有，所以，解得. 三个相邻交点，，对应的坐标依次取连续整数，，，则，，， 所以三角形底边的长度. 把，代入，得，， 则三角形的高. 又，即，即， 所以，解得，所以的最小值为. 8．已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线距离和弦长公式写出三条弦长，代入，换元解方程，最后检验即可。 【详解】根据题意，圆的圆心为，圆的圆心为，圆的圆心为，且三个圆的半径均为. 当时，，不满足，所以； 当时，各圆的圆心到直线的距离依次为，，， 此时，同理，， 又，所以，化简得. 令，则可得，即， 两边取平方，得，即, 两边再取平方，整理得，解得或， 因为，所以，所以. 检验：，且此时满足. 故. 二、多选题 9．为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为，经验回归方程为，则（     ） A． B．变量x和y正相关 C．光照时间每增加1 h，植物产量约增加 D．当x时，y的预测值为7 【答案】ABC 【详解】由题意可知：样本中心为，将其代入中可得，故A正确， 对于B,由于经验回归方程的斜率为0.5，故x和y正相关，光照时间每增加1 h，植物产量约增加,BC正确， 对于D, 当x时，,y的预测值为5.7,D错误. 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（     ） A．的最小值为 B．存在点，使得 C．若，则直线与有两个交点 D．若点在轴上，则 【答案】AD 【分析】选项A，利用直线参数方程结合韦达定理与焦点弦长公式，求出弦长关于斜率倒数的二次函数最小值，选项B，通过证明向量恒非负，得出两线夹角最大为直角，从而排除钝角可能，选项C，由向量垂直条件得出点坐标后，推导发现直线斜率恰好等于抛物线在点处的切线斜率，证明其为仅有一个交点的切线，选项D，确定点坐标后，利用韦达定理推导证明直线和的斜率互为相反数，从而得出两直线关于轴对称且角度相等. 【详解】由题意得，准线，，设直线， 联立得，设， 则，则， 且恒成立， 对于A，， 因为，所以当时即直线垂直于轴时，取最小值，故A正确， 对于B，因为P在C的准线上，故设点， 所以， 则， 由上知， 则， 因为，所以，则， 可知，故B错误， 对于C，若，则，由上知此时，即， 此时点，则， 由上知， 则， 因为，且点在抛物线上，即， 所以， 则， 设过点的切线方程为，由题意得存在且， 则，代入整理得， 则有，即， 即，结合，所以， 代入得，即，解得， 故此时直线为抛物线的切线，只有1个交点，故C错误， 对于D，由题意得，所以为轴，， 则 ， 将和代入分子得， 所以，即，所以直线和关于轴对称， 所以，故D正确. 11．若存在实数和，使得对，，则（     ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】方法一：设，取最接近的整数，则，结合上述结论，寻找靠近最高点的整数倍角，再结合正弦函数的值域判断各选项.方法二：利用单位圆等分点与抽屉原理判断各选项. 【详解】方法一：寻找靠近最高点的整数倍角 先证一个简单结论：设，取最接近的整数，则. 注：相邻整数的距离为 1，任意实数到某个整数的距离不超过，因而上述整数一定存在，不要求与的比值为有理数. A项：，且，故，A正确. B项：当时，由上述结论，存在整数，使. 故时不可能有，B错误. C项：当时，正弦值循环取，故. 取，所有正弦值均为，故的最小值为，C正确. D项：记，则. 若，则存在整数，使，矛盾. 若，令，则，且对任意整数，. 取最接近的整数，得，矛盾，故. 当时，所有正弦值循环取，均不超过，因而的最小值为，D正确. 方法二：单位圆等分点与抽屉原理 将对应到单位圆上，正弦值就是相应点的纵坐标. A项：单位圆上任一点的纵坐标均不小于，故，A正确. B项：时得到正六边形的六个顶点.相邻顶点的圆心角为，最高点到某个顶点的圆心角不超过， 故至少一个顶点的纵坐标不小于，B错误. C项：时得到正方形的四个顶点.最高点到某个顶点的圆心角不超过，故最大纵坐标不小于. 取时四个顶点的纵坐标均为，等号成立，C正确. D项：仍记，先分清圆上出现的点的个数. 若，其中为互质正整数，则恰有个不同的点. 当时，这些点等分单位圆，必有一个点到最高点的圆心角不超过，其纵坐标不小于，不符合题意. 注：当取时，除以的余数互不相同，因而恰为.这说明所得点确为单位圆的 q 等分点. 若为无理数，则前五个点互不相同.将单位圆按四个象限分成四段，每段包括起点而不包括终点. 由抽屉原理，其中两个点落在同一段，它们的角度差可写成.其中为整数且. 因而所有角对应的点，也都在原来得到的点中. 取最接近的整数，则，仍不符合题意. 故只能有，且，从而. 取，圆上三点为，最大纵坐标为.因而最小值为，D正确. 三、填空题 12．已知单位向量，，满足，则________． 【答案】 【分析】直接由向量的数量积的运算性质计算可得. 【详解】因为单位向量，，满足，所以， 因此，因为， 所以，即. 13．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用双曲线定义结合余弦定理计算作答. 【详解】令双曲线C的半焦距为c，即，又，，则， 中，，由余弦定理得， 即，整理得， 所以C的离心率． 故答案为： 14．已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为______． 【答案】4 【分析】将问题转化为存在唯一的非零整数使得，，求导得函数的单调性，结合函数的图象即可求解. 【详解】由于恰好有4个子集，所以该集合中有2个元素， 因此存在两个整数满足， 令，则，故在，上单调递增， 当时，，，，， 故作出的大致图象如下： 由于时，成立，因此存在两个整数满足， 转化为存在唯一的非零整数使得或， 结合， 若时，此时可取，满足， 可取1满足，不满足题意， 当时，此时可取，满足，不满足题意， 当时，此时可取1,2，满足，不满足题意， 当满足，此时只有满足，故整数可为3,4,5,6，共4个. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题专题02 单选8多选3填空3冲刺高分练 （6阶题组）专项训练（二） 1 3 5 8 10 12 （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．若，则复数（   ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，⫋则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 3．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 4．已知为递减的等比数列，且，，则公比（   ） A． B． C． D． 5．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为或． B．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有种. C．的展开式中的系数为． D．从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60． 11．已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 三、填空题 12．已知函数的部分图象如图所示，则为________． 13．已知曲线，，，，当轴时，________． 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次且竖直方向移动1次的概率为________． （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．已知，则（   ） A．32 B．31 C． D．1 5．已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ） A．2025 B． C． D． 6．已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 7．已知等边三角形的边长是，是三角形所在平面内的动点，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 二、多选题 9．下列关于函数的说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在区间上单调递减 10．已知函数，，为的极大值点，，则（   ） A． B． C． D． 11．平面上一动点到原点的距离与到直线的距离之和为常数，点的轨迹为曲线，点在曲线上，则（   ） A． B． C．面积的最大值为9 D．从曲线内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆内的概率大于 三、填空题 12．已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 13．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 14．如图，经过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），直线的倾斜角为，经过点和原点的直线与的准线交于点. （1）当时，________； （2）绕直线旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线的斜率为________. （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 5．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 6．某游客计划3天内游览完A，B，C，D，E这5个景点，每天至多游览2个景点，且A，B两个景点不安排在同一天游览，则不同的安排方案种数为（    ） A．36 B．72 C．90 D．144 7．已知双曲线及（其中），与相交于A，B，C，D四点，与的两条渐近线相交于四点．若四边形ABCD与四边形相似，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知时，关于x的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 10．在数列中，若，，则（    ） A．数列为等比数列 B．数列是递减数列 C．若数列的前n项和为，则 D．若数列的前n项和为，则 11．已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（   ） A．面积的最小值为 B．若恰有两个点满足，则的取值范围是 C．到平面和到平面的距离之和为定值 D．若，则的周长不可能为 三、填空题 12．一组数据，，，，频率分布直方图如图所示．若（，，，），则估计数据，，，，的中位数为__________． 13．已知，分别为函数的两个零点，则的最小值为_____. 14．已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．若且，则__________． （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若是二项式的展开式中的一项，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 5．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．正方体中，是棱的中点，是棱上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若三棱锥的外接球球心落在平面内，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 10．已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 11．对于正整数，欧拉函数的函数值是所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，，则（    ） A． B．对任意正整数，恒有 C．记，则的前项和 D．从集合中随机取两个不同的数，，记事件：“”，则其概率为 三、填空题 12．双曲线的离心率为_________． 13．平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则_________． 14．平面直角坐标系中，若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则实数的取值范围是_________． （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 2．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，，，则（   ） A．0 B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则（   ） A． B． C． D．1 5．某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 6．在的展开式中，含项的系数为（   ） A．240 B． C．80 D． 7．在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 8．若数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（   ） A． B． C．（其中） D．当，时， 10．已知函数，则（   ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知曲线：，则（   ） A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 三、填空题 12．已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 13．已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 14．在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. （建议用时：40-45分钟，满分：73分） 一、单选题 1．已知为虚数单位，若，则（     ） A． B． C． D． 2．设随机变量，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．中国数学家、菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究，在一定条件下，系统的熵随时间的变化规律为，其中为平衡态熵，为初始熵，为分子碰撞频率，为自然对数的底数．设，当增大时，系统的熵（     ） A．减小，且减速越来越慢 B．减小，且减速越来越快 C．增大，且增速越来越快 D．增大，且增速越来越慢 7．如图，，，是曲线与的三个相邻的交点．若的面积为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．已知圆，，，直线被，，截得的弦长分别为，，．若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．为研究光照时间（单位：h）与某植物产量y（单位：）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10 h，植物平均产量为，经验回归方程为，则（     ） A． B．变量x和y正相关 C．光照时间每增加1 h，植物产量约增加 D．当x时，y的预测值为7 10．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，则（     ） A．的最小值为 B．存在点，使得 C．若，则直线与有两个交点 D．若点在轴上，则 11．若存在实数和，使得对，，则（     ） A． B．当时， C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 三、填空题 12．已知单位向量，，满足，则________． 13．已知、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为____________． 14．已知e是自然对数的底数，若集合恰有4个子集，则满足条件的整数a的个数为______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $