精品解析：海南儋州市温皇学校2026-2027学年高三上学期期中市统测模拟数学试卷

2026-2027学年儋州市温皇学校海南省儋州市期中市统测模拟考 数学科试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 设全集，集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 故，,又集合， ∴． 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以． 3. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据空间向量的加减法运算，. 4. 若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由解集为计算出的值，然后再求一元二次不等式的解集. 【详解】因为的解集为，所以，解得，所以，所以，解得， 故选B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，难度较易.若一元二次不等式的解集为，则一元二次方程的两个根为. 5. 在下列函数中，以π为周期的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数性质逐一确定周期. 【详解】对于A：的周期，错误； 对于B：，其周期，正确； 对于C：的周期，则的周期，错误； 对于D：，其周期，错误. 故选：B. 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将函数化为，利用列出关于的不等式，解出不等式即可. 【详解】设，由原式得， , ， ∴， 即函数的值域为. 故选：C 7. 设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，在上单调递增， 由，得， 则，可得，即， 又，所以. 8. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】令求出可判断A，令可得，利用等差数列的求和公式求和后可判断B，求出后令，结合B中分析可得，据此可判断CD的正误. 【详解】对于A，令，则，故，故A错误； 对于B，令，则， 所以，故为等差数列，首项为零，公差为， 故，故B错误； 对于C，因为，，故， 故，同理， 在中令， 则，由B的分析可得， 所以，所以， 所以，所以， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，由C的分析可得即， 故函数是奇函数，故D错误. 二、多选题（共18分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，且，所以，即向量，的夹角为，所以A正确； 对于B，，则，所以B错误； 对于C，， 则以，为邻边的平行四边形的面积为，所以C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，所以D错误. 10. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 图象关于点对称 D. 最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【详解】由解析式知，A正确； 当时，，则在上单调递增，在上单调递减，B错误； 由时，，C正确； 令，则的最大值为1，D正确. 11. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且当时，的值域为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于对称 C. 时，的值域为 D. 时，的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期性和奇函数可判断AB,由奇函数的对称性可判断C,结合周期性以及奇函数的对称性可判断D. 【详解】对于A,函数是定义在上的周期为2的奇函数，则， 故，故的图象关于点对称，A正确， 对于B,,得不到， 故无法确定的图象是否关于对称，故B错误， 对于C,由是奇函数，记故，所以是奇函数， 当时，的值域为，故当时，的值域为， 进而可得时，的值域为，故C正确， 对于D，当时，，故的值域为， 由的周期性可得，故值域为， 又时，的值域为，因此时，的值域为，故D正确， 故选：ACD 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 13. 函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【详解】由于， 当时，， 所以函数恒过定点. 14. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据导数正负确定函数单调性，进而求出函数最小值. 【详解】由题意可得：， 令，解得． 当，则，所以在单调递减， 当，则，所以在单调递增， 所以． 四、解答题（共77分） 15. 某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3名、乙组2名，每种选法等可能. （1）求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率. （2）设随机变量表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用组合数分别求出总选法数和 “恰 2 名来自甲组” 的选法数，代入古典概型概率公式计算即可； （2）确定随机变量的全部可能取值，再分别求对应的概率，列出分布列后用期望定义式计算即得. 【小问1详解】 从5人中选3人的等可能选法数为 . 恰有2人来自甲组的选法数为 . 故选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率为. 【小问2详解】 随机变量X的可能取值为、、. 则，，，　 随机变量X的分布列为　 1 2 3 . 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． （1）求证：直线∥平面； （2）求证：直线平面． 【答案】（1）证明： 连接，因为，分别是棱、的中点， 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 平面，平面，故直线∥平面． （2）证明： 直棱柱中，，则. 因为是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以. ，，平面，故直线平面． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证； （2）根据线面垂直的判定定理可证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，求出,再换元利用基本不等式求面积的最大值. 【详解】（1）由题意知，，∴. 联立解得：，. ∴椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为， 联立：消去得， 设点，， ∴，即，，. ∵到的距离，， 所以 . 令，∴，. ∴ . 当且仅当，即时，的面积的最大值为. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求解，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 19. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）证明时，不等式对任意均成立． （其中e为自然对数的底数，e＝2.718…）． 【答案】（1）取得极小值为，无极大值；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由确定单调性得极值； （2）原不等式变形为，，利用导数求出的最大值，再证明即可． 【详解】（1）函数定义域是． 时，，， 时，，递减，时，，递增， ∴时，取得极小值为，无极大值； （2）不等式为， 即，令， 则， 令，则， ∴是上的增函数，，， ∴在上存在唯一零点，，， 当时，，，递增， 当时，，，递减， ， 设，，，单调递增， ∴， ， ∴时，不等式在上恒成立． 【点睛】本题考查利用导数求函数极值，利用导数证明不等式恒成立，解题关键是进行问题的转化，由分离参数法转化为求函数的最值，本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力．属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年儋州市温皇学校海南省儋州市期中市统测模拟考 数学科试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 设全集，集合，集合，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为，其中，为常数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 5. 在下列函数中，以π为周期的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数 二、多选题（共18分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 向量，的夹角为 B. C. 若是坐标原点，且，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知函数，下列关于该函数的说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 图象关于点对称 D. 最大值为1 11. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，且当时，的值域为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于对称 C. 时，的值域为 D. 时，的值域为 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的最小值是______． 13. 函数（且）的图象恒过定点的坐标为_____． 14. 函数的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 某校从甲、乙两组共5名学生中随机选出3名参加科技展示，其中甲组3名、乙组2名，每种选法等可能. （1）求选出的3名学生中恰有2名来自甲组的概率. （2）设随机变量表示选出的3名学生中来自甲组的人数，求的分布列和数学期望. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、的中点，是线段上的点． （1）求证：直线∥平面； （2）求证：直线平面． 18. 已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）证明时，不等式对任意均成立． （其中e为自然对数的底数，e＝2.718…）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $