专题01 相似三角形重要模型之A字型与（双）8字型（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，与的相似比为 故选：B． 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：，． ，．，．． ．，故答案为：． 【典例3】（25-26九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【答案】 【详解】解：在中，，， ，四边形是正方形， ，，， 设，则，，， ，，， 在和中，，， ，即，解得，，， ，，， 又，，，即，解得，故答案为：． 【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 【典例5】（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，平行四边形的对角线与相交于点，在的延长线上取一点，使，连结，交于点，若，则的长为（   ） A．14 B．7 C．16 D．8 【答案】A 【详解】解：在上取一点，使得． ∵四边形是平行四边形，∴是、中点，，， ∴是中位线，， 设，则，，．∵，∴． ∴，即，∴，∴，得． 又∵，∴ ．故选：A． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴, ∵，∴，∴．故答案为： 【典例2】（25-26九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ，，是的中点，则，，， ，，， 是的中点，，，； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ，端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点，，端所挂物体质量：点承受质量，端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量．故答案为：． 【典例3】（25-26重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO，DO．∴， ∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D． （2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴，，∴．∵AE＝BE，∴CF＝DF． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，解得， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴，∴．故选：A． 【典例2】（25-26九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，，交于点F，连接并延长交于点G．若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴，又，∴，故选：C． 【典例3】（2026山东模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC， ∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝； （2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴， 同理，，，∴＝， ∴，即； （3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF， ∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC， ∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO， ∴，∴EM＝，∴， ∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝． 【典例4】（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：，，， ________，________． ，，________， ________，________， ，，、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 【答案】（1），，，，；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：证明：，，， ，．，，， ，，，， 、N分别为的中点．故答案为：，，，，． （2）解：画射线，作线段交于点H，连接交于定E，作射线交于点F，根据四边形为平行四边形，故，根据（1）的证明，得点F是的中点， 连接交于点O，根据四边形为平行四边形，故定O是的中点，连接 则是的中位线．则即为所求． （3）解：连接，∵为的直径，∴， 设的交点为N，∵，∴，，∴，∴． ∵，∴，，∴，∴，∴， ∴，∴为的中点．∴是的中位线，∴，∴， ∴点H的运动轨迹是以为直径的的半圆，且为下方的半圆， 连接，过点C作于点M，∵，且， ∴，，设， ∵为的直径，∴，∴， ∴，解得，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，取得最大值，且最大值为， ∴线段长度的取值范围是．故答案为：． 1．（2026·山东·模拟预测）某数学兴趣小组利用几何图形画出了螳螂身体局部示意图（如图），若已知，连接，交于点O，连接，，如果，，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：，， ，设，则，， ，，，， ，，，，，，．故选：D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中， ，，则与的面积之比为（   ） A．2：1 B．9：4 C．2：3 D．4：9 【答案】D 【详解】解：∵∴；∵在中， ，∴， ∴，故选：D． 3．（2025·河南安阳·三模）如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴．故选：C． 4．（2025·宁夏银川·三模）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(   ) A． B．10 C． D．11 【答案】B 【详解】解：是的中位线，，，，， ，，∴．故选：B． 5．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，， ，是的中点，，， ，，故选：B． 6.（2026·辽宁营口·校考一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴．故答案为：． 7．（25-26安徽九年级期中）如图，在中，、分别是边上的高，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：设与交于点，∵分别是边上的高，    1.（25-26九年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，点是的中点，交对角线于点，交于点，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】B 【详解】解：在中，点是的中点， ∴，，∴，∴，则， ∵，∴，∴，又， ∴，则，故选：B 2.（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：、为边的三等分点，， ，，，，是的中位线，， ，， ，即，解得：，，故选：C． 3.（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】 【详解】解：设交于点，∵矩形的边在上，∴，，    ∴，，， ∴，∴，∵于点，∴，∴， ∵，，，，∴四边形是矩形,∴， ∵，，∴，∴ 解得，∴的长为，故答案为∶． 4．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到，∴， ∴，，∴， ∵，即，∴．故答案为：8． 5.（25-26安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，．∴，，∴， 又∵，∴，∴． （2）由（1）可得，∴，又∵平分，∴， ∴，∴，∴． 6．（2026·山东德州·中考真题）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ．(1)求证：；(2)若， ，求线段 的长；(3)若，，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵，∴， ∵，∴，∴，，∴， 又∵，∴，∴ (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解：∵，，∴，， 由（1）得，∴，∵，，∴， ∴，∵，∴； （3）解：如图，在上截取， ∵，∴，设，则，∴， ∵，，∴， ∴，， ∴，∴，∴， 过点作于点，又∵，∴， ∴，∵，，∴， ∴． 1．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，是斜边边上的中线， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 2．（2025·江苏扬州·三模）在中，，，为上一点满足，过点的直线交于点，如果将的周长分成两部分（即），则 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于点，如图所示：∴，∴， ∵，∴，设，，，∴， ∵将的周长分成两部分，∴， ∵，∴，∴，即 ∴，∴，∵ ∴，，；∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故答案为：． 3．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，是斜边边上的中线， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 4．（2025·江苏扬州·三模）在中，，，为上一点满足，过点的直线交于点，如果将的周长分成两部分（即），则 ． 【答案】 【详解】解：过点作交于点，如图所示：∴，∴， ∵，∴，设，，，∴， ∵将的周长分成两部分，∴， ∵，∴，∴，即 ∴，∴，∵ ∴，，；∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故答案为：． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：过点B作于M，过点D作，交的延长线于N，连接，如下图所示： ∵，∴为等边三角形，∴， 由勾股定理得：，∵，∴， ∴，即，，即， ∴，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：．故答案为：． 6．（25-26八年级上·吉林·专题练习）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程：解：分别延长交于点M， 四边形是平行四边形，． ，，， ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为__________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为__________． 【答案】[问题解决]分别延长、交于点， 四边形是平行四边形，．，，， ，，， 点是边的中点，，， ，； [问题拓展] （1）（2） 【详解】解：[问题解决] 略 [问题拓展]（1）分别延长、交于点，四边形是平行四边形，． ，设，则，则，， ，，， 点是边的中点，， ， ，；故答案为：； （2）如图，过作，交延长线于点，交延长线于点， ，，四边形是平行四边形，，， 设，，，，，，， ，，即，，， ，，；故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）证明：点是中点，，交于点，， 又点是中点，，，； （2）如图2，过点作交于，，，， ，，即，，，即； （3）如图3，过点作交于，，， 点是中点，，，， ，，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 A字型、8字型是相似三角形的基石模型。平行触发基础A、8字；公共角、对顶角加一组等角触发反A、反8；双A双8用于比例传递。学习重点不在于背诵图形，而在于能够从复杂图形中将基础图形剥离，书写相似时严格对齐对应顶点，防止比例写错。大量相似压轴题本质就是多个A、8字型的组合嵌套。 相似三角形是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 18 C组（综合压轴题） 24 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 1）相似三角形AA判定定理；相似对应边成比例。 2）平行线性质：同位角、内错角相等。 3）对顶角相等、公共角识别。 4）平行线分线段成比例定理。 5）比例的性质：合比、等比简单运算。 模型1.“A”字模型 【模型提炼与证明】 “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 【模型运用】 【典例1】（2025·广东东莞·二模）如图，，若，，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【典例3】（25-26九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【典例4】（2026·湖南·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【典例5】（25-26八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，平行四边形的对角线与相交于点，在的延长线上取一点，使，连结，交于点，若，则的长为（   ） A．14 B．7 C．16 D．8 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 【模型提炼与证明】 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 【模型运用】 【典例1】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．    【典例2】（25-26九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【典例3】（25-26重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 【模型提炼与证明】 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 【模型运用】 【典例1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【典例2】（25-26九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，，交于点F，连接并延长交于点G．若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【典例3】（2026山东模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 【典例4】（2025·吉林长春·模拟预测）【问题探索】（1）如图①，点D、E分别在的边上，仅用一把无刻度的直尺作的中点． 操作：如图②，连结交于点P，作直线交于点M，交于点N，则M、N分别为、的中点． 证明：，，， ________，________． ，，________， ________，________， ，，、N分别为的中点． 请将上述证明过程补充完整． 【结论应用】（2）如图③，四边形为平行四边形，只使用无刻度直尺作出的中位线． 【拓展提升】（3）如图④，为的直径且，点C在上且，点P为上的动点且与点C位于直线的异侧，点D为线段上的定点，过点D作交于点E，连结、交于点G，作直线交于点H，则线段长度的取值范围是________． 1．（2026·山东·模拟预测）某数学兴趣小组利用几何图形画出了螳螂身体局部示意图（如图），若已知，连接，交于点O，连接，，如果，，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中， ，，则与的面积之比为（   ） A．2：1 B．9：4 C．2：3 D．4：9 3．（2025·河南安阳·三模）如图，已知，是的中点，连接，相交于点，，若，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2025·宁夏银川·三模）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(   ) A． B．10 C． D．11 5．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 6.（2026·辽宁营口·校考一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 7．（25-26安徽九年级期中）如图，在中，、分别是边上的高，求证：． 1.（25-26九年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，点是的中点，交对角线于点，交于点，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2.5 D．2 2.（2023·四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）    A．1 B． C．2 D．3 3.（25-26九年级上·福建莆田·开学考试）如图，在中，点、在上，点、在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    4．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 5.（25-26安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    6．（2026·山东德州·中考真题）如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点，，过点 作于点 交 于点 ．(1)求证：；(2)若， ，求线段 的长；(3)若，，请直接写出的值． 1．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 2．（2025·江苏扬州·三模）在中，，，为上一点满足，过点的直线交于点，如果将的周长分成两部分（即），则 ． 3．（2025·重庆·三模）如图，在中，，是斜边边上的中线，且，若，则 ． 4．（2025·江苏扬州·三模）在中，，，为上一点满足，过点的直线交于点，如果将的周长分成两部分（即），则 ． 5．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 6．（25-26八年级上·吉林·专题练习）【问题提出】如图①，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，求的值． 【问题解决】如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解． 以下是小亮的部分解题过程：解：分别延长交于点M， 四边形是平行四边形，． ，，， ， 解题过程缺失 请补全缺失的解题过程 【问题拓展】（1）如图③，在中，点E是边的中点，点F在边上，与交于点P．若，则的值为__________；（用含a的代数式表示） （2）如图④，在四边形中，，点G在边的延长线上，与交于点P．若，，则的值为__________． 7．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $