精品解析：上海市第二中学2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期市二中学期中考试试卷 高一数学试卷 2026.11 （考试时间100分钟，总分100分） 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分） 1. 将化简为指数幂的形式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将根式化为指数幂的形式即可. 【详解】由题知，，则. 2. 不等式的解集是___________； 【答案】 【解析】 【详解】不等式等价于， 解得，所以不等式的解集是. 3. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 【答案】且 【解析】 【详解】反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即对结论进行否定； 原命题的结论为“或”，逻辑连接词“或”的否定为“且”， “”的否定为“”， 可得结论的否定为“且”. 4. 设集合满足，则满足条件的所有的数目为______. 【答案】 【解析】 【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案. 【详解】由题意知中必含有和和可以选也可不选， 则满足条件的所有的数目相当于集合的子集的个数=16. 5. 已知方程的两根为，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将目标代数式转化为两根之和与两根之积的形式，代入数值计算即可. 【详解】已知， 则 ， ， 代入得：. 6. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【详解】令，得；令，得. 两个零点将全体实数划分为三个区间，逐段去绝对值求解： ①当时，，，原不等式可化为： ， 解得，故此时，不等式的解为； 当时，，，原不等式可化为： ， 即，显然不成立，故此时，不等式无解； 当时，，，原不等式可化为：， 解得，故此时，不等式的解为. 综上可得原不等式的解集为. 7. 已知，，若，且，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】由，，，得， 即，则，即，则， 又，则， 所以. 8. 已知，，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】 ， 当且仅当时，即时等号成立. 此时的最小值为. 9. 已知，且，则最小值为____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 10. 已知关于x的不等式 的解集为，则关于x的不等式 的解集为_____________________. 【答案】 【解析】 【详解】由解集为且二次函数在两根之间为正，知，两个根为， 所以． 比较系数得，． 于是． 因，故等价于，解得． 故的解集为. 11. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 【答案】必要非充分 【解析】 【详解】设，则， 所以， 当时，，此时， 所以“”推不出“”． 当时，有同号，且，可以推出， 综上所述“”是“”的必要非充分条件． 12. 已知（常数）．函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负．若关于x的方程有两个不相等的实数根和，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数的解析式进行变形，利用函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，再结合若关于x的方程有两个不相等的实数根和，得到的取值范围. 【详解】，定义域， 由于函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以， 若关于x的方程有两个不相等的实数根和，则 即且 当时，方程无解； 当且时，且 可化为 要使方程有两个不相等的实数根和，则 ，解得且, 所以a的取值范围是. 二、单选题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 14. 已知全集和集合，，用集合语言表示图中的阴影部分，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由韦恩图可知，图中白色区域为集合， 所以阴影部分表示的集合为. 15. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则， 所以   ，  当且仅当，即时，等号成立. 因此该式的最小值为0. 16. 关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把不等式转化为整式不等式，结合解集中恰有3个正整数，再使用“穿针引线法”求解高次不等式，从而得到实数的取值范围. 【详解】不等式转化为整式不等式， 当时，在数轴上作出不等式的解集，此时解集中恰有三个正整数解分别为； 当时，在数轴上作出不等式的解集，此时解集中恰有三个正整数解分别为； 当时，在数轴上作出不等式的解集，要使解集中恰有三个正整数解，那么这三个正整数为，则； 当时，在数轴上作出不等式的解集，要使解集中恰有三个正整数解，那么这三个正整数解为,则； 综上，实数的取值范围为 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. （1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 【答案】（1），；（2），，， 【解析】 【分析】（1）利用平方法和换元法，结合完全平方公式进行求解即可； （2）利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）； 令， 所以； （2）； ； ； . 18. 已知．为幂函数且在上是严格减函数． （1）求实数的值以及相应的函数表达式； （2）若的图像关于轴对称，解关于的不等式． 【答案】（1）满足条件的实数为或，对应的函数表达式分别为、； （2）． 【解析】 【分析】（1）依据幂函数的定义与单调性确定参数的所有可能取值； （2）的图像关于轴对称得函数为偶函数，进一步筛选出符合条件的参数值，最后求解对应不等式． 【小问1详解】 根据幂函数的定义可得 整理得，解得或， 由于在上为严格减函数，因此幂函数的指数需满足  ， 当时，指数为，满足严格递减条件，此时函数表达式为， 当时，指数为，满足严格递减条件，此时函数表达式为， 所以满足条件的实数为或，对应的函数表达式分别为、； 【小问2详解】 函数图像关于轴对称即函数为偶函数， 对于，定义域为，满足，为奇函数，图像关于原点对称，不满足关于轴对称的条件， 对于，定义域为，满足，为偶函数，图像关于轴对称，因此符合条件的值为， 将代入关于的不等式得，  即  ， 因为负指数幂的底数不能为，所以且，即且， 不等式可变形为 ， 两边同时乘以正数得 ， 展开得，  整理得 ，解得， 又且， 所以不等式的解集为． 19. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用一元二次不等式的恒成立，即可求解； （2）根据条件得到，分、和三种情况，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 由题知在实数集上恒成立， 当时，恒成立，所以满足条件， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由，即，整理得到， 即，又，令，解得或， 当，即时，解得，当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则和为何值时，所用篱笆总长最小？并求出最小值． （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？并求出此时和的值． 【答案】（1） 当，时，所用篱笆总长最小，最小值为米 （2） 菜园面积最小为平方米，此时， 【解析】 【小问1详解】 由题意可知，菜园的面积，且，所用篱笆总长为， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以当，时，所用篱笆总长最小，最小值为米. 【小问2详解】 由题意可知，且满足，即， 所以，即，令， 上式可化为，解得或， 又，故，即，解得， 当且仅当，及，即解得时取等号， 所以菜园面积最小为平方米，此时. 21. 已知集合． （1）求证：任何奇数都是集合中的元素； （2）判断偶数是否为集合的元素？请说明理由； （3）若将集合中的正整数由小到大排列，求出集合中第2026个正整数． 【答案】（1）因为， 所以任何奇数都属于集合. （2）偶数不是集合的元素，理由如下： 由题知， 当、均为奇数时，设，， 则， 因为、，故，，从而可知为的倍数； 当、均为偶数时，设，，为的倍数； 当、为一个偶数一个奇数时，不妨设为偶数，为奇数， 设，， 则为奇数. 无论哪种情况均不满足， 故偶数不是集合的元素. （3） 【解析】 【分析】（1）由任意奇数，可证； （2）由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； （3）由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由前两问可知，的倍数和奇数属于集合A中的元素， 令集合中的正整数元素为、、， 对任意的，连续的个整数、、、中有三个数、、都在集合中， 因为，所以集合中第个元素为， 故第个元素是之后第一个属于的数，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期市二中学期中考试试卷 高一数学试卷 2026.11 （考试时间100分钟，总分100分） 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分） 1. 将化简为指数幂的形式为__________． 2. 不等式的解集是___________； 3. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，第一步应假设______. 4. 设集合满足，则满足条件的所有的数目为______. 5. 已知方程的两根为，，则________. 6. 不等式的解集是__________． 7. 已知，，若，且，则__________． 8. 已知，，且，则的最小值为_____. 9. 已知，且，则最小值为____． 10. 已知关于x的不等式 的解集为，则关于x的不等式 的解集为_____________________. 11. 设、、、均为非零常数，不等式和的解集分别为、，则“”是“”的______条件．（选填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”和“既非充分也非必要”） 12. 已知（常数）．函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负．若关于x的方程有两个不相等的实数根和，则a的取值范围是__________． 二、单选题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知全集和集合，，用集合语言表示图中的阴影部分，正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 16. 关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. （1）已知，求及的值； （2）已知，，用，分别表示、、和． 18. 已知．为幂函数且在上是严格减函数． （1）求实数的值以及相应的函数表达式； （2）若的图像关于轴对称，解关于的不等式． 19. 设函数，． （1）若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，解关于的不等式． 20. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为72平方米，则和为何值时，所用篱笆总长最小？并求出最小值． （2）若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？并求出此时和的值． 21. 已知集合． （1）求证：任何奇数都是集合中的元素； （2）判断偶数是否为集合的元素？请说明理由； （3）若将集合中的正整数由小到大排列，求出集合中第2026个正整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $