小升初奥数05：等差数列求和（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册人教版

小升初奥数培优05：等差数列求和 学习目标 1. 认识等差数列，准确识别首项、末项、公差、项数，理解等差数列的含义。 2. 熟记等差数列的项数公式、求和公式，能灵活正向、逆向计算。 3. 会利用等差数列解决数串、页码、堆放物体、时钟敲钟等实际应用题。 4. 掌握等差数列变式题型，提升观察规律、转化条件的能力，为小升初压轴题打基础。 知识精讲 1. 等差数列的定义 一列数，从第 2 项开始，每一项减去它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。这个固定不变的差叫做公差，用字母 表示。 举例： (1) 1，3，5，7，9，11……　公差 (2) 10，20，30，40，50　公差 (3) 100，95，90，85……　公差 （递减等差数列） 2. 基本概念与符号 符号 含义 首项，数列的第一个数 末项，数列的最后一个数 公差，相邻两项的差 项数，数列一共有多少个数 数列前 n 项的和 3. 核心公式（重中之重） 公式 1：求末项 末项 = 首项 +（项数 − 1）× 公差 公式 2：求项数 项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 易错点：最后一定要 +1，很多同学忘记！ 公式 3：求和公式（高斯求和公式） 和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 思路：配对求和，一头一尾两个数分成一组，每组和相等，共有 组。 拓展：等差数列的平均数 (1) 等差数列的平均数 =（首项 + 末项）÷ 2 (2) 和 = 平均数 × 项数 4. 常见题型分类 (1) 基础型：已知首项、末项、项数，直接求和。 (2) 缺项数型：先利用首项、末项、公差求出项数，再求和（考得最多）。 (3) 缺末项型：先求末项，再求和。 (4) 递减等差数列：公差为负数，公式仍然通用。 (5) 应用题：原木堆、钢管堆、页码、时钟、比赛场次等。 5. 解题步骤规范 (1) 判断：是不是等差数列，找出 。 (2) 缺什么先求什么：缺项数先算项数，缺末项先算末项。 (3) 代入求和公式计算。 (4) 检验结果。 例题讲解 【典型例题 1】 计算： 【跟踪训练 1】 计算： 【典型例题 2】 计算： 【跟踪训练 2】 计算： 【典型例题 3】 一堆钢管，最上层有 5 根，最下层有 23 根，每相邻两层相差 2 根，这堆钢管一共有多少根？ 【跟踪训练 3】 一堆原木，最上面一层有 8 根，最下面一层有 32 根，下层比上一层多 3 根，原木一共有多少根？ 【典型例题 4】 有一个等差数列：3，7，11，15……，求这个数列的第 30 项是多少？并求出前 30 项的和。 【跟踪训练 4】 等差数列：4，9，14，19……，求第 25 项是多少？前 25 项的和是多少？ 【典型例题 5】 计算递减等差数列： 【跟踪训练 5】 计算： 奥数练习 题目 1　计算等差数列 2，6，10，14，…… 前 20 项的和，并求第 21 项到第 40 项的和。 题目 2　求 1 到 99 这 99 个连续自然数中，所有奇数的和与所有偶数的和相差多少？ 题目 3　一个等差数列的第 5 项是 30，第 9 项是 50，求这个数列的首项和公差，并求出前 10 项的和。 题目 4　已知等差数列 3，8，13，18，……，求第几项第一次超过 200？并求出此时（第一次超过前）前面所有项的和。 题目 5　计算 2+4+6+……+100 −（1+3+5+……+99）。 题目 6　一种报时钟，1 时敲 1 下，2 时敲 2 下，……，12 时敲 12 下，每到半点又敲 1 下。问一昼夜（24 小时）共敲多少下？ 题目 7　一堆钢管堆成梯形状，最上层有 6 根，最下层有 90 根，每相邻两层相差 2 根。这堆钢管一共有多少根？ 题目 8　在 1 到 200 的所有整数中，能被 3 整除但不能被 5 整除的数，它们的和是多少？ 题目 9　一个等差数列共有 21 项，各项都是整数，它的中间一项是 50，求这个数列所有项的和。 题目 10　一个等差数列的首项是 7，前 10 项的和是 520，求这个数列的公差。 题目 11　求 11，13，15，……，99 这些连续奇数一共有多少个，它们的总和是多少？ 题目 12　一本字典的页码从 1 开始编号，编完全部页码一共用了 3933 个数字。这本字典共有多少页？ 题目 13　等差数列 3，7，11，15，……，求它的第 10 项和第 20 项，并求第 10 项到第 20 项（共 11 项）的和。 题目 14　等差数列 5，9，13，17，……，求前 100 项的和；并求加到第几项时，和第一次超过 10000？ 题目 15　三个连续奇数的和是 219，求这三个数。 题目 16　计算 200+190+180+……+20 的和，并判断这个和的末位数字是多少。 题目 17　等差数列 6，13，20，27，……，求它的第 50 项，并求前 50 项的平均数。 题目 18　把连续奇数按下面的规律排列成三角阵： 第 1 行：1 第 2 行：3，5 第 3 行：7，9，11 第 4 行：13，15，17，19 …… 求第 10 行最后一个数是多少，第 10 行所有数的和是多少。 题目 19　一个等差数列中，第 1 项与第 9 项的和是 24，第 3 项与第 11 项的和是 40，求这个数列的首项、公差，以及前 15 项的和。 题目 20　把连续自然数 1，2，3，…… 依次分组：第 1 组 1 个，第 2 组 2 个，第 3 组 3 个……如下排列： 第 1 组：1 第 2 组：2，3 第 3 组：4，5，6 第 4 组：7，8，9，10 …… 求第 10 组最后一个数是多少，第 10 组所有数的和是多少。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优05：等差数列求和 学习目标 1. 认识等差数列，准确识别首项、末项、公差、项数，理解等差数列的含义。 2. 熟记等差数列的项数公式、求和公式，能灵活正向、逆向计算。 3. 会利用等差数列解决数串、页码、堆放物体、时钟敲钟等实际应用题。 4. 掌握等差数列变式题型，提升观察规律、转化条件的能力，为小升初压轴题打基础。 知识精讲 1. 等差数列的定义 一列数，从第 2 项开始，每一项减去它前面一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。这个固定不变的差叫做公差，用字母 表示。 举例： (1) 1，3，5，7，9，11……　公差 (2) 10，20，30，40，50　公差 (3) 100，95，90，85……　公差 （递减等差数列） 2. 基本概念与符号 符号 含义 首项，数列的第一个数 末项，数列的最后一个数 公差，相邻两项的差 项数，数列一共有多少个数 数列前 n 项的和 3. 核心公式（重中之重） 公式 1：求末项 末项 = 首项 +（项数 − 1）× 公差 公式 2：求项数 项数 =（末项 − 首项）÷ 公差 + 1 易错点：最后一定要 +1，很多同学忘记！ 公式 3：求和公式（高斯求和公式） 和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2 思路：配对求和，一头一尾两个数分成一组，每组和相等，共有 组。 拓展：等差数列的平均数 (1) 等差数列的平均数 =（首项 + 末项）÷ 2 (2) 和 = 平均数 × 项数 4. 常见题型分类 (1) 基础型：已知首项、末项、项数，直接求和。 (2) 缺项数型：先利用首项、末项、公差求出项数，再求和（考得最多）。 (3) 缺末项型：先求末项，再求和。 (4) 递减等差数列：公差为负数，公式仍然通用。 (5) 应用题：原木堆、钢管堆、页码、时钟、比赛场次等。 5. 解题步骤规范 (1) 判断：是不是等差数列，找出 。 (2) 缺什么先求什么：缺项数先算项数，缺末项先算末项。 (3) 代入求和公式计算。 (4) 检验结果。 例题讲解 【典型例题 1】 计算： 【详解】 观察：这是等差数列，首项 ，末项 ，公差 ，项数 。 根据高斯求和公式： 【答案】 5050 【跟踪训练 1】 计算： 【详解】 等差数列，首项 ，末项 ，公差 。 先求项数： 求和： 【答案】 2550 【典型例题 2】 计算： 【详解】 等差数列：首项 ，末项 ，公差 。 第一步，求项数： 第二步，求和： 【答案】 945 【跟踪训练 2】 计算： 【详解】 等差数列：首项 ，末项 ，公差 。 项数： 求和： 【答案】 553 【典型例题 3】 一堆钢管，最上层有 5 根，最下层有 23 根，每相邻两层相差 2 根，这堆钢管一共有多少根？ 【详解】 钢管层数就是等差数列的项数，每层根数构成等差数列：首项 ，末项 ，公差 。 先求层数（项数）： 钢管总数 = 数列和： 【答案】 140 根 【跟踪训练 3】 一堆原木，最上面一层有 8 根，最下面一层有 32 根，下层比上一层多 3 根，原木一共有多少根？ 【详解】 首项 ，末项 ，公差 。 层数（项数）： 总数： 【答案】 180 根 【典型例题 4】 有一个等差数列：3，7，11，15……，求这个数列的第 30 项是多少？并求出前 30 项的和。 【详解】 首项 ，公差 ，项数 。 第一步，求第 30 项（末项）： 第二步，求前 30 项和： 【答案】 第 30 项：119；前 30 项和：1830 【跟踪训练 4】 等差数列：4，9，14，19……，求第 25 项是多少？前 25 项的和是多少？ 【详解】 首项 ，公差 ，项数 。 求第 25 项： 求和： 【答案】 第 25 项：124；前 25 项和：1600 【典型例题 5】 计算递减等差数列： 【详解】 首项 ，末项 ，公差 。 项数公式只看差值大小： 求和： 【答案】 1717 【跟踪训练 5】 计算： 【详解】 首项 ，末项 ，公差绝对值为 5。 项数： 求和： 【答案】 808 奥数练习 题目 1　计算等差数列 2，6，10，14，…… 前 20 项的和，并求第 21 项到第 40 项的和。 【详解】首项 a1=2，公差 d=4。第 20 项：a20=2+(20−1)×4=2+19×4=2+76=78。前 20 项和：S20=(2+78)×20÷2=80×10=800。第 40 项：a40=2+(40−1)×4=2+39×4=2+156=158。前 40 项和：S40=(2+158)×40÷2=160×20=3200。第 21 项到第 40 项的和 = S40−S20 = 3200−800=2400。 【答案】前 20 项的和是 800；第 21 项到第 40 项的和是 2400。 题目 2　求 1 到 99 这 99 个连续自然数中，所有奇数的和与所有偶数的和相差多少？ 【详解】1~99 中奇数：1，3，5，……，99，共 (99−1)÷2+1=49+1=50 个，奇数和=(1+99)×50÷2=100×25=2500。偶数：2，4，6，……，98，共 (98−2)÷2+1=48+1=49 个，偶数和=(2+98)×49÷2=100×49÷2=50×49=2450。差=2500−2450=50。 【答案】所有奇数的和比所有偶数的和多 50。 题目 3　一个等差数列的第 5 项是 30，第 9 项是 50，求这个数列的首项和公差，并求出前 10 项的和。 【详解】第 9 项 − 第 5 项 = (9−5)×d = 4d = 50−30=20，所以 d=5。第 5 项 = a1+4d = a1+20 = 30，所以 a1=10。第 10 项：a10=10+(10−1)×5=10+45=55。前 10 项和：S10=(10+55)×10÷2=65×5=325。 【答案】首项是 10，公差是 5，前 10 项的和是 325。 题目 4　已知等差数列 3，8，13，18，……，求第几项第一次超过 200？并求出此时（第一次超过前）前面所有项的和。 【详解】通项 an=3+(n−1)×5=5n−2。要求 an＞200，即 5n−2＞200，5n＞202，n＞40.4，所以 n=41，即第 41 项第一次超过 200，该项=5×41−2=203。第一次超过前的项是前 40 项，第 40 项=5×40−2=198。前 40 项和 S40=(3+198)×40÷2=201×20=4020。 【答案】第 41 项第一次超过 200（该项为 203）；前面 40 项的和是 4020。 