专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学新教材苏科版九年级下册

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，是的平分线交于D，若，则的值是 ．    【典例2】（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【典例3】（25-26·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 【典例4】（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【典例5】（25-26·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【典例6】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．    【典例7】（25-26九年级上·广东·校考期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 【典例8】（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1.（2026·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    5.（26-27广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 6．（25-26九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．    7．（25-26·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 1．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，是边上一点，与关于直线对称，交于点．若，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 2．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　   　    5．（25-26陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长． 6.（2025·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    3．（2026安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 4.（25-26·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．    (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________． 5.（25-26·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          6．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接． (1)初步探究：如图1，若，求证：； (2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长； (3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型（共边共角）是相似三角形最核心工具模型，在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率。普通母子型依靠公共角+一组等角建立线段平方乘积关系；射影定理是直角条件下特殊母子组合。该模型最大价值就是把分散线段转化等积式；学习重点不在于背诵公式，而在于复杂图形中识别“公共角+一组等角”结构，大题规范书写相似证明过程，避免步骤失分。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 相似三角形的比例性质源于欧几里得《几何原本》，但未明确形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共边的三角形相似性）已蕴含其中。后来在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分割为两个小直角三角形，三者互为相似形，由此衍生出‌射影定理‌，构成母子模型的数学内核。此时尚未出现“母子”的拟人化命名。 直到20世纪80年代现代教学归纳出‌形象化命名“母子模型”。‌后来该模型被纳入初中数学教材，作为相似三角形证明的核心模型之一。其核心价值在于简化比例证明，例如通过母子关系直接推导线段比例式。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，是的平分线交于D，若，则的值是 ．    【答案】 【详解】在上截取，连接．    ∵是的平分线，∴． ∵，∴．∴，． ∵，∴，． 又∵，，∴，∴．∴． ∵，且．∴． 又∵，即，解得，． ∴，． 在和中，，，∴． 设，．∵，，∴，．， ∴，．由可得，即， 设，则，即．解得；． ∵（，为线段长度），∴，即．故答案为：． 【典例2】（2023·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，，∴ ∵平分，∴，故A正确； ∵平分，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故B正确； ∵，∴，∴， 设，则，∴，∴，解得， ∴，∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，，∴ ∴，故D正确；故选：C． 【典例3】（25-26·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 【答案】 【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD， ∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：． 【典例4】（2025·江苏南京·三模）如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形；(2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析；(2)6． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，，∴四边形是平行四边形， ∵是高．∴，∴四边形是菱形； （2）∵，是高．∴， ∵，∴，∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去）∴， ∴,即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h，则，即，解得， 即菱形的高为．故答案为： 【典例5】（25-26·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 【典例6】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．(1)求证：；(2)求证：．    【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，， ∴，∴； （2）证明：取中点，连接，如图，∴，    ∵是边上的中线，即点为的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴． 【典例7】（25-26九年级上·广东·校考期末）三角形的布洛卡点（）是法国数学家和数学教育家克洛尔（1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名，如图1，若内一点满足，则点是的布洛卡点，是布洛卡角． (1)如图2，点为等边三角形的布洛卡点，则布洛卡角的度数是 　；、、的数量关系是 　　； (2)如图3，点为等腰直角三角形（其中的布洛卡点，且． ①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明； ②将绕点逆时针旋转，得到四边形，若的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)，(2)①结论：．证明见解析部分；② 【详解】（1）解：如图所示： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）解：①结论：．理由如下：如图所示： 是等腰直角三角形，，，， ，，即，，； ②过作交的延长线于，如图所示：设． ，而， 是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去）， ，∴四边形的面积为1.5． 【典例8】（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （1）如图1，点D是 的边上一点，且．求证：； （2）如图2，在中，，E是边的中点，D是边下方的一个动点，满足，连接，求线段的最大值； 【拓展应用】（3）如图3，在正方形中，，E是射线上的一个动点，点F在线段上，且满足，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的最小值为 【详解】解：（1）证明：∵，∴， ∴，∴； （2）延长至点F，使得，连接，如图所示：则垂直平分，∴， ∵，∴， ∵E是边的中点，，∴为的中位线，∴， ∵，∴，∴线段的最大值为； （3）∵，，∴，∴， ∵正方形中，，∴，∴， 连接，如图所示：∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵E是射线上的一个动点，点F在线段上，∴点F的运动轨迹为以为直径的圆上， ∴，连接，∴，∴的最小值为， ∴的最小值为． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1.（2026·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，，，，则长为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】A 【详解】∵平行四边形，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，解得， 故，故选A． 2．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴ 由作图可得是的角平分线，∴ ∵∴ ∵∴ ∴ ∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 3．（25-26·江苏·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴． ∵AC=，AD=1，∴，∴AB=3，∴BD=AB-AD=3-1=2．故答案为2 4．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 5.（26-27广东九年级校级月考）在中，，垂足为，求的长 【答案】4 【解析】∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴． 6．（25-26九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，点为内的一个动点，已知，．(1)求证：；(2)求的值．    【答案】(1)见解析(2)2 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，， ∵，∴，∴；    （2）解：∵在中，， ∴，，即是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， 设，则，∴，∴． 7．（25-26·四川·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C． 又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC． （2）∵△AED∽△ADC∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）． 又∵AD＝AB，∴AB＝2 1．（2025·浙江温州·三模）如图，在中，，是边上一点，与关于直线对称，交于点．若，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与关于直线对称，，∴，， ∵，∴，，∴，设，则，∴， ∵，，∴， 又，∴，∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），经检验，，是原方程的解，∴，故选：D． 2．（2025·上海奉贤·三模）从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，那么的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由题意得，，∴， ∴，∴，∴，∴，故选：C． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是等边三角形，在一条直线上，，若，，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是等边三角形，∴，， ∵，∴， ∵，， ∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选：． 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形 中，对角线 交于点 O，于点 E，已知，，则矩形的周长为 　   　    【答案】/ 【详解】解：∵，，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∵，，，， ，即解得（负值舍去） ∵∴， ∴矩形的周长为．故答案为：． 5．（25-26陕西汉中·九年级期末）如图，是等腰直角斜边的中线，以点为顶点的绕点旋转，角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点，且．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，若，求证：；(3)如图2，过作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)． 【解析】（1）证明∶∵∠ACB=90°，AC= BC，CD是中线， ∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135° ∵在△DCE与△DCF中， ，∴，∴DE= DF； （2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°， ∵∠CDF +∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE， ∴ ，∴，即； （3）解：如图，∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠BCD=∠ACD=45°， ∴∠DGN=∠ECN=90°， ∠GCD=∠CDG=45°，∴CG= DG 当CD=2，CF=时，由可得，CE=2， 在Rt△DCG中， ∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴， ∴，∴，∴． 6.（2025·安徽淮北·三模）如图1，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC内一点P将三个内角分成6个角（即∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6）． （1）若∠1=∠3=∠5，求的值； （2）如图2，已知：AP=AC．①若PB=PC，求证：∠1=2∠4；②若∠1=30°，求证：PB=PC． 【答案】（1）2：5； （2）①证明见解析②证明见解析 【解析】（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵∠1=∠3=∠5，∴∠2=∠4， ∴∠APB=180°-（∠2+∠3）=180°-45°=135°，同理，∠BPC=135°，∴∠APC=90°， 设AC=a，PC=x，则，，∴△APB∽△BPC， ∴，∴，，在Rt△PAC中，，∴， ∵，∴； （2）①∵PB=PC，则∠4=∠5，设∠4=∠5=， ∵AP=AC，则∠6=∠APC=，即∠1=180°-2（）=2，即∠1=2∠4； ②如图所示，过P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E， 则四边形PDCE为矩形，在直角△APD中，∠1=30°，∴PD=PA， 又AP=AC=BC，∴PD=CE=BC，即PE垂直平分BC，∴PB=PC． 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线．（5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【详解】解：∵，，∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线，∴， ∴，∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵，∴， ∴四边形为矩形，∴，∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误；设，则，∵，∴， ∴，即，，即，∴，故④错误； ∵，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤；故答案为：①②⑤． 2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；    ②；    ③四边形是菱形；    ④ 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①③④ 【详解】解：①∵正五边形， ∴，， ∴， ∴，∴平分；正确； ②∵，，∴，∴， ∵，∴，即，故②错误； ③∵，， ∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；正确； ④∵，，∴，∴， ∴，即，正确；故答案为：①③④． 3．（2026安徽·校联考三模）在中，，平分． （1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【详解】解：（1）∵在中，，平分， ∴，又∠A=∠A，∴，∴， ∵，，∴； （2）①∵交于，于， ∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴， ∵，，∴； ②过作，与的延长线交于， ∵，∴， ∴、和均为等腰三角形，∴， ∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为． 4.（25-26·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”．    (1)应用：如图1，若点是线段的黄金分割点，若，则的长为 ______． (2)运用：如图2，已知等腰三角形为“黄金三角形”，，，为的平分线．求证：点是的黄金分割点．(3)如图3中，，，平分交于F，取的中点E，连接并延长交的延长线于M．，请你直接写出的长为__________． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点，， 设，则，∴，即， ∴，∴，解得：（负根舍去），∴； （2）证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴，， 即， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴D点是的黄金分割点． （3）如图，连接，同理可得：，， ∴，∵为的中点，，∴，∴，    ∴，，∴， 同理可得是的黄金分割点，且，∴，设，∴， 整理得：，解得：（负根舍去），∴. 5.（25-26·广东深圳·九年级校考期中）【基础巩固】 （1）如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值．          【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即，解得：，∴； （3）过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．    6．（2025·湖北武汉·三模）数学实验能增强学习数学的乐趣，还能经历知识再创造的过程，更是培养动手能力，创新能力的手段．小强在学习《相似》一章中对“两个角对应相等的两个三角形相似”这一判定产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点D为边上一点，连接． (1)初步探究：如图1，若，求证：； (2)尝试应用：如图2，在（1）的条件下，若点D为中点，，求的长； (3)创新提升：如图3，点E为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2(3) 【详解】（1）证明：如图2， ，，，，． （2）解：如图3，设，点D为中点，，， 由（1）得，， 或（不符合题意，舍去）， 的长是2． （3）解法一：如图4，作交的延长线于点F，则； 点E为中点，，设，． ，．， ，， ， 作交的延长线于点H，则， ，，， ，，， ，，， ，，， ，解得，，的长是． 解法二：如图5，取中点M，连接、， 点E为中点，是的中位线，， ，，， ，、 ，即，， ，，，， 设，则，， ，的长是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $