2.2.3直线的一般式方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.3  直线的一般式方程

课  型

新授课

课时数

1

授课时间

第___周第___课时

教学目标

（学科核心素养）

1．理解直线与二元一次方程的一一对应关系，记住直线的一般式方程的结构特征，会根据条件把直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程化为一般式方程，也会把一般式方程化为斜截式，求出直线的斜率与在两条坐标轴上的截距，并画出图形。（数学抽象、数学运算）

2．通过对“每一条直线是否都能用二元一次方程表示”与“每一个二元一次方程是否都表示一条直线”的双向探究，经历分类讨论、严谨推理的完整过程，体会数形结合与化归思想，发展逻辑推理素养。

3．通过小组合作填表、独立画图与展示交流，积累用代数方法研究几何图形的活动经验，感受坐标法统一代数与几何的思想价值，激发学习数学的兴趣。（直观想象、逻辑推理）

教学重点

直线的一般式方程与点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化；由一般式方程求直线的斜率与截距，并画出图形。

教学难点

理解“直线与二元一次方程一一对应”中与的分类讨论；利用一般式方程中系数的特征研究直线的位置。

教学方法

合作探究    讲练结合

教学过程

一、复习检测（导入新课）

写出满足下列条件的直线的方程（先用上一课时学过的形式表示，再观察它们整理后的共同特点）：

1．经过点(2,3)，且斜率为2；

2．斜率为，在y轴上的截距为3；

3．经过两点(1,2)与(3,6)；

4．在x轴、y轴上的截距分别为4,6。

参考答案：1．；2．；3．，化简得；4．。

学生活动：四名学生板演，其余学生独立完成后同桌互评，并说出每种形式的适用条件。

设计意图：激活上一课时的四种直线方程形式，为本课“统一形式”的引入提供对象；题3、题4化简后的结果已经是二元一次方程，为下面的探究埋下伏笔。

教师追问：这四种形式各有哪些限制？是否存在一条直线，它的方程不能用这四种形式中的任何一种直接写出？

学生预设：点斜式与斜截式要求斜率存在；两点式要求连线不垂直于坐标轴；截距式要求直线在两条坐标轴上的截距都存在且不为0。垂直于x轴的直线无法用这四种形式中的任何一种直接表示。

题后反思：四种形式各有“死角”，需要一个对任何位置的直线都适用的统一形式，这就是本节课要研究的直线的一般式方程。

二、探究新知

探究1：每一条直线都可以用一个二元一次方程表示吗？

教师活动：画出图1中的两条直线，其中可以用点斜式表示，垂直于x轴的呢？

备注

（二次备课）

图1  两种不同位置的直线

学生活动：小组讨论后派代表发言。

预设生成：的方程为，可以改写为，即取，，；对斜率存在的直线，把点斜式、斜截式、两点式或截距式方程去分母、移项整理，都能化成的形式。

结论1：任何一条直线都可以用形如（其中A，B不同时为0）的二元一次方程表示。

探究2：每一个二元一次方程都表示一条直线吗？

学生活动：独立完成下面的分类讨论，再组内互查。

当时，方程可化为，它表示斜率为、在y轴上的截距为的直线；

当时，由A，B不同时为0得，方程可化为，它表示一条垂直于x轴的直线（时即为y轴）。

结论2：每一个形如（其中A，B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线。

归纳定义：我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。

活动1（合作归纳）：四人一组，讨论一般式方程中系数A，B，C取特殊值时直线的位置特征，完成下面的归纳：

①当，时：斜率为0，时直线平行于x轴，时直线与x轴重合；

②当，时：直线垂直于x轴，时直线与y轴重合；

③当（A，B不同时为0）时：直线经过原点；

④当，时：斜率，在y轴上的截距。

设计意图：把两个方向的推理都交给学生，经历完整的分类讨论；填表活动把“读方程、知位置”转化为可操作的步骤，为一般式的应用作铺垫，也为利用一般式研究直线的位置提供方法支架。

三、体验发现

1．由其他形式化为一般式

例5  已知直线经过点A(6,−4)，斜率为，求直线的点