题目 5　计算 2+4+6+……+100 −（1+3+5+……+99）。 【详解】2~100 的偶数共 50 个，偶数和=(2+100)×50÷2=102×25=2550。1~99 的奇数共 50 个，奇数和=(1+99)×50÷2=100×25=2500。原式=2550−2500=50。 【答案】结果是 50。 题目 6　一种报时钟，1 时敲 1 下，2 时敲 2 下，……，12 时敲 12 下，每到半点又敲 1 下。问一昼夜（24 小时）共敲多少下？ 【详解】一昼夜内 1 点到 12 点的整点敲击重复两次：2×(1+2+3+……+12)=2×[(1+12)×12÷2]=2×78=156 下。半点：每天有 24 个半点时刻，各敲 1 下，共 24 下。合计=156+24=180 下。 【答案】一昼夜共敲 180 下。 题目 7　一堆钢管堆成梯形状，最上层有 6 根，最下层有 90 根，每相邻两层相差 2 根。这堆钢管一共有多少根？ 【详解】每层根数构成等差数列，首项 a1=6，末项=90，公差 d=2。层数（项数）：n=(90−6)÷2+1=42+1=43（层）。总数=(6+90)×43÷2=96×43÷2=48×43=2064（根）。 【答案】这堆钢管一共有 2064 根。 题目 8　在 1 到 200 的所有整数中，能被 3 整除但不能被 5 整除的数，它们的和是多少？ 【详解】能被 3 整除的数：3，6，9，……，198，共 198÷3=66 个，和=(3+198)×66÷2=201×33=6633。其中同时能被 5 整除（即能被 15 整除）的数：15，30，……，195，共 195÷15=13 个，和=(15+195)×13÷2=105×13=1365。所求=6633−1365=5268。 【答案】这些数的和是 5268。 题目 9　一个等差数列共有 21 项，各项都是整数，它的中间一项是 50，求这个数列所有项的和。 【详解】21 项数列的中间项是第 (21+1)÷2=11 项，即第 11 项是 50。等差数列的平均数 = 中间项 = 50，总和 = 平均数×项数 = 50×21=1050。 【答案】这个数列所有项的和是 1050。 题目 10　一个等差数列的首项是 7，前 10 项的和是 520，求这个数列的公差。 【详解】设公差为 d，第 10 项 a10=7+(10−1)d=7+9d。前 10 项和 S10=(7+a10)×10÷2=520，即 (7+a10)×5=520，7+a10=104，a10=97。由 a10=7+9d=97，得 9d=90，d=10。 【答案】公差是 10。 题目 11　求 11，13，15，……，99 这些连续奇数一共有多少个，它们的总和是多少？ 【详解】项数=(99−11)÷2+1=44+1=45（个）。总和=(11+99)×45÷2=110×45÷2=55×45=2475。 【答案】共有 45 个，总和是 2475。 题目 12　一本字典的页码从 1 开始编号，编完全部页码一共用了 3933 个数字。这本字典共有多少页？ 【详解】1~9 页用 9 个一位数数字；10~99 页用 90×2=180 个数字，累计 189 个。剩余 3933−189=3744 个数字，从 100 页起每页是三位数，3744÷3=1248 页。总页数=99+1248=1347 页。 【答案】这本字典共有 1347 页。 题目 13　等差数列 3，7，11，15，……，求它的第 10 项和第 20 项，并求第 10 项到第 20 项（共 11 项）的和。 【详解】通项 an=3+(n−1)×4=4n−1。第 10 项：a10=4×10−1=39；第 20 项：a20=4×20−1=79。第 10 项到第 20 项共 11 项，和=(39+79)×11÷2=118×11÷2=59×11=649。 【答案】第 10 项是 39，第 20 项是 79，第 10 项到第 20 项的和是 649。 题目 14　等差数列 5，9，13，17，……，求前 100 项的和；并求加到第几项时，和第一次超过 10000？ 【详解】通项 an=5+(n−1)×4=4n+1。第 100 项 a100=4×100+1=401。