基础知识强化训练——立体几何与空间向量-2027届高三数学一轮复习

【2026年】【高中数学】【一轮复习基础知识强化训练】——立体几何与空间向量模块

北师大版（2019）必修第二册 + 选择性必修第一册　|　建议用时 120 分钟　|　满分 150 分　|　适用对象：高三一轮复习学生

一、模块说明

（一）命题依据与考查范围

本卷依据北师大版（2019）高中数学必修第二册第六章"立体几何初步"与选择性必修第一册第三章"空间向量与立体几何"编写，覆盖一轮复习的两条主线：一是用几何法研究空间几何体的结构与位置关系，包括基本立体图形、直观图、空间点线面的位置关系、平行与垂直的判定与性质、柱锥台与球的表面积和体积；二是用向量法研究空间中的度量关系，包括空间直角坐标系、空间向量的运算与坐标表示、直线的方向向量与平面的法向量、距离与夹角的计算。

教材中的落点为：必修第二册第六章 §1 基本立体图形（1.1 构成空间几何体的基本元素、1.2 简单多面体、1.3 简单旋转体）、§2 直观图、§3 空间点、直线、平面之间的位置关系、§4 平行关系、§5 垂直关系、§6 简单几何体的再认识（6.1 侧面展开与面积、6.2 体积、6.3 球的表面积和体积）；选择性必修第一册第三章 §1 空间直角坐标系、§2 空间向量与向量运算、§3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算（3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用）、§4 向量在立体几何中的应用（4.1 直线的方向向量与平面的法向量、4.2 用向量方法讨论位置关系、4.3 用向量方法研究度量关系）、§5 数学探究活动（一）正方体截面探究。

（二）双向细目表

题号	分值	考查知识点	教材位置	难度
1	5	斜二测画法与直观图面积	必修二 第六章 2 直观图	基础
2	5	空间向量的坐标运算与模	选必一 第三章 3.2	基础
3	5	异面直线所成的角	必修二 第六章 3；选必一 4.3	基础
4	5	空间平行、垂直关系的命题辨析	必修二 第六章 4、5	基础
5	5	球的表面积与体积	必修二 第六章 6.3	基础

题号	分值	考查知识点	教材位置	难度
6	5	直线与平面所成的角	必修二 第六章 5；选必一 4.3	基础
7	5	用平面的法向量求点到平面的距离	选必一 第三章 4.1、4.3	基础
8	5	补形法求外接球的表面积	必修二 第六章 6.3	拔高
9	6	平行与垂直关系的多命题辨析	必修二 第六章 4、5	基础
10	6	空间向量运算的坐标表示与夹角	选必一 第三章 2.2、3.2	中档
11	6	正方体截面与内切球、外接球	必修二 第六章 6.3；选必一 5	拔高
12	5	圆锥的侧面展开与体积	必修二 第六章 6.1、6.2	基础
13	5	正方体中点到平面的距离	选必一 第三章 4.3	中档
14	5	棱上动点的距离和最小值	选必一 第三章 1.2	拔高
15	13	线面平行的证明与三棱锥体积	必修二 第六章 4、6.2	基础
16	15	线面垂直的证明与点到平面的距离	必修二 第六章 5；选必一 4.3	基础
17	15	线面垂直的证明与二面角	必修二 第六章 5；选必一 4.2、4.3	中档
18	17	线面垂直的证明与点面距离（棱锥）	必修二 第六章 5；选必一 4.3	中档
19	17	旋转体的侧面积、体积与侧面展开的最短路径	必修二 第六章 6.1、6.2	中档

（三）难度梯度规划

全卷难度按分值统计：基础题 74 分，占 49.3%；中档题 60 分，占 40.0%；拔高题 16 分，占 10.7%。三者之比约为 5∶4∶1。

层级	题号与分值	合计	占比	能力描述
基础	1、2、3、4、5、6、7（各 5 分）；9（6 分）；12（5 分）；15（13 分）；16（15 分）	74 分	49.3%	直接调用判定定理、性质定理与坐标公式，一步或两步到位
中档	10（6 分）；13（5 分）；17（15 分）；18（17 分）；19（17 分）	60 分	40.0%	需先证后用、建系选点或化为平面展开
拔高	8（5 分）；11（6 分）；14（5 分）	16 分	10.7%	需补形构造、截面定量或多点共面对称转化

梯度设计说明：基础层集中在"定理直接使用"，失分原因通常是定理条件写不全，而非不会做；中档层的三道解答题都按"第（1）问先证位置关系、第（2）问再做度量计算"编排，第（1）问可独立得分；拔高层的三道题分别对应三类关卡——把三棱锥补成正方体找球心（第 8 题）、把截面面积与体积比、内切外接球放在同一题中辨析（第 11 题）、把三维的距离和转化为平面内的两点间距离（第 14 题），考的是转化意识而不是繁复运算。

（四）作答说明

全卷共 19 题，满分 150 分，建议用时 120 分钟。单项选择题只有一项符合题目要求；多项选择题全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分；填空题只要求写出最终结果，数值须化为最简形式；解答题须写出文字说明、证明过程或演算步骤，证明题必须交代定理的全部条件。

二、试题

（一）单项选择题（8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

1． 用斜二测画法画出边长为 的正方形的直观图，则该直观图的面积为（　　）
A．　　B．　　C．　　D．

2． 已知空间向量 ，，则 （　　）
A．　　B．　　C．　　D．

3． 如图 1，在正方体 中，异面直线 与 所成的角为（　　）
A．　　B．　　C．　　D．