第61课时 计数原理课件-2027届高三数学一轮复习

计数原理 2027年高考数学 · 一轮复习 1 【教学目标】 1. 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理； 2. 能区分“分类”与“分步”，正确选用原理解决实际问题； 3. 体会两个原理是排列、组合的基础。 【教学重点】 · 分类加法与分步乘法计数原理的辨析与应用。 【教学难点】 · 复杂情境中“类”与“步”的划分；避免重复与遗漏。 第61课时 计数原理 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 第61课时 计数原理 3 【近五年考频考点】及备考建议 计数原理是排列组合与概率的基础（5年约3考），常渗透在选择、填空中。 备考建议： 1、分类用加法（类间互斥）、分步用乘法（步步相依）； 2、画树状图或分类讨论防重防漏； 3、这是后续排列、组合、二项式、概率的基石。 第61课时 计数原理 两个计数原理 1.完成一件事，如果有类方案，在第1类方案中有 种不同的方法，在第2类方案中 有种不同的方法……在第类方案中有 种不同的方法，那么完成这件事共有 __________________种不同的方法. 2.完成一件事，如果需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 _________ _______种不同的方法. 微判断（1）在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.( ) （2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) （3）在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成.( ) （4）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) 第61课时 计数原理 5 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 每类方案中的每一种方法 都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事（每步中的每 一种方法都不能独立完成这件事） 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 第61课时 计数原理 6 关键考点·核心突破 7 分类加法计数原理 题组1 求解下列各题： （1）一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第 2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是___ 9 解析 由题意，选择第1种方法完成工作，共有5种选法；选择第2种方法完成工作， 共有4种选法.所以符合题意的选法共有 （种）. 第61课时 计数原理 8 （2）（湘教选修一P179例1改编）某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地 台10个频道和其他省市46个频道的节目.当这些频道播放的节目互不相同时，一台电 视机共可以选看____个不同的节目；如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道 正在播放互不相同的节目，那么一台电视机共可以选看____个不同的节目. 68 66 第61课时 计数原理 9 解析 当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目. 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看 个不同的节目. 因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道(共有 个)正在播放互不相同的节目， 所以一台电视机共可以选看 个不同的节目. 第61课时 计数原理 10 （3）（新定义）设，与是的子集，若，则称 为 一个“理想配集”.若将与 看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配 集”有___个. 9 解析 对子集 分类讨论： 当时，可以为，，， ，共4种情况； 当时，可以为， ，共2种情况； 当时，可以为， ，共2种情况； 当时，可以为 ，有1种情况. 根据分类加法计数原理可知，共有 种结果，即符合此条件的“理想 配集”有9个. 第61课时 计数原理 11 （4）椭圆的焦点在轴上，且 ， ，则这样的椭圆的个数为____；若，2， ，， ， 2， ， ，则这样的椭圆的个数为______. 解析 因为焦点在轴上，所以.若，，以 的 值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类，当时， 有4种 选择；第二类，当时，有3种选择；第三类，当时， 有2种选择；第四 类，当时，有1种选择.故符合条件的椭圆共有 个. 因为，2， ，，，2， ，，且 ，则 第61课时 计数原理 12 当时，，2， ， ； 当时，，2， ， ； …； 当时， ，2； 当时， . 故共有 个椭圆. 第61课时 计数原理 13 感悟提升 使用分类加法计数原理应注意以下两点 （1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏. （2）分类时，要注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复. 第61课时 计数原理 14 分步乘法计数原理 题组2 求解下列各题： （1）甲有5件不同颜色的上衣，6条不同样式的裤子和4双不同的鞋子，如果把1件上衣、 1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法，那么甲着装时，共有_____种不同的搭配方法. 120 解析 要得到一种搭配方法，需分三步进行， 第一步，选上衣，有5种选法； 第二步，选裤子，有6种选法； 第三步，选鞋子，有4种选法. 根据分步乘法计数原理可得，共有 种不同的搭配方法. 第61课时 计数原理 15 （2）乘积 展开后共有____项. 45 解析 根据多项式的乘法法则， 展开后每一项均是从，， 中各取1项相 乘得到的， 所以展开后的项数为 . 第61课时 计数原理 16 （3）为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码.在某网站设 置的邮箱中，若密码为4位，每位均为 这10个数字中的1个，则这样的密码共有 ________个；若密码为位，每位均为 这10个数字中的1个，则这样的密码 共有___________个. 10 000 1 110 000 第61课时 计数原理 17 解析 设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从 这10个数字中任取1个，有10种取法.根据分步乘法计数原理，4位密码的个数是 设置的密码为位，每位均为 这10个数字中的1个，这样的密码共有3类.其 中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为，， . 根据分类加法计数原理，设置由数字组成的 位密码的个数是 . 故满足条件的密码有1 110 000个. 第61课时 计数原理 18 感悟提升 利用分步乘法计数原理解题的策略 （1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都 是独立的. （2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步 骤都完成了，整个事件才算完成. 第61课时 计数原理 19 （4）有三个袋子，第一个袋子装有标号 的红色小球20个，第二个袋子装有标 号的白色小球15个，第三个袋子装有标号 的蓝色小球8个.若从三个袋子中 取1个小球，共有____种不同的取法；若从每个袋子中各取1个小球，共有_______种 不同的取法. 43 2 400 解析 若从三个袋子中取1个小球，有 种不同的取法.若从每个袋子 中各取1个小球，有 种不同的取法. 第61课时 计数原理 20 两个计数原理的综合应用 考向1 “住店”问题 例1 （1）5名旅客投宿到一个旅店的3个房间（假设每个房间都有多个床位），共有 多少种不同的住店方法？ （2）5名学生争夺3项比赛的冠军，每项比赛只有1名冠军，获得冠军的可能情况有 多少种？ 解析 （1）因为每名旅客只能住1个房间，而每个房间可以容纳多名旅客，所以完成 这件事需以旅客为主，每名旅客都有3种住店方法，则共有 种不同的住店方法. （2）每个冠军只能有一个人获得，而每人可获得多个冠军，所以每项比赛的冠军有 5种情况，则共有 种可能的情况. 第61课时 计数原理 21 考向2 数字问题 例2 （湘教选修一P189T6改编）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然 数，问： （1）能够组成多少个五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ （2）能够组成多少个五位偶数？其中大于40 000的五位偶数有多少个？ （3）能够组成多少个小于2 026的正整数？ （4）“渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位 “渐升数”有多少个？ 第61课时 计数原理 22 解析 （1）用0，1，2，3，4，5可以组成 个无重复数字的五 位数. 若五位数的个位为0，则这样的五位数有 （个）；若五位数的个 位为5，则这样的五位数有 （个）.因此能被5整除的五位数有 （个）. （2）依题意，当0在个位时，组成的五位偶数的个数为 ；当2在 个位时，组成的五位偶数的个数为 ；同理，当4在个位时，个数也 为96.因此组成的五位偶数的个数为 . 当万位数字为5，个位数字为0时，有 （个）；当万位数字为5，个位 数字为2时，有 （个）；当万位数字为5，个位数字为4时，有 第61课时 计数原理 23 （个）；当万位数字为4，个位数字为0时，有 （个）； 当万位数字为4，个位数字为2时，有 （个）.由分类加法计数原理知， 共有 （个）.因此大于40 000的五位偶数有120个. （3）小于2 026的正整数：一位数有5个；两位数有 （个）；三位数有 （个）；1为千位时的四位数有 （个），2为千位时的 四位数有，， ，3个.因此小于2 026的正整数共有 （个）. （4）不妨假设三位“渐升数”是，当时，若，则有3个，若 ，则有 2个，若，则有1个，共有（个）；当时，若 ，则有2个， 若，则有1个，共有（个）；当时，若 ，则只有1个.按照分 类加法计数原理，三位“渐升数”共有 （个）. 第61课时 计数原理 考向3 涂色问题 例3 给图1、图2、图3中的①，②，③，④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种， 允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，求不同涂色方法的种数. 第61课时 计数原理 25 解析 对于图1：首先对①进行涂色，有5种方法，其次对②进行涂色，有4种方法， 然后对③进行涂色，有3种方法，最后对④进行涂色，有3种方法. 由分步乘法计数原理可得涂色方法的种数为 . 对于图2：首先对①进行涂色，有5种方法，其次对②进行涂色，有4种方法，然后对 ③进行涂色，有3种方法，最后对④进行涂色，有4种方法. 由分步乘法计数原理可得涂色方法的种数为 . 对于图3：首先对①进行涂色，有5种方法，其次对③进行涂色，有4种方法，然后对 ②进行涂色，有4种方法，最后对④进行涂色，有4种方法. 由分步乘法计数原理可得涂色方法的种数为 . 第61课时 计数原理 26 感悟提升 完成一件事的方法种数的计算步骤 （1）审清题意，弄清要完成的事件是怎样的. （2）分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种 方法中的哪一种. （3）弄清在每一类或每一步中的方法种数. （4）根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数. 第61课时 计数原理 27 1.有6名同学报名参加三个数学竞赛项目（6名同学不一定都参加），求下列情况不 同的报名方法数： （1）每人只能参加一项，每项人数不限； （2）每项限报1人，但每人参加的项目不限； （3）每项限报1人，且每人至多参加一项. 第61课时 计数原理 28 解析 （1）每人都可以从这三个数学竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法. 根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为 . （2）每项限报1人，但每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出 1人参加.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为 . （3）每项限报1人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选 法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法.根据分步乘法计数原理，可得不 同的报名方法种数为 . 第61课时 计数原理 29 2.已知0，1，2，3，4，5这六个数字. （1）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？ （3）可以组成多少个无重复数字且大于3 000小于5 421的四位数？ （4）在一个三位数中，若十位数字小于个位数字和百位数字，则称该数为“驼峰数”， 比如“102”“546”均为“驼峰数”.可构成多少个无重复数字的“驼峰数”？其中偶数有多少个？ 第61课时 计数原理 30 解析 （1）分3步：先选百位数字，有5种选法；再选十位数字，有5种选法；最后选 个位数字，有4种选法.由分步乘法计数原理知所求的三位数共有 （个）. （2）分3步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；再选百位 数字，有4种选法；最后选十位数字，有4种选法.由分步乘法计数原理知所求的三位 数共有 （个）. （3）分4类：当千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有 （个）；当千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有 （个）；当千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共 有（个）； 也满足条件. 第61课时 计数原理 31 故所求的四位数共有 （个）. （4）分4类：十位上的数为0时，共有 （个）；十位上的数为1时，共有 （个）；十位上的数为2时，共有 （个）；十位上的数为3时， 共有（个）.故共有 个，其中偶数为102，104，204， 302，304，402，502，504，214，312，314，412，512，514，324，524，534，共 有17个. 第61课时 计数原理 3.如图，已知四棱锥 . （1）从5种颜色中选出3种颜色，分别涂在四棱锥 的5个 顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色， 求不同的涂色方法数； （2）从5种颜色中选出4种颜色（4种颜色均使用），分别涂在四 棱锥 的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱 上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 第61课时 计数原理 33 解析 （1）由题意知，四棱锥的顶点，，所涂颜色互不相同，则， 颜色相同，且，颜色相同，所以共有 种不同的涂色方法. （2）由题意知，四棱锥的顶点，，所涂颜色互不相同，则， 可以 颜色相同，， 可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同，所以先从两组中选 出一组涂同一颜色，有2种选法（如：， 颜色相同），再从5种颜色中，选出4种 颜色涂在，，，四个顶点上，最后涂的颜色，有 种 不同的涂色方法.因此共有 种不同的涂色方法. 第61课时 计数原理 34 作业：完成计数原理限时练 第61课时 计数原理 THANKS 36 $