前 100 项和 S100=(5+401)×100÷2=406×50=20300。前 n 项和 Sn=(5+an)×n÷2=(5+4n+1)×n÷2=(4n+6)×n÷2=n(2n+3)。当 n=69 时，S69=69×(2×69+3)=69×141=9729；当 n=70 时，S70=70×143=10010＞10000。所以加到第 70 项时和第一次超过 10000。 【答案】前 100 项的和是 20300；加到第 70 项时和第一次超过 10000。 题目 15　三个连续奇数的和是 219，求这三个数。 【详解】三个连续奇数是等差数列，中间数 = 平均数 = 219÷3=73。前一个奇数=73−2=71，后一个奇数=73+2=75。 【答案】这三个数是 71、73、75。 题目 16　计算 200+190+180+……+20 的和，并判断这个和的末位数字是多少。 【详解】这是公差为 −10 的递减等差数列，首项 200，末项 20。项数=(200−20)÷10+1=18+1=19。和=(200+20)×19÷2=220×19÷2=110×19=2090。2090 的末位数字是 0。 【答案】和是 2090，末位数字是 0。 题目 17　等差数列 6，13，20，27，……，求它的第 50 项，并求前 50 项的平均数。 【详解】通项 an=6+(n−1)×7=7n−1。第 50 项 a50=7×50−1=349。等差数列平均数=(首项+末项)÷2=(6+349)÷2=355÷2=177.5。前 50 项和=平均数×50=177.5×50=8875。 【答案】第 50 项是 349，前 50 项的平均数是 177.5。 题目 18　把连续奇数按下面的规律排列成三角阵： 第 1 行：1 第 2 行：3，5 第 3 行：7，9，11 第 4 行：13，15，17，19 …… 求第 10 行最后一个数是多少，第 10 行所有数的和是多少。 【详解】第 n 行有 n 个数，且都是从 1 开始依次取出的连续奇数。前 10 行共有 1+2+……+10=55 个数。第 10 行最后一个数是第 55 个奇数 = 2×55−1=109。第 10 行有 10 个数，它的第一个数是第 (1+2+……+9)+1=45+1=46 个奇数，即 2×46−1=91。第 10 行的数是 91，93，95，……，109，共 10 项，和=(91+109)×10÷2=200×5=1000。 【答案】第 10 行最后一个数是 109，第 10 行所有数的和是 1000。 题目 19　一个等差数列中，第 1 项与第 9 项的和是 24，第 3 项与第 11 项的和是 40，求这个数列的首项、公差，以及前 15 项的和。 【详解】设首项 a1，公差 d。第 1 项+第 9 项：(a1)+(a1+8d)=24，即 2a1+8d=24，化简 a1+4d=12 ①。第 3 项+第 11 项：(a1+2d)+(a1+10d)=40，即 2a1+12d=40，化简 a1+6d=20 ②。②−①：2d=8，d=4。代入①：a1+16=12，a1=−4。第 15 项：a15=−4+14×4=−4+56=52。前 15 项和 S15=(a1+a15)×15÷2=(−4+52)×15÷2=48×15÷2=24×15=360。 【答案】首项是 −4，公差是 4，前 15 项的和是 360。 题目 20　把连续自然数 1，2，3，…… 依次分组：第 1 组 1 个，第 2 组 2 个，第 3 组 3 个……如下排列： 第 1 组：1 第 2 组：2，3 第 3 组：4，5，6 第 4 组：7，8，9，10 …… 求第 10 组最后一个数是多少，第 10 组所有数的和是多少。 【详解】前 9 组共 1+2+……+9=45 个数。所以第 10 组是从第 46 个自然数开始的 10 个连续自然数：46，47，……，55。第 10 组最后一个数 = 55。第 10 组所有数的和=(46+55)×10÷2=101×5=505。 【答案】第 10 组最后一个数是 55，第 10 组所有数的和是 505。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $