专题5 一元二次方程-【荣恒真题】2027年中考数学真题分类汇编

专题五 一元二次方程 @拍照批改 考点1一元二次方程的概念及解法 1.(2026·四川宜宾)已知方程x2-9x+14=0的两根恰好是某菱形 的对角线长，则这个菱形的面积是 () A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2026·广东)已知方程x2+3x+c=0的一个根是1，则 c= 3.(2026·甘肃天水)已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个 根，则代数式2m2+4m的值是 4.(2026·山东)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一 个根是10，则另一个根是 5.(2024·四川攀枝花)解方程：(x+1)2-4=0. 6.(2026·黑龙江齐齐哈尔)解方程：x2-6=5x. 7.(2026·江苏连云港)解方程：x(x-1)=8x-8. 考点2根的判别式及根与系数的关系 8.(2026·江苏扬州)关于x的一元二次方程x2+kx-1=0的根的情 况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 9.(2026·上海)下列方程中，没有实数根的是 A.x2-2x=0 B.x2-2=0C.x2+2x=0 D.x2+2=0 10.(2025·新疆)若关于x的一元二次方程x2-2x+a=0无实数 根，则实数a的取值范围是 () A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 11.(2026·四川广元)若关于x的一元二次方程x2+bx+3=0有两 个相等的实数根，则b的值为 () A.23 B.±2√3 C.3 D.±√3 12.(2026·黑龙江绥化)已知x1,x2是一元二次方程x2+2x-9=0的 两个根，则x1+x2-2x1x2的值为 () A.16 B.-16 C.20 D.-20 13.(2024·四川乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两 根为1，，且上+1=3，则p的值为 ( A、2 C.-6 D.6 3 R号 14.(2026·四川内江)对于实数a,b,定义运算“☆”如下：a☆b= ab2-ab,例如：3☆2=3×22-3×2=6，则方程2☆x=3的根的情 况为 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 15.(2025·青海西宁)中考新角度·发散性试题若关于x的一元二次方程 x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的 k的值： 16.(2026·四川甘孜州)若关于x的方程x2-4x+a=0有两个不相 等的实数根，则α的取值范围为 17.(2025·黑龙江绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2- 2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+1)= 18.(2026·四川巴中)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-x+t= 0的两个实数根，则x子+的最小值是 中考真题分类汇编数学 19.(2026·河北)已知关于x的一元二次方程2+子x+m=0有两 个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m=」 20.(2026·四川广安)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x+ k=0的两个实数根，且x1+x2≤3-2x1x2,则k的取值范围 是 21.(2026·四川南充)关于x的一元二次方程x2-（(2k+1)x+k2+k- 2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)已知方程的两个实数根分别为x1,x2,且x1=2x2,求k的值 22.(2024·四川南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+ 1=0的两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围； (2)若k<5,且k,x1,x2都是整数，求k的值 7 23.(2025·四川南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2 的两个实数根 (1)当x1=-1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. 考点3一元二次方程的实际应用 24.(2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙 (墙足够长)和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场 地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程为 () x m A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40 C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40 25.(2026·四川凉山州)四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间 都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据 题意可列关于x的方程为 A7(x-1)=2 B.x(x-1)=72 C.x(x+1)=72 D.2x+1）=72 26.(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记 载：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.其 大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽 共60步，问：它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根 据题意可列方程为 () A.x(60-x）=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 27.(2025·山东威海)如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植 园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的 小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个 矩形地块，请你求出小路的宽度. 20m 14m 28.(2025·四川巴中)如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围 栏，其中一边靠墙（墙长25m). (1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少米？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少米？ 222d 中考真题分类汇编数学 29.(2026·四川眉山)2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川 超”)比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住 宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动. (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号 召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增 长率相同，求每月产量的增长率。 (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元.参 与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件，则该食品 厂降价多少元才能使利润最大？最大利润为多少？1 化简，得2(x-3)x-31, 答：甲型机器人每分钟搬运20kg货物，乙型机 器人每分钟搬运30kg货物， 去分母，得x-2=2(x-3), 去括号，得x-2=2x-6, （方法点拨 移项、合并同类项，得x=4. 列分式方程解决实际问题的一般步骤： 检验：当x=4时，2(x-3)≠0， (1)审：仔细审题，找出等量关系； ∴.x=4是原分式方程的解 (2)设：合理设未知数； 团解2+吉1 (3)列：根据等量关系列出分式方程； (4)解：解分式方程； 去分母，得2+x(x+1)=x2-1, (5)验：检验求得的值是否使分式方程有意 去括号，得2+x2+x=x2-1, 义，且是否符合实际意义； 移项、合并同类项，得x=-3。 (6)答：答题 检验：当x=-3时，(x+1)(x-1)≠0， .x=-3是原分式方程的解 29解：(1)设好田有x亩，则坏田有(100- 28解：设甲型机器人每分钟搬运xkg货物， x)亩. .·乙型机器人搬运效率比甲型机器人搬运效率 根据题意，得30：+9(100-)=1000， 高50%， ∴.乙型机器人每分钟搬运货物(1+50%)x= 100-x=175 解得x=25 2 1.5x(kg), ∴.甲型机器人搬运1200kg货物所用的时间为 答：好田买了空亩，坏田买了1亩。 120min,乙型机器人搬运1500kg货物所用 (2)设坏田的平均亩产量为ykg,则好田的平均 亩产量是3ykg 的时间为}500 min. 1.5x 根据题意，得3000+50-6000 3y y 由题意，得200_1500=10， 1.5x1 解得y=100 解得x=20. 经检验，y=100是所列方程的解， 经检验，x=20是原分式方程的解， .3y=300. .1.5x=1.5×20=30. 答：好田的平均亩产量是300kg 专题五 一元二次方程 ①D【解析】x2-9x+14=0, 2-4【解析】，1是方程x2+3x+c=0的根， .(x-2)(x-7)=0,.x-2=0或x-7=0,解得.将x=1代入方程，得12+3×1+c=0, x=2或x=7.:方程x2-9x+14=0的两根恰好 整理，得4+c=0,解得c=-4. 是某菱形的对角线长，.该菱形的两条对角线的 36【解析】：m是一元二次方程x2+2x- 长分别为2和7，读菱形的面积为7×2×7=7 3=0的一个根，.m2+2m-3=0,即m2+2m=3, 10 ∴.2m2+4m=2(m2+2m)=2×3=6. 9D【解析】选项A,对于方程x2-2x=0, 42【解析】由(x-2)(x-m)=0,得x-2= a=1,b=-2,c=0, 0或x-m=0,解得x1=2,x2=m.方程的一个 .△=（-2)2-4×1×0=4>0，.方程有两个 根是10，∴.m=10.因此方程的另一个根为2. 不相等的实数根； 5解：移项，得(x+1)2=4, 选项B,对于方程x2-2=0,:a=1,b=0,c=-2, 则x+1=2或x+1=-2, .4=02-4×1×(-2)=8>0,.方程有两个 ∴.x1=1,x2=-3. 不相等的实数根； 6解：移项，得x2-5x-6=0, 选项C,对于方程x2+2x=0,a=1,b=2,c=0, 左边分解因式，得(x-6)(x+1)=0, ∴.△=22-4×1×0=4>0，∴.方程有两个不相等 则x-6=0或x+1=0, 的实数根； 选项D,对于方程x2+2=0,:a=1,b=0,c=2, .x1=6,x2=-1. .△=02-4×1×2=-8<0，.方程没有实 解：化简，得x(x-1)-8(x-1)=0, 数根 则(x-8)(x-1)=0, 0B【解析】：关于x的一元二次方程x2 .x-8=0或x-1=0, 2x+a=0无实数根，∴.4=(-2)2-4a=4-4a< ∴x1=8,x2=1. 0,解得a>1. (方法点拨 们B【解析】：关于x的一元二次方程x2+ 解一元二次方程的基本思想是“降次”，即将 bx+3=0有两个相等的实数根，.△=b2-4× 一元二次方程转化为两个一元一次方程求 1×3=0,整理，得b2=12,解得b=±2√5. 解，有四种常用方法：直接开平方法、因式分 解法、配方法、公式法， 2A【解析】x1,x2是一元二次方程x2+ 2x-9=0的两个根，且a=1,b=2,c=-9, 8A【解析】由一元二次方程x2+x-1=0, 可得a=1,b=k,c=-1. +=-2=9, .△=b2-4ac=k2-4×1×(-1)=k2+4>0, .x1+x2-2x1x2=-2-2×(-9)=16. ∴.该方程有两个不相等的实数根 图入【解析】？x+=-是=-2*名=p, 2 (方法点拨 根的判别式△=b2-4ac常用于不解方程直接 +=t=2-3p=- x1x2X1X2卫 判断根的情况： 方法点拨 (1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根； 元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系 (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根； 数的关系：若方程的两个实数根为x1,x2,则 (3)当△<0时，方程没有实数根. X1+X2= 注意：若二次项系数含字母，需先保证a≠0， a 再讨论△. 14A【解析】：a☆b=ab2-ab, 11 .2☆x=2x2-2x=3, .2x2-2x-3=0, 变指，+=0， ∴.4=（-2)2-4×2×(-3)=4+24=28>0， 1 解得t,==-2 “.原方程有两个不相等的实数根。 ⑤-1（答案不唯一）【解析】：关于x的一元 将1=方代入m=,得m=(-)=日 二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实 验证根的荆剥式：4=（-4m=6 -4× 数根， ∴.4=(-2)2-4k>0且k≠0， (日)=6>0，特合题意m=日 .k<1且k≠0， 四k≤号【解析】：名，本是关于龙的一元二 ∴.k的值可以为-1（答案不唯一）. 1⑥a<4【解析】关于x的方程x2-4x+a= 次方程x2-2x+飞=0的两个实数根， 0有两个不相等的实数根，∴.△=（-4)2-4a> ∴.4=(-2)2-4×1×k=4-4k≥0， 0,.16-4a>0,.a<4. 解得k≤1. 由根与系数的关系，可得x1+x2=2,x1x2=k. 172027【解析】m,n是关于x的一元二次 又x1+x2≤3-2x1x2, 方程x2-2025x+1=0的两个根，∴.m+n= .2≤3-2k, 2025,mn=1,∴.(m+1)(n+1)=mn+m+n+ 1=1+2025+1=2027. 解得≤ 阳号【解析】：出，是关于x的一元二次方 <1,≤分 程x2-x+t=0的两个实数根， 2](1)证明：.原方程为x2-(2k+1)x+2+k- .△=b2-4ac=(-1)2-4×1×t≥0， 2=0, 解得≤子 4=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k-2) =42+4k+1-4k2-4k+8 由根与系数的关系，得x1+x2=1,x1x2=t, =9>0, .x+x号=(x1+x2)2-2x1x2=12-2t=1-2t, .方程有两个不相等的实数根. 当取最大值好时，号+号取得最小值， (2)解：：方程的两个实数根分别为x1,x2, ∴.x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k-2. “最小值为1-2×4=2 。11 x1=2x2, 四-令【解析】设一元二次方程2+子+ .2x2+x2=2k+1, 2k+1 m=0的两根分别为t,t2. .x2= 3 由根与系数的关系可得1+f=-,?=m, x1= 2(2k+1) 3 整理+=-，得+1+=0， :2(26+1).24+1=k+k-2, 3 3 12 整理，得2+k-20=0, 26A 解得k1=4,k2=-5. 2)解：设小路的宽度为xm. 22解：(1)x1,2是关于x的方程x2-2kx+ 由题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9, 2-k+1=0的两个不相等的实数根， 整理，得2x2-17x+8=0, ∴.△=(-2k)2-4×1×(2-k+1)=4k2-4k2+ 4k-4=4k-4>0, 解得=7=8（合去）. 解得k>1. 答：小路的宽度为}m (2).k<5,由(1)得k>1, 28解：(1)设垂直于墙的一边长为xm, .1<k<5, 则x(40-2x)=150 ∴.整数k的值为2或3或4. 解得x1=5,x2=15. 当k=2时，方程为x2-4x+3=0, 当x=5时，40-2x=30>25,不合题意，舍去； 解得x1=1,x2=3;(都是整数，符合题意) 当x=15时，40-2x=10<25,符合题意， 当k=3时，方程为x2-6x+7=0, ∴.三边长分别为10m,15m,15m. 解得x=3±√2；（不是整数，不符合题意） (2)设矩形围栏的面积为S,垂直于墙的一边长为 当x=4时，方程为x2-8x+13=0, x m, 解得x=4±√3.（不是整数，不符合题意） 则S=x(40-2x)=-2(x-10)2+200. 综上所述，k的值为2 当x=10时，S有最大值，最大值为200， 23(1)解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)= 此时，40-2x=20<25,符合题意， m2,得m2=6,∴.m=±√6， ∴.三边长分别为20m,10m,10m. ∴.(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 29解：(1)设每月产量的增长率为m. 解得x1=-1,x2=4, 根据题意，得2000(1+m)2=2880, 即x2=4,m=±√6. 解得m1=0.2=20%,m2=-2.2(不符合实际， (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2- 舍去) 3x+2-m2=0, 答：每月产量的增长率为20%. 满足△=4m2+1>0. (2)设降价x元，每天的总利润为y元， 由根与系数的关系，得x1+x2=3,x1x2=2-m, 则每件盈利(30-x)元，每天销售量为(60+ ∴.(x1-1)(x2-1)=x1x2-（x1+x2)+1=2- 5x)件， m2-3+1=-m2≤0. .y=(30-x)(60+5x)=-5x2+90x+1800= 24A【解析】由题意，得矩形的长为-5(x-9)2+2205. (24-2x)m,∴x(24-2x)=40. .-5<0, 25B【解析】共有x支球队，每支球队需要∴.当x=9时，y取得最大值，最大值为2205， 和除自身外的(x-1)支球队比赛，∴.总比赛场数答：该食品厂降价9元才能使利润最大，最大利润 为x(x-1),∴.可列方程为x(x-1)=72. 为2205元. 13